江西省貴溪市2024屆高三下學(xué)期高考沖刺壓軸（三）（5月） 數(shù)學(xué)試卷【含答案】

普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試沖刺壓軸卷（三）數(shù)學(xué)本試卷滿(mǎn)分150分，考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．直線上 B．直線上C．直線上 D．直線上3．拋擲一枚骰子兩次，將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為，則能構(gòu)成三角形的概率是（

）A． B． C． D．4．已知，直線與的交點(diǎn)在圓：上，則的最大值是（

）A． B． C． D．5．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，傾斜角為且過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn).若，設(shè)橢圓的離心率為，則（

）A． B．C． D．6．若的最小值是4，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．6或 B．或18C．6或18 D．或7．已知函數(shù)，若且，則的最小值為（

）A．11 B．5 C．9 D．78．在菱形中，，，將沿對(duì)角線折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且二面角為直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知向量，，，則（

）A．若，則B．在方向上的投影向量為C．存在，使得在方向上投影向量的模為1D．的取值范圍為10．設(shè)分別為函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．為的極小值點(diǎn) B．C． D．11．隨著我國(guó)航天科技的快速發(fā)展，雙曲線鏡的特性使得它在天文觀測(cè)中具有重要作用，雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.已知分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過(guò)C右支上一點(diǎn)作直線l交x軸于，交y軸于點(diǎn)N，則（

）A．C的漸近線方程為B．過(guò)點(diǎn)作，垂足為H，則C．點(diǎn)N的坐標(biāo)為D．四邊形面積的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．計(jì)算：＝.13．五一長(zhǎng)假期間，某單位安排這3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知在五一長(zhǎng)假期間值班2天，則連續(xù)值班的概率是.14．某數(shù)學(xué)興趣小組在閱讀了《選擇性必修第一冊(cè)》中數(shù)列的課后閱讀之后，對(duì)斐波那契數(shù)列產(chǎn)生了濃厚的興趣．書(shū)上說(shuō)，斐波那契數(shù)列滿(mǎn)足：，，的通項(xiàng)公式為.在自然界，兔子的數(shù)量，樹(shù)木枝條的數(shù)量等都符合斐波那契數(shù)列．該學(xué)習(xí)興趣小組成員也提出了一些結(jié)論：①數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列；②數(shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足；③；④.那么以上結(jié)論正確的是（填序號(hào)）四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.15．已知函數(shù).(1)求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程；(2)若，求的取值范圍.16．如圖，在四棱錐中，平面，點(diǎn)是的重心.

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)度.17．某校體育鍛煉時(shí)間準(zhǔn)備提供三項(xiàng)體育活動(dòng)供學(xué)生選擇.為了解該校學(xué)生對(duì)“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”這種觀點(diǎn)的態(tài)度（態(tài)度分為同意和不同意），隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生，數(shù)據(jù)如下：?jiǎn)挝唬喝四猩嫌?jì)同意7050120不同意305080合計(jì)100100200(1)能否有的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”這種觀點(diǎn)的態(tài)度與性別有關(guān)？(2)現(xiàn)有足球、籃球、跳繩供學(xué)生選擇.①若甲、乙兩名學(xué)生從這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中隨機(jī)選一種，且他們的選擇情況相互獨(dú)立互不影響.記事件為“甲學(xué)生選擇足球”，事件為“甲、乙兩名學(xué)生的選擇不同”，判斷事件是否獨(dú)立，并說(shuō)明理由.②若該校所有學(xué)生每分鐘跳繩個(gè)數(shù).根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校學(xué)生經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后，跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步.假設(shè)經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比開(kāi)始時(shí)個(gè)數(shù)增加10，該校有1000名學(xué)生，預(yù)估經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后該校每分鐘跳182個(gè)以上人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）.參考公式和數(shù)據(jù)：，其中.0.0250.0100.0055.0246.6357.879若，則，，.18．已知A，B是拋物線E：上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸下方，PA與拋物線E交于點(diǎn)C，PB與拋物線E交于點(diǎn)D，且滿(mǎn)足，其中λ是常數(shù)，且．(1)設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N，證明：MN垂直于x軸；(2)若點(diǎn)P為半圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，求四邊形ABDC面積的最大值．19．設(shè)數(shù)列A：，,…().如果對(duì)小于()的每個(gè)正整數(shù)都有＜，則稱(chēng)是數(shù)列A的一個(gè)“G時(shí)刻”.記“是數(shù)列A的所有“G時(shí)刻”組成的集合.（1）對(duì)數(shù)列A：-2，2，-1，1，3，寫(xiě)出的所有元素；（2）證明：若數(shù)列A中存在使得>，則；（3）證明：若數(shù)列A滿(mǎn)足-≤1（n=2,3,…,N）,則的元素個(gè)數(shù)不小于-.1．C【分析】利用集合間的關(guān)系，建立不等式求解，注意集合元素的互異性．【詳解】根據(jù)題意得到，由，得，解得．故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.2．B【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算以及除法法則可得，求得其對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)可得結(jié)論.【詳解】易知，所以，可得復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，位于直線上.故選：B3．A【分析】按照分類(lèi)討論的方法求出能夠構(gòu)成三角形的基本事件數(shù)，然后利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】因?yàn)槿切蝺蛇呏痛笥诘谌?，所以，又因?yàn)樽畲鬄?，所以?dāng)時(shí)，有共六種情況，當(dāng)時(shí)，有共五種情況，當(dāng)時(shí)，有共四種情況，當(dāng)時(shí)，有共三種情況，當(dāng)時(shí)，有共兩種情況，當(dāng)時(shí)，有一種情況，所以共有種情況，而總的可能數(shù)有種，所以概率為，故選：A.4．D【分析】根據(jù)兩直線方程可知兩直線分別過(guò)定點(diǎn)且垂直，可求得點(diǎn)軌跡方程，再由圓與圓的位置關(guān)系找出圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】易知直線恒過(guò)定點(diǎn)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，且，易知直線與互相垂直，即可得，所以點(diǎn)軌跡是以為直徑的圓，圓心為的中點(diǎn)，半徑為；可得點(diǎn)軌跡方程為；又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以可得圓與圓有公共點(diǎn)，當(dāng)兩圓內(nèi)切（圓在外）時(shí)，取得最大值；此時(shí)滿(mǎn)足，解得.故選：D5．B【分析】根據(jù)題意，得到四邊形為矩形，由直線過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為，在和中，利用余弦定理計(jì)算得，結(jié)合橢圓的定義,求得離心率，進(jìn)而計(jì)算出.【詳解】如圖所示，

因?yàn)?，且分別為和的中點(diǎn)，，所以四邊形為矩形，又直線過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為，即，，且為等腰三角形，所以，在中，根據(jù)余弦定理可得，即，同時(shí)，在中，根據(jù)余弦定理可得，即，所以，可得，.故選：B.6．A【分析】分，，三種情況，得出每種情況下的最小值，令其為4，解出的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，，，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，，，舍掉.故選：A.7．D【分析】根據(jù)可知函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸為，可得，求得，再根據(jù)正弦函數(shù)在處取得最小值，列出方程可求得結(jié)論.【詳解】由可知，在取得最小值，所以函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸為，又，因此，即；所以，又在取得最小值，可知，解得，又，所以時(shí)，取得最小值為7.故選：D8．C【分析】根據(jù)給定條件，確定三棱錐的外接球的球心位置，再求出球半徑即可計(jì)算作答.【詳解】如圖所示：由題意在菱形中，互相垂直且平分，點(diǎn)為垂足，，由勾股定理得，所以，設(shè)點(diǎn)為外接圓的圓心，則外接圓的半徑為，，設(shè)點(diǎn)為外接圓的圓心，同理可得外接圓的半徑為，，如圖所示：設(shè)三棱錐的外接球的球心、半徑分別為點(diǎn)，而均垂直平分，所以點(diǎn)在面，面內(nèi)的射影分別在直線上，即，由題意，且二面角為直二面角，即面面，，所以，即，可知四邊形為矩形，所以，由勾股定理以及，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作出截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.9．ACD【分析】由垂直向量的數(shù)量積表示可判斷A；由投影向量的計(jì)算公式可判斷B，C；由向量的模長(zhǎng)公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，則，則，即，所以，故A正確；對(duì)于B，在方向上的投影向量為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在方向上的投影向量的模為，若，則，即，其中，，所以，所以存在，使得在方向上的投影向量的模為1，故C正確.對(duì)于D，,因?yàn)樗?，所以，所以，故D正確.故選：ACD.10．AC【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由極大值小于1確定出的取值范圍，再逐項(xiàng)求解判斷即得答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，由分別是函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，得有兩個(gè)不等的正根，即且，若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，即，滿(mǎn)足，若，當(dāng)或時(shí),，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，即，不滿(mǎn)足，因此，且為的極小值點(diǎn)，A正確，B錯(cuò)誤；顯然，C正確；，，當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問(wèn)題往往涉及到分類(lèi)討論，分類(lèi)討論標(biāo)準(zhǔn)的確定是關(guān)鍵，一般依據(jù)導(dǎo)數(shù)是否有零點(diǎn)、零點(diǎn)存在時(shí)零點(diǎn)是否在給定的范圍內(nèi)及零點(diǎn)在給定范圍內(nèi)時(shí)兩個(gè)零點(diǎn)的大小關(guān)系來(lái)分層討論.11．ABD【分析】根據(jù)方程，可直接求出漸近線方程，即可判斷A項(xiàng)；根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可推得點(diǎn)為的中點(diǎn).進(jìn)而得出，結(jié)合雙曲線的定義，即可判斷B項(xiàng)；由已知可得，進(jìn)而結(jié)合雙曲線方程，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可判斷C項(xiàng)；由，代入利用基本不等式即可求出面積的最小值，判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由已知可得，，所以雙曲線的漸近線方程為，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，如圖，

，且滿(mǎn)足，所以直線的方程為，聯(lián)立化簡(jiǎn)得，由于，即為雙曲線的切線.由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，平分，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn).則垂直平分，即點(diǎn)為的中點(diǎn).又是的中點(diǎn)，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，設(shè)，則，整理可得.又，所以有，所以有，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以，四邊形面積的最小值為，故D項(xiàng)正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是利用光學(xué)性質(zhì)得點(diǎn)為的中點(diǎn)，結(jié)合雙曲線的定義求解，注意平面幾何的特性是解決此類(lèi)問(wèn)題的捷徑.12．【分析】由題意由兩角差的正切公式即可得解.【詳解】由題意．故答案為：．13．##0.4【分析】根據(jù)條件概率公式可求出結(jié)果.【詳解】記“在五一長(zhǎng)假期間值班2天”，“連續(xù)值班”，則種，種，所以.所以已知在五一長(zhǎng)假期間值班2天，則連續(xù)值班的概率為.故答案為：.14．②③【分析】根據(jù)數(shù)列的特征以及遞推公式，即可判斷①；由已知可得，累加法即可得出②；，變形可得時(shí)，，然后累加，即可得出③；舉例，驗(yàn)證，即可判斷④.【詳解】對(duì)于①，由題意可知，，，.由已知，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以，時(shí)，由已知可知，單調(diào)遞增，且.所以數(shù)列在時(shí)，為嚴(yán)格增數(shù)列.但是該數(shù)列的前三項(xiàng)不滿(mǎn)足，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，有，，，，，，兩邊同時(shí)相加可得，，所以，，故②正確；對(duì)于③，由已知可得，，，，，兩邊同時(shí)相加可得，，故③正確；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，左邊為，右邊為，顯然不成立，故④錯(cuò)誤.所以，結(jié)論正確的是②③.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：由遞推公式推得，，進(jìn)而累加法，逐項(xiàng)相消即可得出.15．(1)(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，設(shè)切點(diǎn)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后可得切線的斜率為，然后利用點(diǎn)斜式求出切線方程，再將代入切線方程可求出，從而可求出切線方程；（2）由，得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可.【詳解】（1）設(shè)切點(diǎn)為，則，得，則切線的斜率，所以切線方程為，即，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)得，解得，所以切線方程為，即；（2）由，得，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，所以，所以，即的取值范圍為.16．(1)證明見(jiàn)解析；(2)或.【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)、判定及面面垂直的判定推理即得.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法列式求出的長(zhǎng)度.【詳解】（1）在四棱錐中，平面平面，則，而平面，于是平面，又平面，所以平面平面.（2）取中點(diǎn)為，連接，，則，即四邊形為矩形，則，又平面平面，顯然兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，由點(diǎn)是的重心，得，則，又，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，得，設(shè)與平面所成角為，，化簡(jiǎn)得，解得或，即或，所以的長(zhǎng)度為或.17．(1)故有的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”這種觀點(diǎn)的態(tài)度與性別有關(guān).(2)①相互獨(dú)立；②159人.【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)和公式計(jì)算，并與臨界值對(duì)比分析.（2）①根據(jù)獨(dú)立事件的定義判斷；②利用正態(tài)分布對(duì)稱(chēng)性求特殊區(qū)間概率，進(jìn)而估計(jì)人數(shù).【詳解】（1）由題設(shè)列聯(lián)表，有，故有的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”這種觀點(diǎn)的態(tài)度與性別有關(guān).（2）①則故事件獨(dú)立.②訓(xùn)練后，故預(yù)估經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后該校每分鐘跳182個(gè)以上人數(shù)為答：故預(yù)估經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后該校每分鐘跳182個(gè)以上人數(shù)約為人.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，結(jié)合斜率分析可得，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意利用韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)，可得面積，結(jié)合二次函數(shù)分析運(yùn)算.【詳解】（1）因?yàn)?，且P，A，C共線，P，B，D共線，所以，所以直線AB和直線CD的斜率相等，即，設(shè)，，，，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，由，得，因式分解得，約分得，所以，即，所以MN垂直于x軸．（2）設(shè)，則，且，當(dāng)時(shí)，C為PA中點(diǎn)，則，，