平面向量的極化恒等式(解析版)

專題八平面向量的極化恒等式利用向量的極化恒等式可以快速對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問題數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，讓“秒殺”向量數(shù)量積問題成為一種可能，此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量積與幾何長度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合．對(duì)于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問題可通過平移轉(zhuǎn)化法等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問題，從而用極化恒等式解決．1．極化恒等式：a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的eq\f(1,4)．2．平行四邊形模式：如圖(1)，平行四邊形ABCD，O是對(duì)角線交點(diǎn)．則：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[|AC|2－|BD|2]．3．三角形模式：如圖(2)，在△ABC中，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|AD|2－|BD|2．三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式，幾乎所有的問題都是用它解決．記憶：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差．考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的定值問題【方法總結(jié)】利用極化恒等式求數(shù)量積的定值問題的步驟(1)取第三邊的中點(diǎn)，連接向量的起點(diǎn)與中點(diǎn)；(2)利用積化恒等式將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長與第三邊長的一半的平方差；(3)求中線及第三邊的長度，從而求出數(shù)量積的值．積化恒等式適用于求對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積，對(duì)于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問題可通過平移轉(zhuǎn)化法等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積，從而用極化恒等式解決．在運(yùn)用極化恒等式求數(shù)量積時(shí)，關(guān)鍵在于取第三邊的中點(diǎn)，找到三角形的中線，再寫出極化恒等式，難點(diǎn)在于求中線及第三邊的長度，通常用平面幾何方法或用正余弦定理求解，從而得到數(shù)量的值．【例題選講】[例1](1)(2014·全國Ⅱ)設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，則a·b＝()A．1B．2C．3D．5答案A解析通法由條件可得，(a＋b)2＝10，(a－b)2＝6，兩式相減得4a·b＝4，所以a·b＝1．極化恒等式a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]＝eq\f(1,4)(10－6)＝1．(2)(2012·浙江)在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝3，BC＝10，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________．答案－16解析因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，由極化恒等式得：eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|AM|2－eq\f(1,4)|BC|2＝9－eq\f(1,4)×100＝－16．(3)如圖所示，AB是圓O的直徑，P是上的點(diǎn)，M，N是直徑AB上關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，且AB＝6，MN＝4，則eq\o(PM,\s\up7(→))·eq\o(PN,\s\up7(→))＝()A．13B．7C．5D．3答案C解析連接AP，BP，則eq\o(PM,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(AM,\s\up7(→))，eq\o(PN,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))－eq\o(AM,\s\up7(→))，所以eq\o(PM,\s\up7(→))·eq\o(PN,\s\up7(→))＝(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(AM,\s\up7(→)))·(eq\o(PB,\s\up7(→))－eq\o(AM,\s\up7(→)))＝eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))－eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(AM,\s\up7(→))＋eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))－|eq\o(AM,\s\up7(→))|2＝－eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(AM,\s\up7(→))＋eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))－|eq\o(AM,\s\up7(→))|2＝eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))－|eq\o(AM,\s\up7(→))|2＝1×6－1＝5．(4)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，AD＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD邊上的中點(diǎn)，則eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))＝________．答案eq\f(3,2)解析連結(jié)EG，F(xiàn)H，交于點(diǎn)O，則eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EO,\s\up6(→))2－eq\o(OH,\s\up6(→))2＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,4)，eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))＝eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\o(GO,\s\up6(→))2－eq\o(OH,\s\up6(→))2＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,4)，因此eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)．(5)(2016·江蘇)如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)．eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值為________．答案eq\f(7,8)解析極化恒等式法設(shè)BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，則AD＝3n．根據(jù)向量的極化恒等式，有eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝9n2－m2＝4，eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝n2－m2＝－1．聯(lián)立解得n2＝eq\f(5,8)，m2＝eq\f(13,8)．因此eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝4n2－m2＝eq\f(7,8)．即eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(7,8)．坐標(biāo)法以直線BC為x軸，過點(diǎn)D且垂直于BC的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xoy，如圖：設(shè)A(3a，3b)，B(－c，0)，C(－c，0)，則有E(2a，2b)，F(xiàn)(a，b)eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝(3a＋c，3b)·(3a－c，3b)＝9a2－c2＋9b2＝4eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝(a＋c，b)·(a－c，b)＝a2－c2＋b2＝－1，則a2＋b2＝eq\f(5,8)，c2＝eq\f(13,8)eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－c，2b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－c，2b))＝4a2－c2＋4b2＝eq\f(7,8)．基向量eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝(eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))(eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(4\o(AD,\s\up6(→))2－\o(BC,\s\up6(→))2,4)＝eq\f(36\o(FD,\s\up6(→))2－\o(BC,\s\up6(→))2,4)＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝(eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))(eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(4\o(FD,\s\up6(→))2－\o(BC,\s\up6(→))2,4)＝－1，因此eq\o(FD,\s\up6(→))2＝eq\f(5,8)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(13,2)，eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝(eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))(eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(4\o(ED,\s\up6(→))2－\o(BC,\s\up6(→))2,4)＝eq\f(16\o(FD,\s\up6(→))2－\o(BC,\s\up6(→))2,4)＝eq\f(7,8)．(6)在梯形ABCD中，滿足AD∥BC，AD＝1，BC＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝2，則eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))的值為________．答案4解析過A點(diǎn)作AE平行于DC，交BC于E，取BE中點(diǎn)F，連接AF，過D點(diǎn)作DH平行于AC，交BC延長線于H，E為BH中點(diǎn)，連接DE，，，又，AD∥BC，則四邊形ADEF為平行四邊形，，．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))的值為________．1．答案1解析取AE中點(diǎn)O，設(shè)|AE|＝x(0≤x≤1)，則|AO|＝eq\f(1,2)x，∴eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝|DO|2－|AO|2＝12＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))eq\s\up6(2)－eq\f(1,4)x2＝1．2．如圖，△AOB為直角三角形，OA＝1，OB＝2，C為斜邊AB的中點(diǎn)，P為線段OC的中點(diǎn)，則eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(OP,\s\up7(→))＝()A．1B．eq\f(1,16)C．eq\f(1,4)D．－eq\f(1,2)2．答案B解析取AO中點(diǎn)Q，連接PQ，eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PO,\s\up7(→))＝PQ2－AQ2＝eq\f(5,16)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)．3．如圖，在平面四邊形ABCD中，O為BD的中點(diǎn)，且OA＝3，OC＝5，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝－7，則eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的值是________．3．答案9解析因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))2－eq\o(OD,\s\up6(→))2＝9－eq\o(OD,\s\up6(→))2＝－7?eq\o(OD,\s\up6(→))2＝16，所以eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(CO,\s\up6(→))2－eq\o(OD,\s\up6(→))2＝25－16＝9．4．已知點(diǎn)A，B分別在直線x＝3，x＝1上，|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|＝4，當(dāng)|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|取最小值時(shí)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的值是_____．A．0B．2C．3D．64．答案C解析如圖，點(diǎn)A，B分別在直線x＝1，x＝3上，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，當(dāng)|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|取最小值時(shí)，AB的中點(diǎn)在x軸上，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))2－eq\o(BM,\s\up6(→))2＝4－4＝0．5．在邊長為1的正三角形ABC中，D，E是邊BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)(D靠近點(diǎn)B)，則eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(AE,\s\up7(→))等于()A．eq\f(1,6)B．eq\f(2,9)C．eq\f(13,18)D．eq\f(1,3)5．答案C解析解法一：因?yàn)镈，E是邊BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以BD＝DE＝CE＝eq\f(1,3)，在△ABD中，AD2＝BD2＋AB2－2BD·AB·cos60°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋12－2×eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(7,9)，即AD＝eq\f(\r(7),3)，同理可得AE＝eq\f(\r(7),3)，在△ADE中，由余弦定理得cos∠DAE＝eq\f(AD2＋AE2－DE2,2AD·AE)＝eq\f(\f(7,9)＋\f(7,9)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,2×\f(\r(7),3)×\f(\r(7),3))＝eq\f(13,14)，所以eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(AE,\s\up7(→))＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|·|eq\o(AE,\s\up7(→))|cos∠DAE＝eq\f(\r(7),3)×eq\f(\r(7),3)×eq\f(13,14)＝eq\f(13,18)．解法二：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，由正三角形的性質(zhì)易得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，0))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，0))，所以eq\o(AD,\s\up7(→))＝(－eq\f(1,6)，－eq\f(\r(3),2))，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，－\f(\r(3),2)))，所以eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，－\f(\r(3),2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，－\f(\r(3),2)))＝－eq\f(1,36)＋eq\f(3,4)＝eq\f(13,18)．極化恒等式法取DE中點(diǎn)F，連接AF，則eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(AE,\s\up7(→))＝|AF|2－|DF|2＝eq\f(3,4)－eq\f(1,36)＝eq\f(13,18)．6．在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，AB＝2，AC＝1，E，F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))等于()A．eq\f(8,9)B．eq\f(10,9)C．eq\f(25,9)D．eq\f(26,9)6．答案B解析坐標(biāo)法由|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，化簡得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，又因?yàn)锳B和AC為三角形的兩條邊，它們的長不可能為0，所以AB與AC垂直，所以△ABC為直角三角形．以A為原點(diǎn)，以AC所在直線為x軸，以AB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)．不妨令E為BC的靠近C的三等分點(diǎn)，則Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3)))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3)))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(4,3)＝eq\f(10,9)．極化恒等式法取EF中點(diǎn)M，連接AM，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝|AM|2－|EM|2＝eq\f(5,4)－eq\f(5,36)＝eq\f(10,9)．7．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是()A．44B．22C．24D．727．答案B解析如圖，取AB中點(diǎn)E，連接EP并延長，交AD延長線于F，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝EP2－AE2＝EP2－16＝2，∴EP＝3eq\r(2)，又∵eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴AE＝2DP，即△FAE中，DP為中位線，AF＝2AD＝10，AE＝eq\f(1,2)AB＝4，F(xiàn)E＝2PE＝6eq\r(2)，AP2＝40，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝AP2－EP2＝40－(3eq\r(2))2＝22．8．如圖，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝6，∠A＝60°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，若F為DE的中點(diǎn)，則eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))的值為________．8．答案4解析取BD的中點(diǎn)N，連接NF，EB，則BE⊥AE，∴BE＝2eq\r(3)．在△DEB中．FN∥eq\f(1,2)EB．∴FN＝eq\r(3)．eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FD,\s\up6(→))＝2(FN2－DN2)＝4．9．如圖，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，D為邊BC的中點(diǎn)，若CD⊥AD，垂足為E，則eq\o(EB,\s\up7(→))·eq\o(EC,\s\up7(→))＝________．9．答案－eq\f(27,7)解析由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝19，即BC＝eq\r(19)，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))AD2－CD2＝|AB|·|AC|·cos120°＝－3，所以|AD|＝eq\f(\r(7),2)，因?yàn)镾△ABC＝2S△ADC，則eq\f(1,2)|AB|·|AC|·sin120°＝2·eq\f(1,2)|AD||CE|，解得|CE|＝eq\f(3\r(21),7)，在Rt△DEC中，|DE|＝eq\r(CD2－CE2)＝eq\f(5\r(7),14)，所以eq\o(EB,\s\up7(→))·eq\o(EC,\s\up7(→))＝|ED|2－|CD|2＝－eq\f(27,7)．10．在平面四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，且AB＝1，EF＝eq\r(2)，CD＝eq\r(5)，若eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝15．則eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(BD,\s\up7(→))的值為________．10．答案解析極化恒等式如圖，取中點(diǎn)，四邊形中，易知三線共點(diǎn)于，，又，在中，，由中線長公式知,從而，=．基向量法，，，，，則，可化為，．考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的最值(范圍)問題【方法總結(jié)】利用極化恒等式求數(shù)量積的最值(范圍)問題的步驟(1)取第三邊的中點(diǎn)，連接向量的起點(diǎn)與中點(diǎn)；(2)利用積化恒等式將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長與第三邊長的一半的平方差；(3)求中線長的最值(范圍)，從而得到數(shù)量的最值(范圍)．積化恒等式適用于求對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積的最值(范圍)問題，利用極化恒等式將多變量轉(zhuǎn)變?yōu)閱巫兞?，再用?shù)形結(jié)合等方法求出單變量的范圍．對(duì)于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問題可通過平移轉(zhuǎn)化法等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積的最值(范圍)問題，從而用極化恒等式解決．在運(yùn)用極化恒等式求數(shù)量積的最值(范圍)時(shí)，關(guān)鍵在于取第三邊的中點(diǎn)，找到三角形的中線，再寫出極化恒等式，難點(diǎn)在于求中線長的最值(范圍)，通過觀察或用點(diǎn)到直線的距離最小或用三角形兩邊之和大于等于第三邊，兩邊之差小于第三邊或用基本不等式等求得中線長的最值(范圍)，從而得到數(shù)量的最值(范圍)．【例題選講】[例1](1)若平面向量a，b滿足|2a－b|≤eq\r(3)，則a·b的最小值為________．答案－eq\f(9,8)解析a·b＝eq\f(1,8)[(2a＋b)2－(2a－b)2]＝eq\f(1,8)[|2a＋b|2－|2a－b|2]≥eq\f(02－32,8)＝－eq\f(9,8)．當(dāng)且僅當(dāng)|2a＋b|＝0，|2a－b|＝3，即|a|＝eq\f(3,4)，|b|＝eq\f(3,2)，<a，b>＝π時(shí)，a·b取最小值－eq\f(9,8)．(2)如圖，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A位于兩平行直線m，n的同側(cè)，且A到m，n的距離分別為1，3，點(diǎn)B，C分別在m，n上，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝5，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的最大值是________．答案eq\f(21,4)解析坐標(biāo)法以直線n為x軸，過點(diǎn)A且垂直于n的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖：則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，3))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，2))，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，－1))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－3))，從而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋c))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4))2＝52，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋c))2＝9，又eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝bc＋3≤eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋c))2,4)＋3＝eq\f(21,4)，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)，等號(hào)成立．極化恒等式連接BC，取BC的中點(diǎn)D，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝AD2－BD2，又AD＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(5,2)，故eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(25,4)－BD2＝eq\f(25,4)－eq\f(1,4)BC2，又因?yàn)锽Cmin＝3－1＝2，所以(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)))max＝eq\f(21,4)．(3)(2017·全國Ⅱ)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值是()A．－2B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(4,3)D．－1答案B解析方法一(解析法)建立坐標(biāo)系如圖①所示，則A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，eq\r(3))，B(－1，0)，C(1，0)．設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，圖①則eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－x，eq\r(3)－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝(－x，eq\r(3)－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－eq\r(3)y)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))2－\f(3,4)))≥2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq\f(3,2)．當(dāng)且僅當(dāng)x＝0，y＝eq\f(\r(3),2)時(shí)，eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))取得最小值，最小值為－eq\f(3,2)．故選B．方法二(幾何法)如圖②所示，eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))(D為BC的中點(diǎn))，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))．圖②要使eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))最小，則eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(PD,\s\up6(→))方向相反，即點(diǎn)P在線段AD上，則(2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→)))min＝－2|eq\o(PA,\s\up6(→))||eq\o(PD,\s\up6(→))|，問題轉(zhuǎn)化為求|eq\o(PA,\s\up6(→))||eq\o(PD,\s\up6(→))|的最大值．又當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，|eq\o(PA,\s\up6(→))|＋|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴|eq\o(PA,\s\up6(→))||eq\o(PD,\s\up6(→))|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|\o(PA,\s\up6(→))|＋|\o(PD,\s\up6(→))|,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝eq\f(3,4)，∴[eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))]min＝(2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→)))min＝－2×eq\f(3,4)＝－eq\f(3,2)．故選B．極化恒等式法設(shè)BC的中點(diǎn)為D，AD的中點(diǎn)為M，連接DP，PM，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝2|eq\o(PM,\s\up6(→))|2－eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝2|eq\o(PM,\s\up6(→))|2－eq\f(3,2)≥－eq\f(3,2)．當(dāng)且僅當(dāng)M與P重合時(shí)取等號(hào)．(4)已知正三角形ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O，點(diǎn)P是圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍是________．答案[－2，6]解析取AB的中點(diǎn)D，連接CD，因?yàn)槿切蜛BC為正三角形，所以O(shè)為三角形ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2eq\r(3)．又由極化恒等式得：eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝|PD|2－eq\f(1,4)|AB|2＝|PD|2－3，因?yàn)镻在圓O上，所以當(dāng)P在點(diǎn)C處時(shí)，|PD|max＝3，當(dāng)P在CO的延長線與圓O的交點(diǎn)處時(shí)，|PD|min＝1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))∈[－2，6]．(5)如圖，已知P是半徑為2，圓心角為eq\f(π,3)的一段圓弧AB上的一點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，則eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))的最小值為_____．答案5－2eq\r(13)解析通法以圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于AB的直徑所在直線為x軸，AB的垂直平分線所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(－1，eq\r(3))，C(2，eq\r(3))，設(shè)P(2cosθ，2sinθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)≤θ≤\f(2π,3)))，則eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2－2cosθ，eq\r(3)－2sinθ)·(－1－2cosθ，eq\r(3)－2sinθ)＝5－2cosθ－4eq\r(3)sinθ＝5－2eq\r(13)sin(θ＋φ)，其中0<tanφ＝eq\f(\r(3),6)<eq\f(\r(3),3)，所以0<φ<eq\f(π,6)，當(dāng)θ＝eq\f(π,2)－φ時(shí)，eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))取得最小值，為5－2eq\r(13)．極化恒等式法設(shè)圓心為O，由題得AB＝2，∴AC＝3．取AC的中點(diǎn)M，由極化恒等式得eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PM,\s\up6(→))2－eq\o(AM,\s\up6(→))2＝eq\o(PM,\s\up6(→))2－eq\f(9,4)，要使eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))取最小值，則需PM最小，當(dāng)圓弧eq\o(AB,\s\up8(︵))的圓心與點(diǎn)P，M共線時(shí)，PM最?。字狣M＝eq\f(1,2)，∴OM＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up6(2)＋(\r(3))2)＝eq\f(\r(13),2)，所以PM有最小值為2－eq\f(\r(13),2)，代入求得eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))的最小值為5－2eq\r(13)．(6)在面積為2的△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，則eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2的最小值是________．答案2eq\r(3)解析取BC的中點(diǎn)為D，連接PD，則由極化恒等式得eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(PD,\s\up6(→))2－eq\f(\o(BC,\s\up6(→))2,4)＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(PD,\s\up6(→))2＋eq\f(3\o(BC,\s\up6(→))2,4)≥eq\f(\o(AD,\s\up6(→))2,4)＋eq\f(3\o(BC,\s\up6(→))2,4)，此時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))時(shí)取等號(hào)，eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2≥eq\f(\o(AD,\s\up6(→))2,4)＋eq\f(3\o(BC,\s\up6(→))2,4)≥2eq\r(\f(\o(AD,\s\up6(→))2,4)·\f(3\o(BC,\s\up6(→))2,4))＝2eq\r(3)．另解取BC邊的中點(diǎn)M，連接PM，設(shè)點(diǎn)P到BC邊的距離為h．則S△ABC＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→))))·2h＝2?eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→))))＝eq\f(2,h)，PM≥h，所以eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(PM,\s\up6(→))2－\f(1,4)\o(BC,\s\up6(→))2))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(PM,\s\up6(→))2＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(PM,\s\up6(→))2＋eq\f(3,h2)≥h2＋eq\f(3,h2)≥2eq\r(3)(當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PM,\s\up6(→))))＝h，h2＝eq\r(3)時(shí)，等號(hào)成立)【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．已知AB是圓O的直徑，AB長為2，C是圓O上異于A，B的一點(diǎn)，P是圓O所在平面上任意一點(diǎn)，則(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值為()A．－eq\f(1,4)B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(1,2)D．－11．答案C解析eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，∴(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))，取OC中點(diǎn)D，由極化恒等式得，eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝|PD|2－|CD|2＝|PD|2－eq\f(1,4)，又|PD|eq\o\al(2,min)＝0，∴(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值為－eq\f(1,2)．2．如圖，設(shè)A，B是半徑為2的圓O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為AO中點(diǎn)，則eq\o(CO,\s\up7(→))·eq\o(CB,\s\up7(→))的取值范圍是()A．[－1，3]B．[1，3]C．[－3，－1]D．[－3，1]2．答案A解析建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，可得O(0，0)，A(－2，0)，C(－1，0)，設(shè)B(2cosθ，2sinθ)．θ∈[0，2π)．則eq\o(CO,\s\up7(→))·eq\o(CB,\s\up7(→))＝(1，0)·(2cosθ＋1，2sinθ)＝2cosθ＋1∈[－1，3]．故選A．極化恒等式法連接OB，取OB的中D，連接CD，則eq\o(CO,\s\up7(→))·eq\o(CB,\s\up7(→))＝|CD|2－|BD|2＝CD2－1，又|CD|eq\o\al(2,min)＝0，∴eq\o(CO,\s\up7(→))·eq\o(CB,\s\up7(→))的最小值為－1．|CD|eq\o\al(2,max)＝2，∴eq\o(CO,\s\up7(→))·eq\o(CB,\s\up7(→))的最大值為3．3．如圖，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB＝eq\f(π,3)，C為弧上的動(dòng)點(diǎn)，AB與OC交于點(diǎn)P，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))的最小值為________．3．答案－eq\f(1,16)解析取OB的中點(diǎn)D，連接PD，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝|eq\o(PD,\s\up6(→))|2－|eq\o(OD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PD,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)，于是只要求求PD的最小值即可，由圖可知，當(dāng)PD⊥AB，時(shí)，PD＝eq\f(\r(3),4)，即所求最小值為－eq\f(1,16)．4．(2020·天津)如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)，則實(shí)數(shù)λ的值為________，若M，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝1，則eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))的最小值為________．4．答案eq\f(1,6)eq\f(13,2)解析第1空因?yàn)閑q\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，所以AD∥BC，則∠BAD＝120°，所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos120°＝－eq\f(3,2)，解得|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1．因?yàn)閑q\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))同向，且BC＝6，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，即λ＝eq\f(1,6)．第2空通法在四邊形ABCD中，作AO⊥BC于點(diǎn)O，則BO＝AB·cos60°＝eq\f(3,2)，AO＝AB·sin60°＝eq\f(3\r(3),2)．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC和AO所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系．如圖，設(shè)M(a，0)，不妨設(shè)點(diǎn)N在點(diǎn)M右側(cè)，則N(a＋1，0)，且－eq\f(3,2)≤a≤eq\f(7,2)．又Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(3),2)))，所以eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－1，－\f(3\r(3),2)))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，－\f(3\r(3),2)))，所以eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))＝a2－a＋eq\f(27,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(13,2)．所以當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))取得最小值eq\f(13,2)．極化恒等式法如圖，取MN的中點(diǎn)P，連接PD，則eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))2－eq\o(MP,\s\up6(→))2＝eq\o(PD,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)，當(dāng)eq\o(PD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))時(shí)，|eq\o(PD,\s\up6(→))|2取最小值eq\f(27,4)，所以eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))的最小值為eq\f(13,2)．5．在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB為鈍角，M，N是邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN＝1，若的最小值為，則cos∠ACB＝________．5．答案解析取MN的中點(diǎn)P，則由極化恒等式得，∵的最小值為，∴，由平幾知識(shí)知：當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP最小，如圖，作CH⊥AB，H為垂足，則CH＝1，又AC＝2BC＝4，所以∠B＝30o，sinA=，所以cos∠ACB＝cos（150o－A）=．6．已知AB為圓O的直徑，M為圓O的弦CD上一動(dòng)點(diǎn)，AB＝8，CD＝6，則eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))的取值范圍是________．6．答案[－9，0]解析如圖，eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))2－eq\o(AO,\s\up6(→))2＝eq\o(MO,\s\up6(→))2－16，∵|eq\o(OG,\s\up6(→))|≤|eq\o(OM,\s\up6(→))|≤|eq\o(OC,\s\up6(→))|，∴eq\r(7)≤|eq\o(OM,\s\up6(→))|≤4，∴eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))的取值范圍是[－9，0]．7．如圖，設(shè)正方形ABCD的邊長為4，動(dòng)點(diǎn)P在以AB為直徑的弧APB上，則eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))的取值范圍為______．7．答案[0，16]解析如圖取CD的中點(diǎn)E，連接PE，eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(PE,\s\up6(→))2－eq\o(DE,\s\up6(→))2＝eq\o(OE,\s\up6(→))2－2，2≤|eq\o(PE,\s\up6(→))|≤2eq\r(5)，所以eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))的取值范圍為[0，16]．8．已知正△ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O，E為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長AE交圓O于點(diǎn)F，則eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))的取值范圍是________．8．答案[0，6]解析取AB的中點(diǎn)D，連接CD，因?yàn)槿切蜛BC為正三角形，所以O(shè)為三角形ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2eq\r(3)．又由極化恒等式得：eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝|FD|2－|AD|2＝|FD|2－3，因?yàn)镕在劣弧BC上，所以當(dāng)F在點(diǎn)C處時(shí)，|FD|max＝3，當(dāng)F在點(diǎn)B處時(shí)，|PD|min＝eq\r(3)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))∈[0，6]．9．已知AB是半徑為4的圓O的一條弦，圓心O到弦AB的距離為1，P是圓O上的動(dòng)點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍為_________．9．答案[－6，10]解析極化恒等式法設(shè)AB的中點(diǎn)為C，連接CP，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|2－|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|2－15．|eq\o(PC,\s\up6(→))|2－15≥25－15＝10，|eq\o(PC,\s\up6(→))|2－15≤9－15＝－6．10．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)M，N分別為邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且MN＝2，則eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))的最小值為________．10．答案15解析取K為MN中點(diǎn)，由極化恒等式，eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝|AK|2－1，顯然K的軌跡是以點(diǎn)C為圓心，1為半徑的圓周在矩形內(nèi)部的圓弧，所以|AK|min＝5－1＝4，所以eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))的最小值為15．11．在△ABC中，已知AB＝eq\r(3)，C＝eq\f(π,3)，則eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的最大值為________．11．答案eq\f(3,2)解析設(shè)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)O是△ABC的外心，連接DO并延長交圓O于C′，由△ABC′是等邊三角形，∵AD＝eq\f(\r(3),2)，∴C′D＝eq\f(3,2)，則eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|2－|eq\o(DA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|2－(eq\f(\r(3),2))2≤|eq\o(C′D,\s\up6(→))|2－eq\f(3,4)＝(eq\f(3,2))2－eq\f(3,4)＝eq\f(3,2)．∴(eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→)))max＝eq\f(3,2)．12．已知在△ABC中，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B＝eq\f(1,4)AB，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))≥eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))，則()A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°C．AB＝ACD．AC＝BC12．答案D解析如圖所示，取AB的中點(diǎn)E，因?yàn)镻0B＝eq\f(1,4)AB，所以P0為EB的中點(diǎn)，取BC的中點(diǎn)D，則DP0為△CEB的中位線，DP0∥CE．根據(jù)向量的極化恒等式，有eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2，eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))＝eq\o(P0D,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2．又eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))≥eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))，則|eq\o(PD,\s\up6(→))|≥|eq\o(P0D,\s\up6(→))|恒成立，必有DP0⊥AB．因此CE⊥AB，又E為AB的中點(diǎn)，所以AC＝BC．13．在正方形ABCD中，AB＝1，A，D分別在x，y軸的非負(fù)半軸上滑動(dòng)，則eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的最大值為______．13．答案2解析如圖取BC的中點(diǎn)E，取AD的中點(diǎn)F，eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))2－eq\o(BE,\s\up6(→))2＝eq\o(OE,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)，而|eq\o(OE,\s\up6(→))|≤|eq\o(OF,\s\up6(→))|＋|eq\o(FE,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)||eq\o(AD,\s\up6(→))|＋|eq\o(FE,\s\up6(→))||＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2)，當(dāng)且僅當(dāng)O，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)．，所以eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的最大值為2．14．在三角形ABC中，D為AB中點(diǎn)，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，E，F(xiàn)分別為BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且EF＝1，則eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))最小值為________．14．答案eq\f(15,4)解析設(shè)EF的中點(diǎn)為M，連接CM，則|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)，即點(diǎn)M在如圖所示的圓弧上，則eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＝|eq\o(DM,\s\up6(→))|2－|eq\o(EM,\s\up6(→))|2＝|eq\o(DM,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)≥||CD|－eq\f(1,2)|2－eq\f(1,4)＝eq\f(15,4)．15．在RtABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，若點(diǎn)A，B分別在x，y軸的非負(fù)半軸上滑動(dòng)，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))的最大值為________．15．答案18解析如圖取AC的中點(diǎn)M，取AB的中點(diǎn)N，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))2－eq\o(AM,\s\up6(→))2＝eq\o(OM,\s\up6(→))2－(eq\f(3,2))2≤(eq\o(ON,\s\up6(→))2－eq\o(NM,\s\up6(→))2)－(eq\f(3,2))2＝(2＋eq\f(5,2))2－(eq\f(3,2))2＝18．16．已知正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，以A為圓心，AF為半徑作弧交AD于E，若P為劣弧EF上的動(dòng)點(diǎn)，則eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))的最小值為______．16．答案5－2eq\r(5)解析如圖取CD的中點(diǎn)M，eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝PM2－DM2＝PM2－1，而|PM|＋1＝|PM|＋|AP|≥|AM|＝eq\r(5)，當(dāng)且僅當(dāng)P，Q重合時(shí)等號(hào)成立，所以eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))的最小值為(eq\r(5)－1)2－1＝5－2eq\r(5)．17．如圖，已知B，D是直角C兩邊上的動(dòng)點(diǎn)，AD⊥BD，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，∠BAD＝eq\f(π,6)，eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))，則eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))的最大值為________．17．答案eq\f(\r(13)＋4,4)解析設(shè)MN的中點(diǎn)為G，BD的中點(diǎn)為H，eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))＝|eq\o(CG,\s\up6(→))|2－|eq\o(GN,\s\up6(→))|2＝|eq\o(CG,\s\up6(→))|2－eq\f(1,16)，∵|eq\o(CG,\s\up6(→))|≤|eq\o(CH,\s\up6(→))|＋|eq\o(HG,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(13),4)，∴eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))≤(eq\f(1,2)＋eq\f(\r(13),4))2－eq\f(1,16)＝eq\f(\r(13)＋4,4)．所以eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))的最大值為eq\f(\r(13)＋4,4)．18．如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2eq\r(3)．若點(diǎn)M為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(DM,\s\up6(→))的最小值為________．18．答案eq\f(21,4)解析設(shè)E是AD的中點(diǎn)，作EN⊥BC于N，延長CB交DA的延長線于F，由題意可得：FD＝eq\r(3)CD＝6，F(xiàn)C＝2CD＝4eq\r(3)，∴BF＝2eq\r(3)，∴AB＝2，F(xiàn)A＝4，∴AD＝2，eq\f(EN,AB)＝eq\f(EF,FA)＝eq\f(5,4)，EN＝eq\f(5,2)．則eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MD,\s\up6(→))＝|eq\o(ME,\s\up6(→))|2－|eq\o(EA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(ME,\s\up6(→))|2－1≥EN2－1＝(eq\f(5,2))2－1＝eq\f(21,4)．∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(21,4)．另解設(shè)E是AD的中點(diǎn)，作EF⊥BC于F，作AG⊥EF于G，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∴四邊形ABCD共圓，如圖，由圓的對(duì)稱性及∠BCD＝60°，CB＝CD＝2eq\r(3)，可知∠BCA＝∠DCA＝30°，∴AB＝2，∵∠GAE＝30°，∴GE＝eq\f(1,2)，∴EF＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2)，則eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MD,\s\up6(→))＝|eq\o(ME,\s\up6(→))|2－|eq\o(EA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(ME,\s\up6(→))|2－1≥EN2－1＝(eq\f(5,2))2－1＝eq\f(21,4)．∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(21,4)．19．(2018·天津)如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up7(→))·eq\o(BE,\s\up7(→))的最小值為________．19．答案eq\f(21,16)解析通法如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．連接AC，由題意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，則D(0，0)，A(1，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，C(0，eq\r(3))．設(shè)E(0，y)(0≤y≤eq\r(3))，則eq\o(AE,\s\up7(→))＝(－1，y)，eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，y－\f