北師大版初中九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第四章圖形的相似5相似三角形判定定理的證明課件

第四章圖形的相似*5相似三角形判定定理的證明基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)相似三角形判定定理的證明1.(新考向·尺規(guī)作圖)(2024福建泉州期末)如圖,在△ABC中,

∠A=2∠C.(1)作出∠BAC的平分線(xiàn)AE,交BC于點(diǎn)D.(要求:尺規(guī)作圖,保

留作圖痕跡,不寫(xiě)作法)(2)在(1)的條件下,求證:△ABD∽△CBA.解析

(1)如圖.

(2)證明:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=

∠BAC,∵∠BAC=2∠C,∴∠BAD=∠C,∵∠ABD=∠CBA,∴△ABD∽△CBA.2.(新獨(dú)家原創(chuàng))如圖,AB∥CD,∠B=∠C=90°,AB=2,BC=8,CD

=4,P為BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若△ABP和△DCP相似,求BP的長(zhǎng).

解析設(shè)BP=x,則CP=BC-BP=8-x,①當(dāng)△ABP∽△DCP時(shí),

=

,即

=

,解得x=

,經(jīng)檢驗(yàn),x=

是原方程的根;②當(dāng)△ABP∽△PCD時(shí),

=

,即

=

,解得x=4±2

.經(jīng)檢驗(yàn),x=4±2

是原方程的根.綜上所述,當(dāng)BP=4±2

或

時(shí),△ABP和△DCP相似.能力提升全練3.(2024湖南懷化期末,10,★★☆)如圖,在正方形ABCD中,E是BC的中點(diǎn),F是CD上一點(diǎn),且CF=

CD.現(xiàn)有結(jié)論:①∠BAE=30°;②△ABE∽△ECF;③AE⊥EF;④△ADF∽△ECF.其中正確的結(jié)論為

(

)A.①②

B.②③

C.③④

D.②③④B解析∵四邊形ABCD是正方形,E是BC的中點(diǎn),∴AB=BC=2BE,∠B=∠C=90°,假設(shè)∠BAE=30°,則AE=2BE=AB,顯然AB≠

AE,故①錯(cuò)誤;∵CF=

CD,∴CF=

BC,∴BE=2CF,又∵AB=2CE,∴

=

,又∵∠B=∠C=90°,∴△ABE∽△ECF,故②正確;∵△ABE∽△ECF,∴∠BAE=∠CEF,∠AEB=∠EFC,∴∠AEB+∠CEF=90°,∴∠AEF=90°,∴AE⊥EF,故③正確;∵CF=

CD,∴DF=

CD=

AD,∴

=

,∵CF=

CE,∴

=

,∴

≠

,∴△ECF與△ADF不相似,故④錯(cuò)誤.故選B.4.(教材變式·P102T4)(2024陜西西安蓮湖期末,24,★★☆)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=7cm,現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿線(xiàn)段AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿線(xiàn)段CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),連接PQ.如果點(diǎn)P的速度是2cm/s,點(diǎn)Q的速度是1cm/s,它們同時(shí)出發(fā),當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)s.(1)當(dāng)t為多少時(shí),PQ的長(zhǎng)度等于

cm?(2)當(dāng)t為多少時(shí),以C,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?解析

(1)由題意得CP=AC-AP=(10-2t)cm,CQ=tcm,在Rt△PCQ中,根據(jù)勾股定理,得PQ2=CP2+CQ2,當(dāng)PQ=

cm時(shí),(

)2=(10-2t)2+t2,解得t=1或t=7,∵0<t≤5,∴t=1,故當(dāng)t為1時(shí),PQ的長(zhǎng)度等于

cm.(2)分兩種情況:①當(dāng)△CPQ∽△CAB時(shí),

=

,∴

=

,解得t=

;②當(dāng)△CPQ∽△CBA時(shí),

=

,∴

=

,解得t=

.綜上所述,當(dāng)t為

或

時(shí),以C,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.素養(yǎng)探究全練5.(推理能力)(手拉手模型)(2023湖北黃岡中考)【問(wèn)題呈現(xiàn)】△CAB和△CDE都是直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,

CB=mCA,CE=mCD,連接AD,BE,探究AD,BE的位置關(guān)系.【問(wèn)題探究】(1)如圖1,當(dāng)m=1時(shí),直接寫(xiě)出AD,BE的位置關(guān)系:

.(2)如圖2,當(dāng)m≠1時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,給出證明;

若不成立,說(shuō)明理由.【拓展應(yīng)用】(3)當(dāng)m=

,AB=4

,DE=4時(shí),將△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),使A,D,E三點(diǎn)恰好在同一直線(xiàn)上,求BE的長(zhǎng).

解析

(1)如圖,延長(zhǎng)BE交AD于N,

當(dāng)m=1時(shí),DC=CE,CB=CA,∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴∠DAC=∠CBE,∵∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°,∴∠CAB+∠ABE+∠DAC=90°,∴∠ANB=90°,∴AD⊥BE,故答案為AD⊥BE.(2)(1)中的結(jié)論成立,理由如下:如圖,延長(zhǎng)BE交AD于N,

∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE,又∵

=

=

,∴△DCA∽△ECB,∴∠DAC=∠CBE,∵∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°,∴∠CAB+∠ABE+∠DAC=90°,∴∠ANB=90°,∴AD⊥BE.(3)如圖,當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上時(shí),連接BE,

∵△DCA∽△ECB,∴

=

=m=

,∴BE=

AD=

(4+AE),∵AD⊥BE,∴AB2=AE2+BE2,∴112=AE2+3(4+AE)2,∴AE=2或AE=-8(舍去),∴BE=6

.當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AE上時(shí),連接BE,如圖,

∵△DCA∽△ECB,∴

=