高中數(shù)學(xué)選擇性必修二課件：5 3 2 第2課時(shí) 函數(shù)的最大(小)值 (1)(人教A版)

第五章

5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值第2課時(shí)函數(shù)的最大(小)值學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)最值的概念，了解其與函數(shù)極值的區(qū)別與聯(lián)系.2.會(huì)求某閉區(qū)間上函數(shù)的最值.內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)最值的定義1.一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條

的曲線，那么它必有最大值和最小值.2.對(duì)于函數(shù)f(x)，給定區(qū)間I，若對(duì)任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)

f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值；若對(duì)任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)

f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值.連續(xù)不斷≥≤思考如圖所示，觀察區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象，找出函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值、最小值.若將區(qū)間改為(a，b)，f(x)在(a，b)上還有最值嗎？答案函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x3).若區(qū)間改為(a，b)，則f(x)有最小值f(x3)，無最大值.知識(shí)點(diǎn)二求函數(shù)的最大值與最小值的步驟函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的

；(2)將函數(shù)f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值

比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.極值f(a)，f(b)1.函數(shù)的最大值不一定是函數(shù)的極大值.(

)2.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得.(

)3.有極值的函數(shù)一定有最值，有最值的函數(shù)不一定有極值.(

)4.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上一定有最值，但不一定有極值.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√××√2題型探究PARTTWO2題型探究PARTTWO一、不含參函數(shù)的最值問題例1

求下列函數(shù)的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；解因?yàn)閒(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如表所示.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如表所示.所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有最小值f(0)＝0；當(dāng)x＝2π時(shí)，f(x)有最大值f(2π)＝π.反思感悟求函數(shù)最值的步驟(1)求函數(shù)的定義域.(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)列出關(guān)于x，f(x)，f′(x)的變化表.(4)求極值、端點(diǎn)處的函數(shù)值，確定最值.注意：不要忽略將所求極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較.反思感悟求函數(shù)最值的步驟(1)求函數(shù)的定義域.(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)列出關(guān)于x，f(x)，f′(x)的變化表.(4)求極值、端點(diǎn)處的函數(shù)值，確定最值.注意：不要忽略將所求極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較.跟蹤訓(xùn)練1

求下列函數(shù)的最值：當(dāng)f′(x)＝0時(shí)，x＝2，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如表所示.∴f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞增，在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，(2)f(x)＝x2－x－lnx，x∈[1,3].∵x∈[1,3]，∴f′(x)≥0在[1,3]上恒成立.∴f(x)在[1,3]上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)min＝f(1)＝0，當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)max＝f(3)＝6－ln3.二、含參函數(shù)的最值問題例2

已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2－a2x.求函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上的最小值.解f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，①當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在[0，a)上單調(diào)遞減，在[a，＋∞)上單調(diào)遞增.所以f(x)min＝f(a)＝－a3.②當(dāng)a＝0時(shí)，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(0)＝0.綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的最小值為－a3；當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)的最小值為0；延伸探究當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)f(x)＝x3－ax2－a2x在[－a,2a]上的最值.解f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)，所以f(x)max＝f(2a)＝2a3.f(x)min＝f(－a)＝f(a)＝－a3.反思感悟含參數(shù)的函數(shù)最值問題的兩類情況(1)能根據(jù)條件求出參數(shù)，從而化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題.(2)對(duì)于不能求出參數(shù)值的問題，則要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，其實(shí)質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)大于0、等于0、小于0三種情況.若導(dǎo)函數(shù)恒不等于0，則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最值在端點(diǎn)處取得；若導(dǎo)函數(shù)可能等于0，則求出極值點(diǎn)后求極值，再與端點(diǎn)值比較后確定最值.解f′(x)＝x2－2ax.令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a.令g(a)＝f(x)max，①當(dāng)2a

≤0，即a≤0時(shí)，f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，②當(dāng)2a≥2，即a≥1時(shí)，f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減，從而g(a)＝f(x)max＝f(0)＝0.③當(dāng)0<2a<2，即0<a<1時(shí)，f(x)在[0,2a]上單調(diào)遞減，在[2a,2]上單調(diào)遞增，三、由函數(shù)的最值求參數(shù)問題例3

已知函數(shù)f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值為3，最小值為－29，求a，b的值.解由題設(shè)知a≠0，否則f(x)＝b為常數(shù)函數(shù)，與題設(shè)矛盾.求導(dǎo)得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).①當(dāng)a>0，且當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)

＋0－

f(x)－7a＋b↗b↘－16a＋b由表可知，當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得極大值b，也就是函數(shù)在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.②當(dāng)a<0時(shí)，同理可得，當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得極小值b，也就是函數(shù)在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.綜上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.反思感悟已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(或范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn)，探索最值點(diǎn)，根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問題.跟蹤訓(xùn)練3

已知函數(shù)h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在區(qū)間[k,2]上的最大值是28，求k的取值范圍.解∵h(yuǎn)(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，當(dāng)x變化時(shí)，h′(x)，h(x)的變化情況如下表：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)h′(x)＋0－0＋h(x)↗28↘－4↗∴當(dāng)x＝－3時(shí)，h(x)取極大值28；當(dāng)x＝1時(shí)，h(x)取極小值－4.而h(2)＝3<h(－3)＝28，∴如果h(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28，則k≤－3.所以k的取值范圍為(－∞，－3].四、導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用例4

請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒.點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形的斜邊的兩個(gè)端點(diǎn).設(shè)AE＝FB＝x(cm).某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值.令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.∵當(dāng)0<x<20時(shí)，V′(x)>0；當(dāng)20<x<30時(shí)，V′(x)<0.∴V(x)在x＝20時(shí)取極大值也是唯一的極值，故為最大值.反思感悟解決最優(yōu)問題應(yīng)從以下幾個(gè)方面入手(1)設(shè)出變量，找出函數(shù)關(guān)系式，確定定義域.(2)在實(shí)際應(yīng)用問題中，若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則它就是最值點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練4

為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元.設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；解由題設(shè)可知，隔熱層厚度為xcm，再由C(0)＝8，而建造費(fèi)用為C1(x)＝6x.最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值.當(dāng)0<x<5時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)5<x<10時(shí)，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為即當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，且最小值為70萬元.3隨堂演練PARTTHREE1.下列結(jié)論正確的是A.若f(x)在[a，b]上有極大值，則極大值一定是[a，b]上的最大值B.若f(x)在[a，b]上有極小值，則極小值一定是[a，b]上的最小值C.若f(x)在[a，b]上有極大值，則極小值一定是在x＝a和x＝b處取得D.若f(x)在[a，b]上連續(xù)，則f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值√12345解析函數(shù)f(x)在[a，b]上的極值不一定是最值，最值也不一定是極值，極值一定不會(huì)在端點(diǎn)處取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值.12345所以y的最大值為ymax＝π－sinπ＝π.√3.函數(shù)f(x)＝x3－3x(|x|＜1)A.有最值，但無極值

B.有最值，也有極值C.既無最值，也無極值

D.無最值，但有極值12345√解析f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，無最大值和最小值，也無極值.4.要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm，要使其體積最大，則高應(yīng)為12345√解析設(shè)圓錐的高為hcm,0<h<20，123455.已知函數(shù)f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，則a的值為___，

f(x)在[－2,2]上的最大值為_____.312345312345解析f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x－2(－2,0)0(0,2)2f′(x)

＋0－0f(x)－40＋a↗極大值a↘－8＋a所以當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最大值3.1.知識(shí)清單：(1)函數(shù)最值的定義.(2)求函數(shù)最值的步驟.(3)函數(shù)最值的應(yīng)用.2.方法歸納：方程思想、分類討論.3.常見誤區(qū)：忽視函數(shù)的最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR1.設(shè)M，m分別是函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，則f′(x)A.等于0 B.小于0C.等于1 D.不確定基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√解析因?yàn)镸＝m，所以f(x)為常數(shù)函數(shù)，故f′(x)＝0，故選A.2.已知函數(shù)f(x)，g(x)均為[a，b]上的可導(dǎo)函數(shù)，在[a，b]上連續(xù)且f′(x)<g′(x)，則f(x)－g(x)的最大值為A.f(a)－g(a) B.f(b)－g(b)C.f(a)－g(b) D.f(b)－g(a)√12345678910111213141516解析令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)<g′(x)，∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，∴F(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a).3.函數(shù)f(x)＝x3－3x＋1在區(qū)間[－3,0]上的最大值和最小值分別是A.1，－1 B.1，－17 C.3，－17 D.9，－1912345678910111213141516√解析f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1.又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝－1＋3＋1＝3,1?[－3,0].所以函數(shù)f(x)的最大值為3，最小值為－17.4.某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購進(jìn)一批商品.若該商品零售價(jià)定為P元，銷量為Q，銷量Q(單位：件)與零售價(jià)P(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8300－170P－P2，則最大毛利潤(rùn)為(毛利潤(rùn)＝銷售收入－進(jìn)貨支出)A.30元 B.60元

C.28000元 D.23000元12345678910111213141516√12345678910111213141516解析設(shè)毛利潤(rùn)為L(zhǎng)(P).則L(P)＝PQ－20Q＝(8300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000，所以L′(P)＝－3P2－300P＋11700.令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去).此時(shí)，L(30)＝23000.根據(jù)實(shí)際問題的意義知，L(30)是最大值，即零售價(jià)定為每件30元時(shí)，最大毛利潤(rùn)為23000元.5.(多選)函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的值可以為12345678910111213141516√解析∵f′(x)＝3x2－3a，且f′(x)＝0有解，∴a＝x2.又∵x∈(0,1)，∴0<a<1.√解析f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去).又因?yàn)閤∈[0,1)時(shí)，f′(x)<0，x∈(1,3]時(shí)，f′(x)>0，所以當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極小值f(1)＝－2.又f(0)＝0，f(3)＝18，所以m＝18，n＝－2.123456789101112131415166.若函數(shù)f(x)＝x3－3x在區(qū)間[0,3]上的最大值、最小值分別為m，n，則m＝_____，n＝_____.18

－21234567891011121314151612345678910111213141516f(x)＝x3－2x2＋1解析f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a)，令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝a，當(dāng)x∈[－1,0]時(shí)，f′(x)≥0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(0)＝b＝1，12345678910111213141516所以f(x)＝x3－2x2＋1.9.求下列函數(shù)的最值：12345678910111213141516解f′(x)＝cosx－sinx.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516化簡(jiǎn)為x2＋x－2＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝1.當(dāng)0≤x<1時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)1<x≤2時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，又f(0)＝0，f(2)＝ln3－1>0，f(1)>f(2).123456789101112131415161234567891011121314151610.已知a為常數(shù)，求函數(shù)f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值.解f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a).若a≤0，則f′(x)≤0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有最大值f(0)＝0.1234567891011121314151612345678910111213141516當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.綜上可知，當(dāng)a≤0，x＝0時(shí)，f(x)有最大值0，當(dāng)a≥1，x＝1時(shí)，f(x)有最大值3a－1.11.已知函數(shù)f(x)＝ex－x＋a，若f(x)>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(－1，＋∞) B.(－∞，－1)

C.[－1，＋∞) D.(－∞，－1]綜合運(yùn)用12345678910111213141516√解析f′(x)＝ex－1，令f′(x)>0，解得x>0，令f′(x)<0，解得x<0，故f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)min＝f(0)＝1＋a.若f(x)>0恒成立，則1＋a>0，解得a>－1，故選A.1234567891011121314151612.下列關(guān)于函數(shù)f(x)＝(2x－x2)ex的判斷正確的是①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}；③f(x)沒有最小值，也沒有最大值.A.①③ B.①②③ C.② D.①②√解析由f(x)>0得0<x<2，故①正確.f′(x)＝(2－x2)ex，12345678910111213141516結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)f(x)有最大值無最小值，故③不正確.123456789101112131415162－2令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.∴f(x)max＝2，f(x)min＝－2.1234567891011121314151614.一個(gè)帳篷，它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐(如圖所示).當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心O1的距離為_____m時(shí)，帳篷的體積最大.212345678910111213141516解析設(shè)OO1＝xm，則1<x<4.令V′(x)＝0，解得x＝－2(不合題意，舍去)或x＝2.當(dāng)1<x<2時(shí)，V′(x)>0，V(x)單調(diào)遞增；當(dāng)2<x<4時(shí)，V′(x)<0，V(x)單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)x＝2時(shí)，V(x)最大.15.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1(a>1)，若對(duì)于任意的x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，則實(shí)數(shù)a的值為___.拓廣探究123456789101112131415164解析由題意得，f′(x)＝3ax2－3，1234567891011121314151612345678910111213141516由f(－1)≥0，可得a≤4，綜上可得a＝4.12345678910111213141516(1)當(dāng)a<0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；∵a<0，∴f′(x)>0，故函數(shù)在其定義域(0，＋∞)上單調(diào)遞增.∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間.12345678910111213141516解當(dāng)x∈[1