高中數(shù)學(xué)選修23人教版練習(xí)第三章3.1第1課時(shí)線性回歸模型

第三章統(tǒng)計(jì)案例3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用第1課時(shí)線性回歸模型A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．有下列說法：①線性回歸分析就是由樣本點(diǎn)去尋找一條直線，貼近這些樣本點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法；②利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個(gè)變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示；③通過回歸方程eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^))及其回歸系數(shù)b，可以估計(jì)和觀測(cè)變量的取值和變化趨勢(shì)；④因?yàn)橛扇魏我唤M觀測(cè)值都可以求得一個(gè)線性回歸方程，所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)．其中正確說法的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．解析：①反映的是最小二乘法思想，故正確．②反映的是畫散點(diǎn)圖的作用，也正確．③反映的是回歸模型y＝bx＋a＋e，其中e為隨機(jī)誤差，故也正確．④不正確，在求回歸方程之前必須進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，以體現(xiàn)兩變量的關(guān)系．答案：C2．設(shè)兩個(gè)變量x和y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是r，y關(guān)于x的回歸直線的斜率是b，縱軸上的截距是a，那么必有()A．b與r的符號(hào)相同B．a(chǎn)與r的符號(hào)相同C．b與r的符號(hào)相反D．a(chǎn)與r的符號(hào)相反解析：因?yàn)閎＞0時(shí)，兩變量正相關(guān)，此時(shí)r＞0；b＜0時(shí)，兩變量負(fù)相關(guān)，此時(shí)r＜0.答案：A3．對(duì)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)，依據(jù)得到的4個(gè)不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合效果最好的是()解析：用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合效果越好．答案：A4．設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y)))C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加D．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為解析：回歸方程中x的系數(shù)為0.85＞0，因此y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；由回歸方程系數(shù)的意義可知回歸直線過樣本點(diǎn)的中心eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))，B正確；依據(jù)回歸方程中y的含義可知，x每變化1個(gè)單位，y相應(yīng)變化約0.85個(gè)單位，C正確；用回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)不能得到肯定的結(jié)論，故D錯(cuò)誤．答案：D5．(2015·福建卷)為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入x/萬元8.28.610.011.311.9支出y/萬元6.27.58.08.59.8根據(jù)上表可得回歸直線方程eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^))，其中eq\o(b,\s\up12(^))＝0.76，eq\o(a,\s\up12(^))＝y(tǒng)－eq\o(b,\s\up12(^))eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，.據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為()A．11.4萬元 B．11.8萬元C．12.0萬元 D．12.2萬元解析：由已知得eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝eq\f(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9,5)＝10(萬元)，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝eq\f(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8,5)＝8(萬元)，故eq\o(a,\s\up12(^))＝8－0.76×10＝0.4.所以回歸直線方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝0.76x＋0.4，社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭年支出為eq\o(y,\s\up12(^))＝0.76x＋0.4，社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭支出為eq\o(y,\s\up12(^))＝0.76×15＋0.4＝11.8(萬元)．答案：B二、填空題6．若施化肥量x(kg)與小麥產(chǎn)量y(kg)之間的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝250＋4x，當(dāng)施化肥量為50kg時(shí)，預(yù)計(jì)小麥產(chǎn)量為________kg.解析：把x＝50代入eq\o(y,\s\up6(^))＝250＋4x，得eq\o(y,\s\up6(^))＝450.答案：4507．已知x，y的取值如表所示：x0134y2.24.34.86.7若從散點(diǎn)圖分析，y與x線性相關(guān)，且eq\o(y,\s\up6(^))＝0.95x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(a,\s\up6(^))的值等于________．解析：x＝eq\f(1,4)(0＋1＋3＋4)＝2，y＝eq\f(2.2＋4.3＋4.8＋6.7,4)＝4.5，而回歸直線方程過樣本點(diǎn)的中心(2，4.5)，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝y(tǒng)－0.95x＝4.5－0.95×2＝2.6.答案：2.68．已知一個(gè)線性回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝1.5x＋45，其中x的取值依次為1，7，5，13，19，則eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝________．解析：eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝eq\f(1＋7＋5＋13＋19,5)＝9，因?yàn)榛貧w直線方程過點(diǎn)(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y)))，所以eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝1.5x＋45＝1.5×9＋45＝58.5.答案：58.5三、解答題9．某醫(yī)院用光電比色計(jì)檢驗(yàn)?zāi)蚬瘯r(shí)，得尿汞含量x(單位：mg/L)與消光系數(shù)y讀數(shù)的結(jié)果如下：尿汞含量x246810消光系數(shù)y64138205285360(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)求回歸方程．解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示：(2)由圖可知y與x的樣本點(diǎn)大致分布在一條直線周圍，因此可以用線性回歸方程來擬合它．設(shè)回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^)).故所求的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝36.95x－11.3.10．某個(gè)服裝店經(jīng)營某種服裝，在某周內(nèi)獲純利y（元）與該周每天銷售這種服裝件數(shù)x之間的一組數(shù)據(jù)關(guān)系表：x3456789y66697381899091(1)求eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))；(2)已知純利y與每天銷售件數(shù)x線性相關(guān)，試求出其回歸方程．解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9,7)＝6，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91,7)＝eq\f(559,7).(2)因?yàn)閥與x有線性相關(guān)關(guān)系，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\f(559,7)－6×4.75＝eq\f(719,14)≈51.36.故回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝4.75x＋51.36.B級(jí)能力提升1．某學(xué)生四次模擬考試中，其英語作文的減分情況如下表：考試次數(shù)x1234所減分?jǐn)?shù)y4.5432.5顯然所減分?jǐn)?shù)y與模擬考試次數(shù)x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，則其線性回歸方程為()A．y＝0.7x＋5.25 B．y＝－0.6x＋5.25C．y＝－0.7x＋6.25 D．y＝－0.7x＋5.25解析：由題意可知，所減分?jǐn)?shù)y與模擬考試次數(shù)x之間為負(fù)相關(guān)，所以排除A.考試次數(shù)的平均數(shù)為x＝eq\f(1,4)(1＋2＋3＋4)＝2.5，所減分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為y＝eq\f(1,4)(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5，即直線應(yīng)該過點(diǎn)(2.5，3.5)，代入驗(yàn)證可知直線y＝－0.7x＋5.25成立，故選D.答案：D2．為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號(hào)到5號(hào)每天打籃球時(shí)間x(單位：小時(shí))與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系：時(shí)間x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李這5天的平均投籃命中率為________，用線性回歸分析的方法，預(yù)測(cè)小李該月6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率為________．解析：這5天的平均投籃命中率為eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝eq\f(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4,5)＝0.5，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3.所以eq\o(b,\s\up12(^))＝eq\f(0.1,10)＝0.01，eq\o(a,\s\up12(^))＝eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))－eq\o(b,\s\up12(^))eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝0.47.所以回歸直線方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝0.01x＋0.47.當(dāng)x＝6時(shí)，eq\o(y,\s\up12(^))＝0.01×6＋0.47＝0.53.答案：0.50.533．某市垃圾處理廠的垃圾年處理量(單位：千萬噸)與資金投入量x(單位：千萬元)有如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：分類2012年2013年2014年2015年2016年資金投入量x/千萬元1.51.41.91.62.1垃圾處理量y/千萬噸7.47.09.27.910.0(1)若從統(tǒng)計(jì)的5年中任取2年，求這2年的垃圾處理量至少有一年不低于8.0千萬噸的概率；(2)由表中數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝4x＋eq\o(a,\s\up12(^))，該垃圾處理廠計(jì)劃2017年的垃圾處理量不低于9.0千萬噸，現(xiàn)由垃圾處理廠決策部門獲悉2017年的資金投入量約為1.8千萬元，請(qǐng)你預(yù)測(cè)2017年能否完成垃圾處理任務(wù)，若不能，缺口約為多少千萬噸？解：(1)從統(tǒng)計(jì)的5年垃圾處理量中任取2年的基本事件共10個(gè)：(7.4，7.0)，(7.4，9.2)，(7.4，7.9)，(7.4，10.0)，(7.0，9.2)，(7.0，7.9)，(7.0，10.0)，(9.2，7.9)，(9.2，10.0)，(7.9，10.0)，其中垃圾處理量至少有一年不低于8.0千萬噸的基本事件有6個(gè)：(7.4，9.2)，(7.4，10.0)，(7.0，9.2)，(7.0，10.0)，(9.2，7.9)，(9.2，10.0)．所以，這2年的垃圾處理量至少有一年不低于8.0千萬噸的概率為P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝eq\f(1.5＋1.4＋1.9＋1.6＋2.1,5)＝1.7，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝eq\f(7.4＋7.0＋9.2＋7.9＋10.0,5)＝8.3，因?yàn)橹本€eq\o(y,\s\up12(^)