四川省仁壽縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題

Page142024級高二上學(xué)期十月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若向量，向量，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】向量，向量，則.故選：C2．從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對立的兩個事務(wù)是（

）A．至少有一本政治與都是數(shù)學(xué) B．至少有一本政治與都是政治C．至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué) D．恰有1本政治與恰有2本政治【答案】D【詳解】從裝有2本數(shù)學(xué)和2本政治的四本書內(nèi)任取2本書，可能的結(jié)果有：“兩本政治”，“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，“至少有一本政治”包含事務(wù)：“兩本政治”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”.對于A，事務(wù)“至少有一本政治”與事務(wù)“都是數(shù)學(xué)”是對立事務(wù)，故A錯誤；對于B，事務(wù)“至少有一本政治”包含事務(wù)“都是政治”，兩個事務(wù)是包含關(guān)系，不是互斥事務(wù)，故B錯誤；對于C，事務(wù)“至少有一本數(shù)學(xué)”包含事務(wù)：“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，因此兩個事務(wù)都包含事務(wù)“一本數(shù)學(xué)一本政治”，不是互斥事務(wù)，故C錯誤；對于D，“恰有1本政治”表示事務(wù)“一本數(shù)學(xué)一本政治”，與事務(wù)“恰有2本政治”是互斥事務(wù)，但是不對立，故D正確.故選:D.3．已知M、N分別是四面體OABC的棱OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段MN上，且MP=2PN，設(shè)向量，，，則=（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意，=+=×(+)+×=故選：C4．已知，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，故在上的投影向量為.故選：D5．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法錯誤的是（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】C【詳解】A選項(xiàng)，如圖1，當(dāng)，時，因?yàn)?，所以，如圖2，當(dāng)時，因?yàn)?，，設(shè)，過點(diǎn)作，則，且因?yàn)?，所以，所以，A正確；B選項(xiàng)，如圖3，若，，所以，因?yàn)?，故存在，使得，且，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，故，B正確；C選項(xiàng)，如圖4，滿意，，，但不滿意，C錯誤；D選項(xiàng)，如圖5，因?yàn)?，，所以，又，所以，故D正確.故選：C6．某省在新的高考改革方案中規(guī)定：每位考生的高考成果是依據(jù)3（語文、數(shù)學(xué)、英語）（物理、歷史）選（化學(xué)、生物、地理、政治）選2的模式設(shè)置的，則某考生選擇物化生組合的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】在2（物理，歷史）選（化學(xué)、生物、地理、政治）選2中，選物理的有6種，分別為：物化生、物化地、物化政、物生地、物生政、物地政，同時，選歷史的也有6種，共計(jì)12種，其中選擇物化生的有1種，某考生選擇物化生的概率是.故選：D7．在四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】如圖所示：

連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?所以（補(bǔ)角）是異面直線與所成角．因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，又，所以平面PBD，又平面PBD，所以，則為直角三角形，設(shè)，在中，，所以，故選：B．8．如圖，在邊長為的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面上移動，且滿意，則線段的長度的最大值為（

）A． B．C．D．【答案】D【解析】如下圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、，設(shè)點(diǎn)，，，，，得，由，得，得，，，當(dāng)時，取得最大值.故選：D.二、多選題9.下面四個結(jié)論正確的是（）A．向量，若，則．B．若空間四個點(diǎn)，，，，，則，，三點(diǎn)共線．C．已知向量，，若，則為鈍角．D．已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底；【答案】ABD10．是空氣質(zhì)量的一個重要指標(biāo),我國標(biāo)準(zhǔn)接受世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值,即日均值在以下空氣質(zhì)量為一級,在之間空氣質(zhì)量為二級,在以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).如圖是某地11月1日到10日日均值（單位:）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),則下列敘述正確的是（

）A．從5日到9日,日均值漸漸降低B．這10天中日均值的平均數(shù)是49.3C．這10天的日均值的中位數(shù)是45D．從這10天的日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽出一天的數(shù)據(jù),空氣質(zhì)量為一級的概率是【答案】ABD【解析】由圖可知從5日到9日,日均值漸漸降低，故選項(xiàng)A正確;由圖平均數(shù)為，故選項(xiàng)B正確;由圖可知這10天的數(shù)據(jù)從小到大排列為：30,32,33,34,45,49,57,58,73,82，故中位數(shù)為:，故選項(xiàng)C錯誤;由數(shù)據(jù)可知,10天中日均值以下有4天，故空氣質(zhì)量為一級的概率是，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD11．下列敘述正確的是（

）A．互斥事務(wù)不愿定是對立事務(wù)，但是對立事務(wù)確定是互斥事務(wù)B．甲?乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率為，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿镃．從裝有個紅球和個黑球的口袋內(nèi)任取個球，至少有一個黑球與至少有一個紅球是兩個互斥而不對立的事務(wù)D．在件產(chǎn)品中，有件一等品和件二等品，從中任取件，那么事務(wù)“至多一件一等品”的概率為【答案】ABD【解析】對于A選項(xiàng)：互斥事務(wù)是不行能同時發(fā)生的兩個事務(wù)，它可以同時不發(fā)生，對立事務(wù)是必有一個發(fā)生的互斥事務(wù)，A正確；對于B選項(xiàng)：甲不輸?shù)氖聞?wù)是下成和棋的事務(wù)與甲獲勝的事務(wù)和，它們互斥，則甲不輸?shù)母怕蕿?，B正確；對于C選項(xiàng)：由給定條件知，至少有一個黑球與至少有一個紅球這兩個事務(wù)都含有一紅一黑的兩個球這一基本領(lǐng)件，即它們不互斥，C錯誤；對于D選項(xiàng)：5件產(chǎn)品中任取兩件有10個基本領(lǐng)件，它們等可能，其中“至多一件一等品”的對立事務(wù)為“恰兩件一等品”，有3個基本領(lǐng)件，從而所求概率為，D正確.故選：ABD12．已知三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱，且AA1=2，AB=23，DA.

正三棱柱ABC-AB.

若直線PB與底面ABC所成角為θ，則sin?的取值范圍為C.若A1P=2，則異面直線AP與BD.若過BC且與AP垂直的截面α與AP交于點(diǎn)E，則三棱錐P-BCE的體積的最小值為【答案】AD【解答】對A：因?yàn)棣BC外接圓的半徑r=33×23=2，AA1=2，所以正三棱柱對B：法一:取BC的中點(diǎn)F，連接DF，AF，BD，A1B，由正三棱柱的性質(zhì)可知平面AA1DF?平面ABC，且交線為AF,所以當(dāng)點(diǎn)P與A1重合時，,PB最大,θ最小，此時;當(dāng)點(diǎn)P與D重合時，,PB最小,θ最大，此時所以，故B錯誤；法二:點(diǎn)P原委面ABC的距離為正三棱柱的高2,,時,PB最小,,當(dāng)當(dāng)點(diǎn)P與D重合時，,PB最小,θ最大，此時;又P與A1重合時，PF最大,即PB最大,θ最小，此時;所以，故B錯誤；法三:（向量法）以BC中點(diǎn)F為空間原點(diǎn),分別以FA,FB,FD為軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),,為面ABC的法向量,當(dāng)t=0時,當(dāng)t=3時,所以，故B錯誤；對C：法一（割補(bǔ)法）將正三棱柱補(bǔ)成如圖所示的直四棱柱，則?GAP(或其補(bǔ)角)為異面直線AP與BC1所成的角，易得AG=GP=4，AP=22，所以?GAP?法二（向量法）以BC中點(diǎn)F為空間原點(diǎn),分別以FA,FB,FD為軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),故C錯誤；對D：如圖所示，因?yàn)閂P-ABC=13×2×34

因?yàn)锳P??，所以E在以AF為直徑的圓上，所以點(diǎn)E原委面ABC距離的最大值為，所以三棱錐P-BCE的體積的最小值為，故D正確..故選A三、填空題13．用分層抽樣的方法從某校中學(xué)學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本，其中高二年級有學(xué)生600人，抽取了15人.則該校中學(xué)學(xué)生總數(shù)是人.【答案】1800【詳解】，故該校中學(xué)學(xué)生總數(shù)是1800人.故答案為：180014．已知事務(wù)A，B，C兩兩互斥，且，，，則．【答案】0.9/【詳解】由題意得，則．故答案為：0.915．在△中，是邊上一點(diǎn)，且，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】【詳解】如圖：∵，∴，則，又∵B，P，N三點(diǎn)共線，∴，故得m=．故答案為．16．如圖，邊長為1的正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面相互垂直，動點(diǎn)M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM＝BN＝a（0＜a＜）．則下列結(jié)論：①當(dāng)a＝時，ME與CN相交；②MN始終與平面BCE平行；③異面直線AC與BF所成的角為45°；④MN的最小值為．正確的序號是．【答案】②④【詳解】由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由正方形，的邊長1，所以因?yàn)椋?，若與相交，則四點(diǎn)共面，又在平面，所以當(dāng)且僅當(dāng)在平面時，與相交，此時，故①錯誤；平面的法向量為，，，，所以MN始終與平面BCE平行，故②正確；，設(shè)異面直線與所成的角為，，所以異面直線AC與BF所成的角為，故③錯誤；，故④正確.故答案為：②④四、解答題17．設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)的四點(diǎn)，且.(1)若，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)向量，若向量與平行，求實(shí)數(shù)k的值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）設(shè)，因?yàn)椋谑?，整理得，即有，解得，所?（2）因?yàn)椋?，，因?yàn)橄蛄颗c平行，因此，解得，所以實(shí)數(shù)k的值為.18．三棱臺中，若面，分別是中點(diǎn).(1)求證：//平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）

連接.由分別是的中點(diǎn)，依據(jù)中位線性質(zhì)，//，且，由棱臺性質(zhì)，//，于是//，由可知，四邊形是平行四邊形，則//，又平面，平面，于是//平面.（2）[方法一：幾何法]

過作，垂足為，作，垂足為，連接，過作，垂足為.由題干數(shù)據(jù)可得，，，依據(jù)勾股定理，，由平面，平面，則，又，，平面，于是平面.又平面，則，又，，平面，故平面.在中，，又，故點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的兩倍，即點(diǎn)到平面的距離是.[方法二：等體積法]

幫助線同方法一.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.，.由，即.19．某校從高二年級學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成果（滿分100分，成果均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，后得到如圖的頻率分布直方圖.(1)求抽取的40名學(xué)生同學(xué)的成果的中位數(shù)；(2)若該校高二年級共有學(xué)生560人，試估計(jì)該校高二年級期中考試數(shù)學(xué)成果不低于80分的人數(shù)；(3)若從數(shù)學(xué)成果在與兩個分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，求這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成果之差的確定值不小于10的概率.【答案】(1)75分；(2)196；(3).【解析】（1）由頻率分布直方圖可得，解得，因?yàn)榍?組的頻率和，前4組的頻率和，所以中位數(shù)在第4組，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)為75分；（2）由頻率分布直方圖可得成果不低于80分的頻率為，因?yàn)樵撔８叨昙壒灿袑W(xué)生560人，所以該校高二年級期中考試數(shù)學(xué)成果不低于80分的人數(shù)約為（人）；（3）由頻率分布直方圖可得成果在內(nèi)的人數(shù)為人，記為，成果在內(nèi)的人數(shù)為人，記為，若從數(shù)學(xué)成果在與兩個分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生的全部狀況有：，，，，共15種狀況，其中兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成果之差的確定值不小于10的有：，，共8種，所以所求概率為.20．某高校自主招生考試分筆試與面試兩部分，每部分考試成果只記“通過”與“不通過”，兩部分考試都“通過”者，則考試“通過”，并賜予錄用.甲?乙兩人在筆試中“通過”的概率依次為，在面試中“通過”的概率依次為，筆試和面試是否“通過”是獨(dú)立的，那么(1)甲?乙兩人都參與此高校的自主招生考試，誰獲得錄用的可能性大？(2)甲?乙兩人都參與此高校的自主招生考試，求恰有一人獲得錄用的概率.【答案】(1)甲獲得錄用的可能性大；(2).【解析】（1）記“甲通過筆試”為事務(wù)，“甲通過面試”為事務(wù)，“甲獲得錄用”為事務(wù)A，“乙通過筆試”為事務(wù)，“乙通過面試”為事務(wù)，“乙獲得錄用”為事務(wù)B，則，，即，所以甲獲得錄用的可能性大.記“甲乙兩人恰有一人獲得錄用”為事務(wù)C，則.21．如圖所示，在四棱錐中，平面，，，且，，，為上一點(diǎn).(1)求證：；(2)若為的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【解析】（1）因?yàn)?，，所以，，又因?yàn)?，則，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，且，平面，所以平面，由平面，所?（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得平面的一個法向量為，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.22．如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點(diǎn)，四棱錐的體積為．(1)若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳