高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件2：2 3 3 點(diǎn)到直線的距離公式(人教版)

2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式1.會用向量工具推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.2.掌握點(diǎn)到直線的距離公式,能應(yīng)用點(diǎn)到直線距離公式解決有關(guān)距離問題.3.通過點(diǎn)到直線的距離公式的探索和推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力學(xué)習(xí)目標(biāo)在公路附近有一家鄉(xiāng)村飯館,現(xiàn)在需要鋪設(shè)一條連接飯館和公路的道路.請同學(xué)們幫助設(shè)計(jì)一下：在理論上怎樣鋪路可以使這條連接道路的長度最短?情境導(dǎo)學(xué)

反思：這種解法的優(yōu)缺點(diǎn)是什么？思考：最容易想到的方法是什么？思路①.定義法,其步驟為：求l的垂線l

PQ的方程解方程組，得交點(diǎn)Q的坐標(biāo)求|PQ|的長我們知道，向量是解決距離、角度問題的有力工具.能否用向量方法求點(diǎn)到直線的距離？

思考：比較上述兩種方法，第一種方法從定義出發(fā)，把問題轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間的距離，通過代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果，思路自然；第二種方法利用向量投影，通過向量運(yùn)算求出結(jié)果，簡化了運(yùn)算，除了上述兩種方法，你還有其他推導(dǎo)方法嗎？1.點(diǎn)到直線的距離(1)定義:平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離,等于過這個(gè)點(diǎn)作直線的垂線所得垂線段的長度.(2)圖示:點(diǎn)睛：

(1)運(yùn)用此公式時(shí)要注意直線方程必須是一般式,若給出其他形式,應(yīng)先化成一般式再用公式.(2)當(dāng)點(diǎn)P0在直線l上時(shí),點(diǎn)到直線的距離為零,公式仍然適用.新知初探1.點(diǎn)到直線的距離(1)定義:平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離,等于過這個(gè)點(diǎn)作直線的垂線所得垂線段的長度.(2)圖示:點(diǎn)睛：

(1)運(yùn)用此公式時(shí)要注意直線方程必須是一般式,若給出其他形式,應(yīng)先化成一般式再用公式.(2)當(dāng)點(diǎn)P0在直線l上時(shí),點(diǎn)到直線的距離為零,公式仍然適用.新知初探2.點(diǎn)(1,-1)到直線x-y+1=0的距離是(

)小試牛刀答案：×答案：C題型探究歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練1已知直線l經(jīng)過點(diǎn)M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,求直線l的方程.解：(方法一)當(dāng)過點(diǎn)M(-1,2)的直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,故x=-1滿足題意;當(dāng)過點(diǎn)M(-1,2)的直線l的斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由A(2,3)與B(-4,5)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,得跟蹤訓(xùn)練即x+3y-5=0.綜上所述,直線l的方程為x=-1或x+3y-5=0.(方法二)由題意得l∥AB或l過AB的中點(diǎn).當(dāng)l∥AB時(shí),設(shè)直線AB的斜率為kAB,即x+3y-5=0.當(dāng)l過AB的中點(diǎn)(-1,4)時(shí),直線l的方程為x=-1.綜上所述,直線l的方程為x=-1或x+3y-5=0.點(diǎn)睛：用待定系數(shù)法求直線方程時(shí),首先考慮斜率不存在是否滿足題意.(方法二)由題意得l∥AB或l過AB的中點(diǎn).當(dāng)l∥AB時(shí),設(shè)直線AB的斜率為kAB,即x+3y-5=0.當(dāng)l過AB的中點(diǎn)(-1,4)時(shí),直線l的方程為x=-1.綜上所述,直線l的方程為x=-1或x+3y-5=0.點(diǎn)睛：用待定系數(shù)法求直線方程時(shí),首先考慮斜率不存在是否滿足題意.延伸探究

若將本題改為“已知直線l經(jīng)過點(diǎn)M(-1,2),點(diǎn)A(2,3),B(-4,5)在l的同側(cè)且到該直線l的距離相等”,則所求l的方程為

.

解析：將本例(2)中的x=-1這一情況舍去即可,也就是要舍去兩點(diǎn)在直線l異側(cè)的情況.答案：x+3y-5=0易錯(cuò)點(diǎn)——因?qū)π甭实那闆r考慮不全面而致錯(cuò)案例

求經(jīng)過點(diǎn)P(-3,5),且與原點(diǎn)距離等于3的直線l的方程.金題典例錯(cuò)解：設(shè)所求直線方程為y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.錯(cuò)因分析本題出錯(cuò)的根本原因在于思維不嚴(yán)密,求直線的方程時(shí)直接設(shè)為點(diǎn)斜式,沒有考慮斜率不存在的情況.正解：當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)所求直線方程為y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.即8x+15y-51=0.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線方程為x=-3也滿足題意.故滿足題意的直線l的方程為8x+15y-51=0或x=-3.點(diǎn)睛：在根據(jù)距離確定直線方程時(shí),易忽略直線斜率不存在的情況,避免這種錯(cuò)誤的方法是當(dāng)用點(diǎn)斜式或斜截式表示直線方程時(shí),應(yīng)首先考慮斜率不存在的情況是否符合題設(shè)條件,然后再求解.1.點(diǎn)(1,-1)到直線y=1的距離是(

)答案：D當(dāng)堂檢測2.已知點(diǎn)A(-3,-4),B(6,3)到直線l:ax+y+1=0的距離相等,則實(shí)數(shù)a的值等于(

)答案：C3.直線3x-4y-27=0上到點(diǎn)P(2,1)距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是

.

答案：(5,-3)解析：由題意知過點(diǎn)P作直線3x-4y-27=0的垂線,設(shè)垂足為M,則|MP|最小,解：(方法一)∵點(diǎn)A(1,1)與B(-3,1)到y(tǒng)軸的距離不相等,∴直線l的斜率存在,設(shè)為k.又直線l在y軸上的截距為2,則直線l的方程為y=kx+2,即kx-y+2=0.由點(diǎn)A(1,1)與B(-3,1)到直線l的距離相等,∴直線l的方程是y=2或x-y+2=0.5.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,求直線l的方程.(方法二)當(dāng)直線l過線段AB的中點(diǎn)時(shí),A,B兩點(diǎn)到直線l的距離相等.∵AB的中點(diǎn)是(-1,1),又直線l過點(diǎn)P(0,2),∴直線l的方程是x-y+2=0.當(dāng)直線l∥AB時(shí),A,B兩點(diǎn)到直線l的距離相等.∵直線AB的斜率為0,∴直線l的斜率為0,∴直線l的方程為y=2.綜上所述,滿足條件的直線l的方程是x-y+2=0或y=2.課堂小結(jié)1.點(diǎn)到直線的距離即是點(diǎn)與直線上點(diǎn)連線的距離的最小值，利用點(diǎn)到直線的距離公式，解題時(shí)要注意把直線方程化為一般式.

2.利用點(diǎn)到直線的距離公式可求直線的方程，有時(shí)需結(jié)合圖形，數(shù)形結(jié)合，使問題更清晰.備用工具&資料(方法二)當(dāng)直線l過線段AB的中點(diǎn)時(shí),A,B兩點(diǎn)到直線l的距離相等.∵AB的中點(diǎn)是(-1,1),又直線l過點(diǎn)P(0,2),∴直線l的方程是x-y+2=0.當(dāng)直線l∥AB時(shí),A,B兩點(diǎn)到直線l的距離相等.∵直線AB的斜率為0,∴直線l的斜率為0,∴直線l的方程為y=2.綜上所述,滿足條件