高考數(shù)學(xué)微專題集專題5非對稱韋達(dá)定理的處理微點(diǎn)1非對稱韋達(dá)定理的處理(原卷版+解析)

專題5非對稱韋達(dá)定理的處理微點(diǎn)1非對稱韋達(dá)定理的處理微專題5非對稱的“韋達(dá)定理”的處理微點(diǎn)1對稱的“韋達(dá)定理”的處理【微點(diǎn)綜述】在一元二次方程中，若，設(shè)它的兩個(gè)根分別為，則有根與系數(shù)關(guān)系：，借此我們往往能夠利用韋達(dá)定理來快速處理之類的結(jié)構(gòu)，但在有些問題時(shí)，我們會(huì)遇到涉及的不同系數(shù)的代數(shù)式的應(yīng)算，比如求或之類的結(jié)構(gòu)，就相對較難地轉(zhuǎn)化到應(yīng)用韋達(dá)定理來處理了．特別是在圓錐曲線問題中，我們聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，消去或，也得到一個(gè)一元二次方程，我們就會(huì)面臨著同樣的困難，我們把這種形如或之類中的系數(shù)不對等的情況，這些式子是非對稱結(jié)構(gòu)，稱為“非對稱韋達(dá)”，接下來，我們來談?wù)劤Ｒ姷耐黄品绞剑?．設(shè)直線過點(diǎn)，和橢圓順次交于兩點(diǎn)，則的取值范圍為．答案：【解析】設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得（*）則，注意到，令，則，∴，，∴，即．在（*）中，由判別式可得，從而有，∴，解得．結(jié)合得．綜上，．【評注】經(jīng)常出現(xiàn)在圓錐曲線的題型為：過點(diǎn)的直線與圓錐曲線交于不同的兩點(diǎn)，且滿足之類的，或者是之類的．其中，用坐標(biāo)表示出來后，就可以選擇一個(gè)較簡單的式子來轉(zhuǎn)化到韋達(dá)定理；我們可以設(shè)他們的比值為，這樣可以轉(zhuǎn)化到，再用同樣的辦法來解決．韋達(dá)化處理由引例1可知，核心條件坐標(biāo)化后，并不全是直接韋達(dá)化的形式．對于坐標(biāo)化后的表達(dá)式不是韋達(dá)形式的，還需進(jìn)行韋達(dá)化處理．韋達(dá)化處理主要有以下幾種處理方法：代換、配湊、和積消元法．韋達(dá)化處理一、代換——即消去x或y中的一個(gè)由于我們聯(lián)立后的方程式關(guān)于x或y的二次方程，韋達(dá)定理中的兩根之和與兩根之積只式單獨(dú)的x或y的形式，而此時(shí)坐標(biāo)表達(dá)式并非是直接的韋達(dá)形式，因此需進(jìn)行代換：例1．直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且滿足，證明：直線l過定點(diǎn)．【解析】由題，直線不與x軸平行，故設(shè)，其中，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立，消x得：，，則，因?yàn)?，則，即，（方向一：直線代換：）又，即，代入得，即，解得(舍)或，即直線過定點(diǎn)．【評注】通常情況下，我們在解答題以直線代換居多，這里不再贅述．但需要注意一點(diǎn)，一般而言，如果選擇代換消去y則正設(shè)直線；選擇代換消去x，則反設(shè)直線．（方向二：曲線代換：）又，代入得，解得(舍)或，即直線過定點(diǎn)．【評注】對于核心信息表達(dá)式中的一次項(xiàng)，一般以直線代換為主．而曲線如果為拋物線，也可以用拋物線代換，如例題中拋物線為，因此對于x的一次式可以用曲線代換．反之，如果拋物線為則可用曲線對y進(jìn)行代換，由于我們要代換的是y，因此聯(lián)立后的方程保留為關(guān)于x的二次方程，同時(shí)直線的假設(shè)則以正設(shè)為主．另一方面，如果核心信息表達(dá)式中是單元的二次形式，如形式，則一般考慮用曲線代換，這樣處理會(huì)更加簡單．例2．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的上頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B、C是上不同于A的兩點(diǎn)，且點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對稱．記直線AC、AB的斜率分別為、，求證：為定值．分析：此題中核心信息即直線AC、BC的斜率．由題易知點(diǎn)A(0，1)，要表示AC、AB的斜率，還需要引入?yún)?shù)，因?yàn)锽、C關(guān)于原點(diǎn)對稱，故不妨設(shè)，那么是否需要設(shè)直線呢？再往后看．引入?yún)?shù)后，將斜率坐標(biāo)化表達(dá)：，目標(biāo)信息為斜率之積，即，接下來需要考慮代換問題，觀察到目標(biāo)信息是二次形式，代換中我們提到，對于單元二次形式的，可采用曲線代換，由于此時(shí)還未假設(shè)直線，看來也是不需要了．由點(diǎn)B、C在曲線上，故有，即，代入目標(biāo)信息中可得，為定值．【解析】由題，設(shè)點(diǎn)，，則，又點(diǎn)B橢圓上，故有，即，代入可得，為定值，得證．【針對訓(xùn)練】1．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)是，左右頂點(diǎn)是，離心率是，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q(不是左、右頂點(diǎn))，且的周長是，直線與交于點(diǎn)M.(1)求橢圓的方程；(2)(ⅰ)求證直線與交點(diǎn)M在一條定直線l上；(ⅱ)N是定直線l上的一點(diǎn)，且PN平行于x軸，證明：是定值．2．已知橢圓的離心率為，短軸長為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，若過點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線AM與BN相交于點(diǎn)Q．證明：點(diǎn)Q在定直線上．韋達(dá)化處理二：配湊配湊法進(jìn)行韋達(dá)化處理，一個(gè)經(jīng)典案例就是弦長中的．對于前述坐標(biāo)化后的部分式子，也需要作配湊處理：（1），即，其中k為直線AB斜率，再用直線代換，即，得．此處需注意兩點(diǎn)，一是，幾何意義即為直線斜率，二是通過平方差公式因式分解轉(zhuǎn)化，對于含平方形式是有力手段．（2）．（3），此處考慮直線代換，，再代入上式即可得．（4），而，整理得．（5）此形式可以配湊倒數(shù)關(guān)系，，故，配湊可得．韋達(dá)化處理三、利用韋達(dá)定理構(gòu)造“和積消去”型此外，在一些定點(diǎn)、定值、定線問題中，還常出現(xiàn)需要證明類似為定值的情形，通過直線代換可得：，但此時(shí)式子并不能完全整理為韋達(dá)定理的形式，這種式子一般稱為“非對稱韋達(dá)定理”．我們明明求了韋達(dá)定理卻無法代入，這時(shí)我們就需要通過所求得的韋達(dá)定理找到和之間的關(guān)系，將其中一個(gè)替換，常用手段是把乘法的替換成加法．例3．已知點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，A，B分別為其左、右頂點(diǎn)，過F作直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)(不與A，B重合)，記直線AM與BN的斜率分別為證明為定值．分析：此題核條件為直線AM與的斜率顯然要設(shè)點(diǎn)，不妨設(shè)而由題可知A(－2，0)，B(2，0)，因此，從而目標(biāo)信息，要證明其值為定值．從目標(biāo)信息的形式來看，用x或y表示并無差異，考慮到直線不與x軸重合，故采用反設(shè)直線要方便些，因此設(shè)，通過直線替換后可得，出現(xiàn)了韋達(dá)定理結(jié)構(gòu)之外的形式，即落單的和，像此類結(jié)構(gòu)，一般被稱為“非對稱韋達(dá)”．下面我們介紹幾種常見的處理策略，準(zhǔn)備工作先做好，先聯(lián)，消x得，易知△>0，則．策略一：和積轉(zhuǎn)換——找出韋達(dá)定理中的兩根之和與兩根之積的關(guān)系如本例中由韋達(dá)定理可得，，代入目標(biāo)信息得，稍作整理，即可得，為定值，得證．若看不出兩根之和與兩根之積的關(guān)系怎么辦呢？我們不妨用待定一下系數(shù)，設(shè)，∴上面使用的是縱坐標(biāo)的和積關(guān)系，若正設(shè)直線，需考慮直線l斜率問題，斜率存在時(shí)，同理，借助橫坐標(biāo)的和積關(guān)系也可證明，再驗(yàn)證斜率不存在時(shí)的情形．考慮到本例中反設(shè)直線，兩根的和積關(guān)系顯而易見，而對于一般的和積關(guān)系，關(guān)系可能不是那么明顯，如此例中正設(shè)直線，具體可參看策略三中的解析．策略二：配湊半代換——對能代換的部分進(jìn)行韋達(dá)代換，剩下的部分進(jìn)行配湊而半代換也有一定技巧，就是配湊．比如題中的，若只代換，得，依然無法得到定值，因?yàn)槁鋯蔚暮筒灰恢拢藭r(shí)為分式結(jié)構(gòu)，分式結(jié)構(gòu)的定值需要滿足上下一致，且對應(yīng)成比例，抓住這個(gè)核心，可以對和其中某個(gè)進(jìn)行配湊使其能構(gòu)成比例形式．以分子為例，分子要出現(xiàn)形式，可將分子整理為，從結(jié)構(gòu)上可以猜測定值為，不妨將韋達(dá)代入，得，得證．分母可作類似處理，得．上面使用的是縱坐標(biāo)的配湊半代換，借助橫坐標(biāo)的配湊半代換亦可證明，可自行嘗試．策略三：先猜后證可以先找一個(gè)特殊情況先得到該定值，進(jìn)而再證明其他情形也為該值．顯然先考慮直線l斜率不存在時(shí)的情形，此時(shí)，，或，，對應(yīng)為或，，此時(shí)均有，為定值．當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，不妨就正設(shè)直線，聯(lián)立，消得易知△＞0，則此時(shí)目標(biāo)信息，可采用分析法證明．要證，即證也即，即，即，也即，此時(shí)為韋達(dá)定理的結(jié)構(gòu)，代入韋達(dá)，即證，也即，顯然成立，也即恒有，為定值．上述先猜后證采用的是正設(shè)直線，借此我們也說說正設(shè)直線時(shí)采用和積關(guān)系處理和配湊半代換的處理策略．目標(biāo)信息直線代換后得若采用和積關(guān)系處理策略，觀察韋達(dá)不難發(fā)現(xiàn)，此時(shí)和積關(guān)系沒有反設(shè)直線那么直觀，那么我們該如何尋找其關(guān)系呢?一方面，可以采用待定系數(shù)，設(shè)求解得出和積關(guān)系．如此處設(shè)，即，解得，即另一方面，可先對和積形式分別作分離常數(shù)處理，那么如此也能得到和積關(guān)系．代入目標(biāo)信息，得，得證．都到這了，那么“配湊半代換”也試一試好了，目標(biāo)信息觀察到此時(shí)分母中有落單的先把分母配湊成，此時(shí)分母中落單的只有，且系數(shù)為正．因分子可配湊成，從而，再代入韋達(dá)定理，，得證．策略一的“和積轉(zhuǎn)換”以及策略二的“配湊半代換”可以說是“非對稱韋達(dá)定理”的通法，而猜證結(jié)合也探究類題型的有效處理手段．除此之外，對于不同的結(jié)構(gòu)和形式，還有一些其他對應(yīng)的處理技法，考慮到通用性，這里只重點(diǎn)講解“猜證結(jié)合”與“和積轉(zhuǎn)換”和“配湊半代換”．通過上述例題我們也能再次感受到，不同的參數(shù)引入和直線假設(shè)，對后續(xù)的計(jì)算處理將產(chǎn)生不同的影響，計(jì)算量也存在較大差異．【解析】（反設(shè)直線）由題，A(－2，0)，B(2，0)，設(shè)，則，，聯(lián)立，消x得，且△>0，則．（策略一：和積轉(zhuǎn)換，一般是積轉(zhuǎn)和）所以，代入得，，為定值，得證．（策略二：配湊半代換）因此，得證．（正設(shè)直線）情形一：當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，此時(shí)，，或，，因此或，，此時(shí)均有，為定值．情形二：當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，不妨就正設(shè)直線，，，因此，，，聯(lián)立，消得，易知△＞0，則．（策略一：和積轉(zhuǎn)換，一般是積轉(zhuǎn)和）即，因此，所以，為定值，得證．（策略二：配湊半代換）所以，即，為定值，得證．（策略三：先猜后證）要證，即證，也即，即，即，也即，也即，顯然成立，也即恒有，為定值，得證．例4．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)在上，的周長為，面積為（1）求的方程．（2）設(shè)的左?右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，則__________．(從以下①②③三個(gè)問題中任選一個(gè)填到橫線上并給出解答)．①求直線和交點(diǎn)的軌跡方程；②是否存在實(shí)常數(shù)，使得恒成立；③過點(diǎn)作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連結(jié)得到直線，試探究：直線是否恒過定點(diǎn)．答案：（1）；（2）答案見解析．分析：（1）由題意列出關(guān)于的方程組解出即可得結(jié)果；（2）選擇①與橢圓方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理得出，再將與的方程聯(lián)立即可得出結(jié)果；選擇②與①相似，直接代入計(jì)算即可；選擇③直線與軸交于點(diǎn)，由對稱性可知，，結(jié)合韋達(dá)定理解出即可得結(jié)果．【解析】（1）依題意，得，即，解得所以的方程（2）選擇①設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，化簡整理，得，假設(shè)，由韋達(dá)定理，得，得直線的方程：；直線的方程：；聯(lián)立方程，得，兩式相除，得，即，解得，所以直線和交點(diǎn)的軌跡方程是直線．選擇②聯(lián)立方程，化簡整理，得，假設(shè)，由韋達(dá)定理，得，得于是故存在實(shí)數(shù)，使得恒成立．選擇③，聯(lián)立方程，得，化簡整理，得，由韋達(dá)定理，得，直線與軸交于點(diǎn)，由對稱性可知，，假設(shè)，即，則，所以，即，解得，所以直線恒過定點(diǎn)．【評注】利用韋達(dá)定理構(gòu)造“和積消去”型解決非對稱型問題基本規(guī)律（1）對于非對稱型題，韋達(dá)定理無法直接代入，可以通過韋達(dá)定理構(gòu)造互化公式，先局部互化，然后可整理成對稱型；（2）和積互化公式：（3）一般情況下，多把積化和，且m多為常數(shù)，授課時(shí)注意講清這些數(shù)據(jù)細(xì)節(jié)．【針對訓(xùn)練】3．點(diǎn)是橢圓的左右頂點(diǎn)若直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，求證：直線AM與直線的交點(diǎn)在一條定直線上．4．設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線的傾斜角為60o,.(1)求橢圓C的離心率；(2)如果|AB|=，求橢圓C的方程.5．已知、分別是離心率的橢圓的左右項(xiàng)點(diǎn)，P是橢圓E的上頂點(diǎn)，且.（1）求橢圓E的方程；（2）若動(dòng)直線過點(diǎn)，且與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，求證：直線恒過定點(diǎn).6．已知橢圓：（）過點(diǎn)，且離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)記橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，證明：直線與的交點(diǎn)在定直線上，并求出該定直線的方程．7．橢圓有兩個(gè)頂點(diǎn)過其焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)異于兩點(diǎn)時(shí)，證明：為定值．專題5非對稱韋達(dá)定理的處理微點(diǎn)1非對稱韋達(dá)定理的處理微專題5非對稱的“韋達(dá)定理”的處理微點(diǎn)1對稱的“韋達(dá)定理”的處理【微點(diǎn)綜述】在一元二次方程中，若，設(shè)它的兩個(gè)根分別為，則有根與系數(shù)關(guān)系：，借此我們往往能夠利用韋達(dá)定理來快速處理之類的結(jié)構(gòu)，但在有些問題時(shí)，我們會(huì)遇到涉及的不同系數(shù)的代數(shù)式的應(yīng)算，比如求或之類的結(jié)構(gòu)，就相對較難地轉(zhuǎn)化到應(yīng)用韋達(dá)定理來處理了．特別是在圓錐曲線問題中，我們聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，消去或，也得到一個(gè)一元二次方程，我們就會(huì)面臨著同樣的困難，我們把這種形如或之類中的系數(shù)不對等的情況，這些式子是非對稱結(jié)構(gòu)，稱為“非對稱韋達(dá)”，接下來，我們來談?wù)劤Ｒ姷耐黄品绞剑?．設(shè)直線過點(diǎn)，和橢圓順次交于兩點(diǎn)，則的取值范圍為．答案：【解析】設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得（*）則，注意到，令，則，∴，，∴，即．在（*）中，由判別式可得，從而有，∴，解得．結(jié)合得．綜上，．【評注】經(jīng)常出現(xiàn)在圓錐曲線的題型為：過點(diǎn)的直線與圓錐曲線交于不同的兩點(diǎn)，且滿足之類的，或者是之類的．其中，用坐標(biāo)表示出來后，就可以選擇一個(gè)較簡單的式子來轉(zhuǎn)化到韋達(dá)定理；我們可以設(shè)他們的比值為，這樣可以轉(zhuǎn)化到，再用同樣的辦法來解決．韋達(dá)化處理由引例1可知，核心條件坐標(biāo)化后，并不全是直接韋達(dá)化的形式．對于坐標(biāo)化后的表達(dá)式不是韋達(dá)形式的，還需進(jìn)行韋達(dá)化處理．韋達(dá)化處理主要有以下幾種處理方法：代換、配湊、和積消元法．韋達(dá)化處理一、代換——即消去x或y中的一個(gè)由于我們聯(lián)立后的方程式關(guān)于x或y的二次方程，韋達(dá)定理中的兩根之和與兩根之積只式單獨(dú)的x或y的形式，而此時(shí)坐標(biāo)表達(dá)式并非是直接的韋達(dá)形式，因此需進(jìn)行代換：例1．直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且滿足，證明：直線l過定點(diǎn)．【解析】由題，直線不與x軸平行，故設(shè)，其中，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立，消x得：，，則，因?yàn)?，則，即，（方向一：直線代換：）又，即，代入得，即，解得(舍)或，即直線過定點(diǎn)．【評注】通常情況下，我們在解答題以直線代換居多，這里不再贅述．但需要注意一點(diǎn)，一般而言，如果選擇代換消去y則正設(shè)直線；選擇代換消去x，則反設(shè)直線．（方向二：曲線代換：）又，代入得，解得(舍)或，即直線過定點(diǎn)．【評注】對于核心信息表達(dá)式中的一次項(xiàng)，一般以直線代換為主．而曲線如果為拋物線，也可以用拋物線代換，如例題中拋物線為，因此對于x的一次式可以用曲線代換．反之，如果拋物線為則可用曲線對y進(jìn)行代換，由于我們要代換的是y，因此聯(lián)立后的方程保留為關(guān)于x的二次方程，同時(shí)直線的假設(shè)則以正設(shè)為主．另一方面，如果核心信息表達(dá)式中是單元的二次形式，如形式，則一般考慮用曲線代換，這樣處理會(huì)更加簡單．例2．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的上頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B、C是上不同于A的兩點(diǎn)，且點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對稱．記直線AC、AB的斜率分別為、，求證：為定值．分析：此題中核心信息即直線AC、BC的斜率．由題易知點(diǎn)A(0，1)，要表示AC、AB的斜率，還需要引入?yún)?shù)，因?yàn)锽、C關(guān)于原點(diǎn)對稱，故不妨設(shè)，那么是否需要設(shè)直線呢？再往后看．引入?yún)?shù)后，將斜率坐標(biāo)化表達(dá)：，目標(biāo)信息為斜率之積，即，接下來需要考慮代換問題，觀察到目標(biāo)信息是二次形式，代換中我們提到，對于單元二次形式的，可采用曲線代換，由于此時(shí)還未假設(shè)直線，看來也是不需要了．由點(diǎn)B、C在曲線上，故有，即，代入目標(biāo)信息中可得，為定值．【解析】由題，設(shè)點(diǎn)，，則，又點(diǎn)B橢圓上，故有，即，代入可得，為定值，得證．【針對訓(xùn)練】1．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)是，左右頂點(diǎn)是，離心率是，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q(不是左、右頂點(diǎn))，且的周長是，直線與交于點(diǎn)M.(1)求橢圓的方程；(2)(ⅰ)求證直線與交點(diǎn)M在一條定直線l上；(ⅱ)N是定直線l上的一點(diǎn)，且PN平行于x軸，證明：是定值．2．已知橢圓的離心率為，短軸長為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，若過點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線AM與BN相交于點(diǎn)Q．證明：點(diǎn)Q在定直線上．韋達(dá)化處理二：配湊配湊法進(jìn)行韋達(dá)化處理，一個(gè)經(jīng)典案例就是弦長中的．對于前述坐標(biāo)化后的部分式子，也需要作配湊處理：（1），即，其中k為直線AB斜率，再用直線代換，即，得．此處需注意兩點(diǎn)，一是，幾何意義即為直線斜率，二是通過平方差公式因式分解轉(zhuǎn)化，對于含平方形式是有力手段．（2）．（3），此處考慮直線代換，，再代入上式即可得．（4），而，整理得．（5）此形式可以配湊倒數(shù)關(guān)系，，故，配湊可得．韋達(dá)化處理三、利用韋達(dá)定理構(gòu)造“和積消去”型此外，在一些定點(diǎn)、定值、定線問題中，還常出現(xiàn)需要證明類似為定值的情形，通過直線代換可得：，但此時(shí)式子并不能完全整理為韋達(dá)定理的形式，這種式子一般稱為“非對稱韋達(dá)定理”．我們明明求了韋達(dá)定理卻無法代入，這時(shí)我們就需要通過所求得的韋達(dá)定理找到和之間的關(guān)系，將其中一個(gè)替換，常用手段是把乘法的替換成加法．例3．已知點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，A，B分別為其左、右頂點(diǎn)，過F作直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)(不與A，B重合)，記直線AM與BN的斜率分別為證明為定值．分析：此題核條件為直線AM與的斜率顯然要設(shè)點(diǎn)，不妨設(shè)而由題可知A(－2，0)，B(2，0)，因此，從而目標(biāo)信息，要證明其值為定值．從目標(biāo)信息的形式來看，用x或y表示并無差異，考慮到直線不與x軸重合，故采用反設(shè)直線要方便些，因此設(shè)，通過直線替換后可得，出現(xiàn)了韋達(dá)定理結(jié)構(gòu)之外的形式，即落單的和，像此類結(jié)構(gòu)，一般被稱為“非對稱韋達(dá)”．下面我們介紹幾種常見的處理策略，準(zhǔn)備工作先做好，先聯(lián)，消x得，易知△>0，則．策略一：和積轉(zhuǎn)換——找出韋達(dá)定理中的兩根之和與兩根之積的關(guān)系如本例中由韋達(dá)定理可得，，代入目標(biāo)信息得，稍作整理，即可得，為定值，得證．若看不出兩根之和與兩根之積的關(guān)系怎么辦呢？我們不妨用待定一下系數(shù)，設(shè)，∴上面使用的是縱坐標(biāo)的和積關(guān)系，若正設(shè)直線，需考慮直線l斜率問題，斜率存在時(shí)，同理，借助橫坐標(biāo)的和積關(guān)系也可證明，再驗(yàn)證斜率不存在時(shí)的情形．考慮到本例中反設(shè)直線，兩根的和積關(guān)系顯而易見，而對于一般的和積關(guān)系，關(guān)系可能不是那么明顯，如此例中正設(shè)直線，具體可參看策略三中的解析．策略二：配湊半代換——對能代換的部分進(jìn)行韋達(dá)代換，剩下的部分進(jìn)行配湊而半代換也有一定技巧，就是配湊．比如題中的，若只代換，得，依然無法得到定值，因?yàn)槁鋯蔚暮筒灰恢拢藭r(shí)為分式結(jié)構(gòu)，分式結(jié)構(gòu)的定值需要滿足上下一致，且對應(yīng)成比例，抓住這個(gè)核心，可以對和其中某個(gè)進(jìn)行配湊使其能構(gòu)成比例形式．以分子為例，分子要出現(xiàn)形式，可將分子整理為，從結(jié)構(gòu)上可以猜測定值為，不妨將韋達(dá)代入，得，得證．分母可作類似處理，得．上面使用的是縱坐標(biāo)的配湊半代換，借助橫坐標(biāo)的配湊半代換亦可證明，可自行嘗試．策略三：先猜后證可以先找一個(gè)特殊情況先得到該定值，進(jìn)而再證明其他情形也為該值．顯然先考慮直線l斜率不存在時(shí)的情形，此時(shí)，，或，，對應(yīng)為或，，此時(shí)均有，為定值．當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，不妨就正設(shè)直線，聯(lián)立，消得易知△＞0，則此時(shí)目標(biāo)信息，可采用分析法證明．要證，即證也即，即，即，也即，此時(shí)為韋達(dá)定理的結(jié)構(gòu)，代入韋達(dá)，即證，也即，顯然成立，也即恒有，為定值．上述先猜后證采用的是正設(shè)直線，借此我們也說說正設(shè)直線時(shí)采用和積關(guān)系處理和配湊半代換的處理策略．目標(biāo)信息直線代換后得若采用和積關(guān)系處理策略，觀察韋達(dá)不難發(fā)現(xiàn)，此時(shí)和積關(guān)系沒有反設(shè)直線那么直觀，那么我們該如何尋找其關(guān)系呢?一方面，可以采用待定系數(shù)，設(shè)求解得出和積關(guān)系．如此處設(shè)，即，解得，即另一方面，可先對和積形式分別作分離常數(shù)處理，那么如此也能得到和積關(guān)系．代入目標(biāo)信息，得，得證．都到這了，那么“配湊半代換”也試一試好了，目標(biāo)信息觀察到此時(shí)分母中有落單的先把分母配湊成，此時(shí)分母中落單的只有，且系數(shù)為正．因分子可配湊成，從而，再代入韋達(dá)定理，，得證．策略一的“和積轉(zhuǎn)換”以及策略二的“配湊半代換”可以說是“非對稱韋達(dá)定理”的通法，而猜證結(jié)合也探究類題型的有效處理手段．除此之外，對于不同的結(jié)構(gòu)和形式，還有一些其他對應(yīng)的處理技法，考慮到通用性，這里只重點(diǎn)講解“猜證結(jié)合”與“和積轉(zhuǎn)換”和“配湊半代換”．通過上述例題我們也能再次感受到，不同的參數(shù)引入和直線假設(shè)，對后續(xù)的計(jì)算處理將產(chǎn)生不同的影響，計(jì)算量也存在較大差異．【解析】（反設(shè)直線）由題，A(－2，0)，B(2，0)，設(shè)，則，，聯(lián)立，消x得，且△>0，則．（策略一：和積轉(zhuǎn)換，一般是積轉(zhuǎn)和）所以，代入得，，為定值，得證．（策略二：配湊半代換）因此，得證．（正設(shè)直線）情形一：當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，此時(shí)，，或，，因此或，，此時(shí)均有，為定值．情形二：當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，不妨就正設(shè)直線，，，因此，，，聯(lián)立，消得，易知△＞0，則．（策略一：和積轉(zhuǎn)換，一般是積轉(zhuǎn)和）即，因此，所以，為定值，得證．（策略二：配湊半代換）所以，即，為定值，得證．（策略三：先猜后證）要證，即證，也即，即，即，也即，也即，顯然成立，也即恒有，為定值，得證．例4．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)在上，的周長為，面積為（1）求的方程．（2）設(shè)的左?右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，則__________．(從以下①②③三個(gè)問題中任選一個(gè)填到橫線上并給出解答)．①求直線和交點(diǎn)的軌跡方程；②是否存在實(shí)常數(shù)，使得恒成立；③過點(diǎn)作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連結(jié)得到直線，試探究：直線是否恒過定點(diǎn)．答案：（1）；（2）答案見解析．分析：（1）由題意列出關(guān)于的方程組解出即可得結(jié)果；（2）選擇①與橢圓方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理得出，再將與的方程聯(lián)立即可得出結(jié)果；選擇②與①相似，直接代入計(jì)算即可；選擇③直線與軸交于點(diǎn)，由對稱性可知，，結(jié)合韋達(dá)定理解出即可得結(jié)果．【解析】（1）依題意，得，即，解得所以的方程（2）選擇①設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，化簡整理，得，假設(shè)，由韋達(dá)定理，得，得直線的方程：；直線的方程：；聯(lián)立方程，得，兩式相除，得，即，解得，所以直線和交點(diǎn)的軌跡方程是直線．選擇②聯(lián)立方程，化簡整理，得，假設(shè)，由韋達(dá)定理，得，得于是故存在實(shí)數(shù)，使得恒成立．選擇③，聯(lián)立方程，得，化簡整理，得，由韋達(dá)定理，得，直線與軸交于點(diǎn)，由對稱性可知，，假設(shè)，即，則，所以，即，解得，所以直線恒過定點(diǎn)．【評注】利用韋達(dá)定理構(gòu)造“和積消去”型解決非對稱型問題基本規(guī)律（1）對于非對稱型題，韋達(dá)定理無法直接代入，可以通過韋達(dá)定理構(gòu)造互化公式，先局部互化，然后可整理成對稱型；（2）和積互化公式：（3）一般情況下，多把積化和，且m多為常數(shù)，授課時(shí)注意講清這些數(shù)據(jù)細(xì)節(jié)．【針對訓(xùn)練】3．點(diǎn)是橢圓的左右頂點(diǎn)若直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，求證：直線AM與直線的交點(diǎn)在一條定直線上．4．設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線的傾斜角為60o,.(1)求橢圓C的離心率；(2)如果|AB|=，求橢圓C的方程.5．已知、分別是離心率的橢圓的左右項(xiàng)點(diǎn)，P是橢圓E的上頂點(diǎn)，且.（1）求橢圓E的方程；（2）若動(dòng)直線過點(diǎn)，且與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，求證：直線恒過定點(diǎn).6．已知橢圓：（）過點(diǎn)，且離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)記橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，證明：直線與的交點(diǎn)在定直線上，并求出該定直線的方程．7．橢圓有兩個(gè)頂點(diǎn)過其焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)異于兩點(diǎn)時(shí)，證明：為定值．參考答案：1．(1)(2)(ⅰ)見證明；(ⅱ)見證明分析：(1)由題意可得，可以求出，，從而求出橢圓的方程；(2)(ⅰ)由點(diǎn)斜式分別寫出與的方程，兩式子消去，根據(jù)韋達(dá)定理可得，的坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而可以得到點(diǎn)M在一條定直線x＝2上；(ⅱ)由于，結(jié)合點(diǎn)P在橢圓上，可以求出為定值．【詳解】(1)設(shè)橢圓的焦距是2c，據(jù)題意有：，，，則，所以橢圓的方程是.(2)(ⅰ)由(1)知，，，設(shè)直線PQ的方程是，代入橢圓方程得：，易知，設(shè)，，，則，直線的方程是：

①，直線的方程是：

②，設(shè)，既滿足①也滿足②，則，故直線與交點(diǎn)M在一條定直線l：x＝2上.(ⅱ)設(shè)，，，則，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓與直線的綜合問題，考查了學(xué)生綜合分析能力及計(jì)算能力，屬于難題．2．（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）用離心率公式和列方程求得，即可得橢圓方程；（2）方法一：設(shè)直線，，聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理得關(guān)系，由直線和方程聯(lián)立求解交點(diǎn)坐標(biāo)，并化簡得，即可證明問題；方法二：設(shè)，，，兩兩不等，因?yàn)镻，M，N三點(diǎn)共線，由斜率相等得到方程，同理A，M，Q三點(diǎn)共線與B，N，Q三點(diǎn)共線也得到兩方程，再結(jié)合三條方程求解，即可證明問題.【詳解】解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率，，，又，．因?yàn)?，所以，，所以橢圓C的方程為．（2）解法一：設(shè)直線，，，，可得，所以．直線AM的方程：①直線BN的方程：②由對稱性可知：點(diǎn)Q在垂直于x軸的直線上，聯(lián)立①②可得．因?yàn)?，所以所以點(diǎn)Q在直線上．解法二：設(shè)，，，兩兩不等，因?yàn)镻，M，N三點(diǎn)共線，所以，整理得：．又A，M，Q三點(diǎn)共線，有：①又B，N，Q三點(diǎn)共線，有②將①與②兩式相除得：即，將即代入得：解得（舍去）或，（因?yàn)橹本€與橢圓相交故）所以Q在定直線上．【點(diǎn)晴】求解直線與圓錐曲線定點(diǎn)定值問題：關(guān)鍵在于運(yùn)用設(shè)而不求思想、聯(lián)立方程和韋達(dá)定理，構(gòu)造坐標(biāo)點(diǎn)方程從而解決相關(guān)問題.3．證明見解析分析：聯(lián)立直線與橢圓方程，聯(lián)立直線的方程與直線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，化簡可求得直線AM與直線BN交點(diǎn)在定直線x＝4上．【詳解】由題意得，，，設(shè)，聯(lián)立，化簡得(，所以，，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，即，解得原式，故直線AM與直線BN交點(diǎn)在定直線x＝4上．4．(1)(2)分析：（1）利用直線的點(diǎn)斜式方程設(shè)出直線