線性代數(shù)課后答案高等教育出版社

...wd......wd......wd...加QQ719283511第一章行列式1利用對角線法則計算以下三階行列式(1)解2(4)30(1)(1)1180132(1)81(4)(1)2481644(3)解bc2ca2ab2ac2ba2(ab)(bc)(ca)4計算以下各行列式(1)解(2)解(3)解(4)解abcdabcdad16.證明:(1)(ab)3;證明(ab)3(2);證明8.計算以下各行列式(Dk為k階行列式)(1),其中對角線上元素都是a未寫出的元素都是0解(按第n行展開)anan2an2(a21)(2);解將第一行乘(1)分別加到其余各行得再將各列都加到第一列上得[x(n1)a](xa)n第二章矩陣及其運(yùn)算1.計算以下乘積(5)解(a11x1a12x2a13x3a12x1a22x2a23x3a13x1a2.設(shè)求3AB2A及ATB解3.兩個線性變換求從z1z2z3到x1x2x3的線性變換解由所以有4.設(shè)問(1)ABBA嗎?解ABBA因為所以ABBA(3)(AB)(AB)A2B2嗎?解(AB)(AB)A2B2因為而故(AB)(AB)A2B25.舉反列說明以下命題是錯誤的(1)假設(shè)A20則A0解取則A20但A0(2)假設(shè)A2A則A0或AE解取則A2A但A0且AE(3)假設(shè)AXAY且A0則XY解取則AXAY且A0但XY7.設(shè)求Ak解首先觀察用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)k2時顯然成立假設(shè)k時成立，則k1時，由數(shù)學(xué)歸納法原理知8.設(shè)AB為n階矩陣，且A為對稱矩陣，證明BTAB也是對稱矩陣證明因為ATA所以(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB從而BTAB是對稱矩陣11求以下矩陣的逆矩陣(1)解|A|1故A1存在因為故(3)解|A|20故A1存在因為所以(4)(a1a2an0)解由對角矩陣的性質(zhì)知12.利用逆矩陣解以下線性方程組(1)解方程組可表示為故從而有19.設(shè)P1AP其中求A11解由P1AP得APP1所以A11A=P11P|P|3而故20.設(shè)APP其中求(A)A8(5E6AA2)解()8(5E62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]diag(1158)diag(1200)12diag(100)(A)P()P121.設(shè)AkO(k為正整數(shù))證明(EA)1EAA2Ak1證明因為AkO所以EAkE又因為EAk(EA)(EAA2Ak所以(EA)(EAA2Ak1)E由定理2推論知(EA)可逆且(EA)1EAA2Ak1證明一方面有E(EA)1(EA)另一方面由AkO有E(EA)(AA2)A2Ak1(Ak1Ak)(EAA2Ak1)(EA)故(EA)1(EA)(EAA2Ak1)(EA)兩端同時右乘(EA)1就有(EA)1(EA)EAA2Ak122設(shè)方陣A滿足A2A2EO證明A及A2E都可逆并求A1及(A2E)1證明由A2A2EOA2A2E即A(AE)2E或由定理2推論知A可逆且由A2A2EOA2A6E4E即(A2E)(A3E)4E或由定理2推論知(A2E)可逆且證明由A2A2EO得A2A2E|A2A|2即|A||AE|2故|A|0所以A可逆而A2EA2|A2E||A2||A|20故A2E也可逆由A2A2EOA(AE)2EA1A(AE)2A1E又由A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E(A2E)(A3E)4E所以(A2E)1(A2E)(A3E)4(A2E)1矩陣的初等變換與線性方程組1把以下矩陣化為行最簡形矩陣(1)解(下一步r2(2)r1r3(3)r1)~(下一步r2(1)r3(2))~(下一步r3r2)~(下一步r33)~(下一步r23r3)~(下一步r1(2)r2r1r3)~(3)解(下一步r23r1r32r1r43r1)~(下一步r2(4)r3(3)r4(5))~(下一步r13r2r3r2r4r2)~3.兩個線性變換求從z1z2z3到x1x2x3的線性變換解由所以有4.試?yán)镁仃嚨某醯茸儞Q求以下方陣的逆矩陣(1)解~~~~故逆矩陣為(2)解~~~~~故逆矩陣為5.(2)設(shè)求X使XAB解考慮ATXTBT因為所以從而9.求作一個秩是4的方陣它的兩個行向量是(10100)(11000)解用向量容易構(gòu)成一個有4個非零行的5階下三角矩陣此矩陣的秩為4其第2行和第3行是向量12.設(shè)問k為何值可使(1)R(A)1(2)R(A)2(3)R(A)3解(1)當(dāng)k1時R(A)1(2)當(dāng)k2且k1時R(A)2(3)當(dāng)k1且k2時R(A)3P106/1.向量組Aa1(0123)Ta2(3012)Ta3(2301)TBb1(2112)Tb2(0211)Tb3(4413)T證明B組能由A組線性表示但A組不能由B組線性表示證明由知R(A)R(AB)3所以B組能由A組線性表示由知R(B)2因為R(B)R(BA)所以A組不能由B組線性表示4.判定以下向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)(1)(131)T(210)T(141)T(2)(230)T(140)T(002)T解(1)以所給向量為列向量的矩陣記為A因為所以R(A)2小于向量的個數(shù)從而所給向量組線性相關(guān)(2)以所給向量為列向量的矩陣記為B因為所以R(B)3等于向量的個數(shù)從而所給向量組線性相無關(guān)5問a取什么值時以下向量組線性相關(guān)a1(a11)Ta2(1a1)Ta3(11解以所給向量為列向量的矩陣記為A由知當(dāng)a1、0、1時R(A)3此時向量組線性相關(guān)9.設(shè)b1a1a2b2a2a3b3a3a4b4a4a1證明向量組b1b2證明由條件得a1b1a2a2b2a3a3b3a4于是a1b1b2a3b1b2b3ab1b2b3b4a1從而b1b2b3b40這說明向量組b1b2b3b4線性相關(guān)11.(1)求以下向量組的秩,并求一個最大無關(guān)組(1)a1(1214)Ta2(9100104)Ta3(2428)T解由知R(a1a2a3)2因為向量a1與a2的分量不成比例故a1a2線性無關(guān)所以a1a2是一個最大無關(guān)組12.利用初等行變換求以下矩陣的列向量組的一個最大無關(guān)組(1)解因為所以第1、2、3列構(gòu)成一個最大無關(guān)組.(2)解因為所以第1、2、3列構(gòu)成一個最大無關(guān)組13.設(shè)向量組(a31)T(2b3)T(121)T(231)T的秩為2求ab解設(shè)a1(a31)Ta2(2b3)Ta3(121)Ta4(231)T因為而R(a1a2a3a4)2所以a2b520.求以下齊次線性方程組的根基解系(1)解對系數(shù)矩陣進(jìn)展初等行變換有于是得取(x3x4)T(40)T得(x1x2)T(163)T取(x3x4)T(04)T得(x1x2)T(01)T因此方程組的根基解系為1(16340)T2(0104)T(2)解對系數(shù)矩陣進(jìn)展初等行變換有于是得取(x3x4)T(190)T得(x1x2)T(214)T取(x3x4)T(019)T得(x1x2)T(17)T因此方程組的根基解系為1(214190)T2(17019)T26.求以下非齊次方程組的一個解及對應(yīng)的齊次線性方程組的根基解系(1)解對增廣矩陣進(jìn)展初等行變換有與所給方程組同解的方程為當(dāng)x30時得所給方程組的一個解(81302)T