高中數(shù)學選擇性必修3課件：8 3 2 獨立性檢驗(人教A版)

8．3.2獨立性檢驗課標要求素養(yǎng)要求了解隨機變量χ2的意義，通過對典型案例分析，了解獨立性檢驗的基本思想和方法.通過運用列聯(lián)表進行獨立性檢驗，提升數(shù)學抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).新知探究山東省教育廳大力推行素質教育，增加了高中生的課外活動時間，某校調查了學生的課外活動方式，結果整理成下表：問題如何判定“喜歡體育還是文娛與性別是否有聯(lián)系”？提示可通過表格與圖形進行直觀分析，也可通過統(tǒng)計分析定量判斷．1.臨界值χ2

統(tǒng)計量也可以用來作相關性的度量．χ2

越小說明變量之間越獨立，χ2越大說明變量之間越相關2．獨立性檢驗

基于小概率值α的檢驗規(guī)則是：

當χ2≥xα時，我們就推斷H0不成立，即認為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過α；

當χ2＜xα時，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立

，可以認為X和Y獨立．

這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗(testofindependence)．下表給出了χ2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8283.應用獨立性檢驗解決實際問題的大致步驟 (1)提出零假設H0：X和Y相互獨立，并給出在問題中的解釋； (2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計算χ2的值，并與臨界值xα比較； (3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結論； (4)在X和Y不獨立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．拓展深化[微判斷]1．概率值α越小，臨界值xα越大．

(

)2．獨立性檢驗的思想類似于反證法．

(

)3．獨立性檢驗的結論是有多大的把握認為兩個分類變量有關系．

(

)√√√

[微訓練]1．如果根據(jù)小概率α＝0.01的χ2檢測試驗，認為H0成立，那么具體算出的數(shù)據(jù)滿足(

)

附表：α0.050.0250.0100.0050.001xα3.8415.0246.6357.87910.828A.χ2＞6.635 B．χ2＞5.024C．χ2＞7.879 D．χ2＞3.841答案A

[微訓練]1．如果根據(jù)小概率α＝0.01的χ2檢測試驗，認為H0成立，那么具體算出的數(shù)據(jù)滿足(

)

附表：α0.050.0250.0100.0050.001xα3.8415.0246.6357.87910.828A.χ2＞6.635 B．χ2＞5.024C．χ2＞7.879 D．χ2＞3.841答案A2．某校為了研究“學生的性別”和“對待某一活動的態(tài)度”是否有關，運用2×2列聯(lián)表進行獨立性檢驗，經計算χ2＝7.069，則認為“學生性別與支持某項活動有關系”的犯錯誤的概率不超過(

) A．0.1% B．1% C．99% D．99.9%解析∵χ2＝7.069>6.635＝x0.01，∴認為“學生性別與支持某項活動有關系”的犯錯誤的概率不超過1%.答案B[微思考]1．有人說：“在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吸煙和患肺病有關，是指每100個吸煙者中就會有99個患肺病的．”你認為這種觀點正確嗎？為什么？

提示

觀點不正確．犯錯誤的概率不超過0.01說明的是吸煙與患肺病有關的程度，不是患肺病的百分數(shù)．2．應用獨立性檢驗的基本思想對兩個變量間的關系作出的推斷一定是正確的嗎？

提示

不一定．所有的推斷只代表一種可能性，不代表具體情況．題型一有關“相關的檢驗”【例1】某校對學生課外活動進行調查，結果整理成下表，用你所學過的知識進行分析，能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為“喜歡體育還是文娛與性別有關系”？

體育文娛合計男生212344女生62935合計275279解零假設為H0：喜歡體育還是喜歡文娛與性別沒有關系∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79，根據(jù)小概率值α＝0.005的χ2獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為喜歡體育還是喜歡文娛與性別有關系，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005.【訓練1】打鼾不僅影響別人休息，而且可能與患某種疾病有關．下表是一次調查所得的數(shù)據(jù)：

患心臟病未患心臟病合計每一晚都打鼾30224254不打鼾2413551379合計5415791633根據(jù)獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為每一晚都打鼾與患心臟病有關系？解零假設為H0：打鼾與患心臟病無關系由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得≈68.033>10.828＝x0.001.根據(jù)小概率值α＝0.001的χ2獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為打鼾與患心臟病有關系，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.題型二有關“無關的檢驗”【例2】為了探究學生選報文、理科是否與對外語的興趣有關，某同學調查了361名高二在校學生，調查結果如下：理科生對外語有興趣的有138人，無興趣的有98人，文科生對外語有興趣的有73人，無興趣的有52人．試分析學生選報文、理科與對外語的興趣是否有關？

解零假設為H0：選報文、理科與對外語的興趣無關．

列出2×2列聯(lián)表

理文合計有興趣13873211無興趣9852150合計236125361代入公式得χ2的觀測值∵1.871×10－4＜2.706＝x0.1，根據(jù)小概率值α＝0.1的χ2獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，即選報文、理科與對外語的興趣無關.規(guī)律方法獨立性檢驗的關注點在2×2列聯(lián)表中，如果兩個分類變量沒有關系，則應滿足ad－bc≈0，因此|ad－bc|越小，關系越弱；|ad－bc|越大，關系越強．【訓練2】某教育機構為了研究成年人具有大學?？埔陨蠈W歷(包括大學專科)和對待教育改革態(tài)度的關系，隨機抽取了392名成年人進行調查，所得數(shù)據(jù)如下表所示：

積極支持教育改革不太贊成教育改革合計大學專科以上學歷39157196大學專科以下學歷29167196合計68324392解零假設為H0：成年人具有大學?？埔陨蠈W歷(包括大學?？?和對待教育改革態(tài)度無關．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算得因為1.78<2.706＝x0.1，根據(jù)小概率值α＝0.1的χ2獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，所以我們沒有理由說成年人具有大學?？埔陨蠈W歷(包括大學專科)和對待教育改革態(tài)度有關．題型三獨立性檢驗的綜合應用【例3】某高校共有學生15000人，其中男生10500人，女生4500人．為調查該校學生每周平均體育運動時間的情況，采用分層隨機抽樣的方法，收集300位學生每周平均體育運動時間(單位：時)的樣本數(shù)據(jù)． (1)應收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？ (2)根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估計該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率．(3)在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時，請完成每周平均體育運動時間與性別的列聯(lián)表，并判斷是否認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”．附：α0.1000.0500.0100.005xα2.7063.8416.6357.879(2)由頻率分布直方圖得學生每周平均體育運動時間超過4小時的頻率為1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率的估計值為0.75.(3)由(2)知，300位學生中有300×0.75＝225(人)的每周平均體育運動時間超過4小時，75人的每周平均體育運動時間不超過4小時．樣本數(shù)據(jù)中有210份是關于男生的，90份是關于女生的，可得每周平均體育運動時間與性別的列聯(lián)表如下：

男生女生合計每周平均體育運動時間不超過4小時453075每周平均體育運動時間超過4小時16560225合計21090300零假設為H0：該校學生的每周平均體育運動時間與性別無關．結合列聯(lián)表可算得根據(jù)小概率值α＝0.1的χ2獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.【訓練3】某校高三年級在一次全年級的大型考試中，數(shù)學成績優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學生中，物理、化學、總分成績優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為數(shù)學成績優(yōu)秀與物理、化學、總分成績優(yōu)秀有關系？

物理優(yōu)秀化學優(yōu)秀總分優(yōu)秀數(shù)學優(yōu)秀228225267數(shù)學非優(yōu)秀14315699解零假設為H0：數(shù)學成績優(yōu)秀與物理、化學、總分成績優(yōu)秀都無關系．列出數(shù)學成績與物理成績的2×2列聯(lián)表如下：

物理優(yōu)秀物理非優(yōu)秀合計數(shù)學優(yōu)秀228132360數(shù)學非優(yōu)秀143737880合計3718691240列出數(shù)學成績與化學成績的2×2列聯(lián)表如下：

化學優(yōu)秀化學非優(yōu)秀合計數(shù)學優(yōu)秀225135360數(shù)學非優(yōu)秀156724880合計3818591240列出數(shù)學成績與總分成績的2×2列聯(lián)表如下：

總分優(yōu)秀總分非優(yōu)秀合計數(shù)學優(yōu)秀26793360數(shù)學非優(yōu)秀99781880合計3668741240根據(jù)小概率值α＝0.001的χ2獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為數(shù)學成績優(yōu)秀與物理、化學、總分成績優(yōu)秀都有關系，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學習，提升數(shù)學抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．對獨立性檢驗思想的理解

獨立性檢驗的基本思想類似于數(shù)學中的反證法．先假設“兩個分類變量沒有關系”成立，計算χ2的值，如果χ2值很大，說明假設不合理，χ2越大，兩個分類變量有關系的可能性越大．二、素養(yǎng)訓練1．對兩個分類變量A，B的下列說法中正確的個數(shù)為(

) ①A與B無關，即A與B互不影響； ②A與B關系越密切，則χ2的值就越大； ③χ2的大小是判定A與B是否相關的唯一依據(jù) A．0 B．1 C．2 D．3

解析①正確，A與B無關即A與B相互獨立；②不正確，χ2的值的大小只是用來檢驗A與B是否相互獨立；③不正確，例如借助三維柱形圖、二維條形圖等．故選B.

答案B2．高二第二學期期中考試，按照甲、乙兩個班學生的數(shù)學成績優(yōu)秀和及格統(tǒng)計人數(shù)后，得到如下列聯(lián)表：

優(yōu)秀及格合計甲班113445乙班83745合計197190則χ2的觀測值約為(

)A．0.600 B．0.828C．2.712 D．6.004答案A3．考察棉花種子經過處理跟生病之間的關系得到下表數(shù)據(jù)：

種子處理種子未處理合計得病32101133不得病61213274合計93314407根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可得出(

)A．種子是否經過處理跟是否生病有關B．種子是否經過處理跟是否生病無關C．種子是否經過處理決定是否生病D．以上都是錯誤的答案B4．(多選題)對于分類變量X與Y的隨機變量χ2的值，下列說法正確的是(

) A．χ2越大，“X與Y有關系”的可信程度越小 B．χ2越小，“X與Y有關系”的可信程度越小 C．χ2越接近于0，“X與Y沒有關系”的可信程度越小 D．χ2越大，“X與Y沒有關系”的可信程度越小解析χ2越大，“X與Y沒有關系”的可信程度越小，則“X與Y有關系”的可信程度越大，χ2越小，“X與Y有關系”的可信程度越?。鸢窧D5．高中流行這樣一句話“文科就怕數(shù)學不好，理科就怕英語不好”．下表是一次針對高三文科學生的調查所得的數(shù)據(jù)．

總成績好總成績不好合計數(shù)學成績好478a490數(shù)學成績不好39924423合計bc913(1)計算a，b，c的值；(2)文科學生總成績不好與數(shù)學成績不好有關系嗎？解(1)由478＋a＝490，得a＝12.由a＋24＝c，得c＝12＋24＝36.b＝478＋399＝877.(2)零假設為H0：文科學生總成績不好與數(shù)學成績不好沒有關系．計算得根據(jù)小概率值α＝0.05的χ2獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為文科學生總成績不好與數(shù)學成績不好有關系，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.備用工具&資料5．高中流行這樣一句話“文科就怕數(shù)學不好，理科就怕英語不好”．下表是一次針對高三文科學生的調查所得的數(shù)據(jù)．

總成績好總成績不好合計數(shù)學成績好478a490數(shù)學成績不好39924423合計bc913(1)計算a，b，c的值；(2)文科學生總成績不好與數(shù)學成績不好有關系嗎？4．(多選題)對于分類變量X與Y的隨機變量χ2的值，下列說法正確的是(

) A．χ2越大，“X與Y有關系”的可信程度越小 B