三年級(jí)奧數(shù)計(jì)算綜合數(shù)陣圖與幻方（B級(jí)）

數(shù)陣圖與幻方

;知識(shí)框架

一、數(shù)陣圖定義及分類：

定義：把一些數(shù)字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問題叫數(shù)陣圖.

數(shù)陣：是一種由幻方演變而來的數(shù)字圖.數(shù)陣圖的種類繁多，這里只向大家介紹三種數(shù)陣圖：即封閉型

數(shù)陣圖、輻射型數(shù)陣圖和復(fù)合型數(shù)陣圖.

二、解題方法：

解決數(shù)陣類問題可以采取從局部到整體再到局部的方法入手：

第一■步：區(qū)分?jǐn)?shù)陣圖中的普通點(diǎn)（或方格）和關(guān)鍵點(diǎn)（或方格）；

第二步：在數(shù)陣圖的少數(shù)關(guān)鍵點(diǎn)（一般是交叉點(diǎn)）上設(shè)置未知數(shù)，計(jì)算這些關(guān)鍵點(diǎn)與相關(guān)點(diǎn)的數(shù)量關(guān)系,

得到關(guān)鍵點(diǎn)上所填數(shù)的范圍；

第三步：運(yùn)用已經(jīng)得到的信息進(jìn)行嘗試.這個(gè)步驟并不是對所有數(shù)陣題都適用，很多數(shù)陣題更需要對

數(shù)學(xué)方法的綜合運(yùn)用.

三、幻方起源：

幻方也叫縱橫圖，也就是把數(shù)字縱橫排列成正方形，因此縱橫圖又叫幻方.幻方起源于我國，古

人還為它編撰了一些神話.傳說在大禹治水的年代，陜西的洛水經(jīng)常大肆泛濫，無論怎樣祭祀河神都

無濟(jì)于事，每年人們擺好祭品之后，河中都會(huì)爬出一只大烏龜，烏龜殼有九大塊，橫著數(shù)是3行，豎

著數(shù)是3列，每塊烏龜殼上都有幾個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，正好湊成1至9的數(shù)字，可是誰也弄不清這些小點(diǎn)點(diǎn)是什

么意思.一次，大烏龜又從河里爬上來，一個(gè)看熱鬧的小孩驚叫起來：“瞧多有趣啊，這些點(diǎn)點(diǎn)不論橫

著加、豎著加還是斜著加，結(jié)果都等于十五！”于是人們趕緊把十五份祭品獻(xiàn)給河神，說來也怪，河水

果然從此不再泛濫了.這個(gè)神奇的圖案叫做"幻方"，由于它有3行3列，所以叫做“三階幻方"，這個(gè)相

等的和叫做"幻和洛書"就是幻和為15的三階幻方.如下圖：

我國北周時(shí)期的數(shù)學(xué)家甄鸞在《算數(shù)記遺》里有一段注解："九宮者，二四為肩，六八為足，左三

右七，戴九履一，五居中央.”這段文字說明了九個(gè)數(shù)字的排列情況，可見幻方在我國歷史悠久.三階

幻方又叫做九宮圖，九宮圖的幻方民間歌謠是這樣的："四海三山八仙洞，九龍五子一枝連；二七六郎

賞月半，周圍十五月團(tuán)圓."幻方的種類還很多，這節(jié)課我們將學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)了解它們.

四、幻方定義：

幻方是指橫行、豎列、對角線上數(shù)的和都相等的數(shù)的方陣，具有這一性質(zhì)的3x3的數(shù)陣稱作三階

幻方，4*4的數(shù)陣稱作四階幻方，5x5的稱作五階幻方......如圖為三階幻方、四階幻方的標(biāo)準(zhǔn)式樣，

115144

12679

810115

133216

五、解決這幻方常用的方法：

⑴適用于所有奇數(shù)階幻方的填法有羅伯法.口訣是：一居上行正中央，后數(shù)依次右上連.上出框時(shí)往

下填，右出框時(shí)往左填.排重便在下格填，右上排重一個(gè)樣.

⑵適用于三階幻方的三大法則有：

①求幻和：所有數(shù)的和十行數(shù)(或列數(shù))

②求中心數(shù)：我們把幻方中對角線交點(diǎn)的數(shù)叫“中心數(shù)"，中心數(shù)=幻和+3.

③角上的數(shù)=與它不同行、不同列、不同對角線的兩數(shù)和+2.

六'數(shù)獨(dú)簡介：

數(shù)獨(dú)前身為"九宮格”，最早起源于中國。數(shù)千年前，我們的祖先就發(fā)明了洛書，其特點(diǎn)較之現(xiàn)在的

數(shù)獨(dú)更為復(fù)雜，要求縱向、橫向、斜向上的三個(gè)數(shù)字之和等于15,而非簡單的九個(gè)數(shù)字不能重復(fù)。中

國古籍《易經(jīng)》中的"九宮圖"也源于此，故稱“洛書九宮圖"。而"九宮"之名也因《易經(jīng)》在中華文化發(fā)

展史上的重要地位而保存、沿用至今。

1783年，瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德?歐拉發(fā)明了一種當(dāng)時(shí)稱作"拉丁方塊"(LatinSquare)的游戲，這個(gè)

游戲是一個(gè)nxn的數(shù)字方陣，每一行和每一列都是由不重復(fù)的n個(gè)數(shù)字或者字母組成的。19世紀(jì)

70年代，美國的一家數(shù)學(xué)邏輯游戲雜志《戴爾鉛筆字謎和詞語游戲》(DellPuzzleMagazines)開始刊登

現(xiàn)在稱為"數(shù)獨(dú)"的這種游戲，當(dāng)時(shí)人們稱之為"數(shù)字拼圖"(NumberPlace),在這個(gè)時(shí)候，9x9的81格

數(shù)字游戲才開始成型。填充完整后1984年4月，在日本游戲雜志《字謎通訊Nikoil》通信二

"》)上出現(xiàn)了"數(shù)獨(dú)"游戲，提出了“獨(dú)立的數(shù)字”的概念，意思就是"這個(gè)數(shù)字只能出現(xiàn)一次"或者"這

個(gè)數(shù)字必須是唯一的"，并將這個(gè)游戲命名為"數(shù)獨(dú)"(sudoku)。

一位前任香港高等法院的新西蘭籍法官高樂德(WayneGould)在1997年3月到日本東京旅游時(shí)，

無意中發(fā)現(xiàn)了。他首先在英國的《泰晤士報(bào)》上發(fā)表，不久其他報(bào)紙也發(fā)表，很快便風(fēng)靡全英國，之

后他用了6年時(shí)間編寫了電腦程式，并將它放在網(wǎng)站上，使這個(gè)游戲很快在全世界流行。從此，這個(gè)

游戲開始風(fēng)靡全球。后來更因數(shù)獨(dú)的流行衍生了許多類似的數(shù)學(xué)智力拼圖游戲，例如：數(shù)和、殺手?jǐn)?shù)

獨(dú)。

中國大陸是在2007年2月28日正式引入數(shù)獨(dú).2007年2月28日，北京晚報(bào)智力休閑數(shù)獨(dú)俱樂部（數(shù)

獨(dú)聯(lián)盟sudokufederation前身）在新聞大廈舉行加入世界謎題聯(lián)合會(huì)的頒證儀式，會(huì)上謎題聯(lián)合會(huì)秘書

長皮特-里米斯特和俱樂部會(huì)長在證書上簽字，這標(biāo)志著北京晚報(bào)智力休閑俱樂部成為世界謎題聯(lián)合會(huì)

的39個(gè)成員之一，這也標(biāo)志著俱樂部走向國際舞臺(tái)，它將給數(shù)獨(dú)愛好者帶來更多與世界數(shù)獨(dú)愛好者們

交流的機(jī)會(huì)。

七、解題技巧：

數(shù)獨(dú)游戲中最常規(guī)的辦法就是利用每一個(gè)空格所在的三個(gè)單元中已經(jīng)出現(xiàn)的數(shù)字（大小數(shù)獨(dú)一個(gè)

空格只位于兩個(gè)單元之內(nèi)，但是同時(shí)多了一個(gè)大小關(guān)系作為限制條件）來縮小可選數(shù)字的范圍。

總結(jié)4個(gè)小技巧：

1、巧選突破口：數(shù)獨(dú)中未知的空格數(shù)目很多，如何尋找突破口呢？首先我們要通過規(guī)則的限制來分

析每一個(gè)空格的可選數(shù)字的個(gè)數(shù)，然后選擇可選數(shù)字最少的方格開始，一般來說，我們會(huì)選擇所

在行、所在列和所在九宮格中已知數(shù)字比較多的方格開始，盡可能確定方格中的數(shù)字；而大小數(shù)

獨(dú)中已知的數(shù)字往往非常少，這個(gè)時(shí)候大小關(guān)系更加重要，我們除了利用已知數(shù)字之外更加需要

考慮大小關(guān)系的限制。

2、相對不確定法：有的時(shí)候我們不能確定2個(gè)方格中的數(shù)字，卻可以確定同一單元其他方格中肯定

不會(huì)出現(xiàn)什么數(shù)字，這個(gè)就是我們說的相對不確定法。舉例說明，A1可以填入1.或者2,A2也

可以填入1或者2,那么我們可以確定，1和2必定出現(xiàn)在A1和A2兩者之中，A行其他位置不

可能出現(xiàn)1或者2.

3、相對排除法：某一單元中出現(xiàn)好幾個(gè)空格無法確定，但是我們可以通過比較這幾個(gè)空格的可選數(shù)

字進(jìn)行對比分析來確定它們中的某一個(gè)或者幾個(gè)空格。舉例說明，A行中已經(jīng)確定5個(gè)數(shù)字，還

有4個(gè)數(shù)字（我們假設(shè)是1、2、3、4）沒有填入，通過這4個(gè)空格所在的其他單元我們知道A1

可以填入1、2、3、4,A2可以填入1、3,A3可以填入1、2、3,A4可以填入1、3,這個(gè)時(shí)候

我們可以分析，數(shù)字4只能填入A1中，所以A1可以確定填入4,我們就可以不用考慮A1,這

樣就可以發(fā)現(xiàn)2只能填入A3中，所以A3也能確定，A2和A4可以通過其他辦法進(jìn)行確定。

4、假設(shè)法：如果找不到能夠確定的空格，我們不妨進(jìn)行假設(shè)，當(dāng)然，假設(shè)也是原則的，我們不能進(jìn)

行無意義的假設(shè)，假設(shè)的原則是：如果通過假設(shè)一個(gè)空格的數(shù)字，可以確定和這個(gè)空格處在同一

個(gè)單元內(nèi)的其它某一個(gè)或者某幾個(gè)空格的數(shù)字，那么我們就以選擇這樣的空格來假設(shè)為佳。舉例

說明，B3可以填入1或者2,A3可以填入2或者3,B4可以填入1或者2,這個(gè)時(shí)候我們就應(yīng)

該假設(shè)B3填入2,這樣就可以確定A3填入3,B4填入1,然后以這個(gè)為基礎(chǔ)進(jìn)行推理。

例題精講

一、復(fù)合型數(shù)陣圖

【例1】右圖中，從第二層（從下往上數(shù)）起，每個(gè)方框中的數(shù)都等于它下方兩個(gè)方框中所填數(shù)的和。最

上面的方框中填的數(shù)是________。

【解析】如右圖所示，885=③+②，③=262+①，②=①+283,貝4885等2+①+①+283,則①=170,

②=170+283=453,@=262+170=432,則④=②+670=453+670=1123,⑤=885+④

=885+1123=2008.

【答案】2008o

【鞏固】將0,1,2,3,4,5任意填入最下一行（每個(gè)數(shù)出現(xiàn)一次）的6個(gè)方格中.其它每個(gè)

方格中的數(shù)等于下一行與它相鄰的兩個(gè)數(shù)的和?最上面的一個(gè)數(shù)的最大值是,

最小值是.

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空

【解析】要使最上面的一個(gè)數(shù)最大，則必使0、1、2、3、4、5數(shù)字中最大數(shù)盡可能多地相加,

即將大數(shù)盡可能放在中間位置，即如下圖所示：

要使最上層的值最小，則必使0、1、2、3、4、5數(shù)字中最小值盡可能多地相加，最大值盡可能

少地相加，即將最小數(shù)盡可能放在中間位置，如下圖所示：

44

【答案】116:44o

【例2】請?jiān)谙聢D的每個(gè)圓圈內(nèi)填入不同的自然數(shù)，使得圖中每個(gè)圓圈中所填的數(shù)都是上一行與它相鄰的

兩個(gè)圓圈中所填數(shù)的和.

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】4星【題型】填空

【解析】第一步：由于每個(gè)圓圈中所填的數(shù)都是上一行與它相鄰的兩個(gè)圓圈中所填數(shù)的和，所以只要填出

第一■行的四個(gè)數(shù)字就能得到其他圓圈中所填的數(shù).如果第一行填入的是x、y>z、w,則

尤+w+3（y+z）=20,由于x+w至少為3,所以y+z不超過5;第二步：由于y+z的和不超過5,

所以，y和z只可能為1和2、1和3、1和4或者2和3,通過嘗試可以得到不止一個(gè)答案，右面

的答案是其中一個(gè).

【鞏固】把L2,3.7,6.5,2.9,4.6分別填在右圖的5個(gè)圓圈內(nèi)，然后在每個(gè)方框中填上和它

相連的3個(gè)圓圈中的數(shù)的平均值，再把3個(gè)方框中的數(shù)的平均值填在三角形中.請找

出一種填法，使三角形中的數(shù)盡可能小.問這個(gè)最小的數(shù)是多少？

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】4星【題型】填空

【解析】設(shè)5個(gè)小圓中的數(shù)依次為%、的、的、%、的，則三個(gè)方框中的數(shù)依次為1+：+%、%+；+他、

%+；+%,繼而求出三角形中的數(shù)為。1+2%+3；+2%+%.為使這個(gè)數(shù)最小，的應(yīng)該填入

最小的數(shù)1.2,%、%應(yīng)該填入次小的2.9和3.7,%、%填入4.6和6.5.可得三角形中的數(shù)最

小為3.1.

【答案】3.1o

【例3】如下圖（1）所示，在每個(gè)小圓圈內(nèi)填上一個(gè)數(shù)，使得每一條直線上的三個(gè)數(shù)的和都等于大圓圈

上三個(gè)數(shù)的和.

（1）

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空

【解析】為敘述方便，先在每個(gè)圓圈內(nèi)標(biāo)上字母，如圖（2）,

(2)

則有a+4+9=a+b+c(1)

b+8+9=a+b+c(2)

c+17+9=a+b+c(3)

(1)+(2)+(3):(a+b+c)+56=3(a+b+c),a+b+c=28,貝Ia=28-(4+9)=15,b=28-(8+9)=11,

c=28-(17+9)=2解:見圖.

15：

4

IE2

【答案】

【鞏固】請你將數(shù)字1、2、3、4、5、6、7填在下面圖（1）所示的圓圈內(nèi)，使得每個(gè)圓圈上的

三個(gè)數(shù)之和與每條直線上的三個(gè)數(shù)之和相等.應(yīng)怎樣填？

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空

【解析】為了敘述方便，將各圓圈內(nèi)先填上字母，如圖（2）所示.設(shè)A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k

（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k,3A+2B+2c+2D+2E+2F+2G=5k,2

（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k,2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k,56+A=5k.,因?yàn)?6+A為5的倍數(shù)，得

A=4,進(jìn)而推出k=12,因?yàn)樵?、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12,不妨設(shè)B=l,F=5,D=6,

則C=12-（4+1）=7,G=12-（4+5）=3,E=12-（4+6）=2.,解：得到一個(gè)基本解為：（見圖）

【答案】

二'數(shù)獨(dú)

【例4】在下圖的每個(gè)方格中填入一個(gè)數(shù)字,使得每行、每列以及每條對角線上的方格中的四個(gè)數(shù)字都是

1,2,3,4.

【考點(diǎn)】數(shù)獨(dú)【難度】3星【題型】填空

【隨練1】如中間圖所示，受列及對角線的限制，4處只能填1,從而6處填3;進(jìn)而推知C處填4,3處填

3,e處填4,......右上圖為填好后的數(shù)陣圖.

【答案】

【鞏固】在圖的5x5的方格表中填入A、B、C、D四個(gè)字母，要求：每行每列中四個(gè)字母都恰出現(xiàn)一次：如

果菜行的左邊標(biāo)有字母，則它表示這行中第一個(gè)出現(xiàn)的字母；如果某行的右邊標(biāo)有字母，則它表

示這行中最后一個(gè)出現(xiàn)的字母；類似地，如果某列的上邊（或者下邊）標(biāo)有字母，則它表示該列的第

一個(gè)（或者最后一個(gè)）出現(xiàn)的字母.那么在第二行從左到右出現(xiàn)的次序是.

CA

D

A

DA

【考點(diǎn)】數(shù)獨(dú)【難度】4星【題型】填空

【解析】〃在第二行從左到右出現(xiàn)的次序是8,C,D,A.

【答案】B,C,D,AO

【例5】將1到4填入右圖的空白方塊中，每個(gè)方塊只能填一個(gè)數(shù)字，任何一行，一列都必須包含全部但

不重復(fù)的數(shù)字，并且，在有">"或者々’的對應(yīng)兩個(gè)空格必須滿足對應(yīng)的大小關(guān)系。

A

B

C

D

【考點(diǎn)】數(shù)獨(dú)【難度】4星【題型】填空

【解析】我們要善于利用大小關(guān)系條件。（1）首先看A行，Al、A2、A3都大于某一個(gè)數(shù)，那么A4必然為

1,進(jìn)而可以知道B4為4,C4為3,D4為2;（2）觀察發(fā)現(xiàn)，D3只能填3或者4,A3只能填3或

者4,則第3列中的3和4只可能是在A3和D3中出現(xiàn)，所以B3、C3只能是1或者2,再分析B

行，發(fā)現(xiàn)B1可能是1、2、3,B2可能是1、2,所以3只能出現(xiàn)在B1中，故B1填3;（3）剩下的

就變得非常簡單了，我們來逐步推導(dǎo)，我們現(xiàn)分析A行，A1填4,A2填2,A3填3,然后分析B

行，B2填1,B3填2,再看第3列，C3填1,余下的通過簡單的行列對比可以知道C2填4,C1填

2,D1填1,D2填3。分析完畢，答案如圖。

1234

A42V:31

B3124

C2413

D1342

【例1】請?jiān)谟覉D4x4表格的每格中填入1,2,3,4中的一個(gè)，使得每行，每列，每條對角線的四個(gè)數(shù)各不

相同，且滿足圖中三個(gè)不等的關(guān)系.

>

V

>

【考點(diǎn)】數(shù)獨(dú)【難度】4星【題型】填空

【解析】如圖1,a>b>c,符合這種情況的只有三種情況，情況1:3>2>1,要符合每行，每列，每對角線

的四個(gè)數(shù)字各不相同，如圖2不符合要求；情況2:4>2>1,要符合每行，每列，每對角線的四

個(gè)數(shù)字各不相同，如圖3不符合要求；情況3:4>3>2,要符合每行，每列，每對角線的四個(gè)數(shù)

字各不相同，如圖4符合要求。

4彳>224：>31

V34

11

41342

4：>342：>13

二'構(gòu)造幻方

【例6】如下圖的3x3的陣列中填入了1?9的自然數(shù)，構(gòu)成大家熟知的3階幻方.現(xiàn)在另有一個(gè)3x3的

陣列，請選擇9個(gè)不同自然數(shù)填入9個(gè)方格中，使得其中最大者為20,最小者大于5,且要求橫

力口、豎加、對角線方式相加的3個(gè)數(shù)之和都相等.

492

357

816

【考點(diǎn)】構(gòu)造幻方【難度】3星【題型】填空

【解析】觀察原表中的各數(shù)是從1?9不同的九個(gè)自然數(shù)，其中最大的數(shù)是9,最小的數(shù)是1,且橫加、豎

加、對角線方式相加結(jié)果相等.根據(jù)題意，要求新制的幻方最大數(shù)為20,而9+11=20,因此，如

果原表中的各數(shù)都增加11,就能符合新表中的條件了.如下圖.

H3

HH

EJ3

【鞏固】從1、2、3...20這20個(gè)數(shù)中選出9個(gè)不同的數(shù)放入3x3的方格表中，使得每行、每列、每條對角

線上的三個(gè)數(shù)的和都相等。這個(gè)9個(gè)數(shù)中最多有個(gè)質(zhì)數(shù)。

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】4星【題型】解答

【解析】

1779

31119

1515

5最多有7個(gè)質(zhì)數(shù)。

【答案】7o

四、幻方性質(zhì)

【例7】請編出一個(gè)三階幻方，使其幻和為24.

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】3星【題型】填空

【解析】⑴根據(jù)題意，要求其三階幻方的幻和為24,所以中心數(shù)為24+3=8.

⑵既然8是中心數(shù)，那么與8在一條直線的各個(gè)組的其余兩數(shù)的和為16,想一想

哪兩個(gè)數(shù)相加為16呢？1+15=16,2+14=16,3+13=16,4+12=16,5+11=16,6+10=16,

7+9=16

⑶按上述條件進(jìn)行估算后填出，然后再進(jìn)行調(diào)整即可得正確的答案.

EH3

EH

03

【答案】

【例2】將九個(gè)連續(xù)自然數(shù)填入下圖的九個(gè)空格，使每一橫行及每一豎列的三個(gè)數(shù)之和都等于60.

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】3星【題型】填空

【隨練2】介紹三階幻方時(shí)，我們已經(jīng)知道了1?9的填法及各行各列三個(gè)數(shù)相加的和均為15,現(xiàn)在要求每

一橫行及每一豎列的三個(gè)數(shù)之和為60,顯然1?9每個(gè)數(shù)增加（60-15）+3=15就可以了.右上圖

為其中一個(gè)解.

【例8】在下圖的空格里填入七個(gè)自然數(shù)，使每一行、每一列及每一條對角線上的上的三個(gè)數(shù)的和都等于90.

47340

233037

205713

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】3星【題型】填空

【隨練3】中心數(shù)=90+3=30,又由c=（a+b）+2知第一行第三列的數(shù)為（23+57）+2=40,由2〃一6知第

一行第二列的數(shù)是30x2-57=3;第一行第一列的數(shù)是90-40-3=47;第二行第三列的數(shù)是

90-23-30=37;第三行第一列的數(shù)是90—47—23=20;第三行第三列的數(shù)是90-20—57=13,

所以答案見右上圖.

47340

【答案】233037

205713

【鞏固】右圖中有九個(gè)空格，要求每個(gè)格中填入互不相同的數(shù)，使得每行、每列、每條對角線上的三個(gè)數(shù)

之和都相等。問：圖中左上角的數(shù)是多少？

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】3星【題型】填空

【解析】如圖，設(shè)相應(yīng)方格中的數(shù)為％,X2,X3,X4O

x2

19

由已知條件：行、列及對角線的三個(gè)數(shù)的和都相等，可以列出下面的等式（方程）：?

十M十X2=?+X3+%=M+X3+13=X2十19+乂，這樣，前面兩個(gè)式子的和就等于后面

兩個(gè)式子的和，即有2義？+乂十X2+X3+K=13+19+M十X2+X3+X4所以2義？=13

9

+19?=11±1=16；左上角的數(shù)是16

【答案】16?

【例9】請你在六階拉丁幻方中的空白方格內(nèi)填入相應(yīng)數(shù)字，使得每一行、每一列及兩條對角線上恰好出

現(xiàn)1、2、3、4、5、6.

【考點(diǎn)】數(shù)獨(dú)【難度】4星【題型】填空

【解析】這也是一道邏輯推理問題，它雷同于風(fēng)靡一時(shí)的數(shù)獨(dú)游戲.在這個(gè)拉丁幻方中，從右上到左下的

對南線上已給出4個(gè)數(shù)字，還少了數(shù)字4和5,而4在第三列中已經(jīng)出現(xiàn)了，所以4只能填入第一

列，5則自然而然的出現(xiàn)在第三列.如圖10所示.再看自上而下的第六行，還少了數(shù)字3、4和5,

而4、5在第六列出現(xiàn)，所以只能填3.同理5在第四列中已經(jīng)出現(xiàn)了，所以5只能填入第二列，4

則自然而然的出現(xiàn)在第四列.如圖11所示.再看自上而下的第三行，還少了數(shù)字1,2,3和6,

而3在第三、五、六列中已經(jīng)出現(xiàn)了，所以3只能填入第二列，1在第三、五列中已經(jīng)出現(xiàn)了，所

以1只能填入第六列，6在第五列中已經(jīng)出現(xiàn)了，所以6只能填入第三列，2則自然而然的出現(xiàn)在

第五列.如圖12所示.

再看第六列，可確定第四行填6,第五行填2.再往下填就容易多了，請同學(xué)們自己完成.

125634

642315

436521

513246

364152

251463

【鞏固】將1到4填入右圖的空白方塊中，每個(gè)方塊只能填一個(gè)數(shù)字，任何一行，一列都必須包含全部但

不重復(fù)的數(shù)字，并且，在有">"或者的對應(yīng)兩個(gè)空格必須滿足對應(yīng)的大小關(guān)系。

>

\/

V7\

△\!△

/\V/\

【考點(diǎn)】數(shù)獨(dú)【難度】4星【題型】填空

【解析】這道題是一道數(shù)獨(dú)游戲的變體，我們稱之為"大小數(shù)獨(dú)"。

1、我們對存在大小關(guān)系的方格進(jìn)行可行性分析，如圖，在空格中填入可能的數(shù)字;

B4就只能填入1或2,又因?yàn)镃4只能填1或2,根據(jù)同樣的理由，且D4為3,則A4只能填4,

進(jìn)而知道A3填1,D3填2,D2填4,D1填4,B2填3,A2填2,A1填3,C2填：1,C4填2,

B4填1,B1填2,C1填4,B3填4.

分析完畢，答案如圖.

1234

3>14

V發(fā)

2341

4132

1423

1234

課堂檢測

【隨練1】在左下圖的5x5方格表的空白處填入1-5中的數(shù)，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)各不相

同。

【考點(diǎn)】數(shù)獨(dú)【難度】4星【題型】填空

【解析】

【隨練2】請你將1~25這二十五個(gè)自然數(shù)填入5x5的空格內(nèi)使每行、每列、每條對角線上的五數(shù)之和相等.

【考點(diǎn)】構(gòu)造幻方【難度】3星【題型】填空

【解析】①羅伯法：教師邊寫邊說口訣："一居上行正中央，后數(shù)依次右上連.上出框時(shí)往下填，右出框時(shí)

往左填.排重便在下格填，右上排重一個(gè)樣”.見第二個(gè)圖.這是法國人羅伯特總結(jié)出的"羅伯法”，

它對于構(gòu)造連續(xù)自然數(shù)（以及能構(gòu)成等差數(shù)列的數(shù)）幻方是最簡單易行的，適用于所有奇數(shù)階幻

方.

②階梯法：階梯法也叫樓梯法，是法國數(shù)學(xué)家巴赫特創(chuàng)造的.這個(gè)方法十分簡單而巧妙，適用于

所有奇數(shù)階幻方.這個(gè)方法把n階方陣從四周向外擴(kuò)展成階梯狀，然后把個(gè)自然數(shù)順階梯方向先

碼放好，再把方陣以外部分平移到方陣以內(nèi)其對邊部分去，即構(gòu)成幻方.下面的圖⑴和圖⑵表示了

如何用階梯法構(gòu)成5階幻方.圖⑴中頂邊以上的4、5、10三個(gè)數(shù)在圖⑵中被移入底邊上方相應(yīng)的3

個(gè)原先為空的方格中，其余三側(cè)照此處理.

5

410

391531692215

81420821142

7131972513119

121824125186

111723114171023

16_22

-21"一

(1)(2)

⑵練習(xí)：大家一起來練習(xí)用羅伯法寫個(gè)七階的幻方，注意強(qiáng)調(diào)細(xì)節(jié).上出框與右出框的處理有時(shí)

不容易把握，老師隆重推薦大家一種方法一一〃卷紙筒〃，即把上下邊重合在一線，則上出框后往右

上填的位置正好在下邊的對應(yīng)點(diǎn)上.強(qiáng)調(diào)這種方法適用于任意奇數(shù)階幻方.

17241815

23571416

46132022

101219213

11182529

一家庭作業(yè)

【作業(yè)1】圖2中的五個(gè)問號(hào)分別表示五個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，它們的和等于130,三角形內(nèi)兩個(gè)數(shù)的和等于

53,圓內(nèi)三個(gè)數(shù)的和等于79,正方形內(nèi)兩個(gè)數(shù)的和等于50。那么，從左向右，這五個(gè)問號(hào)依次

是

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空

【解析】根據(jù)題意答案為：25,28,27,24,26

【答案】25,28,27,24,26

【作業(yè)2】由數(shù)字1、2、3組成的不同的兩位數(shù)共有9個(gè)，老師將這9個(gè)數(shù)寫在一個(gè)九宮格上，讓同學(xué)選

數(shù)，每個(gè)同學(xué)可以從中選5個(gè)數(shù)來求和.小剛選的5個(gè)數(shù)的和是120,小明選的5個(gè)數(shù)的和是

111.如果兩人選的數(shù)中只有一個(gè)是相同的，那么這個(gè)數(shù)是.

□A

A

S

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空

【解析】這9個(gè)數(shù)的和：11+12+13+21+22+23+31+32+33=(10+20+30)x3+(1+2+3)x3=198

由小剛和小明選的數(shù)中只有一個(gè)是相同的，可知他們正好把這9個(gè)數(shù)全部都取到了，且有一個(gè)數(shù)

取了兩遍.所以他們?nèi)〉臄?shù)的總和比這9個(gè)數(shù)的和多出來的部分就是所求的數(shù).那么，這個(gè)數(shù)是

120+111-198=33.

【答案】33。

【作業(yè)3】圖中是一個(gè)3x3幻方，滿足每行、每列及兩條對角線上三數(shù)之和都相等，那么其中"★"代表的

數(shù)是.

TH

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】3星【題型】填空

【解析】總和為18+支,左下角應(yīng)該是16,中間應(yīng)該是★-8=(10+16)+2=13,所