人教版八年級數(shù)學下冊?？键c微專題提分精練專題16勾股定理的應用十二種類型(原卷版+解析)

專題16勾股定理的應用十二種類型類型一求梯子的滑動高度1．如圖所示，一架梯子AB斜靠在墻面上，且AB的長為2.5米．（1）若梯子底端離墻角的距離OB為1.5米，求這個梯子的頂端A距地面有多高？（2）在（1）的條件下，如果梯子的頂端A下滑0.5米到點A'，那么梯子的底端B在水平方向滑動的距離BB'為多少米？2．如圖所示，一根長2.5米的木棍（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，此時OB的距離為0.7米，設木棍的中點為P．若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）如果木棍的頂端A沿墻下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移動多少距離？（2）請判斷木棍滑動的過程中，點P到點O的距離是否變化，并簡述理由．3．將長為2.5米的梯子AC斜靠在墻上，梯子的底部離墻的底端1.5米（即圖中BC的長）．（1）求梯子的頂端與地面的距離；（2）若梯子頂端A下滑1.3米，那么梯子底端C向左移動了多少米？類型二求旗桿高度4．學完勾股定理之后，同學們想利用升旗的繩子、卷尺，測算出學校旗桿的高度．愛動腦筋的小明這樣設計了一個方案：將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個結，然后將繩子拉到離旗桿底端5米處，發(fā)現(xiàn)此時繩子底端距離打結處約1米．請你設法幫小明算出旗桿的高度．5．小明是一名升旗手，面對高高的旗桿，他想出了好幾種方法測量方法，學過直角三角形后，他只用一把卷尺就測出了旗桿AB的高度．下面是他測量的過程和數(shù)據(jù)：第一步：測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長1m（如圖1），第二步：拉著繩子的下端往后退，當他將繩子拉直時，測得此時拉繩子的手到地面的距離CD為1m，到旗桿的距離CE為8m，（如圖2）．他很快算出了旗桿的高度，請你也來試一試．6．如圖是一面長方形彩旗完全展平時的尺寸圖(單位：cm)．其中長方形ABCD是由雙層白布縫制的穿旗桿用的旗褲，陰影部分DCEF為長方形綢緞旗面，將穿好彩旗的旗桿垂直插在操場上，旗桿從旗頂?shù)降孛娴母叨葹?20cm.在無風的天氣里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂時最低處離地面的最小高度h.類型三求小鳥飛行距離7．如圖，有一只小鳥在一棵高13m的大樹樹梢上捉蟲子，它的伙伴在離該樹12m，高8m的一棵小樹樹梢上發(fā)出友好的叫聲，它立刻以2m/s的速度飛向小樹樹梢，它最短要飛多遠？這只小鳥至少幾秒才可能到達小樹和伙伴在一起？8．如圖，某?？萍紕?chuàng)新興趣小組用他們設計的機器人，在平坦的操場上進行走展示.輸入指令后，機器人從出發(fā)點A先向東走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向東走70米到達終止點B.求終止點B與原出發(fā)點A的距離AB.9．如圖，飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一男孩子頭頂上方4000米處，過了20秒，飛機距離這個男孩頭頂5000米.飛機每小時飛行多少千米？類型四求大樹折斷前的高度10．如圖，一棵豎直生長的竹子高為8米，一陣強風將竹子從C處吹折，竹子的頂端A剛好觸地，且與竹子底端的距離AB是4米．求竹子折斷處與根部的距離CB．11．《九章算術》中有“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根七尺，問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一陣風將竹子折斷，其竹稍恰好抵地，抵地處距竹子底端7尺遠，問折斷處離地面的高度是多少尺？12．如圖，一棵大樹在一次強臺風中在距地面處折斷，倒下后樹頂端著地點距樹底端的距離為，則這棵大樹在折斷前的高度為多少？類型五解決水杯中筷子的問題13．如圖是一種盛飲料的圓柱形玻璃杯，測得玻璃杯內(nèi)部底面半徑為2.5cm，高為12cm，吸管按圖中所示的方式放進杯里，露在杯口外面的吸管長4.6cm則吸管有多長?14．一根的木棒，要放在長、寬、高分別是的長方體木箱中，能放進去嗎？（提示：長方體的高垂直于底面的任何一條直線．）15．《九章算術》中“勾股”一章有記載：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它的頂端恰好到達池邊的水面，求蘆葦?shù)拈L度．（1丈＝10尺）解決下列問題：（1）示意圖中，線段AF的長為尺，線段EF的長為尺；（2）求蘆葦?shù)拈L度．類型六解決航海問題16．如圖，甲乙兩船從港口同時出發(fā)，甲船以15海里/時速度向北偏東航行，乙船向南偏東航行，4小時后，甲船到達島，乙船到達島，若、兩島相距100海里，問乙船的航速是多少？17．位于沈陽周邊的紅河峽谷漂流項目深受歡迎，在景區(qū)游船放置區(qū)，工作人員把偏離的游船從點A拉回點B的位置（如圖）．在離水面高度為8m的岸上點C，工作人員用繩子拉船移動，開始時繩子AC的長為17m，工作人員以0.7米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過10秒后游船移動到點D的位置，問此時游船移動的距離AD的長是多少？18．一艘輪船以30千米/時的速度離開港口，向東南方向航行，另一艘輪船同時離開港口，以40千米/時的速度航行，它們離開港口一個半小時后相距75千米，求第二艘船的航行方向．類型七求河寬19．為修建高速鐵路需鑿通隧道AC，測得∠A=50°，∠B=40°，AB=15km，BC=12km，若每天鑿隧道0.3km，問幾天才能把隧道鑿通?20．如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點A偏離欲到達地點B相距50米，結果他在水中實際游的路程比河的寬度多10米，求該河的寬度BC為多少米？21．筆直的河流一側(cè)有一旅游地C，河邊有兩個漂流點A，B．其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客決定在河邊新建一個漂流點H（A，H，B在一條直線上），并新修一條路CH測得BC＝5千米，CH＝4干米，BH＝3千米，（1）問CH是否為從旅游地C到河的最近的路線？請通過計算加以說明；（2）求原來路線AC的長．類型八求臺階上地毯的長度22．如圖，要在一個高為3米，長為5米的樓梯表面鋪地毯，若樓梯寬為1.5米，地毯的單價為20元/平方米，請你為該樓梯鋪地毯做出預算．23．如圖，測得某樓梯的長為5m，高為3m，寬為2m，計劃在表面鋪地毯，若每平方米地毯50元，你能幫助算出至少需要多少錢嗎？24．如圖，要修建一個育苗棚，棚高h=5m，棚寬a=12m，棚的長d為12m，現(xiàn)要在棚頂上覆蓋塑料薄膜，試求需要多少平方米塑料薄膜?類型九判斷汽車是否超速25．“交通管理條例第三十五條”規(guī)定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過70千米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀正前方50米處，過了6秒后，測得小汽車與車速檢測儀距離130米．(1)求小汽車6秒走的路程；(2)求小汽車每小時所走的路程，并判定小汽車是否超速？26．“某市道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過40千米/時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面對車速檢測儀A正前方18米的C處，過了2秒后到達B處（BC⊥AC），測得小汽車與車速檢測儀間的距離AB為30米，請問這輛小汽車是否超速？若超速，則超速了多少？27．某條道路限速如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀處的正前方的處，過了后，小汽車到達B處，此時測得小汽車與車速測檢測儀間的距離為，這輛小汽車超速了嗎？類型十判斷是否受臺風影響28．今年第6號臺風“煙花”登錄我國沿海地區(qū)，風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力．如圖，臺風“煙花”中心沿東西方向AB由A向B移動，已知點C為一海港，且點C與直線AB上的兩點A、B的距離分別為AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，經(jīng)測量，距離臺風中心260km及以內(nèi)的地區(qū)會受到影響．(1)求∠ACB的度數(shù)；(2)海港C受臺風影響嗎？為什么？(3)若臺風中心的移動速度為28千米/時，則臺風影響該海港持續(xù)的時間有多長？29．為了抗旱保收，某市準備開采地下水，經(jīng)探測，C處地下有水，為此C處需要爆破，已知C處與公路上的?？空続的距離為300m，與公路上的另一停靠站B的距離為400m，AB的距離為500m，如圖所示，為了安全，爆破點C周圍250m的范圍內(nèi)禁止進入，在進行爆破時，公路AB段某部分是否有危險而需要暫時封鎖？30．如圖，在甲村到乙村的公路一旁有一塊山地正在開發(fā)．現(xiàn)A處需要爆破，已知點A與公路上的?？空綛，C的距離分別為400m和300m，且ACAB．為了安全起見，如果爆破點A周圍半徑260m的區(qū)域內(nèi)不能有車輛和行人，問在進行爆破時，公路BC段是否需要暫時封閉？為什么?類型十一選址滿足條件31．如圖，鐵路上A、D兩點相距28km，B，C為兩村莊，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝16km，CD＝12km，現(xiàn)在要在鐵路AD上建一個土特產(chǎn)品收購站P，使得B、C兩村到P站的距離相等，則P站應建在距點A多少千米處？32．如圖，A、B兩點相距14km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，現(xiàn)在要在AB上建一個供水站E，使得C、D兩村到供水站E站的距離相等，則：（1）站應建在距站多少千米處？（2）和垂直嗎？說明理由．33．勘測隊按實際需要構建了平面直角坐標系，并標示了A、B、C三地的坐標，數(shù)據(jù)如圖（單位：km），鐵路經(jīng)過A，B兩地．（1）求A，B間的距離；（2）計劃修一條從C到鐵路AB的最短公路l，并在l上建一個維修站D，使D到A，C的距離相等請用尺規(guī)作圖的方法確定點D，并求出CD．類型十二求最短路徑34．如圖：一個圓柱的底面周長為16cm，高為6cm，BC是上底面的直徑，一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C，求螞蟻爬行的最短路程（要求畫出平面圖形）．35．如圖，長方體的長為，寬為，高為，點B離點C的距離是，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短路程是多少?36．吳老師在與同學進行“螞蟻怎樣爬最近”的課題研究時設計了以下三個問題，請你根據(jù)下列所給的條件分別求出螞蟻需要爬行的最短路徑長．（1）如圖1，正方體的棱長為5cm，一只螞蟻欲從正方體底面上的點A沿正方體表面爬到點C1處；（2）如圖2，長方體底面是邊長為5cm的正方形，高為6cm，一只螞蟻欲從長方體底面上的點A沿長方體表而爬到點C1處；（3）如圖3，是一個底面周長為10cm，高為5cm的圓柱體，一只螞蟻欲從圓柱體底面上的點A沿圓柱體側(cè)面爬到點C處．專題16勾股定理的應用十二種類型類型一求梯子的滑動高度1．如圖所示，一架梯子AB斜靠在墻面上，且AB的長為2.5米．（1）若梯子底端離墻角的距離OB為1.5米，求這個梯子的頂端A距地面有多高？（2）在（1）的條件下，如果梯子的頂端A下滑0.5米到點A'，那么梯子的底端B在水平方向滑動的距離BB'為多少米？答案：（1）梯子距離地面的高度為米；（2）梯子的底端水平后移了0.5米．【解析】分析：（1）利用勾股定理可以得出梯子的頂端距離地面的高度．（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑0.5米后，可得出梯子的頂端距離地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距離．【詳解】解：（1）根據(jù)勾股定理：所以梯子距離地面的高度為：AO米；（2）梯子下滑了0.5米即梯子距離地面的高度為OA′＝（2.5﹣0.5）＝2米，根據(jù)勾股定理：OB′＝2米，所以當梯子的頂端下滑0.5米時，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5米，答：當梯子的頂端下滑0.5米時，梯子的底端水平后移了0.5米．【點睛】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關鍵．2．如圖所示，一根長2.5米的木棍（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，此時OB的距離為0.7米，設木棍的中點為P．若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）如果木棍的頂端A沿墻下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移動多少距離？（2）請判斷木棍滑動的過程中，點P到點O的距離是否變化，并簡述理由．答案：(1）0.8m；(2)不變.【解析】分析：（1）在直角三角形ABC中，已知AB，BC根據(jù)勾股定理即可求AO的長度，根據(jù)AO=AC+OC即可求得OC的長度，在直角三角形CDO中，已知AB=CD，CO即可求得OD的長度，根據(jù)BD=OD-OB即可求得BD的長度．（2）木棍滑動的過程中，點P到點O的距離不會變化．根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半即可判斷．【詳解】解：（1）在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BO=0.7m，則AO=m，∵AO=AC+OC，∴OC=2m，∵直角三角形CDO中，AB=CD，且CD為斜邊，∴OD==1.5m，∴BD=OD-OB=1.5m-0.7m=0.8m；（2）不變．理由：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，因為斜邊AB不變，所以斜邊上的中線OP不變．．【點睛】考點：勾股定理的應用3．將長為2.5米的梯子AC斜靠在墻上，梯子的底部離墻的底端1.5米（即圖中BC的長）．（1）求梯子的頂端與地面的距離；（2）若梯子頂端A下滑1.3米，那么梯子底端C向左移動了多少米？答案：（1）2；（2）0.9【解析】【詳解】試題分析：在Rt△三角形的特點根據(jù)勾股定理可以求解.試題解析：（1）AB＝＝＝2；（2）設點A下滑到點，點C移動到點，則＝2－1.3＝0.7，＝＝2.4，＝0.9考點：勾股定理類型二求旗桿高度4．學完勾股定理之后，同學們想利用升旗的繩子、卷尺，測算出學校旗桿的高度．愛動腦筋的小明這樣設計了一個方案：將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個結，然后將繩子拉到離旗桿底端5米處，發(fā)現(xiàn)此時繩子底端距離打結處約1米．請你設法幫小明算出旗桿的高度．答案：12米.【解析】分析：設旗桿長為x米，則繩長為（x+1）米，根據(jù)勾股定理即可列方程求解.【詳解】設旗桿長為x米，則繩長為（x+1）米，則由勾股定理可得：，解得x=12，答：旗桿的高度為12米.【點睛】本題考查了勾股定理的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，找準等量關系，正確列出方程，再求解.5．小明是一名升旗手，面對高高的旗桿，他想出了好幾種方法測量方法，學過直角三角形后，他只用一把卷尺就測出了旗桿AB的高度．下面是他測量的過程和數(shù)據(jù)：第一步：測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長1m（如圖1），第二步：拉著繩子的下端往后退，當他將繩子拉直時，測得此時拉繩子的手到地面的距離CD為1m，到旗桿的距離CE為8m，（如圖2）．他很快算出了旗桿的高度，請你也來試一試．答案：解:勾股定理，設旗桿的高度為x米，則繩子長為（x+1）米，在Rt△ACE中，AC=x米，AE=（x-1）米，CE=8米，由勾股定理可得，（x-1）2+82=（x+1）2，解得：x=16．【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)圖形標出的長度，可以知道AB和CC的長度差值是1，以及CD=1，CE=8，從而構造直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出旗桿的高度．考點：勾股定理的應用點評：此題主要考查了勾股定理的應用，表示出AE與AC長度利用勾股定理求出，善于挖掘題目的隱含信息是解決本題的關鍵．6．如圖是一面長方形彩旗完全展平時的尺寸圖(單位：cm)．其中長方形ABCD是由雙層白布縫制的穿旗桿用的旗褲，陰影部分DCEF為長方形綢緞旗面，將穿好彩旗的旗桿垂直插在操場上，旗桿從旗頂?shù)降孛娴母叨葹?20cm.在無風的天氣里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂時最低處離地面的最小高度h.答案：70cm【解析】【詳解】試題分析:首先觀察題目，作輔助線構造一個直角三角形，如圖，連接DE；已知彩旗為長方形，由題意可知，無風的天氣里，彩旗自然下垂時，彩旗最低處到旗桿頂部的長度正好是長方形彩旗完全展開時的對角線的長度，根據(jù)勾股定理可求出它的長度；然后用旗桿頂部到地面高度減去這個數(shù)值，即可求得答案．試題解析:解：彩旗自然下垂的長度就是長方形DCEF的對角線DE的長度，連接DE，在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理，得DE＝＝＝150.h＝220－150＝70(cm)．∴彩旗下垂時的最低處離地面的最小高度h為70cm.類型三求小鳥飛行距離7．如圖，有一只小鳥在一棵高13m的大樹樹梢上捉蟲子，它的伙伴在離該樹12m，高8m的一棵小樹樹梢上發(fā)出友好的叫聲，它立刻以2m/s的速度飛向小樹樹梢，它最短要飛多遠？這只小鳥至少幾秒才可能到達小樹和伙伴在一起？答案：6.5s．【解析】【詳解】試題分析：過B作BC⊥AD，垂足為點C，利用勾股定理求出斜邊的值是13m，也就是兩樹樹梢之間的最短距離是13m，進而可求得最短時間．試題解析：解：過B作BC⊥AD，垂足為點C，如圖所示：根據(jù)題意，得AC＝AD－BE＝13－8＝5m，BC＝12m．根據(jù)勾股定理，得AB＝＝13m．則小鳥所用的時間是13÷2＝6.5（s）．答：這只小鳥最短要飛13m，至少6.5秒才可能到達小樹和伙伴在一起．點睛：此題主要考查勾股定理的運用．關鍵是構造直角三角形，同時注意：時間＝路程÷速度．8．如圖，某?？萍紕?chuàng)新興趣小組用他們設計的機器人，在平坦的操場上進行走展示.輸入指令后，機器人從出發(fā)點A先向東走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向東走70米到達終止點B.求終止點B與原出發(fā)點A的距離AB.答案：終止點與原出發(fā)點的距離AB=100（米）【解析】分析：根據(jù)小明在操場上只向南和向東行走，而且兩個方向垂直，分別求出其實際向南所走路程和實際向東所走路程，利用勾股定理求得其終止點與原出發(fā)點之間的距離即可．【詳解】解：如圖所示：過點A作AC⊥CB于C，則在Rt△ABC中，AC＝40＋40＝80米，BC＝70－20＋10＝60米，∴終止點與原出發(fā)點的距離AB＝＝100（米）．答：小明到達的終止點與原出發(fā)點的距離為100米．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是正確的求出實際向南和向東所走的路程，構造出直角三角形利用勾股定理求解．9．如圖，飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一男孩子頭頂上方4000米處，過了20秒，飛機距離這個男孩頭頂5000米.飛機每小時飛行多少千米？答案：150m/s【解析】分析：先由勾股定理求得BC的長，即可根據(jù)路程、速度、時間的關系求得結果.【詳解】如圖，由題意得，AC=4000米，∠C=90°，AB=5000米，由勾股定理得BC=(米)，所以飛機飛行的速度為(千米/小時)【點睛】本題考查的是勾股定理的應用.類型四求大樹折斷前的高度10．如圖，一棵豎直生長的竹子高為8米，一陣強風將竹子從C處吹折，竹子的頂端A剛好觸地，且與竹子底端的距離AB是4米．求竹子折斷處與根部的距離CB．答案：3米【解析】分析：竹子折斷后剛好構成一直角三角形，設竹子折斷處離地面的高度是x米，則斜邊為（8x）米．利用勾股定理解題即可．【詳解】解：由題意知BC＋AC＝8，∠CBA＝90°，∴設BC長為x米，則AC長為（）米，∴在Rt△CBA中，有，即：，解得：，∴竹子折斷處C與根部的距離CB為3米．【點睛】此題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是利用題目信息構造直角三角形，從而運用勾股定理解題．11．《九章算術》中有“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根七尺，問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一陣風將竹子折斷，其竹稍恰好抵地，抵地處距竹子底端7尺遠，問折斷處離地面的高度是多少尺？答案：2.55尺．【解析】分析：竹子折斷后剛好構成一直角三角形，設竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10﹣x）尺，利用勾股定理解題即可.【詳解】解：設竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10﹣x）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+72＝（10﹣x）2,解得：x＝2.55，∴折斷處離地面的高度為2.55尺.【點睛】此題考查勾股定理的實際應用，正確理解題意構建直角三角形利用勾股定理求解是解題的關鍵.12．如圖，一棵大樹在一次強臺風中在距地面處折斷，倒下后樹頂端著地點距樹底端的距離為，則這棵大樹在折斷前的高度為多少？答案：18m.【解析】分析：根據(jù)大樹的折斷部分與未斷部分、地面恰好構成直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出AC的長，進而可得答案.【詳解】解：∵樹的折斷部分與未斷部分、地面恰好構成直角三角形，且BC=5m，AB=12m，∴∴這棵樹原來的高度=答：這棵大樹在折斷前的高度為18m.【點睛】本題考查的是勾股定理的實際應用，能夠用勾股定理解答實際問題是解題的關鍵.類型五解決水杯中筷子的問題13．如圖是一種盛飲料的圓柱形玻璃杯，測得玻璃杯內(nèi)部底面半徑為2.5cm，高為12cm，吸管按圖中所示的方式放進杯里，露在杯口外面的吸管長4.6cm則吸管有多長?答案：吸管長17.6cm．【解析】分析：根據(jù)勾股定理計算出吸管在杯內(nèi)部分的長度，再計算得出結果．【詳解】解：設吸管在杯內(nèi)部分的長為xcm，由勾股定理得：，∴13+4.6=17.6(cm)，答：吸管長17.6cm．【點睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．14．一根的木棒，要放在長、寬、高分別是的長方體木箱中，能放進去嗎？（提示：長方體的高垂直于底面的任何一條直線．）答案：能放進去．【解析】分析：根據(jù)題意，畫出圖形，然后連接AC，AD，在中，利用勾股定理求出AC的長，在中，利用勾股定理求出AD，然后與木棒的長度進行比較，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，畫出圖形，如下圖：根據(jù)題意得：AB=50cm，BC=40cm，CD=30cm，連接AC，AD，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，∴木棒能放進去．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，利用勾股定理求出AD的長是解題的關鍵．15．《九章算術》中“勾股”一章有記載：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它的頂端恰好到達池邊的水面，求蘆葦?shù)拈L度．（1丈＝10尺）解決下列問題：（1）示意圖中，線段AF的長為尺，線段EF的長為尺；（2）求蘆葦?shù)拈L度．答案：（1）5，1；（2）蘆葦長13尺．【解析】分析：（1）直接利用水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，且邊長為10尺的正方形，F(xiàn)為AB中點，即可得出答案；（2）根據(jù)題意，可知AB的長為10尺，則AF=5尺，設蘆葦長EG=AG=x尺，表示出水深FG，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L和水深．【詳解】解：（1）由題意可得：EF=1尺，AF==5尺；故答案為：5，1；（2）設蘆葦長EG=AG=x尺，則水深FG=（x-1）尺，在Rt△AGF中，52+（x-1）2=x2，解得：x=13，∴蘆葦長13尺．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用，解本題的關鍵是數(shù)形結合以及表示出直角三角形的各邊長．類型六解決航海問題16．如圖，甲乙兩船從港口同時出發(fā)，甲船以15海里/時速度向北偏東航行，乙船向南偏東航行，4小時后，甲船到達島，乙船到達島，若、兩島相距100海里，問乙船的航速是多少？答案：20海里/時【解析】分析：通過兩船的航線角度可知，∠CAB=90°，則三角形ABC為直角三角形，可以通過勾股定理計算出AB的長度，然后求乙船的速度．【詳解】解：通過兩船的航線角度可知，∠CAB=90°，則△ABC為直角三角形，又AC為甲船航行的路程，則AC=15×4=60（海里），由，可知：（海里），所以乙船的航速為80÷4=20（海里/時）．【點睛】本題考察了方位角的判斷，構造出直角三角形，運用勾股定理解題，解題的關鍵是需要清楚勾股定理是指，直角三角形中兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方．17．位于沈陽周邊的紅河峽谷漂流項目深受歡迎，在景區(qū)游船放置區(qū)，工作人員把偏離的游船從點A拉回點B的位置（如圖）．在離水面高度為8m的岸上點C，工作人員用繩子拉船移動，開始時繩子AC的長為17m，工作人員以0.7米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過10秒后游船移動到點D的位置，問此時游船移動的距離AD的長是多少？答案：游船移動的距離AD的長是9米【解析】分析：根據(jù)條件先計算經(jīng)過10秒拉回繩子的長，然后計算出繩子CD的長，在中，在中，，即可求出最終結果．【詳解】解：工作人員以0.7米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過10秒拉回繩子米，開始時繩子AC的長為17m，拉了10秒后，繩子CD的長為17-7=10米，在中，米，在中，米，AD=15-6=9米，答：游船移動的距離AD的長是9米．【點睛】本題主要考查勾股定理的運用，屬于綜合題，難度一般，熟練掌握勾股定理解三角形是解決本題的關鍵．18．一艘輪船以30千米/時的速度離開港口，向東南方向航行，另一艘輪船同時離開港口，以40千米/時的速度航行，它們離開港口一個半小時后相距75千米，求第二艘船的航行方向．答案：第二艘船的航行方向為東北或西南方向【解析】分析：根據(jù)路程=速度×時間分別求得OA、OB的長，再進一步根據(jù)勾股定理的逆定理可以證明三角形OAB是直角三角形，從而求解．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意，得（千米），（千米），千米．∵，∴，∴∴第二艘船的航行方向為東北或西南方向．【點睛】此題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形．根據(jù)條件得出第二艘船的航行方向與第一艘船的航行方向成90°是解題的關鍵．類型七求河寬19．為修建高速鐵路需鑿通隧道AC，測得∠A=50°，∠B=40°，AB=15km，BC=12km，若每天鑿隧道0.3km，問幾天才能把隧道鑿通?答案：需要30天才能把隧道鑿通【解析】分析：由題意得∠C為90°，在直角△ABC中，已知AB，BC根據(jù)勾股定理即可求AC，則需要天數(shù)為．【詳解】∵，，∴

∴由勾股定理，得，∴(天)．答：需要30天才能把隧道鑿通．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，正確的記憶勾股定理并確定好斜邊與直角邊是解決問題的關鍵．20．如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點A偏離欲到達地點B相距50米，結果他在水中實際游的路程比河的寬度多10米，求該河的寬度BC為多少米？答案：該河的寬度BC為120米【解析】分析：根據(jù)題意可知△ABC為直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出直角邊BC的距離．【詳解】根據(jù)題意可知AB＝50米，AC＝BC+10米，設BC＝x，由勾股定理得AC2＝AB2+BC2，即（x+10）2＝502+x2，解得x＝120．答：該河的寬度BC為120米．【點睛】此題考查勾股定理的實際應用，根據(jù)題意構建直角三角形及三邊的數(shù)量關系是解題的關鍵.21．筆直的河流一側(cè)有一旅游地C，河邊有兩個漂流點A，B．其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客決定在河邊新建一個漂流點H（A，H，B在一條直線上），并新修一條路CH測得BC＝5千米，CH＝4干米，BH＝3千米，（1）問CH是否為從旅游地C到河的最近的路線？請通過計算加以說明；（2）求原來路線AC的長．答案：（1）CH是從旅游地C到河的最近的路線，見解析；（2）千米【解析】分析：（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：（1）是，理由如下：在△CHB中，∵CH2＋BH2＝（2.4）2＋（1.8）2＝BC2＝25，∴CH⊥AB，所以CH是從村莊C到河邊的最近路．（2）設AC＝x，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x－3，CH＝4，由勾股定理得：AC2＝AH2＋CH2，∴x2＝（x－3）2＋42，解這個方程，得x＝，答：原來的路線AC的長為千米．【點睛】此題考查勾股定理的應用，關鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理和定理解答．類型八求臺階上地毯的長度22．如圖，要在一個高為3米，長為5米的樓梯表面鋪地毯，若樓梯寬為1.5米，地毯的單價為20元/平方米，請你為該樓梯鋪地毯做出預算．答案：210【解析】分析：利用勾股定理求得三角形的底邊長，然后根據(jù)地毯長度=BC+AC可知地毯長=7米，然后再根據(jù)題意計算即可．【詳解】解：如圖所示：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：BC==4米．地毯的總長=BC+AC=4+3=7米．地毯的面積=7×1.5=10.5平方米．地毯的總價=20×10.5=210元．故答案為210元．【點睛】本題主要考查的是勾股定理的應用，依據(jù)勾股定理求得BC的長，從而得到地毯的總長度是解題的關鍵．23．如圖，測得某樓梯的長為5m，高為3m，寬為2m，計劃在表面鋪地毯，若每平方米地毯50元，你能幫助算出至少需要多少錢嗎？答案：至少需要700元．【解析】【詳解】試題分析：將每階樓梯的橫向線段和縱向線段分別向下和向右平移，則橫向線段和縱向線段的和分別為直角三角形的兩直角邊長，根據(jù)勾股定理求得直角三角形下面直角邊的長為4m，則樓梯表面所鋪地毯是一個長為（4＋3）m，寬為2m的長方形，據(jù)此即可計算出答案．試題解析：解：由勾股定理得：直角三角形下面直角邊長為＝4m，將每階樓梯的橫向線段和縱向線段分別向下和向右平移，則橫向線段和縱向線段的和分別為直角三角形的兩直角邊長，∴地毯的長度為4＋3＝7（m），地毯的面積為：7×2＝14（m2），即：至少要購買地毯14平方米．需要的費用為：14×50＝700（元）．答：至少需要700元．點睛：此題主要考查了生活中的平移現(xiàn)象和勾股定理，解決此題的關鍵是要利用平移的知識，把要求的所有線段平移到一條直線上進行計算．24．如圖，要修建一個育苗棚，棚高h=5m，棚寬a=12m，棚的長d為12m，現(xiàn)要在棚頂上覆蓋塑料薄膜，試求需要多少平方米塑料薄膜?答案：156m2.【解析】分析：根據(jù)勾股定理先求出棚頂?shù)膶挘缓蟾鶕?jù)長方形的面積公式即可求出需要多少塑料薄膜.【詳解】棚高h=5m，棚寬a=12m，設棚頂?shù)膶挒閎，則m棚的長d為12m【點睛】此題重點考察學生對勾股定理的實際應用能力,理清題意，掌握勾股定理是解題的關鍵.類型九判斷汽車是否超速25．“交通管理條例第三十五條”規(guī)定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過70千米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀正前方50米處，過了6秒后，測得小汽車與車速檢測儀距離130米．(1)求小汽車6秒走的路程；(2)求小汽車每小時所走的路程，并判定小汽車是否超速？答案：(1)120米(2)72千米小時，小汽車超速了【解析】分析：（1）過點作，可得米，設汽車經(jīng)過6秒后到達點，連接，則有米，利用勾股定理可求得的長，即小汽車6秒所走的路程；（2）利用速度路程時間，即可判斷．(1)解：過點作，設汽車經(jīng)過6秒后到達點，連接，如圖所示：由題意可得：米，米，在中，（米，答：小汽車6秒走的路程為120米；(2)解：小汽車6秒中的平均速度為：（米秒）（千米小時），，小汽車超速了．【點睛】本題主要考查勾股定理的應用，解答的關鍵是理解清楚題意，作出相應的圖形．26．“某市道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過40千米/時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面對車速檢測儀A正前方18米的C處，過了2秒后到達B處（BC⊥AC），測得小汽車與車速檢測儀間的距離AB為30米，請問這輛小汽車是否超速？若超速，則超速了多少？答案：這輛小汽車超速，每小時超速千米．【解析】分析：根據(jù)題意得出由勾股定理得出BC的長，進而得出小汽車1小時行駛，從而可得小汽車行駛速度為千米/時，進而得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意，得，在Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理可得：小汽車2秒行駛米，則1小時行駛，即小汽車行駛速度為千米/時，因為＞，所以小汽車超速行駛，超速（千米/時）．【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，算術平方根的含義，掌握根據(jù)已知得出BC的長是解題關鍵．27．某條道路限速如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀處的正前方的處，過了后，小汽車到達B處，此時測得小汽車與車速測檢測儀間的距離為，這輛小汽車超速了嗎？答案：小汽車超速了.【解析】分析：根據(jù)勾股定理求出小汽車在內(nèi)行駛的距離,再求出其速度,與比較即可.【詳解】解:在中,米,,所以小汽車超速了.【點睛】本題結合速度問題考查了勾股定理的應用,理解題意,合理運用定理是解答關鍵.類型十判斷是否受臺風影響28．今年第6號臺風“煙花”登錄我國沿海地區(qū)，風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力．如圖，臺風“煙花”中心沿東西方向AB由A向B移動，已知點C為一海港，且點C與直線AB上的兩點A、B的距離分別為AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，經(jīng)測量，距離臺風中心260km及以內(nèi)的地區(qū)會受到影響．(1)求∠ACB的度數(shù)；(2)海港C受臺風影響嗎？為什么？(3)若臺風中心的移動速度為28千米/時，則臺風影響該海港持續(xù)的時間有多長？答案：(1)∠ACB＝90°(2)海港C受臺風影響，理由見解析(3)臺風影響該海港持續(xù)的時間為小時【解析】分析：（1）根據(jù)勾股定理逆定理，即可求解；（2）過點C作CD⊥AB，根據(jù)直角三角形的面積可得AC×BC＝CD×AB，從而得到CD＝240km，即可求解；（3）設臺風中心的移動到點E處開始影響該海港，移動到點F處開始該海港開始不受影響，則EC＝FC＝260km，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得EF=2ED=200km，即可求解．(1)解：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；(2)解：海港C受臺風影響，理由：過點C作CD⊥AB，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴×300×400＝×500×CD，∴CD＝240（km），∵距離臺風中心260km及以內(nèi)的地區(qū)會受到影響，∴海港C受臺風影響；(3)解：設臺風中心的移動到點E處開始影響該海港，移動到點F處開始該海港開始不受影響，則EC＝FC＝260km，由（2）得：CD⊥AB，CD=240km，∴EF=2ED，∵ED＝＝100（km），∴EF＝200km，∵臺風的速度為28千米/小時，∴200÷28＝（小時）．答：臺風影響該海港持續(xù)的時間為小時．【點睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．29．為了抗旱保收，某市準備開采地下水，經(jīng)探測，C處地下有水，為此C處需要爆破，已知C處與公路上的停靠站A的距離為300m，與公路上的另一停靠站B的距離為400m，AB的距離為500m，如圖所示，為了安全，爆破點C周圍250m的范圍內(nèi)禁止進入，在進行爆破時，公路AB段某部分是否有危險而需要暫時封鎖？答案：公路AB段有危險，需要暫時封鎖．【解析】分析：如圖，本題需要判斷點C到AB的距離是否小于250米，如果小于等于則有危險，大于則沒有危險．因此過C作CD⊥AB于D，然后根據(jù)勾股定理在直角三角形ABC中即可求出AB的長度，然后利用三角形的面積公式即可求出CD，然后和250米比較大小，即可判斷需要暫時封鎖．【詳解】解：根據(jù)題意得AC=300m，BC=400m，AB=500m，，，如圖，過C作于點D，，，240m<250m，故公路AB段有危險，需要暫時封鎖．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．30．如圖，在甲村到乙村的公路一旁有一塊山地正在開發(fā)．現(xiàn)A處需要爆破，已知點A與公路上的?？空綛，C的距離分別為400m和300m，且ACAB．為了安全起見，如果爆破點A周圍半徑260m的區(qū)域內(nèi)不能有車輛和行人，問在進行爆破時，公路BC段是否需要暫時封閉？為什么?答案：需要封閉，理由見解析【解析】分析：過作于先求解再利用等面積法求解再與260比較，可得答案.【詳解】解：過作于所以進行爆破時，公路BC段需要暫時封閉.【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，利用等面積法求解直角三角形斜邊上的高，掌握“等面積法求解直角三角形斜邊上的高”是解題的關鍵.類型十一選址滿足條件31．如圖，鐵路上A、D兩點相距28km，B，C為兩村莊，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝16km，CD＝12km，現(xiàn)在要在鐵路AD上建一個土特產(chǎn)品收購站P，使得B、C兩村到P站的距離相等，則P站應建在距點A多少千米處？答案：站應建在距點千米處．【解析】分析：設，則，根據(jù)使得，兩村到站的距離相等，可得，再根據(jù)勾股定理建立方程解答即可．【詳解】解：設，則，、兩村到站的距離相等，．在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，，又，，，，答：站應建在距點千米處．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用，根據(jù)利用勾股定理建立方程是解決問題的關鍵．32．如圖，A、B兩點相距14km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，現(xiàn)在要在AB上建一個供水站E，使得C、D兩村到供水站E站的距離相等，則：（1）站應建在距站多少千米處？（2）和垂直嗎？說明理由．答案：（1）E站應建在距A站6千米處；（2）DE和EC垂直，理由見解析【解析】分析：（1）根據(jù)使得C，D兩村到E站的距離相等，需要證明DE=CE，再根據(jù)△DAE≌△EBC，得出AE=BC=6km；（2）DE和EC垂直，利用△DAE≌△EBC，得出∠DEC=90°，進而可以證明．【詳解】解：（1）∵使得C，D兩村到E站的距離相等．∴DE=CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，∴AE2+AD2=BE2+BC2，設AE=x，則BE=AB-AE=（14-x），∵DA=8km，CB=6km，∴x2+82=（14-x）2+62，解得：x=6，∴AE=6km．答：E站應建在距A站6千米處；（2）DE和EC垂直，理由如下：在△DAE與△EBC中，，∴△DAE≌△EBC（SAS），∴∠DEA=∠ECB，∠D=∠CEB，∵∠DEA+∠D=90°，∴∠DEA+∠CEB=90°，∴∠DEC=90°，即DE⊥EC．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，證明線段相等利用全等得出△DAE≌△EBC是解決問題的關鍵．33．勘測隊按實際需要構建了平面直角坐標系，并標示了A、B、C三地的坐標，數(shù)據(jù)如圖（單位：km），鐵路經(jīng)過A，B兩地．（1）求A，B間的距離；（2）計劃修一條從C到鐵路AB的最短公路l，并在l上建一個維修站D，使D到A，C的距離相等請用尺規(guī)作圖的方法確定點D，并求出CD．答案：（1）