安徽省2024中考數(shù)學(xué)第2章方程組與不等式組第3節(jié)一元二次方程及其應(yīng)用試題

Page1其次章方程(組)與不等式(組)第三節(jié)一元二次方程及其應(yīng)用考點(diǎn)幫易錯(cuò)自糾易錯(cuò)點(diǎn)1忽視一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為01.若方程(m-1)xm2+1易錯(cuò)點(diǎn)2誤認(rèn)為關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0肯定是一元二次方程2.關(guān)于x的方程(m-2)x2-2x+1=0有實(shí)根,則(B)A.m<3 B.m≤3C.m<3且m≠2 D.m≤3且m≠2易錯(cuò)點(diǎn)3一元二次方程ax2+bx+c=0有2個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí),忽視Δ=0的狀況3.方程x2+2x+k=0有2個(gè)實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是(B)A.k<1 B.k≤1C.k≤-1 D.k<-1易錯(cuò)點(diǎn)4干脆開(kāi)平方解一元二次方程時(shí)易丟根4.方程4x2+4x+1=9的解為x1=1,x2=-2.

易錯(cuò)點(diǎn)5方程兩邊同時(shí)約去含有未知數(shù)的因式導(dǎo)致漏根5.方程x(x+2)=2(x+2)的根為x1=2,x2=-2.

真題幫【考法速覽】考法1解一元二次方程(10年4考)考法2根的判別式(10年2考)考法3一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用(10年3考)考法1解一元二次方程1.[2011安徽,8]一元二次方程x(x-2)=2-x的根是(D)A.-1 B.2 C.1和2 D.-1和22.[2024安徽,15]解方程:(x-1)2=4.解:∵(x-1)2=4,∴x-1=±2,∴x1=3,x2=-1.3.[2016安徽,16]解方程:x2-2x=4.解:方程兩邊都加上1,得x2-2x+1=5,即(x-1)2=5,∴x-1=±5,∴x1=1+5,x2=1-5.4.[2012安徽,16]解方程:x2-2x=2x+1.解:原方程可化為x2-4x-1=0,∴Δ=(-4)2-4×1×(-1)=20,∴x=4±202=2±∴x1=2-5,x2=2+5.考法2根的判別式5.[2024安徽,5]下列方程中,有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是(A)A.x2+1=2x B.x2+1=0C.x2-2x=3 D.x2-2x=0變式訓(xùn)練6.[2024山東濰坊]關(guān)于x的一元二次方程x2+(k-3)x+1-k=0的根的狀況,下列說(shuō)法正確的是(A)A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.無(wú)實(shí)數(shù)根 D.無(wú)法確定7.[2024安徽,7]若關(guān)于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的值為(A)A.-1 B.1C.-2或2 D.-3或1考法3一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用8.[2017安徽,8]一種藥品原價(jià)每盒25元,經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后每盒16元,設(shè)兩次降價(jià)的百分率都為x,則x滿意(D)A.16(1+2x)=25 B.25(1-2x)=16C.16(1+x)2=25 D.25(1-x)2=169.[2015安徽,6]我省2013年的快遞業(yè)務(wù)量為1.4億件,受益于電子商務(wù)發(fā)展和法治環(huán)境改善等多重因素,快遞業(yè)迅猛發(fā)展,2014年增速位居全國(guó)第一.若2015年的快遞業(yè)務(wù)量達(dá)到4.5億件,設(shè)2014年與2015年這兩年的年平均增長(zhǎng)率為x,則下列方程正確的是(C)A.1.4(1+x)=4.5 B.1.4(1+2x)=4.5C.1.4(1+x)2=4.5 D.1.4(1+x)+1.4(1+x)2=4.510.[2013安徽,7]目前我國(guó)已建立了比較完善的經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生資助體系,某校去年上半年發(fā)放給每個(gè)經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生389元,今年上半年發(fā)放了438元.設(shè)每半年發(fā)放的資助金額的平均增長(zhǎng)率為x,則下面列出的方程中正確的是(B)A.438(1+x)2=389 B.389(1+x)2=438C.389(1+2x)=438 D.438(1+2x)=389作業(yè)幫基礎(chǔ)分點(diǎn)練(建議用時(shí):40分鐘)

考點(diǎn)1解一元二次方程1.[2024合肥包河區(qū)一模]一元二次方程x2+2x=0的解是(D)A.x=0 B.x=-2C.x1=2,x2=0 D.x1=-2,x2=02.[2024山東聊城]用配方法解一元二次方程2x2-3x-1=0,配方正確的是(A)A.(x-34)2=1716 B.(x-34)C.(x-32)2=134 D.(x-32)3.[2024遼寧營(yíng)口]一元二次方程x2-5x+6=0的解為(D)A.x1=2,x2=-3 B.x1=-2,x2=3C.x1=-2,x2=-3 D.x1=2,x2=34.[2024江蘇常州]若關(guān)于x的方程x2+ax-2=0有一個(gè)根是1,則a=1.

5.[2024湖北十堰]對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,定義運(yùn)算“◎”如下:a◎b=(a+b)2-(a-b)2.若(m+2)◎(m-3)=24,則m=-3或4.

6.解一元二次方程:(x-3)2=2x(3-x).解:∵(x-3)2=2x(3-x),∴(x-3)2-2x(3-x)=0,即(x-3)2+2x(x-3)=0,即(x-3)(3x-3)=0,∴x-3=0或3x-3=0,∴x1=3,x2=1.7.[2024黑龍江齊齊哈爾]用配方法解方程:x2+6x=-7.解:∵x2+6x=-7,∴x2+6x+9=-7+9,即(x+3)2=2,則x+3=±2,∴x=-3±2,即x1=-3+2,x2=-3-2.8.[2024江蘇無(wú)錫]解方程:x2+x-1=0.解:∵a=1,b=1,c=-1,∴Δ=b2-4ac=12-4×1×(-1)=5>0,∴x=-b±b2-4ac故x1=-1+52,x2=考點(diǎn)2根的判別式9.下列一元二次方程中,有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是(D)A.x2-x+14=0 B.x2C.x2-x+2=0 D.x2-2x=010.[2024安慶模擬]已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則1a+c的值等于(B)A.-2 B.2 C.4 D.-411.[2024合肥廬陽(yáng)區(qū)模擬]若關(guān)于x的一元二次方程x2+2(k-1)x+k2-1=0有實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是(D)A.k≥1 B.k>1 C.k<1 D.k≤112.[2024遼寧撫順]若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x-k=0無(wú)實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是k<-1.

13.[2024亳州模擬]已知關(guān)于x的方程x2-2mx+m2+m-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求m的取值范圍.(2)當(dāng)m為正整數(shù)時(shí),求方程的根.解:(1)∵關(guān)于x的方程x2-2mx+m2+m-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ=(-2m)2-4(m2+m-2)>0.解得m<2.(2)由(1)知,m<2.又m為正整數(shù),∴m=1.將m=1代入原方程,得x2-2x=0,即x(x-2)=0,解得x1=0,x2=2.考點(diǎn)3一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用14.[2024河南]國(guó)家統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示,我國(guó)快遞業(yè)務(wù)收入逐年增加.2017年至2024年我國(guó)快遞業(yè)務(wù)收入由5000億元增加到7500億元.設(shè)我國(guó)2017年至2024年快遞業(yè)務(wù)收入的年平均增長(zhǎng)率為x,則可列方程為(C)A.5000(1+2x)=7500B.5000×2(1+x)=7500C.5000(1+x)2=7500D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=750015.在一次同學(xué)聚會(huì)上,每人都向其他人贈(zèng)送了一份小禮品,參與聚會(huì)的同學(xué)共送出156份小禮品.假如參與聚會(huì)的同學(xué)有x名,依據(jù)題意列出的方程是(B)A.x(x+1)=156 B.x(x-1)=156C.2x(x+1)=156 D.x(x-1)=156×216.[2024貴州遵義]如圖,把一塊長(zhǎng)為40cm,寬為30cm的矩形硬紙板的四角剪去四個(gè)相同的小正方形,然后把紙板沿虛線折起,并用膠帶粘好,即可做成一個(gè)無(wú)蓋紙盒.若該無(wú)蓋紙盒的底面積為600cm2,設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm,則可列方程為(D)A.(30-2x)(40-x)=600B.(30-x)(40-x)=600C.(30-x)(40-2x)=600D.(30-2x)(40-2x)=60017.某校圖書(shū)館2017年共有圖書(shū)10萬(wàn)冊(cè),2024年共有圖書(shū)14.4萬(wàn)冊(cè).假設(shè)該校圖書(shū)館圖書(shū)冊(cè)數(shù)的年增長(zhǎng)率保持不變,則該校圖書(shū)館的圖書(shū)冊(cè)數(shù)首次超過(guò)20萬(wàn)冊(cè)的年份是(B)A.2024年 B.2024年 C.2024年 D.2024年18.[2024上海]某商店去年“十一黃金周”進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)期間,前六天的總營(yíng)業(yè)額為450萬(wàn)元,第七天的營(yíng)業(yè)額是前六天總營(yíng)業(yè)額的12%.(1)求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額;(2)去年,該商店7月份的營(yíng)業(yè)額為350萬(wàn)元,8,9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率相同,“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額與9月份的營(yíng)業(yè)額相等,求該商店去年8,9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率.解:(1)450+450×12%=504(萬(wàn)元).答:該商店去年“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額為504萬(wàn)元.(2)設(shè)該商店去年8,9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率為x,依據(jù)題意,得350(1+x)2=504,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合題意,舍去).答:該商店去年8,9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率為20%.19.[2024合肥蜀山區(qū)期末]某水果連鎖店將進(jìn)價(jià)為20元/千克的某種熱帶水果以25元/千克的價(jià)格售出,每日能售出40千克.(1)每日的銷(xiāo)售利潤(rùn)為200元.

(2)調(diào)查表明:當(dāng)售價(jià)在25元/千克~32元/千克范圍內(nèi)時(shí),這種熱帶水果每千克的售價(jià)每上漲1元,其銷(xiāo)售量就削減2千克.在售價(jià)不高于32元/千克的狀況下,若要使每日的銷(xiāo)售利潤(rùn)為300元,售價(jià)應(yīng)定為多少?解:(1)200解法提示:(25-20)×40=200(元).(2)設(shè)每千克上漲x元,則售價(jià)為(25+x)元/千克,每日可售出(40-2x)千克,依題意,得(25+x-20)(40-2x)=300,整理,得x2-15x+50=0,解得x1=5,x2=10.當(dāng)x=5時(shí),25+x=30,符合題意;當(dāng)x=10時(shí),25+x=35>32,不合題意,舍去.答:售價(jià)應(yīng)定為30元/千克.綜合提升練(建議用時(shí):20分鐘)1.[2024甘肅隴南]已知x=1是一元二次方程(m-2)x2+4x-m2=0的一個(gè)根,則m的值為(B)A.-1或2 B.-1 C.2 D.02.[2024河南]定義運(yùn)算:m☆n=mn2-mn-1.例如:4☆2=4×22-4×2-1=7.則方程1☆x=0的根的狀況為(A)A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.無(wú)實(shí)數(shù)根D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根3.[2024浙江衢州]某廠家2024年1~5月份的口罩產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)如圖所示.設(shè)從2月份到4月份,該廠家口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率為x,依據(jù)題意可得方程(B)A.180(1-x)2=461 B.180(1+x)2=461C.368(1-x)2=442 D.368(1+x)2=4424.[2024湖南邵陽(yáng)]中國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝的《田畝比類(lèi)乘除捷法》中記載:“直田積八百六十四步,只云闊不及長(zhǎng)一十二步,問(wèn)闊幾步.”翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題是:一塊矩形田地的面積為864平方步,它的寬比長(zhǎng)少12步,問(wèn)它的寬是多少步.利用方程思想,設(shè)寬為x步,則依題意列方程x(x+12)=864.

5.[2024阜陽(yáng)潁州區(qū)一模]已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+34m2+1(1)證明:該方程有實(shí)數(shù)根;(2)當(dāng)m=4時(shí),該方程的兩個(gè)根是等腰三角形ABC的兩邊長(zhǎng),求該三角形的面積.(1)證明:∵Δ=[-(2m+1)]2-4×1×(34m2+12m)=4m2+4m+1-3m2-2m=m2+2m+1=(m+1)∴該方程有實(shí)數(shù)根.(2)解:當(dāng)m=4時(shí),該方程為x2-9x+14=0,解得x1=2,x2=7.∵2+2<7,2+7>7,∴該等腰三角形的腰長(zhǎng)為7,底邊長(zhǎng)為2.∴底邊上的高線長(zhǎng)為72-1∴該三角形的面積為12×2×43=436.賓館有50間房供游客居住,當(dāng)每間房每天定價(jià)為180元時(shí),賓館正好住滿;每間房每天的定價(jià)每增加10元,就會(huì)空閑一間房.假如有游客居住,賓館需對(duì)居住的每間房每天支出20元的費(fèi)用.問(wèn)當(dāng)房?jī)r(jià)定為每間房每天多少元時(shí),賓館當(dāng)天的利潤(rùn)為10890元.解:設(shè)房?jī)r(jià)定為每間房每天x元,則當(dāng)天有游客居住的房間的數(shù)量為(50-x-18010依據(jù)題意,得(x-20)(50-x-18010整理,得x2-700x+122500=0,解得x1=x2=350.答:當(dāng)房?jī)r(jià)定為每間房每天350元時(shí),賓館當(dāng)天的利潤(rùn)為10890元.全國(guó)視野創(chuàng)新練新設(shè)問(wèn)[2024黑龍江大慶]已知關(guān)于x的一元二次方程:x2-2x-a=0,有下列結(jié)論:①當(dāng)a>-1時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根;②當(dāng)a>0時(shí),方程不行能有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)根;③當(dāng)a>-1時(shí),方程的兩個(gè)實(shí)根不行能都小于1;④當(dāng)a>3時(shí),方程的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)大于3,另一個(gè)小于3.以上4個(gè)結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)為3.

參考答案【易錯(cuò)自糾】1.-1由題意得m-1≠0,m2+1=2,故m=-1.2.B分兩種狀況進(jìn)行探討.當(dāng)m-2=0,即m=2時(shí),(m-2)x2-2x+1=0可化為-2x+1=0,是一元一次方程,有實(shí)數(shù)根;當(dāng)m-2≠0,即m≠2時(shí),(m-2)x2-2x+1=0是一元二次方程,若該方程有實(shí)數(shù)根,則Δ≥0,即(-2)2-4×(m-2)×1=12-4m≥0,解得m≤3,故m≤3且m≠2.綜上可知m≤3.故選B.3.B∵方程x2+2x+k=0有2個(gè)實(shí)數(shù)根,∴Δ=22-4k≥0,∴k≤1.4.x1=1,x2=-2原方程可化為(2x+1)2=9,兩邊開(kāi)平方,得2x+1=±3,∴x1=1,x2=-2.5.x1=2,x2=-2原方程可化為x(x+2)-2(x+2)=0,提取公因式,得(x+2)(x-2)=0,∴x-2=0或x+2=0,∴x1=2,x2=-2.1.D原方程移項(xiàng)、因式分解,可得(x-2)(x+1)=0,解得x1=-1,x2=2,所以該一元二次方程的根是2和-1.2~4.略5.A逐項(xiàng)分析如下:選項(xiàng)分析根的狀況A方程可轉(zhuǎn)化為(x-1)2=0,故x1=x2=1.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.B方程可轉(zhuǎn)化為x2=-1,-1<0.無(wú)實(shí)數(shù)根.C方程可轉(zhuǎn)化為x2-2x-3=0,Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.D方程可轉(zhuǎn)化為x(x-2)=0,故x1=0,x2=2.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故選A.6.A由題可知Δ=(k-3)2-4(1-k)=k2-6k+9-4+4k=k2-2k+5=(k-1)2+4>0,∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故選A.7.A將該方程化為一般形式,為x2+(1+a)x=0.若該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則Δ=(1+a)2=0,解得a=-1.8.D第一次降價(jià)后的價(jià)格為每盒25(1-x)元,其次次降價(jià)后的價(jià)格為每盒25(1-x)2元,由此可列方程25(1-x)2=16.9.C2014年的快遞業(yè)務(wù)量為1.4(1+x)億件,2015年的快遞業(yè)務(wù)量為1.4(1+x)(1+x)=1.4(1+x)2(億件),由此可得方程1.4(1+x)2=4.5.10.B去年下半年發(fā)放的資助金額為389(1+x)元,今年上半年發(fā)放的資助金額是389(1+x)(1+x)元,即389(1+x)2元,所以有389(1+x)2=438.基礎(chǔ)分點(diǎn)練1.Dx2+2x=x(x+2)=0,解得x1=-2,x2=0.2.A2x2-3x-1=0,x2-32x=12,x2-32x+(34)2=12+(34)2,(x-3.D方法一:a=1,b=-5,c=6,由公式法可得x1=2,x2=3.方法二:(x-2)(x-3)=0,x-2=0或x-3=0,所以x1=2,x2=3.4.1將x=1代入x2+ax-2=0,得1+a-2=0,解得a=1.5.-3或4∵a◎b=(a+b)2-(a-b)2=(a+b+a-b)(a+b-a+b)=4ab,∴(m+2)◎(m-3)=4(m+2)(m-3)=24,化簡(jiǎn),得m2-m-12=0,解得m=-3或m=4.6~8.略9.D對(duì)于A選項(xiàng),Δ=(-1)2-4×1×14=0,故選項(xiàng)A中的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;對(duì)于B選項(xiàng),Δ=22-4×1×4=-12<0,故選項(xiàng)B中的方程無(wú)實(shí)數(shù)根;對(duì)于C選項(xiàng),Δ=(-1)2-4×1×2=-7<0,故選項(xiàng)C中的方程無(wú)實(shí)數(shù)根;對(duì)于D選項(xiàng),Δ=(-2)210.B依據(jù)題意可知Δ=22-4a(2-c)=0,化簡(jiǎn),得ac-2a+1=0.由一元二次方程的定義可知a≠0,∴c-2+1a=0,即111.D∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2(k-1)x+k2-1=0有實(shí)數(shù)根,∴Δ=b2-4ac=4(k-1)2-4(k2-1)=-8k+8≥0,解得k≤1.12.k<-1依據(jù)題意可知,Δ=b2-4ac=22-4×(-k)<0,解得k<-1.13.略14.C2017年快遞業(yè)務(wù)收入為5000億元,2024年快遞業(yè)務(wù)收入為5000(1+x)億元,2024年快遞業(yè)務(wù)收入為5000(1+x)2億元,故可列方程為5000(1+x)2=7500,故選C.15.B依據(jù)題意得x(x-1)=156.故選B.16.D由題意得,無(wú)蓋紙盒的底面長(zhǎng)為(40-2x)