高考數(shù)學一輪復習知識點講解+真題測試專題8.3空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系(知識點講解)(原卷版+解析)

專題8.3空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系（知識點講解）【知識框架】【核心素養(yǎng)】1.通過考查空間線面關(guān)系，凸顯邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．2.通過考查空間角的計算，凸顯數(shù)學運算、直觀想象及邏輯推理的核心素養(yǎng)．【知識點展示】（一）平面的基本性質(zhì)(1)基本事實1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))．(2)基本事實2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)．(3)基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線．推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．（二）空間兩直線的位置關(guān)系1.位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線,平行直線)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點))2.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．（三）異面直線所成的角1.異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角或直角叫作異面直線a，b所成的角(或夾角)．②范圍：.2.異面直線的判定方法：判定定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線；反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面．（四）空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有三種情況：在平面內(nèi)---有無數(shù)個公共點；相交---有且只有一個公共點；平行---沒有公共點．后兩種情況直線不在平面內(nèi)，也稱直線在平面外.(2)平面與平面的位置關(guān)系有兩種情況：平行---沒有公共點；相交---有一條公共直線．（五）常用結(jié)論唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直．(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直．【常考題型剖析】題型一：平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用例1.（四川·高考真題（文）），，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（）A．， B．，C．，，共面 D．，，共點，，共面例2.(2023·山東·高考真題（文））已知直線a，b分別在兩個不同的平面，內(nèi)則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例3．(2023·上?！つM預測）如圖正方體中，分別為棱的中點，連接.空間任意兩點，若線段上不存在點在線段上，則稱兩點可視，則下列選項中與點可視的為（

）A．點P B．點B C．點R D．點Q例4.如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設(shè)EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線．【方法技巧】1.證明點共線問題的常用方法公理法：先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，再根據(jù)公理3證明這些點都在交線上同一法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上.2.證明線共點問題的方法證明若干線共點的基本思路是先找出兩條直線的交點，再證明其他直線都經(jīng)過該點．而證明直線過該點的方法是證明點是以該直線為交線的兩個平面的公共點．3.證明點、直線共面問題的常用方法納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)輔助平面法：先證明有關(guān)的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合.題型二：空間兩直線的位置關(guān)系例5.（廣東·高考真題（文））若空間中四條直線、、、，滿足、、，則下列結(jié)論一定正確的是（）．A． B．C．、既不平行也不垂直 D．、位置關(guān)系不確例6.（湖北·高考真題（文））表示空間中的兩條直線，若p：是異面直線；q：不相交，則A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件例7.（2023·全國·高考真題（理））設(shè)有下列四個命題：p1：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).p2：過空間中任意三點有且僅有一個平面.p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.則下述命題中所有真命題的序號是__________.①②③④【總結(jié)提升】判斷空間兩直線位置關(guān)系的思路方法(1)判斷空間兩直線的位置關(guān)系一般可借助正方體模型，以正方體為主線直觀感知并準確判斷．(2)異面直線的判定方法①反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴格的推理，導出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面．②定理法：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線．題型三：異面直線所成的角例8.(2023·全國·高考真題（文））在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為（）A． B． C． D．例9.(2023·全國·高考真題（文））平面過正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點A，,，，則m，n所成角的正弦值為（）A． B． C． D．例10.（皖豫名校2023-2024學年高一下學期階段性測試（期末）數(shù)學試題）在正三棱臺中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點，且，則異面直線AE與BF所成的角為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°例11.（內(nèi)蒙古赤峰市2023-2024學年高一下學期期末考試數(shù)學（理）試題）在長方體中，，，則異面直線與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．例12.(2023·四川內(nèi)江·模擬預測（理））如圖，在直三棱柱中，面，，則直線與直線夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．例13.（2023·天津西青·高一期末）已知為正方體，，分別是，的中點，異面直線與所成的角為_______例14.(2023·福建漳州·高二期末）在如圖所示的直四棱柱中，，點在側(cè)面內(nèi)（含邊界）運動，若點到直線與直線的距離相等，則直線與直線所成角的正弦值的最大值為________．【規(guī)律方法】1.平移法：求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移．計算異面直線所成的角通常放在三角形中進行．具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角．求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍．2．坐標法求異面直線所成的角當題設(shè)中含有兩兩垂直的三邊關(guān)系或比較容易建立空間直角坐標系時，常采用坐標法．提醒：如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角．專題8.3空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系（知識點講解）【知識框架】【核心素養(yǎng)】1.通過考查空間線面關(guān)系，凸顯邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．2.通過考查空間角的計算，凸顯數(shù)學運算、直觀想象及邏輯推理的核心素養(yǎng)．【知識點展示】（一）平面的基本性質(zhì)(1)基本事實1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))．(2)基本事實2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)．(3)基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線．推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．（二）空間兩直線的位置關(guān)系1.位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線,平行直線)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點))2.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．（三）異面直線所成的角1.異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角或直角叫作異面直線a，b所成的角(或夾角)．②范圍：.2.異面直線的判定方法：判定定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線；反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面．（四）空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有三種情況：在平面內(nèi)---有無數(shù)個公共點；相交---有且只有一個公共點；平行---沒有公共點．后兩種情況直線不在平面內(nèi)，也稱直線在平面外.(2)平面與平面的位置關(guān)系有兩種情況：平行---沒有公共點；相交---有一條公共直線．（五）常用結(jié)論唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直．(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直．【常考題型剖析】題型一：平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用例1.（四川·高考真題（文）），，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（）A．， B．，C．，，共面 D．，，共點，，共面答案：B【解析】【詳解】解：因為如果一條直線平行于兩條垂線中的一條，必定垂直于另一條．選項A，可能相交．選項C中，可能不共面，比如三棱柱的三條側(cè)棱，選項D，三線共點，可能是棱錐的三條棱，因此錯誤．選B.例2.(2023·山東·高考真題（文））已知直線a，b分別在兩個不同的平面，內(nèi)則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：A【解析】【詳解】當“直線a和直線b相交”時，平面α和平面β必有公共點，即平面α和平面β相交，充分性成立；當“平面α和平面β相交”，則“直線a和直線b可以沒有公共點”，即必要性不成立.故選A.例3．(2023·上?！つM預測）如圖正方體中，分別為棱的中點，連接.空間任意兩點，若線段上不存在點在線段上，則稱兩點可視，則下列選項中與點可視的為（

）A．點P B．點B C．點R D．點Q答案：D【解析】分析：利用排除法，如圖，連接，則可得四點共面，∥，然后進行分析判斷即可【詳解】如圖連接，因為分別為的中點，所以,∥，所以四邊形為平行四邊形，所以∥,因為∥，所以∥，所以四點共面，所以與相交，所以點與點不可視，所以排除A，因為∥，所以共面，所以由圖可知與相交，與相交，所以點，點都與點不可視，所以排除BC，故選：D例4.如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設(shè)EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線．答案：見解析【解析】證明：(1)∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，∴EF∥BD.∵在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，∴GH∥BD，∴EF∥GH.∴E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P為平面ABC與平面ADC的公共點．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三點共線．【方法技巧】1.證明點共線問題的常用方法公理法：先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，再根據(jù)公理3證明這些點都在交線上同一法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上.2.證明線共點問題的方法證明若干線共點的基本思路是先找出兩條直線的交點，再證明其他直線都經(jīng)過該點．而證明直線過該點的方法是證明點是以該直線為交線的兩個平面的公共點．3.證明點、直線共面問題的常用方法納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)輔助平面法：先證明有關(guān)的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合.題型二：空間兩直線的位置關(guān)系例5.（廣東·高考真題（文））若空間中四條直線、、、，滿足、、，則下列結(jié)論一定正確的是（）．A． B．C．、既不平行也不垂直 D．、位置關(guān)系不確答案：D【解析】【詳解】分析：試題分析：如下圖所示，在正方體中，取為，為，取為，為，；取為，為，則；取為，為，則與異面，因此、的位置關(guān)系不確定，故選D.例6.（湖北·高考真題（文））表示空間中的兩條直線，若p：是異面直線；q：不相交，則A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件答案：A【解析】【詳解】若p：是異面直線，由異面直線的定義知，不相交，所以命題q：不相交成立，即p是q的充分條件；反過來，若q：不相交，則可能平行，也可能異面，所以不能推出是異面直線，即p不是q的必要條件，故應(yīng)選．例7.（2023·全國·高考真題（理））設(shè)有下列四個命題：p1：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).p2：過空間中任意三點有且僅有一個平面.p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.則下述命題中所有真命題的序號是__________.①②③④答案：①③④【解析】分析：利用兩交線直線確定一個平面可判斷命題的真假；利用三點共線可判斷命題的真假；利用異面直線可判斷命題的真假，利用線面垂直的定義可判斷命題的真假.再利用復合命題的真假可得出結(jié)論.【詳解】對于命題，可設(shè)與相交，這兩條直線確定的平面為；若與相交，則交點在平面內(nèi)，同理，與的交點也在平面內(nèi)，所以，，即，命題為真命題；對于命題，若三點共線，則過這三個點的平面有無數(shù)個，命題為假命題；對于命題，空間中兩條直線相交、平行或異面，命題為假命題；對于命題，若直線平面，則垂直于平面內(nèi)所有直線，直線平面，直線直線，命題為真命題.綜上可知，，為真命題，，為假命題，為真命題，為假命題，為真命題，為真命題.故答案為：①③④.【總結(jié)提升】判斷空間兩直線位置關(guān)系的思路方法(1)判斷空間兩直線的位置關(guān)系一般可借助正方體模型，以正方體為主線直觀感知并準確判斷．(2)異面直線的判定方法①反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴格的推理，導出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面．②定理法：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線．題型三：異面直線所成的角例8.(2023·全國·高考真題（文））在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為（）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：利用正方體中，，將問題轉(zhuǎn)化為求共面直線與所成角的正切值，在中進行計算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設(shè)正方體邊長為，則由為棱的中點，可得，所以，則.故選C.例9.(2023·全國·高考真題（文））平面過正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點A，,，，則m，n所成角的正弦值為（）A． B． C． D．答案：A【解析】【詳解】試題分析：如圖，設(shè)平面平面=，平面平面=，因為平面，所以，則所成的角等于所成的角.延長，過作，連接，則為，同理為，而，則所成的角即為所成的角，即為，故所成角的正弦值為，選A.例10.（皖豫名校2023-2024學年高一下學期階段性測試（期末）數(shù)學試題）在正三棱臺中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點，且，則異面直線AE與BF所成的角為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°答案：C【解析】分析：連接，則可得四邊形為平行四邊形，則可得∥，所以為異面直線AE與BF所成的角，然后計算即可【詳解】連接，因為E，F(xiàn)分別是棱，的中點，所以∥,，因為正三棱臺中，，所以∥，，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，所以為異面直線AE與BF所成的角，設(shè)，則，在等腰梯形中，，因為，所以，因為,所以為等邊三角形，所以，同理,所以為等邊三角形，所以，所以異面直線AE與BF所成的角為，故選：C例11.（內(nèi)蒙古赤峰市2023-2024學年高一下學期期末考試數(shù)學（理）試題）在長方體中，，，則異面直線與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：作圖，構(gòu)造三角形，將與的夾角轉(zhuǎn)變?yōu)槿切蝺?nèi)角，運用余弦定理求解.【詳解】依題意作上圖，延長至，使得，連接，，∴四邊形是平行四邊形，，異面直線與的夾角就是與的夾角，，，，由余弦定理得，，∴；故選：B.例12.(2023·四川內(nèi)江·模擬預測（理））如圖，在直三棱柱中，面，，則直線與直線夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：連接交于，若是的中點，連接，易得，即直線與直線夾角為或補角，進而求其余弦值.【詳解】連接交于，若是的中點，連接，由為直棱柱，各側(cè)面四邊形為矩形，易知：是的中點，所以，故直線與直線夾角，即為與的夾角或補角，若，則，，面，面，則，而，又，面，故面，又面，所以.所以，，在△中.故選：C例13.（2023·天津西青·高一期末）已知為正方體，，分別