高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)講解+真題測試專題9.3橢圓(知識點(diǎn)講解)(原卷版+解析)

專題9.3橢圓（知識點(diǎn)講解）【知識框架】【核心素養(yǎng)】1.結(jié)合橢圓的定義，考查應(yīng)用能力，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合橢圓的定義、簡單的幾何性質(zhì)、幾何圖形，會求橢圓方程及解與幾何性質(zhì)有關(guān)的問題，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)．【知識點(diǎn)展示】一．橢圓的定義及其應(yīng)用1.橢圓的概念(1)文字形式：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡(或集合)叫橢圓．這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距．(2)代數(shù)式形式：集合①若，則集合P為橢圓；②若，則集合P為線段；③若，則集合P為空集．2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在軸時，；焦點(diǎn)在軸時，二．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在軸，；（2）焦點(diǎn)在軸，.2．滿足條件：三．橢圓的幾何性質(zhì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)條件圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對稱性曲線關(guān)于軸、原點(diǎn)對稱曲線關(guān)于軸、原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)長軸頂點(diǎn),短軸頂點(diǎn)長軸頂點(diǎn),軸頂點(diǎn)焦點(diǎn)焦距離心率，其中通徑過焦點(diǎn)垂直于長軸的弦叫通徑，其長為四．直線與橢圓的位置關(guān)系1.直線與橢圓位置關(guān)系的判斷(1)代數(shù)法：把橢圓方程與直線方程聯(lián)立消去y，整理得到關(guān)于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0.記該一元二次方程根的判別式為Δ，①若Δ＞0，則直線與橢圓相交；②若Δ＝0，則直線與橢圓相切；③若Δ＜0，則直線與橢圓相離．(2)幾何法：在同一直角坐標(biāo)系中畫出橢圓和直線，利用圖象和性質(zhì)可判斷直線與橢圓的位置關(guān)系．2．直線與橢圓的相交長問題：（1）弦長公式：設(shè)直線與橢圓有兩個公共點(diǎn)則弦長公式為或．（2）弦中點(diǎn)問題，適用“點(diǎn)差法”.（3）橢圓中點(diǎn)弦的斜率公式若M(x0，y0)是橢圓的弦AB(AB不平行y軸)的中點(diǎn)，則有kAB·kOM＝，即kAB＝.【?？碱}型剖析】題型一：橢圓的定義及其應(yīng)用例1.（2023·全國高考真題）已知，是橢圓：的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（）A．13 B．12 C．9 D．6例2.（2023·全國）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為橢圓上一動點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為（）A．1 B．－1 C． D．例3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是橢圓上的點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．9【規(guī)律方法】1.應(yīng)用橢圓的定義，可以得到結(jié)論：（1）橢圓上任意一點(diǎn)P(x，y)(y≠0)與兩焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)構(gòu)成的△PF1F2稱為焦點(diǎn)三角形，其周長為2(a＋c)．(2)橢圓的一個焦點(diǎn)、中心和短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，其中a是斜邊，a2＝b2＋c2.2.對焦點(diǎn)三角形的處理方法，通常是運(yùn)用.3.橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點(diǎn)三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等．(2)通常定義和余弦定理結(jié)合使用，求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長和面積問題．題型二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例4.(2023·全國·高考真題（文））已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．例5.（2023·全國高考真題（文））已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為（）A. B. C. D.例6.【多選題】（2023·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)，為橢圓C的兩個焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P，使得，則橢圓C方程可以是（

）A． B．C． D．【總結(jié)提升】1.用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟是：(1)作判斷：根據(jù)條件判斷焦點(diǎn)的位置．(2)設(shè)方程：焦點(diǎn)不確定時，要注意分類討論，或設(shè)方程為．(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于的方程組．(4)求解，得方程．2．(1)方程與有相同的離心率．(2)與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓系方程為，恰當(dāng)運(yùn)用橢圓系方程，可使運(yùn)算簡便．題型三：橢圓的幾何性質(zhì)例7.(2023·全國·高考真題（理））橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．例8.（2023·全國·高三專題練習(xí)）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓：的蒙日圓方程為，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).離心率為，為蒙日圓上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與蒙日圓分別交于P，Q兩點(diǎn)，若面積的最大值為36，則橢圓的長軸長為（

）A． B． C． D．例9.(2023·全國·高考真題（文））已知橢圓：的一個焦點(diǎn)為，則的離心率為（）A． B． C． D．例10.(2023·四川成都·高三期末（理））已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，線段為直徑的圓與橢圓C在第一象限相交于點(diǎn)A．若，則橢圓C的離心率的取值范圍為______．【總結(jié)提升】1.關(guān)于橢圓幾何性質(zhì)的考查，主要有四類問題，一是考查橢圓中的基本量a，b，c；二是考查橢圓的離心率；三是考查離心率發(fā)最值或范圍；四是其它綜合應(yīng)用.2.學(xué)習(xí)中，要注意橢圓幾何性質(zhì)的挖掘：(1)橢圓中有兩條對稱軸，“六點(diǎn)”(兩個焦點(diǎn)、四個頂點(diǎn))，要注意它們之間的位置關(guān)系(如焦點(diǎn)在長軸上等)以及相互間的距離(如焦點(diǎn)到相應(yīng)頂點(diǎn)的距離為a－c)，過焦點(diǎn)垂直于長軸的通徑長為等．(2)設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P(x，y)，則當(dāng)x＝0時，|OP|有最小值b，這時，P在短軸端點(diǎn)處；當(dāng)x＝a時，|OP|有最大值a，這時P在長軸端點(diǎn)處．(3)橢圓上任意一點(diǎn)P(x，y)(y≠0)與兩焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)構(gòu)成的△PF1F2稱為焦點(diǎn)三角形，其周長為2(a＋c)．(4)橢圓的一個焦點(diǎn)、中心和短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，其中a是斜邊，a2＝b2＋c2.3．重視向量在解析幾何中的應(yīng)用，注意合理運(yùn)用中點(diǎn)、對稱、弦長、垂直等幾何特征．4.求解有關(guān)離心率的問題時，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓的幾何特征，建立關(guān)于參數(shù)c、a、b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍．較多時候利用解題.題型四：直線與橢圓的位置關(guān)系例11.(2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓，則該橢圓所有斜率為的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為_________________．例12.(2023·北京八中高三階段練習(xí)）已知為橢圓上任意一點(diǎn)，為左?右焦點(diǎn)，為中點(diǎn).如圖所示：若，離心率.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線經(jīng)過且斜率為與橢圓交于兩點(diǎn)，求弦長的值.例13.(2023·天津·高考真題）橢圓的右焦點(diǎn)為F、右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)直線l與橢圓有唯一公共點(diǎn)M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【規(guī)律方法】一.涉及直線與橢圓的基本題型有：1.位置關(guān)系的判斷2.弦長、弦中點(diǎn)問題.弦及弦中點(diǎn)問題的解決方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系：直線與橢圓方程聯(lián)立，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示中點(diǎn)；(2)點(diǎn)差法：利用弦兩端點(diǎn)適合橢圓方程，作差構(gòu)造中點(diǎn)、斜率．3.軌跡問題4.定值、最值及參數(shù)范圍問題5.存在性問題二．常用思想方法和技巧有：1.設(shè)而不求；2.坐標(biāo)法；3.根與系數(shù)關(guān)系.三.若直線與橢圓有兩個公共點(diǎn)可結(jié)合韋達(dá)定理，代入弦長公式或，求距離．題型五：橢圓與圓的相關(guān)問題例14.（2023·天津·高考真題（文））設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為B.已知（為原點(diǎn)）.（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點(diǎn)為，圓同時與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.例15.（陜西高考真題）已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的距離為．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，求橢圓的方程．例16.（2023·山東·高三開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，動點(diǎn)M滿足，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C．(1)求C的方程；(2)圓的切線與C相交于A，B兩點(diǎn)，P為切點(diǎn)，求的值．【總結(jié)提升】從高考命題看，與橢圓、圓相結(jié)合問題，一般涉及到圓的方程（圓心、半徑）、直線與圓的位置關(guān)系（相切、相交）、點(diǎn)到直線的距離、直線方程等.專題9.3橢圓（知識點(diǎn)講解）【知識框架】【核心素養(yǎng)】1.結(jié)合橢圓的定義，考查應(yīng)用能力，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合橢圓的定義、簡單的幾何性質(zhì)、幾何圖形，會求橢圓方程及解與幾何性質(zhì)有關(guān)的問題，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)．【知識點(diǎn)展示】一．橢圓的定義及其應(yīng)用1.橢圓的概念(1)文字形式：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡(或集合)叫橢圓．這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距．(2)代數(shù)式形式：集合①若，則集合P為橢圓；②若，則集合P為線段；③若，則集合P為空集．2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在軸時，；焦點(diǎn)在軸時，二．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在軸，；（2）焦點(diǎn)在軸，.2．滿足條件：三．橢圓的幾何性質(zhì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)條件圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對稱性曲線關(guān)于軸、原點(diǎn)對稱曲線關(guān)于軸、原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)長軸頂點(diǎn),短軸頂點(diǎn)長軸頂點(diǎn),軸頂點(diǎn)焦點(diǎn)焦距離心率，其中通徑過焦點(diǎn)垂直于長軸的弦叫通徑，其長為四．直線與橢圓的位置關(guān)系1.直線與橢圓位置關(guān)系的判斷(1)代數(shù)法：把橢圓方程與直線方程聯(lián)立消去y，整理得到關(guān)于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0.記該一元二次方程根的判別式為Δ，①若Δ＞0，則直線與橢圓相交；②若Δ＝0，則直線與橢圓相切；③若Δ＜0，則直線與橢圓相離．(2)幾何法：在同一直角坐標(biāo)系中畫出橢圓和直線，利用圖象和性質(zhì)可判斷直線與橢圓的位置關(guān)系．2．直線與橢圓的相交長問題：（1）弦長公式：設(shè)直線與橢圓有兩個公共點(diǎn)則弦長公式為或．（2）弦中點(diǎn)問題，適用“點(diǎn)差法”.（3）橢圓中點(diǎn)弦的斜率公式若M(x0，y0)是橢圓的弦AB(AB不平行y軸)的中點(diǎn)，則有kAB·kOM＝，即kAB＝.【?？碱}型剖析】題型一：橢圓的定義及其應(yīng)用例1.（2023·全國高考真題）已知，是橢圓：的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（）A．13 B．12 C．9 D．6答案：C分析：本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）．故選：C．例2.（2023·全國）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為橢圓上一動點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為（）A．1 B．－1 C． D．答案：A分析：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，得到，得出，結(jié)合圖象，得到當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，取得最小值，即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則，可得，所以，如圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線（點(diǎn)在線段上）時，此時取得最小值，又由橢圓，可得且，所以，所以的最小值為1．故選：A．例3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是橢圓上的點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．9答案：A分析：由已知可得，然后利用余弦定理和橢圓定義列方程組可解.【詳解】因為，所以，又記，則，②2-①整理得：，所以故選：A【規(guī)律方法】1.應(yīng)用橢圓的定義，可以得到結(jié)論：（1）橢圓上任意一點(diǎn)P(x，y)(y≠0)與兩焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)構(gòu)成的△PF1F2稱為焦點(diǎn)三角形，其周長為2(a＋c)．(2)橢圓的一個焦點(diǎn)、中心和短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，其中a是斜邊，a2＝b2＋c2.2.對焦點(diǎn)三角形的處理方法，通常是運(yùn)用.3.橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點(diǎn)三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等．(2)通常定義和余弦定理結(jié)合使用，求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長和面積問題．題型二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例4.(2023·全國·高考真題（文））已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．答案：B分析：根據(jù)離心率及，解得關(guān)于的等量關(guān)系式，即可得解.【詳解】解：因為離心率，解得，，分別為C的左右頂點(diǎn)，則，B為上頂點(diǎn)，所以.所以，因為所以，將代入，解得，故橢圓的方程為.故選：B.例5.（2023·全國高考真題（文））已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為（）A. B. C. D.答案：B【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．所求橢圓方程為，故選B．法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．例6.【多選題】（2023·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)，為橢圓C的兩個焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P，使得，則橢圓C方程可以是（

）A． B．C． D．答案：AC分析：設(shè)橢圓上頂點(diǎn)為B，由題滿足，即，可得，即可得出答案.【詳解】設(shè)橢圓方程為，設(shè)橢圓上頂點(diǎn)為B，橢圓上存在點(diǎn)，使得，則需，，即，，，則，所以選項AC滿足.故選：AC.【總結(jié)提升】1.用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟是：(1)作判斷：根據(jù)條件判斷焦點(diǎn)的位置．(2)設(shè)方程：焦點(diǎn)不確定時，要注意分類討論，或設(shè)方程為．(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于的方程組．(4)求解，得方程．2．(1)方程與有相同的離心率．(2)與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓系方程為，恰當(dāng)運(yùn)用橢圓系方程，可使運(yùn)算簡便．題型三：橢圓的幾何性質(zhì)例7.(2023·全國·高考真題（理））橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．答案：A分析：設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】解：，設(shè)，則，則，故，又，則，所以，即，所以橢圓的離心率.故選：A.例8.（2023·全國·高三專題練習(xí)）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓：的蒙日圓方程為，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).離心率為，為蒙日圓上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與蒙日圓分別交于P，Q兩點(diǎn)，若面積的最大值為36，則橢圓的長軸長為（

）A． B． C． D．答案：B分析：利用橢圓的離心率可得，分析可知為圓的一條直徑，利用勾股定理得出，再利用基本不等式即可求即解【詳解】因為橢圓的離心率，所以.因為，所以，所以橢圓的蒙日圓的半徑為.因為，所以為蒙日圓的直徑，所以，所以.因為，當(dāng)時，等號成立，所以面積的最大值為：.由面積的最大值為36，得，得，進(jìn)而有，，故橢圓的長軸長為.故選：B例9.(2023·全國·高考真題（文））已知橢圓：的一個焦點(diǎn)為，則的離心率為（）A． B． C． D．答案：C【詳解】分析：首先根據(jù)題中所給的條件橢圓的一個焦點(diǎn)為，從而求得，再根據(jù)題中所給的方程中系數(shù)，可以得到，利用橢圓中對應(yīng)的關(guān)系，求得，最后利用橢圓離心率的公式求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意，可知，因為，所以，即，所以橢圓的離心率為，故選C.例10.(2023·四川成都·高三期末（理））已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，線段為直徑的圓與橢圓C在第一象限相交于點(diǎn)A．若，則橢圓C的離心率的取值范圍為______．答案：分析：根據(jù)題意可得，且，再根據(jù)焦點(diǎn)三角形中的關(guān)系表達(dá)出離心率，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可【詳解】由題意，因為線段為直徑的圓與橢圓C在第一象限相交于點(diǎn)A．故半徑,即，且.又離心率，因為，結(jié)合題意有，設(shè)，則，易得對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故，即故答案為：【總結(jié)提升】1.關(guān)于橢圓幾何性質(zhì)的考查，主要有四類問題，一是考查橢圓中的基本量a，b，c；二是考查橢圓的離心率；三是考查離心率發(fā)最值或范圍；四是其它綜合應(yīng)用.2.學(xué)習(xí)中，要注意橢圓幾何性質(zhì)的挖掘：(1)橢圓中有兩條對稱軸，“六點(diǎn)”(兩個焦點(diǎn)、四個頂點(diǎn))，要注意它們之間的位置關(guān)系(如焦點(diǎn)在長軸上等)以及相互間的距離(如焦點(diǎn)到相應(yīng)頂點(diǎn)的距離為a－c)，過焦點(diǎn)垂直于長軸的通徑長為等．(2)設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P(x，y)，則當(dāng)x＝0時，|OP|有最小值b，這時，P在短軸端點(diǎn)處；當(dāng)x＝a時，|OP|有最大值a，這時P在長軸端點(diǎn)處．(3)橢圓上任意一點(diǎn)P(x，y)(y≠0)與兩焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)構(gòu)成的△PF1F2稱為焦點(diǎn)三角形，其周長為2(a＋c)．(4)橢圓的一個焦點(diǎn)、中心和短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，其中a是斜邊，a2＝b2＋c2.3．重視向量在解析幾何中的應(yīng)用，注意合理運(yùn)用中點(diǎn)、對稱、弦長、垂直等幾何特征．4.求解有關(guān)離心率的問題時，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓的幾何特征，建立關(guān)于參數(shù)c、a、b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍．較多時候利用解題.題型四：直線與橢圓的位置關(guān)系例11.(2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓，則該橢圓所有斜率為的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為_________________．答案：分析：設(shè)斜率為的直線方程為，與橢圓的交點(diǎn)為，利用點(diǎn)差法可得答案.【詳解】設(shè)斜率為的直線方程為，與橢圓的交點(diǎn)為，設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以，兩式相減可得，，即，由于在橢圓內(nèi)部，由得，所以時，即直線與橢圓相切，此時由解得或，所以，所求得軌跡方程為．故答案為：．例12.(2023·北京八中高三階段練習(xí)）已知為橢圓上任意一點(diǎn)，為左?右焦點(diǎn)，為中點(diǎn).如圖所示：若，離心率.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線經(jīng)過且斜率為與橢圓交于兩點(diǎn)，求弦長的值.答案：(1)(2)分析：（1）由題意可得結(jié)合求得a，繼而求得b，即可得橢圓方程；（2）寫出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，可求得交點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得弦長.（1）由題意知，為中點(diǎn)，O為的中點(diǎn)，故,又，故，即，所以，又因為，故，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由直線經(jīng)過且斜率為可知直線方程為，即，聯(lián)立，消去y可得，解得，則兩點(diǎn)不妨取為，故.例13.(2023·天津·高考真題）橢圓的右焦點(diǎn)為F、右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)直線l與橢圓有唯一公共點(diǎn)M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．答案：(1)(2)分析：（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的等量關(guān)系，由此可求得該橢圓的離心率的值；（2）由（1）可知橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，由可得出，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式以及已知條件可求得的值，即可得出橢圓的方程.（1）解：，離心率為.（2）解：由（1）可知橢圓的方程為，易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，由，①，，由可得，②由可得，③聯(lián)立①②③可得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【規(guī)律方法】一.涉及直線與橢圓的基本題型有：1.位置關(guān)系的判斷2.弦長、弦中點(diǎn)問題.弦及弦中點(diǎn)問題的解決方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系：直線與橢圓方程聯(lián)立，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示中點(diǎn)；(2)點(diǎn)差法：利用弦兩端點(diǎn)適合橢圓方程，作差構(gòu)造中點(diǎn)、斜率．3.軌跡問題4.定值、最值及參數(shù)范圍問題5.存在性問題二．常用思想方法和技巧有：1.設(shè)而不求；2.坐標(biāo)法；3.根與系數(shù)關(guān)系.三.若直線與橢圓有兩個公共點(diǎn)可結(jié)合韋達(dá)定理，代入弦長公式或，求距離．題型五：橢圓與圓的相關(guān)問題例14.（2023·天津·高考真題（文））設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為B.已知（為原點(diǎn)）.（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點(diǎn)為，圓同時與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.答案：（I）；（II）.分析：（I）根據(jù)題意得到，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，得到，化簡得出，從而求得其離心率；（II）結(jié)合（I）的結(jié)論，設(shè)出橢圓的方程，寫出直線的方程，兩個方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線與圓相切的條件，列出等量關(guān)系式，求得，從而得到橢圓