高中數(shù)學(xué)選擇性必修二課件：4 3 2 第3課時(shí) 數(shù)列的綜合應(yīng)用(人教A版)

第3課時(shí)數(shù)列的綜合應(yīng)用第四章4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1.能夠把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)列問(wèn)題.2.進(jìn)一步熟悉通過(guò)建立數(shù)列模型并應(yīng)用數(shù)列模型解決實(shí)際問(wèn)題的

過(guò)程.學(xué)習(xí)目標(biāo)一位中國(guó)老太太與一位美國(guó)老太太在路上相遇.美國(guó)老太太說(shuō)，她住了一輩子的寬敞房子，也辛苦了一輩子，昨天剛還清了銀行的住房貸款，而中國(guó)老太太卻嘆息地說(shuō)，她三代同堂一輩子，昨天剛把買(mǎi)房的錢(qián)攢足.我國(guó)現(xiàn)代都市人的消費(fèi)觀念正在改變——花明天的錢(qián)圓今天的夢(mèng)對(duì)我們已不再陌生，貸款購(gòu)物，分期付款已深入我們的生活.但是面對(duì)商家和銀行提供的各種分期付款服務(wù)，究竟選擇什么樣的方式好呢？讓我們一起進(jìn)入今天的學(xué)習(xí)吧！導(dǎo)語(yǔ)隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用二、數(shù)列在平面幾何中的應(yīng)用內(nèi)容索引一、數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用例1

小華準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)一部售價(jià)為5000元的手機(jī)，采用分期付款方式，并在一年內(nèi)將款全部付清.商家提出的付款方式為：購(gòu)買(mǎi)2個(gè)月后第1次付款，再過(guò)2個(gè)月后第2次付款，…，購(gòu)買(mǎi)12個(gè)月后第6次付款，每次付款金額相同，約定月利率為0.8%，每月利息按復(fù)利計(jì)算，求小華每期付款金額是多少.(參考數(shù)據(jù)：1.00812≈1.10)解設(shè)小華每期付款x元，第k個(gè)月末付款后的欠款本利為Ak元，則：A2＝5000×(1＋0.008)2－x＝5000×1.0082－x，A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5000×1.0084－1.0082x－x，…，A12＝5000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，故小華每期付款金額約為883.5元.反思感悟(1)解應(yīng)用問(wèn)題的核心是建立數(shù)學(xué)模型.(2)一般步驟：審題、抓住數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型.(3)注意問(wèn)題是求什么(n，an，Sn).注意：①解答數(shù)列應(yīng)用題要注意步驟的規(guī)范性：設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列，解題完畢要作答.②在歸納或求通項(xiàng)公式時(shí)，一定要將項(xiàng)數(shù)n計(jì)算準(zhǔn)確.③在數(shù)列類(lèi)型不易分辨時(shí)，要注意歸納遞推關(guān)系.④在近似計(jì)算時(shí)，要注意應(yīng)用對(duì)數(shù)方法，且要看清題中對(duì)近似程度的要求.解設(shè)第n年的旅游業(yè)收入估計(jì)為an萬(wàn)元，則a1＝400，(2)試估計(jì)大約從第幾年開(kāi)始，旅游業(yè)的總收入超過(guò)8000萬(wàn)元.∴大約從第9年開(kāi)始，旅游業(yè)總收入超過(guò)8000萬(wàn)元.二、數(shù)列在平面幾何中的應(yīng)用例2

如圖所示，作邊長(zhǎng)為a的正三角形的內(nèi)切圓，在這個(gè)圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形，然后再作新三角形的內(nèi)切圓.如此下去，前n個(gè)內(nèi)切圓的面積和為_(kāi)__________.例2

如圖所示，作邊長(zhǎng)為a的正三角形的內(nèi)切圓，在這個(gè)圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形，然后再作新三角形的內(nèi)切圓.如此下去，前n個(gè)內(nèi)切圓的面積和為_(kāi)__________.解析設(shè)第n個(gè)正三角形的內(nèi)切圓的半徑為an，設(shè)前n個(gè)內(nèi)切圓的面積和為Sn，反思感悟此類(lèi)幾何問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列模型，利用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決，要注意步驟的規(guī)范性.跟蹤訓(xùn)練2

侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)則的蜘蛛網(wǎng)，如圖，它是由無(wú)數(shù)個(gè)正方形環(huán)繞而成，且每一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都恰好在它的外圍一層正方形四條邊的三等分點(diǎn)上，設(shè)外圍第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是m，有人說(shuō)，如此下去，蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度也是無(wú)限的增大，那么，試問(wèn)，侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度真的是無(wú)限長(zhǎng)的嗎？設(shè)侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度為Sn，則√解析由題意，從外到內(nèi)正方形的邊長(zhǎng)依次為a1＝m，1.知識(shí)清單：(1)數(shù)列在平面幾何中的應(yīng)用.(2)數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.2.方法歸納：構(gòu)造法、轉(zhuǎn)化法.3.常見(jiàn)誤區(qū)：在實(shí)際問(wèn)題中首項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)弄錯(cuò).課堂小結(jié)隨堂演練1.河南洛陽(yáng)龍門(mén)石窟是中國(guó)石刻藝術(shù)寶庫(kù)，現(xiàn)為世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.某洞窟的浮雕共7層，它們構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案.若從下往上計(jì)算，從第二層開(kāi)始，每層浮雕像個(gè)數(shù)依次是下層個(gè)數(shù)的2倍，該洞窟浮雕像總共有1016個(gè)，則第5層浮雕像的個(gè)數(shù)為A.64 B.128 C.224 D.5121234√解析設(shè)最下層的浮雕像的數(shù)量為a1，解得a1＝8，則an＝8×2n－1＝2n＋2(1≤n≤7，n∈N*)，所以a5＝27＝128.12342.公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處和阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.當(dāng)比賽開(kāi)始后，若阿基里斯跑了1000米，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他100米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)100米時(shí)，烏龜領(lǐng)先他10米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)10米時(shí)，烏龜仍然領(lǐng)先他1米……所以，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為10－2米時(shí)，烏龜爬行的總距離為√1234解析由題意知，烏龜每次爬行的距離構(gòu)成等比數(shù)列{an}，12343.小李年初向銀行貸款M萬(wàn)元用于購(gòu)房，購(gòu)房貸款的年利率為p，按復(fù)利計(jì)算，并從借款后次年年初開(kāi)始?xì)w還，分10次等額還清，每年1次，問(wèn)每年應(yīng)還√1234解析設(shè)每年應(yīng)還x萬(wàn)元，則x＋x(1＋p)＋x(1＋p)2＋…＋x(1＋p)9＝M(1＋p)10，選B.12344.將n個(gè)大小不同的正方體形狀的積木從上到下，從小到大堆成塔狀，平放在桌面上.上面一個(gè)正方體積木下底面的四個(gè)頂點(diǎn)正好是它下面一個(gè)正方體積木的上底面各邊的中點(diǎn)，按此規(guī)律不斷堆放.如果最下面的正方體積木的棱長(zhǎng)為1，且這些正方體積木露在外面的面積之和為Sn，則Sn＝______.1234解析最底層正方體的棱長(zhǎng)為1，則該正方體的除底面外的表面積為5×12＝5；1234則它們的表面積為課時(shí)對(duì)點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√解析森林中原有木材量為a，一年后為a(1＋25%)，兩年后為a(1＋25%)2，…，五年后為a(1＋25%)5.2.某地為了保持水土資源實(shí)行退耕還林，如果2018年退耕a萬(wàn)畝，以后每年比上一年增加10%，那么到2025年一共退耕A.10a(1.18－1)萬(wàn)畝 B.a(1.18－1)萬(wàn)畝C.10a(1.17－1)萬(wàn)畝 D.a(1.17－1)萬(wàn)畝123456789101112131415√16解析記2018年為第一年，第n年退耕an萬(wàn)畝，則{an}為等比數(shù)列，且a1＝a，公比q＝1＋10%，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列{an}的前8項(xiàng)和，12345678910111213141516所以到2025年一共退耕10a(1.18－1)萬(wàn)畝.123456789101112131415163.有一套叢書(shū)共6冊(cè)，計(jì)劃2018年出版第一冊(cè)，每?jī)赡瓿霭嬉粌?cè)，那么出版齊這套叢書(shū)的年份是A.2022 B.2024 C.2026 D.2028√12345678910111213141516解析因?yàn)?018年出版第一冊(cè)，每?jī)赡瓿霭嬉粌?cè)，所以2020年出版第二冊(cè)；2022年出版第三冊(cè)；2024年出版第四冊(cè)；2026年出版第五冊(cè)；2028年出版第六冊(cè)；即出版齊這套叢書(shū)的年份是2028年，故選D.123456789101112131415164.觀察一列算式：1

1,1

2,2

1,1

3,2

2,3

1,1

4,2

3,3

2,4

1，…，則式子3

5是第A.22項(xiàng) B.23項(xiàng) C.24項(xiàng) D.25項(xiàng)√解析兩數(shù)和為2的有1個(gè)，和為3的有2個(gè)，和為4的有3個(gè)，和為5的有4個(gè)，和為6的有5個(gè)，和為7的有6個(gè)，前面共有21個(gè)，3

5為和為8的第3項(xiàng)，故3

5是第24項(xiàng).故選C.123456789101112131415165.我國(guó)工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值從1997年到2017年的20年間翻了兩番，設(shè)平均每年的增長(zhǎng)率為x，則有A.(1＋x)19＝4 B.(1＋x)20＝3C.(1＋x)20＝2 D.(1＋x)20＝4√解析設(shè)1997年總產(chǎn)值為1，由于我國(guó)工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值從1997年到2017年的20年間翻了兩番，說(shuō)明2017年的工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值是1997年工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值的4倍，則(1＋x)20＝4.123456789101112131415166.一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圈，那么在前120個(gè)圈中的●的個(gè)數(shù)是A.12 B.13 C.14 D.15√12345678910111213141516解析從左到右，第一個(gè)●位于2的位置，第二個(gè)●位于2＋3＝5的位置，第三個(gè)●位于5＋4＝9的位置，….設(shè)第n個(gè)●位于an的位置，由規(guī)律可知an＝an－1＋n＋1，則an＝an－1＋n＋1＝an－2＋n＋n＋1＝…＝a1＋3＋4＋…＋n＋1所以前120個(gè)圈中的●個(gè)數(shù)為14，故選C.123456789101112131415167.某廠去年的產(chǎn)值記為1.若計(jì)劃在今后五年內(nèi)每年的產(chǎn)值比上年增長(zhǎng)10%，則從今年起到第五年這五年內(nèi)，這個(gè)廠的總產(chǎn)值約為_(kāi)____.(保留一位小數(shù)，取1.15≈1.6)6.612345678910111213141516解析由題意可知，第一年要比上年增長(zhǎng)10%，那么第一年產(chǎn)值就是1＋10%＝1.1，第二年又比第一年增加10%，所以第二年產(chǎn)值是1.12，…，以此類(lèi)推，第五年產(chǎn)值是1.15，123456789101112131415168.農(nóng)民收入由工資收入和其他收入兩部分構(gòu)成.2015年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為13150元(其中工資收入為7800元，其他收入為5350元).預(yù)計(jì)該地區(qū)自2016年起的6年內(nèi)，農(nóng)民的工資收入將以每年6%的年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，其他收入每年增加160元.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2021年該地區(qū)農(nóng)民人均收入約為_(kāi)______元.(其中1.064≈1.26，1.065≈1.34,1.066≈1.42)17386解析農(nóng)民人均收入來(lái)源于兩部分，一是工資收入為7800×(1＋6%)6＝7800×1.066≈11076(元),二是其他收入為5350＋6×160＝6310(元)，因此，2021年該地區(qū)農(nóng)民人均收入為11076＋6310＝17386(元).123456789101112131415169.如圖，將數(shù)列{2n}(n∈N*)依次從左到右，從上到下排成三角形數(shù)陣，其中第n行有n個(gè)數(shù).

2

……第1行4

6

……第2行8

10

12

……第3行14

16

18

20

……第4行…

…(1)求第5行的第2個(gè)數(shù)；12345678910111213141516解記an＝2n，由數(shù)陣可知，第5行的第2個(gè)數(shù)為a12.因?yàn)閍n＝2n，所以第5行的第2個(gè)數(shù)為24.12345678910111213141516(2)問(wèn)數(shù)32在第幾行第幾個(gè)；解因?yàn)閍n＝32，所以n＝16.由數(shù)陣可知，32在第6行第1個(gè)數(shù).12345678910111213141516解由數(shù)陣可知a1,1＝2，a2,2＝6，a3,3＝12，a4,4＝20，a5,5＝30，a6,6＝42.1234567891011121314151610.首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會(huì)11月17日在南昌召開(kāi)，本屆大會(huì)的主題為“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”.某企業(yè)在國(guó)家科研部門(mén)的支持下，投資810萬(wàn)元生產(chǎn)并經(jīng)營(yíng)共享單車(chē)，第一年維護(hù)費(fèi)為10萬(wàn)元，以后每年增加20萬(wàn)元，每年收入租金300萬(wàn)元.(1)若扣除投資和各種維護(hù)費(fèi)，則從第幾年開(kāi)始獲取純利潤(rùn)？12345678910111213141516解設(shè)第n年獲取利潤(rùn)為y萬(wàn)元，n年共收入租金300n萬(wàn)元，付出維護(hù)費(fèi)用構(gòu)成一個(gè)以10為首項(xiàng)，20為公差的等差數(shù)列，因此利潤(rùn)y＝300n－(810＋10n2)，令y>0，解得3<n<27.所以從第4年開(kāi)始獲取純利潤(rùn).12345678910111213141516(2)若干年后企業(yè)為了投資其他項(xiàng)目，有兩種處理方案：①純利潤(rùn)總和最大時(shí)，以100萬(wàn)元轉(zhuǎn)讓經(jīng)營(yíng)權(quán)；②年平均利潤(rùn)最大時(shí)以460萬(wàn)元轉(zhuǎn)讓經(jīng)營(yíng)權(quán)，問(wèn)哪種方案更優(yōu)？12345678910111213141516解方案①：純利潤(rùn)y＝300n－(810＋10n2)＝－10(n－15)2＋1440，所以15年后共獲利潤(rùn)：1440＋100＝1540(萬(wàn)元).所以9年后共獲利潤(rùn)：120×9＋460＝1540(萬(wàn)元).綜上，兩種方案獲利一樣多，而方案②時(shí)間比較短，所以選擇方案②.123456789101112131415綜合運(yùn)用1611.《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問(wèn)題，“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱(chēng)遞減的比例為“衰分比”.如：已知A，B，C三人分配獎(jiǎng)金的衰分比為20%，若A分得資金1000元，則B，C所分得資金分別為800元和640元.某科研所四位技術(shù)人員甲、乙、丙、丁攻關(guān)成功，共獲得單位獎(jiǎng)勵(lì)68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配資金，且甲與丙共獲得資金36200元，則“衰分比”與丁所獲得的資金分別為A.20%,14580元 B.10%,14580元C.20%,10800元 D.10%,10800元√12345678910111213141516解析設(shè)“衰分比”為q，甲獲得的獎(jiǎng)金為a1，則a1＋a1(1－q)＋a1(1－q)2＋a1(1－q)3＝68780.a1＋a1(1－q)2＝36200，解得q＝0.1，a1＝20000，故a1(1－q)3＝14580.1234567891011121314151612.2016年崇明區(qū)政府投資8千萬(wàn)元啟動(dòng)休閑體育新鄉(xiāng)村旅游項(xiàng)目.規(guī)劃從2017年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資2千萬(wàn)元用于此項(xiàng)目.2016年該項(xiàng)目的凈收入為5百萬(wàn)元，并預(yù)測(cè)在相當(dāng)長(zhǎng)的年份里，每年的凈收入均在上一年的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)50%.記2016年為第1年，f(n)為第1年至此后第n(n∈N*)年的累計(jì)利潤(rùn)(注：含第n年，累計(jì)利潤(rùn)＝累計(jì)凈收入－累計(jì)投入，單位：千萬(wàn)元)，且當(dāng)f(n)為正值時(shí)，認(rèn)為該項(xiàng)目贏利.根據(jù)預(yù)測(cè)，該項(xiàng)目將從哪一年開(kāi)始并持續(xù)贏利A.2020 B.2021 C.2022 D.2023√12345678910111213141516解析由題意知，第1年至此后第n(n∈N*)年的累計(jì)投入為8＋2(n－1)＝(2n＋6)千萬(wàn)元，12345678910111213141516∵f(n＋1)－f(n)∴當(dāng)n≤3時(shí)，f(n＋1)－f(n)＜0，故當(dāng)n<4時(shí)，f(n)單調(diào)遞減；當(dāng)n≥4時(shí)，f(n＋1)－f(n)＞0，故當(dāng)n≥4時(shí)，f(n)單調(diào)遞增.∴該項(xiàng)目將從第8年開(kāi)始并持續(xù)贏利.該項(xiàng)目將從2023年開(kāi)始并持續(xù)贏利.13.某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計(jì)劃改建十個(gè)實(shí)驗(yàn)室，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)和設(shè)備費(fèi)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)都一樣，設(shè)備費(fèi)從第一到第十實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第五實(shí)驗(yàn)室比第二實(shí)驗(yàn)室的設(shè)備費(fèi)用高42萬(wàn)元，第七實(shí)驗(yàn)室比第四實(shí)驗(yàn)室的設(shè)備費(fèi)用高168萬(wàn)元，并要求每個(gè)實(shí)驗(yàn)室改建費(fèi)用不能超過(guò)1700萬(wàn)元.則該研究所改建這十個(gè)實(shí)驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多需要A.3233萬(wàn)元 B.4706萬(wàn)元C.4709萬(wàn)元 D.4808萬(wàn)元12345678910111213141516√解析設(shè)每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)用為x萬(wàn)元，設(shè)備費(fèi)為an萬(wàn)元(n＝1，2，3，…，10)，12345678910111213141516故a10＝a1q9＝1536.依題意x＋1536≤1700，即x≤164.1234567891011121314151614.在下列表格中，每格填上一個(gè)數(shù)字后，使每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，則a＋b＋c的值為1

2

0.5

1

a

b

cA.1 B.2 C.3 D.4√12345678910111213141516拓廣探究1234567891011121314151615.程先生買(mǎi)了一套總價(jià)為80萬(wàn)元的住房，首付30萬(wàn)元，其余50萬(wàn)元向銀行申請(qǐng)貸款，貸款月利率為0.5%，從貸款后的第一個(gè)月后開(kāi)始還款，每月還款數(shù)額相等，30年還清.問(wèn)程先生每月應(yīng)還款________元(精確到0.01元).(參考數(shù)據(jù)1.005360≈6.0226)(注：如果上個(gè)月欠銀行貸款a元，則一個(gè)月后，程先生應(yīng)還給銀行固定數(shù)額x元，此時(shí)貸款余額為[a(1＋0.5)%－x]元)2997.7512345678910111213141516解析設(shè)程先生在第n個(gè)月時(shí)還欠銀行貸款an萬(wàn)元，每月固定還款x萬(wàn)元，則an＝an－1(1＋0.5%)－x，a0＝50，an＋k＝1.005(an－1＋k)，an＝1.005an－1＋0.005k.所以k＝－200x，{an－200x}是公比為1.005的等比數(shù)列，即an－200x＝(a0－200x)·1.005n.由a360＝0得0－200x＝(50－200x)·1.005360.利用計(jì)算器可以求得x＝0.299775，即每月還款2997.75元.123