高二數(shù)學(xué)新教材同步教學(xué)講義(人教A版選擇性必修第一冊(cè))5.3.1函數(shù)的單調(diào)性(原卷版+解析)

5．3．1函數(shù)的單調(diào)性【題型歸納目錄】題型一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題型二：函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系題型三：已知單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍題型四：判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性題型五：含參數(shù)單調(diào)性討論情形一：函數(shù)為一次函數(shù)情形二：函數(shù)為準(zhǔn)一次函數(shù)情形三：函數(shù)為二次函數(shù)型1、可因式分解2、不可因式分解型情形四：函數(shù)為準(zhǔn)二次函數(shù)型【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性：一般地，設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則在這個(gè)區(qū)間上，①若，則在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；②若，則在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減；③若恒有，則在這一區(qū)間上為常函數(shù)．反之，若在某區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；若在某區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率，故當(dāng)在某區(qū)間上，即切線斜率為正時(shí)，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)在某區(qū)間上，即切線斜率為負(fù)時(shí)，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減；即導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定了原函數(shù)的增減．2、若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使，在其余點(diǎn)恒有，則仍單調(diào)遞增（減函數(shù)的情形完全類似）．即在某區(qū)間上，在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，但反之不成立．3、在某區(qū)間上單調(diào)遞增在該區(qū)間；在某區(qū)間上單調(diào)遞減在該區(qū)間．在區(qū)間內(nèi)，．．（或）是在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（或減）的充分不必要條件！例如：，，，而在R上遞增．4、只有在某區(qū)間內(nèi)恒有，這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上才為常數(shù)函數(shù)．5、注意導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象間關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，（1）如果恒有，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；（2）如果恒有，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減；（3）如果恒有，則函數(shù)在內(nèi)為常數(shù)函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則，若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，則．（2）或恒成立，求參數(shù)值的范圍的方法——分離參數(shù)法：或．知識(shí)點(diǎn)三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式或；（4）確定的單調(diào)區(qū)間．或者：令，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)根．把這些實(shí)數(shù)根和函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無(wú)定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)按從小到大的順序排列起來(lái)，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，判斷在各個(gè)小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意單調(diào)區(qū)間一定是函數(shù)定義域的子集．2、求單調(diào)區(qū)間常常通過(guò)列表的方法進(jìn)行求解，使解題思路步驟更加清晰、明確．知識(shí)點(diǎn)四：討論單調(diào)區(qū)間問(wèn)題類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無(wú)需單獨(dú)討論的部分）；（3）求根做圖得結(jié)論（如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；（4）未得結(jié)論斷正負(fù)（若不能通過(guò)第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù)）；（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)（若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)）；（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無(wú)法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo)）；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再求導(dǎo)．（7）借助二階定區(qū)間（通過(guò)二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段）；類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無(wú)需單獨(dú)討論的部分）；（3）恒正恒負(fù)先討論（變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；（4）根的分布來(lái)定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；【典型例題】題型一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1．(2023·福建·莆田一中高二期中）若函數(shù)，則的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．例2．(2023·湖南·新邵縣教研室高二期末（文））函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．例3．(2023·吉林·高二期末）函數(shù)的遞增區(qū)間是（

）A． B．和C． D．變式1．(2023·廣東·雷州市白沙中學(xué)高二階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．變式2．(2023·遼寧丹東·高二期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．變式3．(2023·重慶長(zhǎng)壽·高二期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A．（0，2） B．（2，3）C．（1，3） D．（3，+∞）【方法技巧與總結(jié)】（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間常用解不等式，函數(shù)在解集與定義域的交集上單調(diào)遞減．解不等式，函數(shù)在解集與定義域的交集上為單調(diào)遞增．（2）注意寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，不是連續(xù)的區(qū)間一般不能用并集符號(hào)“”．題型二：函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系例4．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示.記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．例5．(2023·吉林·長(zhǎng)春市第五中學(xué)高二期中）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖像如圖所示，則的圖像最有可能的是（

）A． B．C． D．例6．(2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖像如圖所示，則的圖像是圖四個(gè)圖像中的（

）．A． B．C． D．變式4．(2023·山東德州·高二期末）函數(shù)的部分圖像可能是（

）A． B．C． D．變式5．(2023·廣東廣州·高二期末）已知函數(shù)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)圖象是（

）A． B．C． D．變式6．(2023·浙江·寧波市李惠利中學(xué)高二期中）函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，圖像如圖所示，記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，若，則在上單調(diào)遞增；如果，則在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減；若恒有，則是常數(shù)函數(shù)，不具有單調(diào)性．（2）函數(shù)圖象變化得越快，的絕對(duì)值越大，不是的值越大．題型三：已知單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例7．(2023·江西·上高二中高二階段練習(xí)（文））若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（

）A． B．C． D．例8．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例9．(2023·四川·成都市溫江區(qū)新世紀(jì)光華學(xué)校高二期中（文））已知函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式7．(2023·廣東東莞·高二期中）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（-1，1） B． C．（-1，+∞） D．（-1，0）變式8．(2023·天津一中高二期中）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則（

）A．3 B． C．2 D．變式9．(2023·黑龍江·齊齊哈爾市第八中學(xué)校高二期中）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式10．(2023·福建·莆田一中高二期中）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式11．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)存在遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式12．(2023·新疆·霍城縣第二中學(xué)高二期中（文））已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式13．(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)（理））若函數(shù)在定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C．(1，2] D．[1，2)變式14．(2023·山東省東明縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問(wèn)題的兩個(gè)基本思路①將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，即（或）恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗(yàn)參數(shù)取“＝”時(shí)是否滿足題意．②先令（或），求出參數(shù)的取值范圍后，再驗(yàn)證參數(shù)取“＝”時(shí)是否滿足題意．（2）理清運(yùn)算對(duì)象，選擇運(yùn)算方法，求得運(yùn)算結(jié)果，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．題型四：判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性例10．(2023·新疆·柯坪湖州國(guó)慶中學(xué)高二期末（理））已知，且(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷此函數(shù)的奇偶性并證明；(3)判斷此函數(shù)在的單調(diào)性（無(wú)需證明）.例11．(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）用導(dǎo)數(shù)證明：(1)在區(qū)間上是增函數(shù)；(2)在區(qū)間上是減函數(shù)．例12．(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）證明：(1)函數(shù)在定義域上是減函數(shù)；(2)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．變式15．(2023·江蘇·高二專題練習(xí)）證明函數(shù)是R上的增函數(shù)．變式16．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．【方法技巧與總結(jié)】判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟：1、求導(dǎo)；2、變形（分解或配方）；3、判斷導(dǎo)數(shù)式的符號(hào)，下結(jié)論．題型五：含參數(shù)單調(diào)性討論情形一：函數(shù)為一次函數(shù)例13．(2023·貴州六盤水·高二期末（文））已知函數(shù).討論的單調(diào)性；例14．(2023·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高二期中）已知函數(shù)，其中.討論函數(shù)的單調(diào)性；例15．(2023·江蘇·蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；情形二：函數(shù)為準(zhǔn)一次函數(shù)變式17．(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)函數(shù)，其中．當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；變式18．(2023·江蘇·華羅庚中學(xué)三模）已知函數(shù)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；變式19．(2023·云南師大附中模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，其中．討論的單調(diào)性；變式20．(2023·云南師大附中高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；情形三：函數(shù)為二次函數(shù)型1、可因式分解變式21．(2023·河南·睢縣高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.變式22．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.變式23．(2023·重慶市璧山來(lái)鳳中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；變式24．(2023·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；變式25．(2023·廣東·潮州市瓷都中學(xué)三模）已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；變式26．(2023·湖南·長(zhǎng)沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；變式27．(2023·內(nèi)蒙古·滿洲里市第一中學(xué)高二期末（理））已知函數(shù)（）.(1)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.2、不可因式分解型變式28．(2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．討論函數(shù)的單調(diào)性；變式29．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，試討論的單調(diào)區(qū)間.【方法技巧與總結(jié)】1、關(guān)于含參函數(shù)單調(diào)性的討論問(wèn)題，要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的情況來(lái)作出選擇，通過(guò)對(duì)新函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論，從而得到原函數(shù)對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，最終判斷原函數(shù)的增減．（注意定義域的間斷情況）．2、需要求二階導(dǎo)的題目，往往通過(guò)二階導(dǎo)的正負(fù)來(lái)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一階導(dǎo)函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值或零點(diǎn)可判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段．3、利用草稿圖像輔助說(shuō)明．情形四：函數(shù)為準(zhǔn)二次函數(shù)型變式30．(2023·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)函數(shù)．討論的單調(diào)性；變式31．(2023·全國(guó)·二模（理））已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；變式32．(2023·北京·高二期末）若函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線的方程；(2)判斷方程解的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)，設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間.變式33．(2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【方法技巧與總結(jié)】（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無(wú)需單獨(dú)討論的部分）；（3）恒正恒負(fù)先討論（變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；（4）根的分布來(lái)定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；【同步練習(xí)】一、單選題1．(2023·四川·仁壽一中高二期中（理））若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A．或或 B．或C． D．不存在這樣的實(shí)數(shù)2．(2023·江西省信豐中學(xué)高二階段練習(xí)（文））若函數(shù)在定義域上恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．(2023·湖南·新邵縣教研室高二期末（文））設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．(2023·湖南·新邵縣教研室高二期末（理））已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．(2023·山東泰安·高二期末）已知函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．(2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知定義在上的函數(shù)滿足，且的導(dǎo)函數(shù)在上恒有，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．7．(2023·貴州六盤水·高二期末（理））判斷中最大的數(shù)為（

）A． B． C． D．8．(2023·江西·上高二中高二階段練習(xí)（理））已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．二、多選題9．(2023·廣東·饒平縣第二中學(xué)高二開學(xué)考試）已知函數(shù)，則（

）A．在單調(diào)遞增B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．曲線在點(diǎn)處切線的斜率為D．是奇函數(shù)10．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的定義域是B．當(dāng)時(shí)，的圖象位于x軸下方C．存在單調(diào)遞增區(qū)間D．有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間11．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則對(duì)于任意（），下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．12．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)（e＝2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中不具有M性質(zhì)的是（

）A． B．C． D．三、填空題13．(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，若在內(nèi)為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．14．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．15．(2023·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高二期末）若函數(shù)在是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的最小值是_________.16．(2023·浙江·杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)高二期中）若對(duì)，，且，都有，則m的最小值是________.四、解答題17．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)；(2)．18．(2023·北京平谷·高二期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.19．(2023·陜西·咸陽(yáng)市高新一中高二階段練習(xí)（文））設(shè)函數(shù)的圖象與直線12x＋y－1＝0相切于點(diǎn)（1，－11）．(1)求a、b的值．(2)討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．20．(2023·陜西師大附中高二期中（文））已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍.5．3．1函數(shù)的單調(diào)性【題型歸納目錄】題型一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題型二：函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系題型三：已知單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍題型四：判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性題型五：含參數(shù)單調(diào)性討論情形一：函數(shù)為一次函數(shù)情形二：函數(shù)為準(zhǔn)一次函數(shù)情形三：函數(shù)為二次函數(shù)型1、可因式分解2、不可因式分解型情形四：函數(shù)為準(zhǔn)二次函數(shù)型【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性：一般地，設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則在這個(gè)區(qū)間上，①若，則在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；②若，則在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減；③若恒有，則在這一區(qū)間上為常函數(shù)．反之，若在某區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；若在某區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率，故當(dāng)在某區(qū)間上，即切線斜率為正時(shí)，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)在某區(qū)間上，即切線斜率為負(fù)時(shí)，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減；即導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定了原函數(shù)的增減．2、若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使，在其余點(diǎn)恒有，則仍單調(diào)遞增（減函數(shù)的情形完全類似）．即在某區(qū)間上，在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，但反之不成立．3、在某區(qū)間上單調(diào)遞增在該區(qū)間；在某區(qū)間上單調(diào)遞減在該區(qū)間．在區(qū)間內(nèi)，．．（或）是在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（或減）的充分不必要條件！例如：，，，而在R上遞增．4、只有在某區(qū)間內(nèi)恒有，這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上才為常數(shù)函數(shù)．5、注意導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象間關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，（1）如果恒有，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；（2）如果恒有，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減；（3）如果恒有，則函數(shù)在內(nèi)為常數(shù)函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則，若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，則．（2）或恒成立，求參數(shù)值的范圍的方法——分離參數(shù)法：或．知識(shí)點(diǎn)三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式或；（4）確定的單調(diào)區(qū)間．或者：令，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)根．把這些實(shí)數(shù)根和函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無(wú)定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)按從小到大的順序排列起來(lái)，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，判斷在各個(gè)小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意單調(diào)區(qū)間一定是函數(shù)定義域的子集．2、求單調(diào)區(qū)間常常通過(guò)列表的方法進(jìn)行求解，使解題思路步驟更加清晰、明確．知識(shí)點(diǎn)四：討論單調(diào)區(qū)間問(wèn)題類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無(wú)需單獨(dú)討論的部分）；（3）求根做圖得結(jié)論（如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；（4）未得結(jié)論斷正負(fù)（若不能通過(guò)第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù)）；（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)（若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)）；（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無(wú)法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo)）；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再求導(dǎo)．（7）借助二階定區(qū)間（通過(guò)二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段）；類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無(wú)需單獨(dú)討論的部分）；（3）恒正恒負(fù)先討論（變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；（4）根的分布來(lái)定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；【典型例題】題型一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1．(2023·福建·莆田一中高二期中）若函數(shù)，則的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由可得，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選：B例2．(2023·湖南·新邵縣教研室高二期末（文））函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因?yàn)?，所以，由解得：，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．故選：B．例3．(2023·吉林·高二期末）函數(shù)的遞增區(qū)間是（

）A． B．和C． D．答案：C【解析】由題設(shè)，且，可得，所以遞增區(qū)間為.故選：C變式1．(2023·廣東·雷州市白沙中學(xué)高二階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故選：A.變式2．(2023·遼寧丹東·高二期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因?yàn)?，該函?shù)的定義域?yàn)?，，由，可得，解得，因此，函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.變式3．(2023·重慶長(zhǎng)壽·高二期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A．（0，2） B．（2，3）C．（1，3） D．（3，+∞）答案：B【解析】的定義域?yàn)?,令，解得：.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（2，3）.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間常用解不等式，函數(shù)在解集與定義域的交集上單調(diào)遞減．解不等式，函數(shù)在解集與定義域的交集上為單調(diào)遞增．（2）注意寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，不是連續(xù)的區(qū)間一般不能用并集符號(hào)“”．題型二：函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系例4．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示.記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．答案：A【解析】對(duì)于不等式對(duì)，當(dāng)時(shí)，，則結(jié)合圖象，知原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，則結(jié)合圖象，知原不等式的解集為．綜上，原不等式的解集為．故選：A例5．(2023·吉林·長(zhǎng)春市第五中學(xué)高二期中）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖像如圖所示，則的圖像最有可能的是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可得當(dāng)時(shí)，,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，,函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，,函數(shù)單調(diào)遞增.只有C選項(xiàng)的圖象符合.故選:C.例6．(2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖像如圖所示，則的圖像是圖四個(gè)圖像中的（

）．A． B．C． D．答案：A【解析】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則在上增的越來(lái)越快，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則在上增的越來(lái)越慢，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則在上減的越來(lái)越快，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則在上減的越來(lái)越慢，只有A選項(xiàng)符合.故選：A.變式4．(2023·山東德州·高二期末）函數(shù)的部分圖像可能是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】對(duì)求導(dǎo)得恒成立,故在上單調(diào)遞增，A正確.故選：A.變式5．(2023·廣東廣州·高二期末）已知函數(shù)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)圖象是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】設(shè)導(dǎo)函數(shù)與橫軸的交點(diǎn)為，設(shè)，由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，由此可以確定選項(xiàng)C符合，故選：A變式6．(2023·浙江·寧波市李惠利中學(xué)高二期中）函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，圖像如圖所示，記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】的解集即為單調(diào)遞增區(qū)間結(jié)合圖像可得單調(diào)遞增區(qū)間為則的解集為故選：C．【方法技巧與總結(jié)】（1）函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，若，則在上單調(diào)遞增；如果，則在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減；若恒有，則是常數(shù)函數(shù)，不具有單調(diào)性．（2）函數(shù)圖象變化得越快，的絕對(duì)值越大，不是的值越大．題型三：已知單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例7．(2023·江西·上高二中高二階段練習(xí)（文））若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋移鋵?dǎo)數(shù)為．由存在單調(diào)遞減區(qū)間知在上有解，即有解．因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以?shí)數(shù)的取值范圍是．故選:B．例8．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】依題意在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立.令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以.故選:B.例9．(2023·四川·成都市溫江區(qū)新世紀(jì)光華學(xué)校高二期中（文））已知函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】，因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞增函數(shù)，故在上恒成立，所以即，故選：A.變式7．(2023·廣東東莞·高二期中）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（-1，1） B． C．（-1，+∞） D．（-1，0）答案：B【解析】，由題意得：，即在上恒成立，因?yàn)?，所以恒成立，故?shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B變式8．(2023·天津一中高二期中）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則（

）A．3 B． C．2 D．答案：B【解析】函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)令，即，∵，的單調(diào)遞減區(qū)間是，∴0，4是方程的兩根，∴，，∴故選：B.變式9．(2023·黑龍江·齊齊哈爾市第八中學(xué)校高二期中）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由可得：.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以在上有解，即在上有解.設(shè)，由在上恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以.所以.故選：D變式10．(2023·福建·莆田一中高二期中）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因?yàn)樵趨^(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，所以在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解．令，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得.故選：A變式11．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)存在遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由題設(shè)，，由存在遞減區(qū)間，即存在使，∴，可得或.故選：B變式12．(2023·新疆·霍城縣第二中學(xué)高二期中（文））已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】詳因?yàn)?，令可?2≤x≤2，所以要使函數(shù)f(x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則區(qū)間（2m，m+1）是區(qū)間的子區(qū)間，所以，求解不等式組可得：，解得-1≤m<1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：D變式13．(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)（理））若函數(shù)在定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C．(1，2] D．[1，2)答案：A【解析】顯然函數(shù)的定義域?yàn)椋?，得函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；由，得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為．因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，所以，解得，又因?yàn)闉槎x域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間，所以，即．綜上可知實(shí)數(shù)k的取值范圍是．故選：A變式14．(2023·山東省東明縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，即或(舍)在上恒成立，解得故選：D【方法技巧與總結(jié)】（1）利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問(wèn)題的兩個(gè)基本思路①將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，即（或）恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗(yàn)參數(shù)取“＝”時(shí)是否滿足題意．②先令（或），求出參數(shù)的取值范圍后，再驗(yàn)證參數(shù)取“＝”時(shí)是否滿足題意．（2）理清運(yùn)算對(duì)象，選擇運(yùn)算方法，求得運(yùn)算結(jié)果，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．題型四：判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性例10．(2023·新疆·柯坪湖州國(guó)慶中學(xué)高二期末（理））已知，且(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷此函數(shù)的奇偶性并證明；(3)判斷此函數(shù)在的單調(diào)性（無(wú)需證明）.【解析】（1）由，解得（2）為奇函數(shù).證明：由（1）得，則，為奇函數(shù)（3）∵，∴在上單調(diào)遞增例11．(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）用導(dǎo)數(shù)證明：(1)在區(qū)間上是增函數(shù)；(2)在區(qū)間上是減函數(shù)．【解析】(1)∵在R上恒成立，故在區(qū)間上是增函數(shù)；(2)在上恒成立，∴在區(qū)間上是減函數(shù)．例12．(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）證明：(1)函數(shù)在定義域上是減函數(shù)；(2)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．【解析】(1)證明：函數(shù)的定義域?yàn)?，則對(duì)任意的恒成立，故函數(shù)在定義域上是減函數(shù).(2)證明：對(duì)任意的，，故函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).變式15．(2023·江蘇·高二專題練習(xí)）證明函數(shù)是R上的增函數(shù)．【解析】，因?yàn)?，所以，則恒成立，所以函數(shù)是R上的增函數(shù)變式16．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．【方法技巧與總結(jié)】判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟：1、求導(dǎo)；2、變形（分解或配方）；3、判斷導(dǎo)數(shù)式的符號(hào)，下結(jié)論．題型五：含參數(shù)單調(diào)性討論情形一：函數(shù)為一次函數(shù)例13．(2023·貴州六盤水·高二期末（文））已知函數(shù).討論的單調(diào)性；【解析】的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，成立，所以在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù).綜上，時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)；時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)在上為減函數(shù).例14．(2023·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高二期中）已知函數(shù)，其中.討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】,當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，，解得，當(dāng)，當(dāng)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.例15．(2023·江蘇·蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】由，得，當(dāng)時(shí)，，則在上遞減，所以的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間，當(dāng)時(shí)，令，得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為，綜上，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為；情形二：函數(shù)為準(zhǔn)一次函數(shù)變式17．(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)函數(shù)，其中．當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】，．當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，令，可得，則，解得，令，解得，綜上，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．變式18．(2023·江蘇·華羅庚中學(xué)三模）已知函數(shù)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；變式19．(2023·云南師大附中模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，其中．討論的單調(diào)性；【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，．?dāng)時(shí)，由于在上單調(diào)遞增，所以至多有一解；又，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．變式20．(2023·云南師大附中高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，．令，解得，則有當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．情形三：函數(shù)為二次函數(shù)型1、可因式分解變式21．(2023·河南·睢縣高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.【解析】（1）由，則，，，，切線方程：，則.（2）由，求導(dǎo)得，①當(dāng)時(shí)，，，解得，，解得，則：?jiǎn)螠p區(qū)間：，單增區(qū)間：；②當(dāng)時(shí)，令，解得或（舍去）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則：?jiǎn)螠p區(qū)間：，單增區(qū)間：；③當(dāng)時(shí)，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則：?jiǎn)螠p區(qū)間：和，單增區(qū)間：；④當(dāng)時(shí)，，則：?jiǎn)螠p區(qū)間：；⑤當(dāng)時(shí)，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則：?jiǎn)螠p區(qū)間：和，單增區(qū)間：；綜上，當(dāng)時(shí)，單減區(qū)間：，單增區(qū)間：當(dāng)時(shí)，單減區(qū)間：和，單增區(qū)間：當(dāng)時(shí)，單減區(qū)間：當(dāng)時(shí)，單減區(qū)間：和，單增區(qū)間：.變式22．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解析】因?yàn)椋?由，解得x＝0或x＝2a.當(dāng)a＝0時(shí)，，所以f（x）在R上嚴(yán)格增，單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為及，單調(diào)減區(qū)間為（0，2a）；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為及，單調(diào)減區(qū)間為（2a，0）.變式23．(2023·重慶市璧山來(lái)鳳中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，∴，又，∴曲線在處的切線方程為；（2）因?yàn)?當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.變式24．(2023·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，此時(shí)單調(diào)遞減，令，此時(shí)單調(diào)遞增．綜上可得：當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為．變式25．(2023·廣東·潮州市瓷都中學(xué)三模）已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】若時(shí)，，在上單調(diào)遞增；若時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，若時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)．綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．變式26．(2023·湖南·長(zhǎng)沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】函數(shù)的定義域?yàn)閯t：當(dāng)，時(shí)，恒成立，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得或（舍去），令，，令，所以在上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞增．綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（0，）變式27．(2023·內(nèi)蒙古·滿洲里市第一中學(xué)高二期末（理））已知函數(shù)（）.(1)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.【解析】（1）時(shí)，，，切線的斜率，則切線方程為；（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，，由，得；由，得則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.②當(dāng)，即時(shí)，由，得或；由，得.則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.③當(dāng)，即時(shí)，恒成立，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.④當(dāng)，即時(shí)，由，得或；由，得，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.2、不可因式分解型變式28．(2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】由得，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，即，①?dāng)，即時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，，的解或，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，同理在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．變式29．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，試討論的單調(diào)區(qū)間.【解析】解析：因?yàn)?，所以，?①當(dāng)a＝0時(shí)，，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為R，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.②當(dāng)時(shí)，.（i）當(dāng)時(shí)，，令，得，，且，所以當(dāng)或時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間；（ii）當(dāng)時(shí)，，所以，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為R，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為R，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.【方法技巧與總結(jié)】1、關(guān)于含參函數(shù)單調(diào)性的討論問(wèn)題，要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的情況來(lái)作出選擇，通過(guò)對(duì)新函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論，從而得到原函數(shù)對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，最終判斷原函數(shù)的增減．（注意定義域的間斷情況）．2、需要求二階導(dǎo)的題目，往往通過(guò)二階導(dǎo)的正負(fù)來(lái)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一階導(dǎo)函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值或零點(diǎn)可判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段．3、利用草稿圖像輔助說(shuō)明．情形四：函數(shù)為準(zhǔn)二次函數(shù)型變式30．(2023·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)函數(shù)．討論的單調(diào)性；【解析】由題，①當(dāng)時(shí)，，令則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令則，：當(dāng)，即時(shí)，在當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，在當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減變式31．(2023·全國(guó)·二模（理））已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【解析】設(shè)．當(dāng)時(shí)，則，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．變式32．(2023·北京·高二期末）若函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線的方程；(2)判斷方程解的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)，設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間.【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，則，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線的斜率，所以切線方程為.（2）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解；（3）當(dāng)時(shí)，，，則，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)令，解得或，令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為：，，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，令時(shí)，解得或，令時(shí)，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為．當(dāng)時(shí)，恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間．綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為：，，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間．變式33．(2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【解析】定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，恒成立，在R上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上：當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【方法技巧與總結(jié)】（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無(wú)需單獨(dú)討論的部分）；（3）恒正恒負(fù)先討論（變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；（4）根的分布來(lái)定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；【同步練習(xí)】一、單選題1．(2023·四川·仁壽一中高二期中（理））若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A．或或 B．或C． D．不存在這樣的實(shí)數(shù)答案：B【解析】，令，解得，或，所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)極值點(diǎn)為，若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則或，所以或，解得或故選：B．2．(2023·江西省信豐中學(xué)高二階段練習(xí)（文））若函數(shù)在定義域上恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，所以其導(dǎo)函數(shù)在定義域上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由可得，即，所以只需，方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.故選：A.3．(2023·湖南·新邵縣教研室高二期末（文））設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題可知，在內(nèi)存在解，因?yàn)?，所以在?nèi)存在解，等價(jià)于在內(nèi)存在解，易知函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得，所以．故選：D．4．(2023·湖南·新邵縣教研室高二期末（理））已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】因?yàn)?，所以，即函?shù)單調(diào)遞增，由可得，，解得．故選：D．5．(2023·山東泰安·高二期末）已知函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題意在R上恒成立，即恒成立.又，故.故選：D6．(2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知定義在上的函數(shù)滿足，且的導(dǎo)函數(shù)在上恒有，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因?yàn)榭苫癁?，令，則，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，所以，所以，即不等式的解集為．故選：A．7．(2023·貴州六盤水·高二期末（理））判斷中最大的數(shù)為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】令，則，令，解得，令，解得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；因?yàn)椋?，即，所以，，，所以，，，所以，，，又在都單調(diào)遞增，所以，所以中最大的數(shù)為，故選：D8．(2023·江西·上高二中高二階段練習(xí)（理））已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】設(shè)，則，當(dāng)?shù)茫海?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，又，所以，即c<a<b．故選：D．二、多選題9．(2023·廣東·饒平縣第二中學(xué)高二開學(xué)考試）已知函數(shù)，則（

）A．在單調(diào)遞增B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．曲線在點(diǎn)處切線的斜率為D．是奇函數(shù)答案：AC【解析】對(duì)A：，定義域?yàn)?，則，由都在單調(diào)遞增，故也在單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故A正確；對(duì)B：由A知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，故只有一個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)C：，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，C正確；對(duì)D：定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故是非奇非偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：AC.10．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的定義域是B．當(dāng)時(shí)，的圖象位于x軸下方C．存在單調(diào)遞增區(qū)間D．有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間答案：BC【解析】由，得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，所以A不正確.當(dāng)時(shí)，，，所以，所以當(dāng)時(shí)，的圖象位于x軸下方，所以B正確.，令，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增，，故存在，使得，則函數(shù)只有一個(gè)根，當(dāng)和時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，