專題17 函數(shù)的應(yīng)用-【初升高銜接】新高一數(shù)學(xué)暑假銜接講義（解析版）

第第頁專題17函數(shù)的應(yīng)用【考點(diǎn)清單】數(shù)學(xué)建模是連接數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)世界的橋梁。本專題我們用實(shí)例來介紹，怎樣從現(xiàn)實(shí)世界中發(fā)現(xiàn)問題，如何通過數(shù)學(xué)建模來求解特定的問題.1、用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般步驟（1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，用函數(shù)刻畫實(shí)際問題，初步選擇模型．（2）建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．（3）求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論．（4）還原：利用數(shù)學(xué)知識和方法得出的結(jié)論還原到實(shí)際問題中．可將這些步驟用框圖表示如下：2、常見的函數(shù)模型（1）一次函數(shù)模型：即直線模型，其特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值勻速增大或減?。F(xiàn)實(shí)生活中很多事例可以用該模型來表示，例如：勻速直線運(yùn)動的時(shí)間和位移的關(guān)系，彈簧的伸長量與拉力的關(guān)系等．（2）二次函數(shù)模型：二次函數(shù)為生活中最常見的一種數(shù)學(xué)模型，因二次函數(shù)可求其最大值（或最小值），故最優(yōu)、最省等問題常常是二次函數(shù)的模型．（3）分段函數(shù)模型：由于分段函數(shù)在不同的區(qū)間中具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研究條件變化的實(shí)際問題，或者在某一特定條件下的實(shí)際問題中具有廣泛的應(yīng)用．【考向精析】考向一：分式型函數(shù)模型的應(yīng)用1.某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品萬件時(shí)的生產(chǎn)成本為（萬元），每件商品售價(jià)為元，假設(shè)每月所生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完．當(dāng)月所獲得的總利潤用（萬元）表示，用表示當(dāng)月生產(chǎn)商品的單件平均利潤，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)生產(chǎn)萬件時(shí)，當(dāng)月能獲得最大總利潤萬元B．當(dāng)生產(chǎn)萬件時(shí)，當(dāng)月能獲得最大總利潤萬元C．當(dāng)生產(chǎn)萬件時(shí)，當(dāng)月能獲得單件平均利潤最大為元D．當(dāng)生產(chǎn)萬件時(shí)，當(dāng)月能獲得單件平均利潤最大為元【答案】D【解析】由題意可得，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，因此，當(dāng)生產(chǎn)萬件時(shí)，當(dāng)月能獲得最大總利潤萬元，當(dāng)生產(chǎn)萬件時(shí)，當(dāng)月能獲得單件平均利潤最大為元.故選：D.2.我國所需的高端芯片很大程度依賴于國外進(jìn)口，“缺芯之痛”關(guān)乎產(chǎn)業(yè)安全、國家經(jīng)濟(jì)安全.如今，我國科技企業(yè)正在芯片自主研發(fā)之路中不斷崛起.根據(jù)市場調(diào)查某手機(jī)品牌公司生產(chǎn)某款手機(jī)的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬美元.設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī)萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為萬美元，且當(dāng)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī)2萬部并全部銷售完時(shí)，年利潤為704萬美元.（1）寫出年利潤(萬美元)關(guān)于年產(chǎn)量(萬部)的函數(shù)解析式：（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時(shí)，公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大?并求出最大利潤.【答案】（1）；（2）32萬部，最大值為6104萬美元.【解析】（1）先由生產(chǎn)該款手機(jī)2萬部并全部銷售完時(shí)，年利潤為704萬美元，解得，然后由，將代入即可.（2）當(dāng)時(shí)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；當(dāng)時(shí)，利用基本不等式求解，綜上對比得到結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)樯a(chǎn)該款手機(jī)2萬部并全部銷售完時(shí)，年利潤為704萬美元.所以，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以（2）①當(dāng)時(shí)，，所以；②當(dāng)時(shí)，，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號，所以此時(shí)的最大值為5760.綜合①②知，當(dāng)，取得最大值為6104萬美元.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：應(yīng)用題的基本解題步驟：（1）根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值；（2）設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；（3）解應(yīng)用題時(shí)，要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍；（4）在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，若等號取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解．3．圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m，新墻的造價(jià)為180元/m，設(shè)利用的舊墻的長度為x（單位：元）．設(shè)修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用為y.（Ⅰ）將y表示為x的函數(shù)；（Ⅱ）試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用．【答案】（Ⅰ）y=225x+（Ⅱ）當(dāng)x=24m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元．【詳解】試題分析：（1）設(shè)矩形的另一邊長為am，則根據(jù)圍建的矩形場地的面積為360m2，易得，此時(shí)再根據(jù)舊墻的維修費(fèi)用為45元/m，新墻的造價(jià)為180元/m，我們即可得到修建圍墻的總費(fèi)用y表示成x的函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)（1）中所得函數(shù)的解析式，利用基本不等式，我們易求出修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用最小值，及相應(yīng)的x值試題解析：（1）如圖，設(shè)矩形的另一邊長為am則45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+（2）．當(dāng)且僅當(dāng)225x=時(shí)，等號成立．即當(dāng)x=24m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元．考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用4．如圖所示，將一個(gè)矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求M在射線AB上，N在射線AD上，且對角線MN過C點(diǎn)已知米，米，設(shè)AN的長為米(1)要使矩形AMPN的面積大于54平方米，則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？(2)求當(dāng)AM，AN的長度分別是多少時(shí)，矩形花壇AMPN的面積最小，并求出此最小值；【答案】(1)(2)，最小面積為48平方米【分析】（1）先表達(dá)出AMPN的面積表達(dá)式，時(shí)解出不等式，即可知AN的取值范圍.（2）令，將式子化成對勾函數(shù)后求最值.【詳解】（1）解：設(shè)的長為米（）是矩形由，得，解得或即的取值范圍為（2）令，（），則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，此時(shí)，最小面積為48平方米考向二：二次函數(shù)模型的應(yīng)用5．某產(chǎn)品的總成本y萬元與產(chǎn)量x（臺）之間的關(guān)系是，，若每臺產(chǎn)品的售價(jià)為9萬元，則生產(chǎn)者不虧本（銷售收入不小于總成本）時(shí)的最低產(chǎn)量是（）A．3臺 B．5臺 C．6臺 D．10臺【答案】A【解析】依題意，，即，解得或（舍去），∵，∴.∴生產(chǎn)者不虧本（銷售收入不小于總成本）時(shí)的最低產(chǎn)量是3（臺）．故選：A．6．把長為的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)兩段長分別為，，其中，則這兩個(gè)正三角形的邊長分別為，，面積之和為，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，所以．7．某汽車配件廠擬引進(jìn)智能機(jī)器人來代替人工進(jìn)行某個(gè)操作，以提高運(yùn)作效率和降低人工成本，已知購買x臺機(jī)器人的總成本為（萬元）．(1)若使每臺機(jī)器人的平均成本最低，問應(yīng)買多少臺？(2)現(xiàn)按（1）中求得的數(shù)量購買機(jī)器人，需要安排m人協(xié)助機(jī)器人，經(jīng)實(shí)驗(yàn)知，每臺機(jī)器人的日平均工作量（單位：次），已知傳統(tǒng)人工每人每日的平均工作量為400次，問引進(jìn)機(jī)器人后，日平均工作量達(dá)最大值時(shí)，用人數(shù)量比引進(jìn)機(jī)器人前工作量達(dá)此最大值時(shí)的用人數(shù)量減少百分之幾？【答案】(1)8臺(2)【分析】（1）根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為對的求解，利用基本不等式即可；（2）先求出一臺機(jī)器人的最大日工作量，根據(jù)最大工作量再求出所需要的人數(shù)，通過比較即可求解.（1）由題意．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以應(yīng)購買8臺，可使每臺機(jī)器人的平均成本最低．（2）由，可得當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，．每臺機(jī)器人的日平均工作量最大時(shí)，安排的人工數(shù)最小為20人，而此時(shí)人工操作需要的人工數(shù)為，．所以可減少．8．如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用院墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)矩形花園，已知院墻長為25米，籬笆長50米（籬笆全部用完），設(shè)籬笆的一面的長為米．(1)當(dāng)?shù)拈L為多少米時(shí)，矩形花園的面積為300平方米？(2)若圍成的矩形的面積為S平方米，當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？【答案】(1)15米；(2)當(dāng)x為12.5米時(shí)，S有最大值，最大值是312.5平方米.【分析】（1）設(shè)籬笆的一面的長為x米，則，根據(jù)“矩形花園的面積為300平方米”列一元二次方程，求解即可；（2）根據(jù)題意，可得，根據(jù)二次函數(shù)最值的求法求解即可．【詳解】（1）設(shè)籬笆的一面AB的長為x米，則，由題意得，，解得，，，，所以，的長為15米時(shí)，矩形花園的面積為300平方米；（2）由題意得，時(shí)，S取得最大值，此時(shí)，，所以，當(dāng)x為12.5米時(shí)，S有最大值，最大值是312.5平方米．考向三：分段函數(shù)模型的應(yīng)用9．我國在2020年9月22日在聯(lián)合國大會提出，二氧化碳排放力爭于2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰，爭取在2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．為了響應(yīng)黨和國家的號召，某企業(yè)在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品，經(jīng)測算，該技術(shù)處理總成本y（單位：萬元）與處理量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為，當(dāng)處理量x等于多少噸時(shí)，每噸的平均處理成本最少（

）A．120 B．200 C．240 D．400【答案】D【分析】先根據(jù)題意求出每噸的平均處理成本與處理量之間的函數(shù)關(guān)系，然后分和分析討論求出其最小值即可【詳解】由題意得二氧化碳每噸的平均處理成本為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值240，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，此時(shí)取得最小值200，綜上，當(dāng)每月得理量為400噸時(shí)，每噸的平均處理成本最低為200元，故選：D10.吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奧會強(qiáng)勢出圈，并衍生出很多不同品類的吉祥物手辦．某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本為200萬元．每生產(chǎn)萬盒，需投入成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時(shí)；當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時(shí)，若每盒玩具手辦售價(jià)200元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售完（利潤＝售價(jià)－成本，成本＝固定成本＋生產(chǎn)中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬盒時(shí)，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲利潤最大？【答案】(1)(2)70萬盒【分析】（1）根據(jù)題意分和兩種情況求解即可；（2）根據(jù)分段函數(shù)中一次與二次函數(shù)的最值求解即可.【詳解】（1）當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時(shí)，，當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時(shí)，，故銷售利潤（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式為（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取到最大值，為1200．

因?yàn)?，所以?dāng)產(chǎn)量為70萬盒時(shí)，該企業(yè)所獲利潤最大．11．“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn).研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時(shí)，某種魚在一定的條件下，把每尾魚的平均生長速度v（單位：千克/年）表示為養(yǎng)殖密度x（單位：尾/立方米）的函數(shù).當(dāng)時(shí)，v的值為2；當(dāng)時(shí)，v是關(guān)于x的一次函數(shù).當(dāng)x＝20時(shí)，因缺氧等原因，v的值為0.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)x為多大時(shí)，魚的年生長量（單位：千克/立方米）可以達(dá)到最大？并求出最大值.【答案】(1)(2)x＝10，最大值為12.5千克/立方米【分析】（1）根據(jù)題意得建立分段函數(shù)模型求解即可；（2）分段求得函數(shù)的最值，比較可得答案.【詳解】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，是關(guān)于x的一次函數(shù)，假設(shè)，則，解得，所以.（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值.因?yàn)?，所以?dāng)x＝10時(shí)，魚的年生長量可以達(dá)到最大，最大值為12.5.12．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會，又稱2022年北京冬季奧運(yùn)會，是由中國舉辦的國際性奧林匹克賽事，于2022年2月4日開幕，2月20日閉幕.本屆奧運(yùn)會共設(shè)7個(gè)大項(xiàng)，15個(gè)分項(xiàng)，109個(gè)小項(xiàng).北京賽區(qū)承辦所有的冰上項(xiàng)目和自由式滑雪大跳臺，延慶賽區(qū)承辦雪車?雪橇及高山滑雪項(xiàng)目，張家口賽區(qū)承辦除雪車?雪橇?高山滑雪和自由式滑雪大跳臺之外的所有雪上項(xiàng)目，冬奧會的舉辦可以帶動了我國3億人次的冰雪產(chǎn)業(yè)，這為冰雪設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)帶來了新的發(fā)展機(jī)遇，某冰雪裝備器材生產(chǎn)企業(yè)，生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為2000萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本（萬元）.經(jīng)計(jì)算若年產(chǎn)量x千件低于100千件，則這x千件產(chǎn)品成本；若年產(chǎn)量x千件不低于100千件時(shí)，則這x千件產(chǎn)品成本.每千件產(chǎn)品售價(jià)為100萬元，為了簡化運(yùn)算我們假設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完.(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，企業(yè)所獲得利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)(2)當(dāng)該企業(yè)年產(chǎn)量為105千件時(shí)，所獲得利潤最大，最大利潤是1000萬元【分析】（1）年利潤為銷售收入減去生產(chǎn)成本，分情況討論計(jì)算即可；（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求最大值；當(dāng)時(shí)，根據(jù)基本不等式求最大值，繼而求出最大值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以（2）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為950.當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.因?yàn)?，所以?dāng)該企業(yè)年產(chǎn)量為105千件時(shí)，所獲得利潤最大，最大利潤是1000萬元.13．調(diào)查顯示，垃圾分類投放可以帶來約元/千克的經(jīng)濟(jì)效益.為激勵居民垃圾分類，某市準(zhǔn)備給每個(gè)家庭發(fā)放一張積分卡，每分類投放積分分，若一個(gè)家庭一個(gè)月內(nèi)垃圾分類投放總量不低于，則額外獎勵分（為正整數(shù)）.月底積分會按照元/分進(jìn)行自動兌換.①當(dāng)時(shí)，若某家庭某月產(chǎn)生生活垃圾，該家庭該月積分卡能兌換_____元；②為了保證每個(gè)家庭每月積分卡兌換的金額均不超過當(dāng)月垃圾分類投放帶來的收益的%，則的最大值為___________.【答案】【分析】①計(jì)算出該家庭月底的積分，再拿積分乘以可得出該家庭該月積分卡能兌換的金額；②設(shè)每個(gè)家庭每月產(chǎn)生的垃圾為，每個(gè)家庭月底月積分卡能兌換的金額為元，分、兩種情況討論，計(jì)算的表達(dá)式，結(jié)合可求得的最大值.【詳解】①若某家庭某月產(chǎn)生生活垃圾，則該家庭月底的積分為分，故該家庭該月積分卡能兌換元；②設(shè)每個(gè)家庭每月產(chǎn)生的垃圾為，每個(gè)家庭月底月積分卡能兌換的金額為元.若時(shí)，恒成立；若時(shí)，，可得.故的最大值為.故答案為：①；②.考向四：函數(shù)圖象與實(shí)際問題的交匯14．（多選）甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離都是2km.如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過的路程y(km)與時(shí)間x(min)的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（

）A．甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60minB．甲從家到公園的時(shí)間是30minC．甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度快D．當(dāng)0≤x≤30時(shí)，y與x的關(guān)系式為y＝x【答案】BD【解析】在A中，甲在公園休息的時(shí)間是10min，所以只走了50min，A錯誤；由題中圖象知，B正確；甲從家到公園所用的時(shí)間比從公園到乙同學(xué)家所用的時(shí)間長，而距離相等，所以甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度慢，C錯誤；當(dāng)0≤x≤30時(shí)，設(shè)y＝kx(k≠0)，則2＝30k，解得，D正確.故選：BD15．（多選）某工廠八年來某種產(chǎn)品總產(chǎn)量（即前年年產(chǎn)量之和）與時(shí)間（年）的函數(shù)關(guān)系如圖，下列幾種說法中正確的是（）A．前三年中，總產(chǎn)量的增長速度越來越慢B．前三年中，年產(chǎn)量的增長速度越來越慢C．第三年后，這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)D．第三年后，年產(chǎn)量保持不變【答案】AC【解析】由題中函數(shù)圖像可知，在區(qū)間上，圖像是凸起上升的，表明總產(chǎn)量的增長速度越來越慢，A正確，由總產(chǎn)量增長越來越慢知，年產(chǎn)量逐年減小，因此B錯誤，在上，圖像是水平直線，表明總產(chǎn)量保持不變，即年產(chǎn)量為，因此C正確，D錯誤.故選：AC16．（多選）某部影片的盈利額(即影片的票房收入與固定成本之差)記為，觀影人數(shù)記為，關(guān)于的函數(shù)圖像如圖（1）所示．由于目前該片盈利未達(dá)到預(yù)期，相關(guān)人員提出了兩種調(diào)整方案，圖（2）、圖（3）中的實(shí)線分別為調(diào)整后關(guān)于的函數(shù)圖像．給出下列四種說法，其中正確的說法是（

）A．圖（2）對應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并提高固定成本B．圖（2）對應(yīng)的方案是：保持票價(jià)不變，并降低固定成本C．圖（3）對應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并保持固定成本不變D．圖（3）對應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并降低固定成本【答案】BC【解析】由圖（1）可設(shè)關(guān)于的函數(shù)為，，，為票價(jià)，當(dāng)時(shí)，，則為固定成本；由圖（2）知，直線向上平移，不變，即票價(jià)不變，變大，則變小，固定成本減小，故A錯誤，B正確；由圖（3）知，直線與軸的交點(diǎn)不變，直線斜率變大，即變大，票價(jià)提高，不變，即不變，固定成本不變，故C正確，D錯誤；故選：BC．【鞏固檢測】1．生命在于運(yùn)動，運(yùn)動在于鍛煉.其中，游泳就是一個(gè)非常好的鍛煉方式.游泳有眾多好處，強(qiáng)身健體、保障生命安全、增強(qiáng)心肺功能、鍛煉意志、培養(yǎng)勇敢頑強(qiáng)精神、休閑娛樂.近幾年，游泳池成了新小區(qū)建設(shè)的標(biāo)配家門口的“游泳池”，成了市民休閑娛樂的好去處，如圖，某小區(qū)規(guī)劃一個(gè)深度為，底面積為的矩形游泳池，按規(guī)劃要求：在游泳池的四周安排寬的休閑區(qū)，休閑區(qū)造價(jià)為元/，游泳池的底面與墻面鋪設(shè)瓷磚，瓷磚造價(jià)為元/.其他設(shè)施等支出約為1萬元，設(shè)游泳池的長為.

(1)試將總造價(jià)（元）表示為長度（m）的函數(shù)；(2)當(dāng)取何值時(shí)，總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià).【解析】（1）因?yàn)橛斡境氐拈L為，所以游泳池的寬為，鋪游泳池的花費(fèi)為，休閑區(qū)的花費(fèi)為，所以總造價(jià)為，其中；（2）由基本不等式可得（元），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.因此，當(dāng)時(shí)，總造價(jià)最低，且最低總造價(jià)為元.2．因新冠疫情零星散發(fā)，某實(shí)驗(yàn)中學(xué)為了保障師生安全，同時(shí)考慮到節(jié)省費(fèi)用，擬借助校門口一側(cè)原有墻體建造一間高為4米、底面積為24平方米、背面靠墻體的長方體形狀的隔離室．隔離室的正面需開一扇安全門，此門高為2米，且此門高為此門底的.因此室的后背面靠墻，故無需建墻費(fèi)用，但需粉飾．現(xiàn)學(xué)校面向社會公開招標(biāo)，甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)：正面為每平方米360元，左右兩側(cè)面為每平方米300元，已有墻體粉飾為每平方米100元，屋頂和地面以及安全門報(bào)價(jià)共計(jì)1200元．設(shè)隔離室的左右兩側(cè)面的底邊長度均為x米．(1)記y為甲工程隊(duì)整體報(bào)價(jià)，求的解析式；(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也要參與此隔離室建造的競標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為元，問是否存在實(shí)數(shù)t，使得無論左右兩側(cè)底邊長為多少，乙工程隊(duì)都能競標(biāo)成功（注：整體報(bào)價(jià)小者競標(biāo)成功），若存在，求出t滿足的條件；若不存在，請說明理由．【解析】（1）由題意，隔離室的左右兩側(cè)的長度均為x米()，則底面長為米，正面費(fèi)用為,故，.（2）由題意知,，對任意都成立,即對任意恒成立，令,則，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，故，即存在實(shí)數(shù)，無論左右兩側(cè)長為多少，乙工程隊(duì)都能競標(biāo)成功.3．某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券類產(chǎn)品的年收益f(x)(單位：萬元)與投資額x(單位：萬元)成正比，其關(guān)系如圖1；投資股票類產(chǎn)品的年收益g(x)(單位：萬元)與投資額x(單位：萬元)的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2.(1)分別寫出兩種產(chǎn)品的年收益f(x)和g(x)的函數(shù)關(guān)系式；(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大年收益，其最大年收益是多少萬元?【解析】（1）依題意可設(shè)f(x)=k1x(x≥0)，g(x)=k2(x≥0).∵f(1)=k1=，g(1)=k2=，∴f(x)=x(x≥0)，g(x)=(x≥0).（2）設(shè)投資債券類產(chǎn)品x萬元，股票類產(chǎn)品(20-x)萬元，年收益為y萬元，則由題意得y=f(x)+g(20x)=(0≤x≤20)，令t=，則x=20t2，[0,2]，∴y==(t2)2+3，[0,2]，∴當(dāng)t=2，即x=16時(shí)，ymax=3.∴投資債券類產(chǎn)品16萬元，股票類產(chǎn)品4萬元時(shí)可獲得最大年收益，且最大年收益為3萬元.4．甲、乙兩城相距100km，在兩城之間距甲城xkm處的丙地建一核電站給甲、乙兩城供電，為保證城市安全，核電站距兩地的距離不少于10km．已知各城供電費(fèi)用（元）與供電距離（km）的平方和供電量（億千瓦時(shí)）之積都成正比，比例系數(shù)均是=0.25，若甲城供電量為20億千瓦時(shí)/月，乙城供電量為10億千瓦時(shí)/月，(1)把月供電總費(fèi)用y（元）表示成x（km）的函數(shù)，并求其定義域；(2)求核電站建在距甲城多遠(yuǎn)處，才能使月供電總費(fèi)用最?。窘馕觥浚?）由題意知：經(jīng)化簡為，定義域?yàn)?（2）將（1）中函數(shù)配方為，所以當(dāng)即核電站距甲城時(shí)，月供電總費(fèi)用最小，為元．．5.某工廠去年1月，2月，3月生產(chǎn)某產(chǎn)品分別為1萬件，1.2萬件，1.3萬件，為了估測以后每個(gè)月的產(chǎn)量，以這三個(gè)月的產(chǎn)量數(shù)據(jù)為依據(jù)，用一個(gè)函數(shù)模擬產(chǎn)品的月產(chǎn)量與月份數(shù)的關(guān)系，模擬函數(shù)可以選擇二次函數(shù)或函數(shù)（其中為常數(shù)）．已知4月份該產(chǎn)品產(chǎn)量為1.37萬件，請問用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)更好，并說明理由．【解析】設(shè)二次函數(shù)為，由已知得，解之得，所以，當(dāng)時(shí)，，又對函數(shù)，由已知得，解之得，所以，當(dāng)時(shí)，.根據(jù)四月份的實(shí)際產(chǎn)量為萬元，而,所以函數(shù)作模擬函數(shù)較好.6．某廠生產(chǎn)某種零件，每個(gè)零件的成本為4元，出廠單價(jià)6元，該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂購超過100個(gè)時(shí)，每多訂購一個(gè)，零件的出廠單價(jià)就降低0.01元，但實(shí)際出廠價(jià)不低于5元．(1)當(dāng)一次訂購量為多少時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)降為5元？(2)設(shè)一次訂購量為x個(gè)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)為元，求函數(shù)的表達(dá)式；(3)銷售商一次訂購150個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤是多少元？若訂購500個(gè)呢？【解析】（1）設(shè)一次訂購量為個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)降為5元，則，解得，所以當(dāng)一次訂購量為200個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)降為5元．（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，．（3）當(dāng)一次訂購150個(gè)零件時(shí)，出廠單價(jià)為元，該廠獲得的利潤是：元；當(dāng)一次訂購500個(gè)零件時(shí)，出廠單價(jià)為5元，該廠獲得的利潤是：元，故銷售商一次訂購150個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤是225元；若訂購500個(gè)，該廠獲得的利潤是500元．7.目前，我國汽車工業(yè)迎來了巨大的革