比例線段和相似三角形的判定

授課教案輔導(dǎo)課程：比例線段和相似三角形的判定教學(xué)目標(biāo)：掌握比例的性質(zhì)、黃金分割和平行線分線段成比例、相似三角形的判定教學(xué)重難點(diǎn)：比例的性質(zhì)、黃金分割和平行線分線段成比例、相似三角形的判定比例線段題型一：比例性質(zhì)例1．〔2016﹒蘭州模擬〕假設(shè)a：b＝2：3，那么以下各式中正確的式子是〔〕A．2a＝3bB．3a＝2bC．EQ\F(b,a)＝\F(2,3)D．EQ\F(a－b,b)＝\F(1,3)例2．〔2016﹒泰州二?！矱Q\F(a,b)＝\F(5,13)，那么EQ\F(a－b,a＋b)的值是〔〕A．EQ－\F(2,3)B．EQ－\F(3,2)C．EQ－\F(9,4)D．EQ－\F(4,9)例3．〔2016春﹒威海期末〕以下結(jié)論中，錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A．假設(shè)EQ\F(a,4)＝\F(c,5)，那么EQ\F(a,c)＝\F(4,5)B．假設(shè)EQ\F(a－b,b)＝\F(1,6)，那么EQ\F(a,b)＝\F(7,6)C．假設(shè)EQ\F(a,b)＝\F(c,d)＝\F(2,3)〔b－d≠0〕，那么EQ\F(a－c,b－d)＝\F(2,3)D．假設(shè)EQ\F(a,b)＝\F(3,4)，那么a＝3，b＝4例4．〔2016春﹒槐蔭區(qū)期中〕如果mn＝ab，那么以下比例式中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A．EQ\F(a,m)＝\F(n,b)B．EQ\F(a,n)＝\F(m,b)C．EQ\F(m,a)＝\F(n,b)D．EQ\F(m,a)＝\F(b,n)例5．〔2015﹒泗洪縣校級(jí)模擬〕如果EQ\F(x＋y,y)＝\F(7,4)，那么EQ\F(x,y)的值是〔〕A．EQ\F(3,4)B．EQ\F(2,3)C．EQ\F(4,3)D．EQ\F(3,2)例6．〔2015﹒撫州校級(jí)模擬〕3x＝4y〔x≠4〕，那么以下各式不成立的是〔〕A．EQ\F(x,3)＝\F(y,4)B．EQ\F(x＋4,4)＝\F(y＋3,3)C．EQ\F(x＋y,4＋3)＝\F(x,4)D．EQ\F(4－x,x)＝\F(3－y,y)例7．〔2015秋﹒莘縣期末〕假設(shè)EQ\F(a,5)＝\F(b,7)＝\F(c,8)，且3a－2b＋c＝3，那么2a＋4b－3c的值是〔〕A．14B．42C．7D．EQ\F(14,3)例8．〔2015秋﹒邢臺(tái)校級(jí)期末〕假設(shè)EQ\F(x－2y,3y－x)＝\F(2,3)，那么EQ\F(y,x)為〔〕A．EQ\F(5,12)B．EQ\F(12,5)C．EQ\F(7,12)D．EQ－\F(5,12)例9．〔2015秋﹒曹縣期末〕假設(shè)a：b＝1：2，b：c＝4：6，那么a：b：c＝〔〕A．1：2：3B．1：2：4C．1：2：6D．1：4：6例10．〔2015秋﹒深圳期末〕EQ\F(a,b)＝\F(c,d)＝\F(e,f)＝\F(1,3)〔b＋d＋f≠0〕，那么EQ\F(a＋c＋e,b＋d＋f)＝〔〕A．EQ\F(1,4)B．EQ\F(1,3)C．EQ\F(1,2)D．EQ\F(2,3)例11．〔2015秋﹒簡(jiǎn)陽(yáng)市校級(jí)期中〕假設(shè)EQ\F(a＋b,c)＝\F(b＋c,a)＝\F(c＋a,b)＝k，那么k的值為〔〕A．2B．－1C．2或－1D．不存在例12．〔2015秋﹒宜賓校級(jí)期中〕，EQ\F(a,b)＝\F(c,d)＝\F(e,f)＝2，那么EQ\F(a－3c＋5e,b－3d＋5f)＝〔〕A．1B．3C．2D．5例13．〔2015秋﹒欒城縣期中〕：EQ\F(a,b)＝\F(c,d)＝\F(e,f)＝4，且a＋c＋e＝8，那么b＋d＋f等于〔〕A．4B．8C．32D．2例14．〔2014﹒甘肅模擬〕假設(shè)EQ\F(a,b＋c)＝\F(b,c＋a)＝\F(c,a＋b)＝k，那么k的值是〔〕A．EQ\F(1,2)B．－1C．EQ\F(1,2)或－1D．EQ\F(3,2)例15．〔2015秋﹒臺(tái)州校級(jí)月考〕閱讀以下解題過(guò)程，然后解題：題目：EQ\F(x,a－b)＝\F(y,b－c)＝\F(z,c－a)〔a、b、c互不相等〕，求x＋y＋z的值．解：設(shè)EQ\F(x,a－b)＝\F(y,b－c)＝\F(z,c－a)＝k，那么x＝k〔a－b〕，y＝k〔b－c〕，z＝k〔c－a〕，∴x＋y＋z＝k〔a－b＋b－c＋c－a〕＝k﹒0＝0，∴x＋y＋z＝0．依照上述方法解答以下問(wèn)題：a，b，c為非零實(shí)數(shù)，且a＋b＋c≠0，當(dāng)EQ\F(a＋b－c,c)＝\F(a－b＋c,b)＝\F(－a＋b＋c,a)時(shí)，求EQ\F((a＋b)(b＋c)(c＋a),abc)的值．例16．〔2013秋﹒雁江區(qū)期中〕設(shè)a，b，c是△ABC的三條邊，且EQ\F(a－b,b)＝\F(b－c,c)＝\F(c－a,a)，判斷△ABC為何種三角形，并說(shuō)明理由．題型二：比例線段例1．以下各組中的四條線段成比例的是〔〕A．a(chǎn)＝1，b＝3，c＝2，d＝4B．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10C．a(chǎn)＝2，b＝4，c＝3，d＝6D．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4，d＝1例2．〔2015秋﹒成都期末〕以以下長(zhǎng)度〔同一單位〕為長(zhǎng)的四條線段中，不成比例的是〔〕A．2，5，10，25B．4，7，4，7C．2，EQ\F(1,2)，EQ\F(1,2)，4D．EQ\R(,2)，EQ\R(,5)，EQ2\R(,5)，EQ5\R(,2)例3．〔2015秋﹒蚌埠期中〕a＝1，EQb＝\F(\R(,5)－1,2)，EQc＝\F(3－\R(,5),2)，那么〔〕A．a(chǎn)是b、c的比例中項(xiàng)B．c是a、b的比例中項(xiàng)C．b是a、c的比例中項(xiàng)D．1是a、b、c的第四比例項(xiàng)例4．〔2015秋﹒揚(yáng)州校級(jí)月考〕線段a＝4，b＝9，線段x是a，b的比例中項(xiàng)，那么x等于〔〕A．6B．6或－6C．－6D．36例5．〔2015秋﹒蕭山區(qū)月考〕三個(gè)數(shù)2，EQ\R(,2)，4．如果再添加一個(gè)數(shù)，就得到這四個(gè)數(shù)成比例了，那么添加的數(shù)是〔〕A．EQ2\R(,2)B．EQ2\R(,2)或EQ\F(\R(,2),2)C．EQ2\R(,2)，EQ4\R(,2)或EQ8\R(,2)D．EQ2\R(,2)，EQ\F(\R(,2),2)或EQ4\R(,2)題型三：黃金分割例1．〔2016﹒威?！橙鐖D，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)H，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)G，連接AD，AE，那么以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A．EQ\F(BD,BC)＝\F(\R(,5)－1,2)B．AD，AE將∠BAC三等分C．△ABE≌△ACDD．EQS\S\DO(△ADH)＝S\S\DO(△CEG)例2．〔2016﹒山西〕寬與長(zhǎng)的比是EQ\F(\R(,5)－1,2)〔約0.618〕的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感．我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形ABCD，分別取AD、BC的中點(diǎn)E、F，連接EF：以點(diǎn)F為圓心，以FD為半徑畫弧，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G；作GH⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，那么圖中以下矩形是黃金矩形的是〔〕A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH例3．點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)〔AP＞PB〕，AB＝4，那么AP的長(zhǎng)是〔〕A．EQ2\R(,5)－2B．EQ2－\R(,5)C．EQ2\R(,5)－1D．EQ\R(,5)－2例4．〔2016春﹒龍口市期末〕長(zhǎng)度為a的線段AB上有一點(diǎn)C，并且滿足EQAC\S\UP6(2)＝AB﹒BC，那么AC的長(zhǎng)為〔〕A．EQ\F(\R(,5)＋1,2)aB．EQ\F(\R(,5)－1,2)aC．EQ〔\R(,5)＋1〕aD．EQ〔\R(,5)－1〕a例5．〔2016春﹒威海期末〕如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AD、AE將∠BAC三等分交邊BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E，那么以下結(jié)論中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A．EQ\F(BD,DE)＝\F(\R(,5)－1,2)B．點(diǎn)D是線段BC的黃金分割點(diǎn)C．點(diǎn)E是線段BC的黃金分割點(diǎn)D．點(diǎn)E是線段CD的黃金分割點(diǎn)例6．〔2015﹒建湖縣校級(jí)模擬〕如圖，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)〔AC＞BC〕，那么以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是〔〕A．EQAB\S\UP6(2)＝AC\S\UP6(2)＋BC\S\UP6(2)B．EQBC\S\UP6(2)＝AC﹒BAC．EQ\F(BC,AC)＝\F(\R(,5)－1,2)D．EQ\F(AC,BC)＝\F(\R(,5)－1,2)例7．〔2015秋﹒東明縣期末〕愛美之心人皆有之，特別是很多女士，穿上高跟鞋后往往會(huì)有很好的效果，事實(shí)上，當(dāng)人體的下半身長(zhǎng)度與身高的比值接近0.618時(shí)，會(huì)給人以美感，某女士身高165cm，下半身長(zhǎng)與身高的比值是0.60，為了盡可能到達(dá)好的效果，她應(yīng)穿的高跟鞋的高度大約為〔〕A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm例8．〔2015秋﹒周口期末〕如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，假設(shè)CA＝4，那么CB的長(zhǎng)是〔〕A．EQ2\R(,5)＋2B．EQ\R(,5)＋1C．EQ\R(,5)－1D．EQ2\R(,5)－2例9．〔2015春﹒威海期末〕如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC＝2，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，那么AD等于〔〕A．EQ\R(,5)－1B．EQ\F(4,3)C．1D．EQ\F(\R(,5)－1,2)例10．〔2015秋﹒下城區(qū)期中〕我們把頂角為36°的等腰三角形叫做黃金三角形．如圖，在黃金三角形ABC中，EQ\F(BC,AB)＝\F(AB,AB＋BC)，假設(shè)AB＝10，那么BC的長(zhǎng)為〔〕A．EQ15－5\R(,5)B．EQ5\R(,5)－5C．EQ\F(15,2)D．EQ3\R(,5)例11．〔2015秋﹒寧德校級(jí)期中〕我們將寬與長(zhǎng)的比是黃金比的矩形稱為黃金矩形．矩形ABCD是黃金矩形且長(zhǎng)AB＝10，那么寬BC為〔〕A．EQ2\R(,5)－2B．EQ5\R(,5)－5C．EQ15－5\R(,5)D．0.618例12．〔2015春﹒達(dá)縣期中〕如圖，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，那么以下各式正確的選項(xiàng)是〔〕A．EQ\F(AC,BC)＝\F(AB,AC)B．EQ\F(BC,AB)＝\F(AC,BC)C．EQ\F(AC,AB)＝\F(AB,BC)D．EQ\F(BC,AB)＝\F(AC,AB)例13.〔2015秋﹒深圳校級(jí)月考〕線段AB，點(diǎn)C是它的黃金分割點(diǎn)〔AC＞BC〕．設(shè)以AC為邊的正方形的面積為EQS\S\DO(1)，以AB、CB分別為長(zhǎng)和寬的矩形的面積為EQS\S\DO(2)，那么EQS\S\DO(1)與EQS\S\DO(2)關(guān)系正確的選項(xiàng)是〔〕A．EQS\S\DO(1)＞S\S\DO(2)B．EQS\S\DO(1)＝S\S\DO(2)C．D．不能確定例14．〔2014﹒大豐市模擬〕閱讀理解：如圖1，點(diǎn)C將線段AB分成兩局部，假設(shè)EQ\F(AC,AB)＝\F(BC,AC)，那么點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．某研究學(xué)習(xí)小組，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，而給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成兩局部，這兩局部的面積分別為EQS\S\DO(1)、EQS\S\DO(2)，如果EQ\F(S\S\DO(1),S)＝\F(S\S\DO(2),S\S\DO(1))，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．問(wèn)題解決：如圖2，在△ABC中，假設(shè)點(diǎn)D是AB的黃金分割點(diǎn)．〔1〕研究小組猜測(cè)：直線CD是△ABC的黃金分割線，你認(rèn)為對(duì)嗎？為什么？〔2〕請(qǐng)你說(shuō)明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？〔3〕研究小組探究發(fā)現(xiàn)：過(guò)點(diǎn)C作直線交AB于E，過(guò)D作DF∥CE，交AC于F，連接EF〔如圖3〕，那么直線EF也是△ABC的黃金分割線．請(qǐng)你說(shuō)明理由．題型四：平行線分線段成比例例1．如下圖，△ABC中假設(shè)DE∥BC，EF∥AB，那么以下比例式正確的選項(xiàng)是〔〕A．EQ\F(AD,DB)＝\F(DE,BC)B．EQ\F(BF,BC)＝\F(EF,AD)C．EQ\F(AE,EC)＝\F(BF,FC)D．EQ\F(EF,AB)＝\F(DE,BC)例2．〔2016﹒海曙區(qū)一?！橙鐖D，在6×6的正方形網(wǎng)格中，連結(jié)兩格點(diǎn)A，B，線段AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)為M、N，那么AM：MN：NB為〔〕A．3：5：4B．1：3：2C．1：4：2D．3：6：5例3．〔2016﹒天橋區(qū)三?！橙鐖D，△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上，DE∥AC，假設(shè)DB＝4，AB＝6，BE＝3，那么EC的長(zhǎng)是〔〕A．4B．2C．EQ\F(3,2)D．EQ\F(5,2)例4．〔2016﹒吳興區(qū)一?！橙鐖D，AB∥CD∥EF，那么以下結(jié)論一定正確的選項(xiàng)是〔〕A．EQ\F(BC,CE)＝\F(DF,AD)B．EQ\F(CD,EF)＝\F(BC,BE)C．EQ\F(CD,EF)＝\F(AD,AF)D．EQ\F(AD,DF)＝\F(BC,CE)例5．如圖，EQl\S\DO(1)∥l\S\DO(2)∥l\S\DO(3)，根據(jù)“平行線分線段成比例定理”，以下比例式中正確的選項(xiàng)是〔〕A．EQ\F(AD,BC)＝\F(CE,DF)B．EQ\F(AD,BE)＝\F(BC,AF)C．EQ\F(AB,CD)＝\F(CD,EF)D．EQ\F(AD,BC)＝\F(DF,CE)例6．〔2016春﹒萊蕪月考〕如圖，MN∥PQ，那么滿足EQx＝\F(bc,a)的圖形是〔〕A．B．C．D．例7．〔2016﹒濟(jì)寧〕如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點(diǎn)G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么EQ\F(BC,CE)的值等于__________．例8．〔2016﹒黃浦區(qū)一?！橙鐖D，△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB和AC上，DE∥BC，點(diǎn)F是DE延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，EQ\F(AD,BD)＝\F(DE,EF)，聯(lián)結(jié)FC，假設(shè)EQ\F(AE,AC)＝\F(2,3)，求EQ\F(AD,FC)的值．題型五：相似三角形的判定例1．〔2016﹒鹽城〕如圖，點(diǎn)F在平行四邊形ABCD的邊AB上，射線CF交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，在不添加輔助線的情況下，與△AEF相似的三角形有〔〕A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)例2．如圖，在△ABC與△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC與△ADE相似，還需滿足以下條件中的〔〕A．EQ\F(AC,AD)＝\F(AB,AE)B．EQ\F(AC,AD)＝\F(BC,DE)C．EQ\F(AC,AD)＝\F(AB,DE)D．EQ\F(AC,AD)＝\F(BC,AE)例3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE＝∠B，那么以下說(shuō)法中，錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A．△ADE∽△ABCB．△ADE∽△ACDC．△ADE∽△DCBD．△DEC∽△CDB例4．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AC、BC上，以下條件中不能判斷△CAB∽△CED的是〔〕A．∠CDE＝∠BB．∠CED＝∠AC．EQ\F(CD,CE)＝\F(CB,CA)D．EQ\F(CD,CA)＝\F(CE,AB)例5．〔2016﹒常州模擬〕如圖，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在邊AB上取點(diǎn)P，使得△PAD與△PBC相似，那么這樣的P點(diǎn)共有〔〕A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)例6．〔2016﹒新都區(qū)模擬〕如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，且將這個(gè)四邊形分成①、②、③、④四個(gè)三角形．假設(shè)OA：OC＝OB：OD，那么以下結(jié)論中一定正確的選項(xiàng)是〔〕A．①與②相似B．①與③相似C．①與④相似D．②與④相似例7．〔2016﹒安徽模擬〕將三角形紙片〔△ABC〕按如下圖的方式折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)D，折痕為EF．AB＝AC＝3，BC＝4，假設(shè)以點(diǎn)B、D、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，那么CF的長(zhǎng)度是〔〕A．2B．EQ\F(12,7)或2C．EQ\F(12,7)D．EQ\F(12,5)或2例8．〔2016春﹒高密市期末〕如圖，△ABC中，P為AB上的一點(diǎn)，在以下四個(gè)條件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③EQAC\S\UP6(2)＝AP﹒AB；④AB﹒CP＝AP﹒CB，能滿足△APC和△ACB相似的條件是〔〕A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③例9．〔2016春﹒威海期末〕如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，交BC于點(diǎn)E，以下結(jié)論中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A．DE平分∠BDCB．△ABC∽△BDC∽△DECC．EQ\F(AD,AB)＝\F(\R(,5)－1,2)D．EQ\F(S\S\DO(△BCD),S\S\DO(△ABD))＝\F(1,2)例10．〔2015﹒大慶模擬〕在△ABC和EQ△A\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)中，以下命題中真命題的個(gè)數(shù)為〔〕〔1〕假設(shè)EQ∠A＝∠A\S\DO(1)，EQ∠C＝∠C\S\DO(1)，那么EQ△ABC∽△A\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)；〔2〕假設(shè)AC：EQA\S\DO(1)C\S\DO(1)＝CB：EQC\S\DO(1)B\S\DO(1)，EQ∠C＝∠C\S\DO(1)，那么EQ△ABC∽△A\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)；〔3〕假設(shè)EQAB＝kA\S\DO(1)B\S\DO(1)，EQAC＝