初中數(shù)學(xué)幾何輔助線(xiàn)秘籍4

第四章圖形變換之軸對(duì)稱(chēng)

中考?jí)狠S大題如何解？對(duì)稱(chēng)幫你攻克壓軸難題.

一、考情分析

“軸對(duì)稱(chēng)”是歷年中考的熱點(diǎn)，主要考查軸對(duì)稱(chēng)、軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義、性質(zhì)，以及圖形

翻折后線(xiàn)段和角的計(jì)算，難點(diǎn)是運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)作圖求最值，通過(guò)對(duì)近幾年北京及全國(guó)各

地中考題的分析，不難發(fā)現(xiàn)與軸對(duì)稱(chēng)相關(guān)的題型多以填空題、選擇題、計(jì)算題、作圖題的形

式出現(xiàn).涉及“線(xiàn)段和最小”的探究題、方案設(shè)計(jì)題和幾何代數(shù)綜合題，預(yù)計(jì)此類(lèi)問(wèn)題是中

考的重點(diǎn)題型.

二、名師講堂

知識(shí)點(diǎn)睛

軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形

1.線(xiàn)段的的垂直平分線(xiàn)

（1）定義：經(jīng)過(guò)線(xiàn)段中點(diǎn)并且垂直于這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫作這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；

（2）定理：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等.

（3）判定：與一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.

2.軸對(duì)稱(chēng)

（1）軸對(duì)稱(chēng)圖形：如果一個(gè)圖形沿著一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，那么

這個(gè)圖形叫作軸對(duì)稱(chēng)圖形.這條直線(xiàn)就是它的對(duì)稱(chēng)軸.

（2）軸對(duì)稱(chēng)：把圖形沿著某一條直線(xiàn)折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩

個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫作關(guān)于這條直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，這條直線(xiàn)叫作

對(duì)稱(chēng)軸.兩個(gè)圖形關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)也叫作軸對(duì)稱(chēng).

3.軸對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)

（1）軸對(duì)稱(chēng)圖形（或關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形），它的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等，對(duì)應(yīng)角相等.

（2）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分

線(xiàn).

4.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x,y）.

（1）點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P'的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，即P'（x,-y）；

（2）點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P"的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，即P"（-X,y）.

5.折疊問(wèn)題

（1）折疊后的圖形與原圖形全等，利用全等可以得到對(duì)應(yīng)角相等和對(duì)應(yīng)邊相等；

（2）折痕是折疊后圖形與原圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)；

（3）結(jié)合勾股定理（或相似三角形）的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.

技巧提煉

1.圖形的折疊是指某個(gè)圖形或其部分沿某直線(xiàn)翻折，這條直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸.在近年來(lái)全國(guó)各

地的中考試題中，圖形折疊問(wèn)題漸漸成了考查的熱點(diǎn)題型.

思路：圖形的折疊問(wèn)題分為兩類(lèi)題型

一是考查圖形折疊的不變性：只需抓住不變量，即對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；

二是考查圖形折疊的折痕：只需抓住折痕垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線(xiàn)段且平分對(duì)應(yīng)邊所成的夾

角.

2.軸對(duì)稱(chēng)變換是作點(diǎn)、線(xiàn)、圖形關(guān)于某一直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)圖形，從而使圖形中隱藏條件凸顯出

來(lái)或?qū)⒎稚l件集中起來(lái)，從而達(dá)到解題目的.那么，我們?cè)谑裁辞闆r下應(yīng)該想到用或作軸

對(duì)稱(chēng)呢？下面給出幾種常見(jiàn)考慮要用或作軸對(duì)稱(chēng)的基本圖形.

（1）線(xiàn)段或角度存在2倍關(guān)系的，可考慮對(duì)稱(chēng).

（2）有互余、互補(bǔ)關(guān)系的圖形，可考慮對(duì)稱(chēng).

（3）角度和或差存在特殊角度的，可考慮對(duì)稱(chēng).

（4）路徑最短問(wèn)題，基本上運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)，將分散的線(xiàn)段集中到兩點(diǎn)之間，從而運(yùn)用兩點(diǎn)之

間線(xiàn)段最短，來(lái)實(shí)現(xiàn)最短路徑的求解.所以最短路徑問(wèn)題，需考慮軸對(duì)稱(chēng).幾何最值問(wèn)題的

幾種中考題型及解題作圖方法如下表所示.

問(wèn)題作法圖形原理

?B連接ABPA+PB

最小值為

AB,兩點(diǎn)

---------------------1/,

之間，線(xiàn)

A*/P/段最短

在1上找一點(diǎn)P,使PA+PB最A(yù)

小

?B作A關(guān)BAP+BP

A于1的對(duì)=A'B,

?稱(chēng)點(diǎn)兩點(diǎn)之

---------------------------------/A',連間，線(xiàn)段

在直線(xiàn)1上求一點(diǎn)P,使AP+接A'最短

BP最小B,與1■

f

的交點(diǎn)A

即為點(diǎn)P

分別作PM+MN

Z

點(diǎn)P關(guān)于+PN=

兩直線(xiàn)P'P",

的對(duì)稱(chēng)兩點(diǎn)之

點(diǎn)P'間，線(xiàn)段

z-------------------hP",與最短

兩直線(xiàn)

在直線(xiàn)h，12上分別求點(diǎn)M、N,交點(diǎn)即

使apNiN周長(zhǎng)最小為M、N?p，，

分別作PQ+PM

點(diǎn)P、Qp:A+MN+

于直線(xiàn)用NQ=P'

h、b的對(duì)Q',兩點(diǎn)

稱(chēng)點(diǎn)之間，線(xiàn)

P'、2段最短

Q',連”：

在直線(xiàn)li、12上分別求點(diǎn)M、N,接P'?2

使四邊形PMNQ周長(zhǎng)最小Q',與

直線(xiàn)的

交點(diǎn)即

為M、N

將A向BAM+MN

A右平移a幾好NB

■個(gè)單位=a+A"

-------------------------------/到A，,B,兩點(diǎn)之

在直線(xiàn)1上求兩點(diǎn)M、N（M作A'關(guān)間，線(xiàn)段

1

在左），使得MN=a,并使AM于1的對(duì)M\/N最短

+MN+NB最小稱(chēng)點(diǎn)

A”,連

接A"

B,與1

交點(diǎn)即

為點(diǎn)N,

將點(diǎn)N

向左平

移a個(gè)單

位即為

M

?B連接BAB|AP-BP|

A并延長(zhǎng)=AB,三

?

與直線(xiàn)1角形任意

---------------------/的交點(diǎn)兩邊之差

在直線(xiàn)1上求點(diǎn)P,使|AP—BP|即為點(diǎn)P小于第三

最大遍

A作點(diǎn)B|AP-BP|

■關(guān)于直=AB',

---------------------1線(xiàn)1的對(duì)三角形任

稱(chēng)點(diǎn)意兩邊之

B',作[1差小于第

?B直線(xiàn)三遍

1

在直線(xiàn)1上求點(diǎn)P,使|AP—B0|AB'與1

最大的交點(diǎn)

即為點(diǎn)P

連接\|PA-PB|

?B\

AAB,作\/B=0,垂直

?AB中垂平分線(xiàn)上

---------------------/

線(xiàn)與1的.1的點(diǎn)與線(xiàn)

在直線(xiàn)1上求點(diǎn)P,使|PA-PB|交點(diǎn)即\p段兩端點(diǎn)

最小為點(diǎn)P%距離相等

作點(diǎn)P關(guān)PD+CD

/A

于直線(xiàn)的最小值

OB的對(duì)為P，C

稱(chēng)點(diǎn)長(zhǎng)度.點(diǎn)P

P',過(guò)到直線(xiàn)

---------------B

向直的距

P'BOA

點(diǎn)P在銳角NAOB內(nèi)部，在線(xiàn)OA作離，垂線(xiàn)

OB邊上求作一點(diǎn)D,在OA邊垂線(xiàn)與*段最短

上求作一點(diǎn)C,使PD+CD最OB的交

小點(diǎn)為所

求點(diǎn)D,

垂足即

為點(diǎn)C

3.軸對(duì)稱(chēng)的基本模型

例題精講

例1

【11000059］如圖所示，在AABC中，NB=22.5°,邊AB的垂直平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D,

DFJ_AC于點(diǎn)F,交BC邊上的高AE于點(diǎn)G,求證：EG=EC.

【思路點(diǎn)撥】題目中出現(xiàn)線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，可以考慮連接AD,進(jìn)而可證DE=AE,

再證aAEC絲Z\DEG即可.

例2

【11000060】（1）如圖（a）所示，把矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)B'

處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處.若AE=a、AB=b、BF=c,請(qǐng)寫(xiě)出a、b、c之間的一個(gè)等量關(guān)系

(2)如圖(b)所示，RtAABC中，ZACB=90°,ZA=50°,將其折疊，使點(diǎn)A落在

邊CB上A'處，折痕為CD,則/A'DB=()

A.40°

B.30°

C.20°

D.10°

(3)如圖(c)所示，等邊AABC的邊長(zhǎng)為1cm,D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，WAADE

沿直線(xiàn)DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且點(diǎn)A'在AABC外部，則陰影部分圖形的周長(zhǎng)為

(4)如圖(d)所示，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為1,M,N分別是AD、BC邊上的點(diǎn)，

將紙片的一角沿過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)A落在MN上，落點(diǎn)記為A',折痕交AD于點(diǎn)

E.若M、N分別是AD、BC邊的中點(diǎn)，則A'N=:若M、N分別是AD、BC

邊上距DC最近的n等分點(diǎn)(n22,且n為整數(shù))，則A'N=(用含有n的式子

表示).

【思路點(diǎn)撥】

(4)軸對(duì)稱(chēng)求線(xiàn)段長(zhǎng)通?？紤]用勾股定理求解，所以只需在RlAA'BN利用勾股定理即可.

例3

【11000061］如圖所示，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E

處，點(diǎn)A落在F處，折痕為MN,求折痕MN的長(zhǎng)度.

AD

H

【思路點(diǎn)撥】方法一：題目中折痕MN垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)D,E所連線(xiàn)段DE,所以連接DE,

過(guò)點(diǎn)M作MH_LCD于點(diǎn)H,構(gòu)造正方形的經(jīng)典模型

方法二：題目中折痕MN平分對(duì)應(yīng)邊所夾角/DNE,所以延長(zhǎng)NE,AB相交于點(diǎn)H,利用

“角平分線(xiàn)十平行線(xiàn)”構(gòu)造等腰三角形，可得MH=NH,過(guò)點(diǎn)N作NKLAB,利用勾股定

理即可求出MN的長(zhǎng)度.

例4

【11000062］如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=30,AD=48,BC=14,CD=40,ZABD

+/BDC=90°,求四邊形ABCD的面積.

A

【思路點(diǎn)撥】四邊形ABCD是不規(guī)則的四邊形，由于/ABD+NBDC=90°,可以考慮利

用軸對(duì)稱(chēng)變換構(gòu)造90°,作BD的中垂線(xiàn)1,作4ABD關(guān)于直線(xiàn)1的軸對(duì)稱(chēng)圖形4A'DB,

連接A'C,可得NA'DC=90°,然后利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明aBCA'是

直角三角形，即可求出四邊形ABCD的面積.

例5

【11000063］如圖所示，在四邊形ABCD中，連接AC,BC=CD,ZBCA-ZACD=60°,

求證：AD+CD^AB.

【思路點(diǎn)撥】題目中出現(xiàn)BC=CD,ZBCA-ZACD=60°,可以考慮做軸對(duì)稱(chēng)變換構(gòu)造

/BCD'=60°,進(jìn)而得到ABCD'是等邊三角形，再利用“三角形的三邊關(guān)系定理”即

可.

例6

【11000064】問(wèn)題：如圖所示，已知AABC中，ZBAC=2ZACB,點(diǎn)D是AABC內(nèi)的一

點(diǎn)，且AD=CD,BD=BA.探究/DBC與/ABC度數(shù)的比值.

B

請(qǐng)你完成下列探究過(guò)程：

將圖形特殊化，得出猜想，再對(duì)一般情況進(jìn)行分析并加以證明.

(1)當(dāng)NBAC=90°時(shí)，依問(wèn)題中的條件補(bǔ)全下圖.

觀(guān)察圖形，AB與AC的數(shù)量關(guān)系為；

當(dāng)推出NDAC=15°時(shí)，可進(jìn)一步推出NDBC的度數(shù)為；

可得到NDBC與/ABC度數(shù)的比值為.

(2)當(dāng)NBACW90。時(shí)，請(qǐng)你畫(huà)出圖形，研究NDBC與NABC度數(shù)的比值是否與(1)中

的結(jié)論相同，寫(xiě)出你的猜想并加以證明.

【思路點(diǎn)撥】(1)由題目中條件證明AB=AC,求出NABC與NABD的度數(shù)即可.

(2)題目中己知2倍角關(guān)系，且AD=CD,BD=BA,圖形具有軸對(duì)稱(chēng)特征，所以作4ABD

關(guān)于線(xiàn)段AC垂直平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)圖形，再根據(jù)等腰梯形、等邊三角形和三角形內(nèi)角和定理即

可求出NABC與/DBC的度數(shù)比.

例7

【11000065】問(wèn)題背景：

如圖(a)所示，點(diǎn)A、B在直線(xiàn)1的同側(cè)，要在直線(xiàn)1上找一點(diǎn)C,使AC與BC的距離之

和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B',連接AB'與直線(xiàn)1交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C即

為所求.

(1)實(shí)踐運(yùn)用

如圖(b)所示，已知，的直徑CD為4,點(diǎn)A在OO上，ZACD=30°,B為弧AD

的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP_LAP的最小值為.

(2)知識(shí)拓展

如圖(c)所示，在RtZiABC中，AB=10,ZBAC=45°,NBAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D,

E、F分別是線(xiàn)段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BELEF的最小值，并寫(xiě)出解答過(guò)程.

(3)如圖(d)所示，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊AB,BC上作出點(diǎn)M,N,

使PM+PN+MN的值最小，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法.

(a)(b)(c)(d)

【思路點(diǎn)撥】(1)作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,連接AE交CD于點(diǎn)P,連接AO,EO,根

據(jù)題意先求出/AOE=90°,再根據(jù)勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值；

(2)在斜邊AC上截取AB'=AB,連接BB',再過(guò)點(diǎn)B'作B'FLAB,垂足為F,交

AD于點(diǎn)E,連接BE,則線(xiàn)段B'F的長(zhǎng)即為所求.

(3)只需作點(diǎn)P關(guān)于AB和BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與AB,BC的交點(diǎn)即為所求.

例8

[]請(qǐng)閱讀下列材料：

問(wèn)題：如圖所示，在四邊形ABCD中，M是BC邊的中點(diǎn)，且/AMD=90°,試判斷AB

+CD與AD之間的大小關(guān)系.

小雪同學(xué)的思路是：作B點(diǎn)關(guān)于AM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,連接AE、ME、DE,構(gòu)造全等三角形，

經(jīng)過(guò)推理使問(wèn)題得到解決.

請(qǐng)你參考小雪同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：

(1)寫(xiě)出上面問(wèn)題中AB+CD與AD之間的大小關(guān)系；

(2)如圖(b)所示，若將NAMD的度數(shù)改為120°,原問(wèn)題中的其他條件不變，證明：

AB+^BC+CD2AD；

2

(3)如圖(c)所示，若/AMD=135°,AB=1,BC=272,CD=2,求AD的最大值.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題目中的已知條件和提示思路，需作B,C兩點(diǎn)關(guān)于AM,DM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

E,F,連接AE,EF,DF,ME,MF,證明AABM絲Z\AEM,ACDM^AFDM,第(2)

小題證明AMEF是等邊三角形，第(3)小題證明aMEF是等腰直角三角形，即可解決問(wèn)

題.

變式

【11000066】若將NAMD的度數(shù)改為150°,其余條件不變，猜想AB、BC、CD與AD間

的關(guān)系.

【思路點(diǎn)撥】解題思路同例8.

三、牛刀小試

小試1

【11000067】（1）如圖所示，陰影部分是由5個(gè)小正方形涂黑組成的一個(gè)直角圖形，若再將

方格內(nèi)空白的兩個(gè)小正方形涂黑，得到新的圖形（陰影部分），其中不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是

B.

B.正方形

C.等腰三角形

D.線(xiàn)段

小試2

【11000069】如圖所示，在矩形紙片ABCD中，AB=2cm,點(diǎn)E在BC上，且AE=CE.若

將紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好與AC上的點(diǎn)日重合，則AC=cm.

小試3

【11000070］如圖所示，矩形ABCD的長(zhǎng)AD=9cm,寬AB=3cm,將它折疊，使點(diǎn)D與

點(diǎn)B重合，求折疊后BE的長(zhǎng)和折痕EF的長(zhǎng)分別是（）

C'

A.5cm,V10cm

B.5cm,3cm

C.6cm,y/10cm

D.5cm,4cm

小試4

【11000071】如圖所示，在AABC中，AB=2BC,ZB=2ZA,求NC.

小試5

【11000072］如圖所示，D為BC中點(diǎn)，DELBC交NBAC的平分線(xiàn)于點(diǎn)E,EFLAB于點(diǎn)

F,EG_LAC于點(diǎn)G.求證：BF=CG.

A

E

小試6

[11000073]已知：如圖所示，在/POQ內(nèi)部有兩點(diǎn)M、N,ZMOP=ZNOQ,

(1)畫(huà)圖并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫(huà)法：在射線(xiàn)OP上取一點(diǎn)A,使點(diǎn)A到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離和最小:

在射線(xiàn)OQ上取一點(diǎn)B,使點(diǎn)B到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離和最小.

(2)直接寫(xiě)出AM+AN與BM+BN的大小關(guān)系.

小試7

[11000074](1)如圖(a)所示，在x軸上找一點(diǎn)C,使AABC的周長(zhǎng)最短，求最短周長(zhǎng)

的值.

41，3)