專(zhuān)題03 全等三角形的六種模型全梳理（原卷版）（人教版）

專(zhuān)題03全等三角形的六種模型全梳理幾何探究類(lèi)問(wèn)題一直屬于考試壓軸題范圍，在三角形這一章，壓軸題主要考查是證明三角形各種模型，或證明線段數(shù)量關(guān)系等，接來(lái)下我們針對(duì)其做出詳細(xì)分析與梳理。目的：①構(gòu)造出一組全等三角形；②構(gòu)造出一組平行線。將分散的條件集中到一個(gè)三角形中。課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）如圖2，由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是.（2）如圖2，AD長(zhǎng)的取值范圍是.【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中.【問(wèn)題解決】例2培優(yōu)）已知△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，7ACB=7DCE=90O，連接AD,BE，點(diǎn)F為BE中點(diǎn).如圖1，求證：BF=(2)將△DCE繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接AE,BD，過(guò)C點(diǎn)作CMTAD于M點(diǎn).①探究AE和BD的關(guān)系，并說(shuō)明理由；②連接FC，求證：F，C，M三點(diǎn)共線.【變式訓(xùn)練1】如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AB=2AE.【變式訓(xùn)練3】（1）閱讀理解：如圖①,在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC邊上的中線AD的取值范圍．可以用如下方法：將△ACD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是；（2）問(wèn)題解決：如圖②,在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DETDF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；（3）問(wèn)題拓展：個(gè)50O的角，角的兩邊分別交AB、AD于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.截長(zhǎng)補(bǔ)短法使用范圍：線段和差的證明（往往需證2次全等）例1．如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE，CA平分7BCD，7CAD=7BAE.(1)求證：CD=BC+DE；(2)若7B=75O，求7E的度數(shù).例2培優(yōu)）在△ABC中，BE，CD為△ABC的角平分線，BE，CD交于點(diǎn)F.②如圖2，若BF=AC，求上AEB的大小.（用含α的式表示）.線BC、CD上，且上EAF=上BAD.(1)當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上時(shí)（如圖1請(qǐng)說(shuō)明EF=BE+FD的理由.(2)當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖21）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.【變式訓(xùn)練3】閱讀下面材料：【原題呈現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的長(zhǎng).【思考引導(dǎo)】因?yàn)镃D平分∠ACB，所以可在BC邊上取點(diǎn)E，使EC＝AC，連接DE．這樣很容易得到△DEC≌△DAC，經(jīng)過(guò)推理能使問(wèn)題得到解決（如圖2）.【問(wèn)題解答】（1）參考提示的方法，解答原題呈現(xiàn)中的問(wèn)題；（2）拓展提升：如圖3，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°,BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的長(zhǎng).應(yīng)用：①通過(guò)證明全等實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，便于解決對(duì)應(yīng)的幾何問(wèn)題；②與函數(shù)綜合應(yīng)用中有利于點(diǎn)的坐標(biāo)的求解。(1)若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的長(zhǎng).(2)在其它條件不變的前提下，將CE所在直線變換到△ABC的外部（如圖2請(qǐng)你猜想AD，DE，BE三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AC=BC，D，C，E三點(diǎn)在同一條直線上，并且有上BEC=上ADC=上BCA=若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.例2．在正方形ABCD中，點(diǎn)E在射線CB上（不與點(diǎn)B，C重合連接DB，DE，過(guò)點(diǎn)E作EFTDE，并截取EF=DE（點(diǎn)D，F(xiàn)在BC同側(cè)連接BF.（1）如圖1，點(diǎn)E在BC邊上.①依題意補(bǔ)全圖1；②用等式表示線段BD，BE，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，點(diǎn)E在CB邊的延長(zhǎng)線上，其他條件均不變，直接寫(xiě)出線段BD，BE，BF之間的數(shù)量關(guān)系.【變式訓(xùn)練1】通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：[模型呈現(xiàn)]如圖1，7BAD=90O，AB=AD，過(guò)點(diǎn)B作BCTAC于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作DETAC于點(diǎn)E．求證：BC=AE.[模型應(yīng)用]如圖2，AETAB且AE=AB，BCTCD且BC=CD，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積為.于點(diǎn)F，DE與直線AF交于點(diǎn)G．若BC=21，AF=12，則△ADG的面積為.【變式訓(xùn)練2】（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如線l，垂足分別為點(diǎn)D，E．求證：DE=BD+CE.（2）組員小明想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖2，將（1）中的條件其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE是否成立？若成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題：如圖3，過(guò)△ABC的邊AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高．延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I．若S△AEG=7，則S△AEI=.例1．【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，△ABC和VADE均為等上，連接CE，容易發(fā)現(xiàn)：①上BEC的度數(shù)為；②線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系為；【類(lèi)比探究】（2）如圖2，△ABC和VADE均為等腰同一直線上，連接CE，試判斷上BEC的度數(shù)以及線段BE、CE、DE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【問(wèn)題解決】2的值為.上，AD=AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn).(1)觀察猜想：圖中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)探究證明：把VADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說(shuō)明理由；(3)拓展延伸：把VADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4，AB=10，請(qǐng)直接寫(xiě)出△PMN面積的最大值.將上MON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，上MON的兩邊分別與射線AC、CB交于點(diǎn)D、E.(1)當(dāng)上MON轉(zhuǎn)動(dòng)至如圖一所示的位置時(shí)，連接CO，求證：△COD三△BOE；(2)當(dāng)上MON轉(zhuǎn)動(dòng)至如圖二所示的位置時(shí)，線段CD、CE、AC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式訓(xùn)練2】已知在△ABC中，AB=AC，過(guò)點(diǎn)B引一條射線BM，D是BM上一點(diǎn)【問(wèn)題解決】明同學(xué)展示的做法是：在BM上取一點(diǎn)E使得AE=AD，通過(guò)已知的條件，從而求得上BDC的度數(shù)，請(qǐng)你幫助小明寫(xiě)出證明過(guò)程；【類(lèi)比探究】①當(dāng)射線BM在上ABC內(nèi)，求上BDC的度數(shù)②當(dāng)射線BM在BC下方，如圖3所示，請(qǐng)問(wèn)上BDC的度數(shù)會(huì)變化嗎?若不變，請(qǐng)說(shuō)明理由，若改變，請(qǐng)求出上BDC的度數(shù)；例1．已知：邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F，且∠EAF＝45°,連接EF．求證：EF＝BE+DF.思路分析：∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，??根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F.∴EF＝BE+DF.類(lèi)比探究：(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程；拓展應(yīng)用：=6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積.（1）求7ACE十7BCF的度數(shù)；（2）以E為圓心，以AE長(zhǎng)為半徑作弧；以F為圓心，以BF長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)G，試探索△EFG的形狀？是銳角三形，直角三角形還是鈍角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式訓(xùn)練1】已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°,∠MBN=60°,∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于E、F.（1）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時(shí)（如圖1試猜想AE，CF，EF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)將三條線段分別填入后面橫線中不需證明）（2）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖2）時(shí)，上述（1）中結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖3）時(shí)，上述（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明.接寫(xiě)出BE、DF、EF之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，上B=上D=90。，E、F分別是BC，CD上點(diǎn)F，使得上EAF=上BAD，則結(jié)論EF=BE+DF是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們的數(shù)量關(guān)系并證明.(1)上ADB的度數(shù)為；(2)小華說(shuō)△ABE是等腰三角形，小明說(shuō)△ABE是等邊三角形，的說(shuō)法更準(zhǔn)確，并說(shuō)明理由；(3)連接DE，若DE丄BD,DE=10，求AD的長(zhǎng).例2培優(yōu)）已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC，BC為邊在線段AB同側(cè)作△ACD和(3)設(shè)上ACD=a，將圖2中的△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點(diǎn)F至少在BD，AE中的一條線段上如圖3．試探究上AFB與a的數(shù)量關(guān)系，并予以說(shuō)明.【變式訓(xùn)練1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,CA＝CB，點(diǎn)D是直線AB上的一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段CE，連接EB.（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為；（2）猜想論證當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2，是點(diǎn)D在射線AB上，如圖3，是點(diǎn)D在射線BA上，請(qǐng)你寫(xiě)出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)圖2的結(jié)論進(jìn)行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請(qǐng)你直接寫(xiě)出△ADE的面積.【變式訓(xùn)練2】如圖，等邊△ABC中，DE//BA分別交BC、AC于點(diǎn)D、E.（1）求證：△CDE是等邊三角形；（2）將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0。<θ<360。設(shè)直線AE與直線BD相交于點(diǎn)F.①如圖，當(dāng)0。<θ<180。時(shí)，判斷上AFB的度數(shù)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由；②若AB=7，CD=3，當(dāng)B，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，求BD的長(zhǎng).1．已知：如圖，在△ABC中，7B=60。，D、E分別為AB、BC上的點(diǎn)，且AE、CD交于點(diǎn)F．若AE、CD為△ABC的角平分線.(1)求7AFC的度數(shù)；2．在Rt△ABC與Rt△BDE中，7ABC=7DBE=90。，AB=BC，BD=BE.(1)如圖1，若點(diǎn)D，B，C在同一直線上，連接AD，CE，則AD與CE的關(guān)系為.(2)如果將圖1中的△BDE繞點(diǎn)B在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，那么請(qǐng)你判斷AD與CE的關(guān)系，并說(shuō)明理由NP，MN，將△BDE繞點(diǎn)B在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中△MPN的面積最大值和最小值.3．問(wèn)題背景：CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°,探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是.實(shí)際應(yīng)用：如圖2，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化ABCD，四周修有步行小徑，且AB＝AD，∠B+∠D＝180°,在小徑BC，CD上各修一涼亭E，F(xiàn)，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達(dá)，經(jīng)測(cè)量得上EAF=上BAD，BE＝10米，DF＝15米，試求兩涼亭之間的距離EF.我們把這種模型稱(chēng)為“半角模型”，在解決“半角模型”問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一