人教版八年級數(shù)學(xué)下冊?？键c微專題提分精練專題11勾股定理與構(gòu)造圖形解決問題(原卷版+解析)

專題11勾股定理與構(gòu)造圖形解決問題【例題講解】在學(xué)習(xí)利用旋轉(zhuǎn)解決圖形問題時，老師提出如下問題：（1）如圖1，點是正方形內(nèi)一點，，，，你能求出的度數(shù)嗎？小明通過觀察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，可求出的度數(shù)；思路二：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，可求出的度數(shù)；請參照小明的思路，任選一種寫出完整的解答過程；（2）如圖2，若點是等邊三角形內(nèi)一點，若，則線段，，滿足怎樣的等量關(guān)系？請參考小明上述解決問題的方法進行探究，直接寫出線段，，滿足的等量關(guān)系．解：（1）思路一：如圖1，將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△，連接，則∴，根據(jù)勾股定理得，，∵AP=1，∴，∴是直角三角形，且，∴．思路二：將△PAB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到，連接，∴∴,∵∴∴，∴∴；（2），理由如下：如圖，由等邊可得：把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到則為等邊三角形，【綜合解答】1．如圖，點是等邊三角形內(nèi)一點，且，，，則（

）A． B． C． D．2．如圖，，，，點、為邊上的兩點，且，連接、，則下列結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④，其中正確的有（

）A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④3．如圖，是等邊三角形內(nèi)一點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，連接．若，，，則四邊形的面積為___________．4．【問題背景】學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在專題學(xué)習(xí)中遇到一個幾何問題：如圖1，已知等邊，D是外一點，連接、、，若，，，求的長．該小組在研究如圖2中中得到啟示，于是作出如圖3，從而獲得了以下的解題思路，請你幫忙完善解題過程．解：如圖3所示，以為邊作等邊，連接．∵，是等邊三角形，∴，，．∴，∴，∴，∴，∵，，∴．∵，∴．【嘗試應(yīng)用】如圖4，在中，，，，以為直角邊，A為直角頂點作等腰直角，求的長．【拓展創(chuàng)新】如圖5，在中，，，以為邊向往外作等腰，，，連接，求的最大值．5．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．【操作】（1）將△ABD繞點D沿順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，在圖中畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形．【探究】（2）結(jié)合所畫圖形探究BD與AB，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【應(yīng)用】（3）若AB=6，BC=8，試求四邊形ABCD的面積．6．綜合與實踐旋轉(zhuǎn)是初中學(xué)習(xí)的一種全等變換，通過旋轉(zhuǎn)可以將已知條件中“分散”的條件相對地“集中”在一起，構(gòu)成新的聯(lián)系，從而解決問題．同時，旋轉(zhuǎn)時圖形中出現(xiàn)“有公共端點的線段相等”的條件，所以在等腰（或等邊）三角形、正方形中常進行旋轉(zhuǎn)變換．(1)正方形中的“旋轉(zhuǎn)"：如圖①，點E、點F分別是正方形的邊DC、BC上的點，連接AF、FE、AE，若，則BF、DE、EF之間的數(shù)量關(guān)系為______．問題解決：將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到，則點G、點B、點F三點______，可證明______，從而得出結(jié)論．請你完成上述全等關(guān)系的證明．(2)如圖②，P為正方形ABCD內(nèi)一點，且，，，請你確定的度數(shù)：＝______．小杰同學(xué)的思路是：設(shè)法將PA、PB、PC相對集中，于是將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接PE，確定與的形狀分別為：______，問題得以解決．(3)等邊三角形中的“旋轉(zhuǎn)”：請你參考小杰同學(xué)的思路，解決下面問題：如圖③，P點是等邊三角形ABC內(nèi)一點，若，，請你直接寫出：以線段PA、PB、PC的長度為邊長的三角形的各內(nèi)角的度數(shù)分別為______．7．（1）閱讀理解利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學(xué)問題是一種常用的方法．如圖1，點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，PA＝1，，PC＝2．求∠BPC的度數(shù)．為利用已知條件，不妨把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得，連接．利用這種變換可以求∠BPC的度數(shù)，請寫出推理過程；（2）類比遷移如圖2，點P是等腰Rt△ABC內(nèi)一點，∠ACB＝90°，PA＝2，，PC＝1．求∠APC的度數(shù)．8．在學(xué)習(xí)利用旋轉(zhuǎn)解決圖形問題時，老師提出如下問題：（1）如圖1，點是正方形內(nèi)一點，，，，你能求出的度數(shù)嗎？小明通過觀察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，可求出的度數(shù)；思路二：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，可求出的度數(shù)；請參照小明的思路，任選一種寫出完整的解答過程；（2）如圖2，若點是等邊三角形內(nèi)一點，若，則線段，，滿足怎樣的等量關(guān)系？請參考小明上述解決問題的方法進行探究，直接寫出線段，，滿足的等量關(guān)系．9．如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB中點，DE、DF分別交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．（1）如果CA=CB，求證：AE2+BF2=EF2；（2）如圖2，如果CA＜CB，（1）中結(jié)論AE2+BF2=EF2還能成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．10．已知點是斜邊上的中點，，．(1)若、分別在、邊上，①求證：；②若，，則________；(2)若、分別在、邊延長線上，結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．11．（1）如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90后，得到△AFC，連接DF．試說明：①△AED≌△AFD；②；（2）如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D是斜邊BC上一點，BD=5，BC=17，求DE的長．12．類比探究：（1）如圖1，等邊△ABC內(nèi)有一點P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大小；（提示：將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處）（2）如圖2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F為BC上的點，且∠EAF＝45°．求證：EF2＝BE2+FC2；（3）如圖3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，點O為△ABC內(nèi)一點，連接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，若AC＝1，求OA+OB+OC的值．13．如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB=2，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x.(1)用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長；(2)求AC+CE的值最??；(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論,請構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值．專題11勾股定理與構(gòu)造圖形解決問題【例題講解】在學(xué)習(xí)利用旋轉(zhuǎn)解決圖形問題時，老師提出如下問題：（1）如圖1，點是正方形內(nèi)一點，，，，你能求出的度數(shù)嗎？小明通過觀察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，可求出的度數(shù)；思路二：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，可求出的度數(shù)；請參照小明的思路，任選一種寫出完整的解答過程；（2）如圖2，若點是等邊三角形內(nèi)一點，若，則線段，，滿足怎樣的等量關(guān)系？請參考小明上述解決問題的方法進行探究，直接寫出線段，，滿足的等量關(guān)系．解：（1）思路一：如圖1，將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△，連接，則∴，根據(jù)勾股定理得，，∵AP=1，∴，∴是直角三角形，且，∴．思路二：將△PAB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到，連接，∴∴,∵∴∴，∴∴；（2），理由如下：如圖，由等邊可得：把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到則為等邊三角形，【綜合解答】1．如圖，點是等邊三角形內(nèi)一點，且，，，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：將△BCP繞B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，點C和A重合，P到P′，連接PP′，得出等邊三角形PBP′，求出∠BPP′=60°，推出直角三角形APP′，求出∠APP′，即可求出；【詳解】解：將繞逆時針旋轉(zhuǎn)，點和重合，到，連接，∵，，∴是等邊三角形，∵，∵，，，∴，∴，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2．如圖，，，，點、為邊上的兩點，且，連接、，則下列結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④，其中正確的有（

）A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④答案：C【解析】分析：根據(jù)SAS得△AED≌△AEF，證明△ABF≌△ACD，得出BF＝CD；由△AED≌△AEF，得到DE＝EF；證明∠EBF＝90°，即可解決問題．【詳解】解：∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=45°=∠DAE，在△AED與△AEF中，AE=AE，∠EAF=∠EAD，AD=AF，∴△AED≌△AEF（SAS），故①正確；∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAF=∠DAC；在△ABF與△ACD中，AB=AC，∠FAB=∠DAC，AF=AD，∴△ABF≌△ACD（SAS），∴BF=CD；∠ABF=∠ACD=45°，∵∠EBF＝∠ABC+∠ABF=90°，D,E點在BC邊上位置不固定，故不能得到BE=CD,所以是直角三角形，②錯誤；∵△AED≌△AEF，∴DE＝EF；∴BE2＋BF2＝EF2，即BE2＋DC2＝DE2，③正確；連接FD，∵∠FBD=90°，∠DAF=90°，∴BF2＋BD2＝FD2，AF2＋AD2＝FD2，∴BF2＋BD2＝AF2＋AD2，又∵BF=DC，AD=AF∴，故④正確；∴正確的有：①③④故答案為：C．【點睛】該題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．3．如圖，是等邊三角形內(nèi)一點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，連接．若，，，則四邊形的面積為___________．答案：6+4【解析】分析：連結(jié)PP′，如圖，由等邊三角形的性質(zhì)得到∠BAC=60°，AB=AC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CP=CP′=4，∠PCP′=60°，得到△PCP′為等邊三角形，求得PP′=PC=4，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP′=PB=5，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△APP′為直角三角形，∠APP′=90°，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】連結(jié)PP′，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC，∵線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CP'，∴CP=CP′=4，∠PCP′=60°，∴△PCP′為等邊三角形，∴PP′=PC=4，∵∠ACP+∠BCP=60°，∠ACP+∠ACP′=60°，∴∠BCP=∠ACP′，且AC=BC，CP=CP′∴△BCP≌△ACP′（SAS），∴AP′=PB=5，在△APP′中，∵PP′2=42=16，AP2=32=9，AP′2=52=25，∴PP′2+AP2=AP′2，∴△APP′為直角三角形，∠APP′=90°，∴S四邊形APCP′=S△APP′+S△PCP′=AP×PP′+×PP′2=6+4，故答案為：6+4．【點睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理以及逆定理，證明△APQ為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題4．【問題背景】學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在專題學(xué)習(xí)中遇到一個幾何問題：如圖1，已知等邊，D是外一點，連接、、，若，，，求的長．該小組在研究如圖2中中得到啟示，于是作出如圖3，從而獲得了以下的解題思路，請你幫忙完善解題過程．解：如圖3所示，以為邊作等邊，連接．∵，是等邊三角形，∴，，．∴，∴，∴，∴，∵，，∴．∵，∴．【嘗試應(yīng)用】如圖4，在中，，，，以為直角邊，A為直角頂點作等腰直角，求的長．【拓展創(chuàng)新】如圖5，在中，，，以為邊向往外作等腰，，，連接，求的最大值．答案：[問題背景]；；；[嘗試應(yīng)用]；[拓展創(chuàng)新]【解析】分析：[問題背景]根據(jù)等式的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理填空即可；[嘗試應(yīng)用]以為直角邊，A為直角頂點作等腰，連接，進而證明，根據(jù)勾股定理求得，即可求得的長；[拓展創(chuàng)新]以為腰，作等腰，，，過點作，同理證明，進而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得，根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定最大值時，三點共線，進而即可求得的最大值．【詳解】[問題背景]解：如圖3所示，以為邊作等邊，連接．∵，是等邊三角形，∴，，．∴，∴，∴，∴，∵，，∴．∵，∴．[嘗試應(yīng)用]解：如圖4所示，以為直角邊，A為直角頂點作等腰，連接．∵，是等腰直角三角形，∴，，．∴，∴，∴，∴，∵，，∴．∵，

∴[拓展創(chuàng)新]解：如圖，以為腰，作等腰，，，過點作，，即∵，是等腰三角形，則當(dāng)取得最大值時，取得最大當(dāng)三點共線時，取得最大值，如圖，【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形全等的性質(zhì)與判定，勾股定理，線段最值問題，從題干部分理解作等腰三角形輔助線是解題的關(guān)鍵．5．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．【操作】（1）將△ABD繞點D沿順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，在圖中畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形．【探究】（2）結(jié)合所畫圖形探究BD與AB，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【應(yīng)用】（3）若AB=6，BC=8，試求四邊形ABCD的面積．答案：（1）見解析；（2）BD2=AB2+BC2，見解析；（3）【解析】分析：（1）分別利用旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)畫出A，B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點，而D為旋轉(zhuǎn)中心與自身對應(yīng)，然后順次連接三對應(yīng)點得到答案．（2）連接BE，利用旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)證明△DBE是等邊三角形，再證明為直角三角形，利用等量代換可以得到答案．（3）利用（2）的結(jié)論求BD，再求等邊三角形DBE的面積，直角三角形BEC的面積，利用圖形旋轉(zhuǎn)前后面積不變，把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為等邊三角形DBE的面積減去直角三角形BEC的面積即可．【詳解】（1）如圖，利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作，然后在角的邊上截取，得A的對應(yīng)點C，B的對應(yīng)點E，順次連接D，C，E得到旋轉(zhuǎn)后的．【探究】（2）BD與AB，BC數(shù)量關(guān)系：BD2=AB2+BC2理由：連接BE由旋轉(zhuǎn)可知∠DCE=∠A,CE=ABDE=DB，∠BDE=60°，∴△DBE是等邊三角形∴BE=DB∵∠ADC+∠ABC=60°+30°=90°∴∠A+∠DCB=360°-90°=270°∠DCE+∠DCB=270°∴∠ECB=90°

∴BC2+CE2=BE2∴BD2=AB2+BC2【應(yīng)用】（3）因為BD2=AB2+BC2AB=6，BC=8所以BD=10，又△DBE是等邊三角形所以，因為∠ECB=90°所以△BCE的面積為24，由旋轉(zhuǎn)可知:S四邊形ABCD=S△DBE-S△BCE=【點睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)對稱的實際操作，及旋轉(zhuǎn)對稱的性質(zhì)的靈活應(yīng)用，掌握旋轉(zhuǎn)對稱的性質(zhì)是關(guān)鍵．6．綜合與實踐旋轉(zhuǎn)是初中學(xué)習(xí)的一種全等變換，通過旋轉(zhuǎn)可以將已知條件中“分散”的條件相對地“集中”在一起，構(gòu)成新的聯(lián)系，從而解決問題．同時，旋轉(zhuǎn)時圖形中出現(xiàn)“有公共端點的線段相等”的條件，所以在等腰（或等邊）三角形、正方形中常進行旋轉(zhuǎn)變換．(1)正方形中的“旋轉(zhuǎn)"：如圖①，點E、點F分別是正方形的邊DC、BC上的點，連接AF、FE、AE，若，則BF、DE、EF之間的數(shù)量關(guān)系為______．問題解決：將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到，則點G、點B、點F三點______，可證明______，從而得出結(jié)論．請你完成上述全等關(guān)系的證明．(2)如圖②，P為正方形ABCD內(nèi)一點，且，，，請你確定的度數(shù)：＝______．小杰同學(xué)的思路是：設(shè)法將PA、PB、PC相對集中，于是將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接PE，確定與的形狀分別為：______，問題得以解決．(3)等邊三角形中的“旋轉(zhuǎn)”：請你參考小杰同學(xué)的思路，解決下面問題：如圖③，P點是等邊三角形ABC內(nèi)一點，若，，請你直接寫出：以線段PA、PB、PC的長度為邊長的三角形的各內(nèi)角的度數(shù)分別為______．答案：(1)BF+DE=EF；共線；；證明見解析(2)；等腰直角三角形、直角三角形(3)55°、60°、65°【解析】分析：（1）繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到，可得點G、點B、點F三點共線；再由∠EAF=45°，可得∠GAF=∠EAF=45°，即可求證；（2）將PA、PB、PC相對集中，于是將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接PE，可得∠PBE=90°，BE=PB=1，AE=PC=3，從而得到△PBE是等腰直角三角形，進而得到，∠BPE=45°，再由勾股定理逆定理可得△APE是直角三角形，即可求解；（3）將△APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABD，連接PD，則∠DAP=60°，AD=AP，BD=PC，∠ADB=∠APC=120°，可得△ADP是等邊三角形，進而得到以線段PA、PB、PC的長度為邊長的三角形是△BDP，從而得到∠BPD=65°，∠BDP=60°，即可求解．(1)解：如圖，繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到，在正方形ABCD中，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，AD=AB，根據(jù)題意得：∠ABG=∠D=90°，AG=AE，∠BAG=∠DAE，∴∠ABG+∠ABC=180°，∴點G、點B、點F三點共線；∵∠EAF=45°，∴∠BAF+∠DAE=45°，∴∠BAF+∠BAG=45°，即∠GAF=∠EAF=45°，∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF；故答案為：BF+DE=EF；共線；．(2)解：如圖，將PA、PB、PC相對集中，于是將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接PE，∴∠PBE=90°，BE=PB=1，AE=PC=3，∴△PBE是等腰直角三角形，∴，∠BPE=45°，∵，∴△APE是直角三角形，∴∠APE=90°，∴∠APB=∠APE+∠BPE=135°；故答案為：；等腰直角三角形、直角三角形(3)解：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，如圖，將△APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABD，連接PD，則∠DAP=60°，AD=AP，BD=PC，∠ADB=∠APC=120°，∴△ADP是等邊三角形，∴PD=PA，∠APD=∠ADP=60°，∴以線段PA、PB、PC的長度為邊長的三角形是△BDP，∵∠APB=125°，∠ADB=∠APC=120°，∴∠BPD=65°，∠BDP=60°，∴∠PBD=180°-∠BDP-∠BPD=55°．故答案為：55°、60°、65°【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握相關(guān)知識點，利用類比的思想解答是解題的關(guān)鍵．7．（1）閱讀理解利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學(xué)問題是一種常用的方法．如圖1，點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，PA＝1，，PC＝2．求∠BPC的度數(shù)．為利用已知條件，不妨把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得，連接．利用這種變換可以求∠BPC的度數(shù)，請寫出推理過程；（2）類比遷移如圖2，點P是等腰Rt△ABC內(nèi)一點，∠ACB＝90°，PA＝2，，PC＝1．求∠APC的度數(shù)．答案：（1）見解析（2）90°【解析】分析：（1）把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得，連接(如圖)，得出是直角三角形，則，可得出，即可得出結(jié)論；（2）把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得，連接(如圖)，同理可證是直角三角形，則，得出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，是等邊三角形，∴，，，在中，∵，∴是直角三角形，∴，∵，∴，∴；（2）如圖，把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，是等腰直角三角形，∴，，∴，，在中，∵，∴是直角三角形，∴，∴，∴【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB中點，DE、DF分別交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．（1）如果CA=CB，求證：AE2+BF2=EF2；（2）如圖2，如果CA＜CB，（1）中結(jié)論AE2+BF2=EF2還能成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．答案：（1）見解析；（2）AE2+BF2=EF2成立，理由見解析【解析】分析：（1）過點A作AM∥BC，交FD延長線于點M，連接EM，通過證明AM=BF，EF=EM即可得出答案；（2）延長FD至M，使DM=DF，連接AM、EM，根據(jù)（1）通過證明AM=BF，EF=EM即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖1，過點A作AM∥BC，交FD延長線于點M，連接EM，∵AM∥BC，∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B，∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，∴△ADM≌△BDF，∴AM=BF，MD=DF，又DE⊥DF，∴EF=EM．∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2；（2）成立．證明：如圖2，延長FD至M，使DM=DF，連接AM、EM，∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，∴△ADM≌△BDF，∴AM=BF，∠MAD=∠B，∴AM∥BC，∴∠MAE=∠ACB=90°，又DE⊥DF，MD=FD，∴EF=EM，∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．【點睛】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，有一定難度，關(guān)鍵是正確作出輔助線．10．已知點是斜邊上的中點，，．(1)若、分別在、邊上，①求證：；②若，，則________；(2)若、分別在、邊延長線上，結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．答案：(1)①證明見解析；②5；(2)成立，理由見解析【解析】分析：（1）①延長EO至G，使OG=OE，連接AG、FG，證明△AOG≌△BOE(SAS)，得出AG=BE，∠OAG=∠B，證出∠FAG=9O°，由勾股定理得出AF2+AG2=GF2，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出GF=EF，即可得出結(jié)論；②將，代入即可求解；（2）延長EO至G，使OG=OE，連接AG、FG，證明△AOG≌△BOE(SAS)，得出AG=BE，∠OAG=∠OBE，證出∠FAG=90°，由勾股定理得出AF2+AG2=GF2，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出GF=EF，即可得出結(jié)論．(1)①證明：延長至，使，連接、，如圖1所示，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，∴，∴，∵，，∴，∴；②由①知：∴；故答案為：5；(2)解：結(jié)論仍然成立．理由如下：延長至，使，連接、，如圖2所示，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形等是解題的關(guān)鍵．11．（1）如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90后，得到△AFC，連接DF．試說明：①△AED≌△AFD；②；（2）如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D是斜邊BC上一點，BD=5，BC=17，求DE的長．答案：（1）①證明見試題解析；②證明見試題解析；（2）13．【解析】【詳解】試題分析：（1）①由△ABE≌△AFC，得到AE=AF，F(xiàn)C=BE，∠B=∠ACF=45°，∠EAF=∠DAE，從而得到△AED≌△AFD；②由△AED≌△AFD，得到ED=FD，再證明∠DCF=90°，利用勾股定理即可得出結(jié)論；（2）連結(jié)BE．由已知可得到DC=12，再由△EAB≌△DAC，得到BE=DC，∠EBA=∠C=45°，從而得到∠EBD=90°，由勾股定理即可得到DE的長．試題解析：（1）①∵△ABE≌△AFC，∴AE=AF，F(xiàn)C=BE，∠B=∠ACF=45°，∵∠EAF=90°，∠DAE=45°，∴∠EAF=∠DAE，在△AED和△AFD中，∵AF=AE，∠EAF=∠DAE，AD=AD，∴△AED≌△AFD；②∵△AED≌△AFD，∴ED=FD，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∵∠ACF=45°，∴∠DCF=90°，∴，∴；（2）連結(jié)BE．∵BD=5，BC=17，∴DC=12，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AE=AD，∠EAD=∠BAC=90°，∴∠EAB=∠DAC，在△EAB和△DAC中，∵EA=AD，∠EAB=∠DAC，AB=AC，∴△EAB≌△DAC，∴BE=DC，∠EBA=∠C=45°，∵∠ABC=45°，∴∠EBD=90°，∴，∴DE==13．考點：1．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．勾股定理．12．類比探究：（1）如圖1，等邊△ABC內(nèi)有一點P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大?。唬ㄌ崾荆簩ⅰ鰽BP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處）（2）如圖2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F為BC上的點，且∠EAF＝45°．求證：EF2＝BE2+FC2；（3）如圖3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，點O為△ABC內(nèi)一點，連接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，若AC＝1，求OA+OB+OC的值．答案：（1）150°；（2）見解析；（3）.【解析】分析：（1）根據(jù)△APB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個三角形全等，全等三角形對應(yīng)邊相等，全等三角形對應(yīng)角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理即可得到結(jié)論；（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE′=AE，CE′=CE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，再求出∠E′AF=45°，從而得到∠EAF=∠E′AF，然后利用“邊角邊”證明△EAF和△E′AF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得E′F=EF，再利用勾股定理列式即可得證；（3）將△AOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處，連接OO′，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB=2AC，即A′B的長，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出△BOO′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BO=OO′，等邊三角形三個角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四點共線，再利用勾股定理列式求出A′C，從而得到OA+OB+OC=A′C．【詳解】解：（1）如圖1，將△APB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，∴△ACP′≌△ABP，∴AP′＝AP＝8、CP′＝BP＝15、∠AP′C＝∠APB，由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PAP′＝60°，∴△APP′為等邊三角形，∴PP′＝AP＝8，∠AP′P＝60°，∵PP′2+P′C2＝82+152＝172＝PC2，∴∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°（2）如圖2，把△ABE繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，則AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠CAF＝∠CAF+∠CAE′＝∠FAE′＝45°，∴∠EAF＝∠E′AF，且AE＝AE'，AF＝AF，∴△AEF≌△AE′F（SAS），∴EF＝E′F，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠ACE′＝90°，∴∠FCE′＝90°，∴E′F2＝CF2+CE′2，∴EF2＝BE2+CF2；（3）如圖3，將△AOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′