2022-2023學(xué)年廣東省深圳市某中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣東省深圳市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.復(fù)數(shù)上的虛部是()

1-1

A.；B.1C.iiD.i

A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可得虛部.

【詳解】〒7十?’故虛部為"

故選：A

2.直線而r+&y-l=O的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

C

【分析】化成斜截式方程得斜率為A=-6，進(jìn)而根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.

【詳解】將直線一般式方程化為斜截式方程得：>=一年+冬

所以直線的斜率為上=-6，

所以根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系得直線的傾斜角為120。.

故選：C

3.已知某圓錐的底面圓半徑為5,它的高與母線長(zhǎng)的和為25,則該圓錐的側(cè)面積為()

A.15兀B.207rC.607rD.65萬(wàn)

D

【分析】根據(jù)圓錐軸截面的性質(zhì)直接計(jì)算其母線，進(jìn)而可得側(cè)面積.

【詳解】設(shè)該圓錐的母線長(zhǎng)為/,則它的高為25-1,

由『_(25-/)2=52,解得/=13,

所以該圓錐的側(cè)面積為兀rl=657，

故選：D.

4.已知5為不共線的非零向量，AB=a+5h,BC=-2a+Sh,CD=3a-3b>貝U()

A.A,B,C三點(diǎn)共線B.A,B,。三點(diǎn)共線

C.B,C,。三點(diǎn)共線D.A,C,。三點(diǎn)共線

B

【分析】根據(jù)給定條件，求出而，/，再利用共線向量逐項(xiàng)判斷作答.

【詳解】B為不共線的非零向量，AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3a-3b，

則麗=及+函=￡+5B，AC=AB+BC=-a+\3b,

因々大：，則通與能不共線，A,B,C三點(diǎn)不共線，A不正確；

-2o

因通=而，即麗與麗共線，且有公共點(diǎn)8,則A,B,。三點(diǎn)共線，B正確;

因三，則初與前不共線，B,C,。三點(diǎn)不共線，C不正確；

3—3

-113

因一力一，則衣與麗不共線，A,C,。三點(diǎn)不共線，D不正確?

3-J

故選：B

5.已知：空間四邊形ABC。如圖所示，E、尸分別是AB、AO的中點(diǎn)，G、，分別是8C、CO上的

點(diǎn)，且CG=：8C,CH=^DC,則直線尸，與直線EG()

A.平行B.相交C.異面D.垂直

B

由已知EF為三角形/WD的中位線，從而EF//BD且EF=；BD,由CG=gsC.C”=：￡>C,得在四邊

形EfHG中，EF//HG,即E,F,G,H四點(diǎn)共面，且EFHHG,由此能得出結(jié)論.

【詳解】如圖所示，連接EEGH.

???四邊形ABCD是空間四邊形，E、F分別是48、A。的中點(diǎn),

EF為三角形ABD的中位線

:.EFHBD^.EF=-BD

2

XvCG=-BC.CH=-DC,

33

.FCHG^ACDB,且HG//BD,HG=；BD

二在四邊形EfHG中，EF//HG

即E,F,G,"四點(diǎn)共面，且

四邊形EFGH是梯形，

，直線FH與直線EG相交，

故選：B

方法點(diǎn)睛：證明兩直線相交，首先要證明兩直線共面，再證明它們不平行.所以本題先證明E,F,

G,”四點(diǎn)共面，再證明直線可與直線EG不平行.

6.記“LBC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c,已知B=Ic=66,且"WC有兩解，則人

6

的值可能是（）

A.36B.4石C.6百D.7G

B

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合"1BC有兩解，作出示意圖，確定3百<8<66,可得答案.

【詳解】作4，作ADJ■區(qū)W于。點(diǎn)，則A￡）=csinB=3G，

因?yàn)椤癓BC有兩解，故以A為圓心，以人為半徑作圓弧，需交于兩點(diǎn)，即為點(diǎn)C,

所以3G<6<66,符合條件的是46，

故選：B

7.如圖，在正方體A8CO-A4GR中，E是棱CG的中點(diǎn)，尸是側(cè)面BCC4內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且與

平面RAE的垂線垂直，則下列說(shuō)法不正確的是（）

A.4尸與RE不可能平行

B.4尸與5E是異面直線

C.點(diǎn)F的軌跡是一條線段

D.三棱錐F-A3。的體積為定值

A

【分析】設(shè)平面RAE與直線3C交于G,連接AG,EG,則G為3c的中點(diǎn)，分別取用8,qG的

中點(diǎn)M,N,連接AM,MN,AN,證明平面AMN//平面2AE,即可分析選項(xiàng)ABC的正誤；

再由MN//EG,得點(diǎn)尸到平面RAE的距離為定值，可得三棱錐尸-A3。的體積為定值判斷D.

【詳解】解：設(shè)平面AAE與直線BC交于G,連接AG,EG,

則G為BC的中點(diǎn)，分別取8田，B￡的中點(diǎn)M,N,

連接AM,MN,AN,

?：A.MHDiE,4例區(qū)平面。仙￡,"^(::平面0①后,

/.\MU平面RAE,同理可得MNH平面DtAE,

又4時(shí)、MN是平面AMN內(nèi)的兩條相交直線,

，平面AMN〃平面RAE,而A.F〃平面AAE,AFu平面AMN,

得點(diǎn)尸的軌跡為一條線段，故C正確；

并由此可知，當(dāng)F與M重合時(shí)，A尸與RE平行，故A錯(cuò)誤；

:平面AMN〃平面RAE,8E和平RAE交，二4萬(wàn)與BE是異面直線，故B正確；

VMN//EG,則點(diǎn)尸到平面。仙E的距離為定值，.?.三棱錐尸-ABQ的體積為定值，故D正確.

故選：A.

8.若對(duì)圓（x—iy+（y—1）、1上任意一點(diǎn)P（x,y）,由-4），+4+辰-今一9|的取值與羽y無(wú)關(guān)，則

實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.a<4B.-4<a<6C.或D.a>6

D

【分析】利用幾何意義得到要想|3x-4y+a|+版-4y-9|的取值要想與x,y無(wú)關(guān)，只需圓

（》-1）2+（丫-1）2=1位于直線3工-4〉+。=0與3》-4），-9=0之間，利用點(diǎn)到直線距離公式列出不等

式，求出aWT或“26,通過(guò)檢驗(yàn)舍去不合要求的解集.

［詳解】"丁，'+4+"丁'T可看作點(diǎn)p（x,y）到直線3x—4y+a=0與3x-4y-9=0的距離之

V9+16V9+16

和，

要想|3x-4y+a|+|3x-4），-9］的取值與x,y無(wú)關(guān),

只需圓（x_l）2+（y—l）2=l位于直線3x_4y+a=0與3x_4y_9=0之間，

所以圓心（1,1）到3x-4y+a=0的距離大于等于半徑，

|3-4+

BP.S1,解得；aW?或。26,

V9+16

當(dāng)aWT時(shí)，3x-4y+a=0與3x—4y—9=0位于圓心的同一側(cè)，不合要求，舍去；

當(dāng)aN6時(shí)，3x-4y+a=0與3x-4y-9=0位于圓心的兩側(cè)，滿足題意.

故選：D

二、多選題

9.已知橢圓C：16/+4丁=1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為JB.焦距為把

24

C.焦點(diǎn)坐標(biāo)為：o,±-jD.離心率為乎

CD

X2y^__

先化簡(jiǎn)橢圓方程為標(biāo)準(zhǔn)方程了+了=1再求出橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距、焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率得解.

164

【詳解】由橢圓方程1+4/=1化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得[十丁一，

164

所以a=Lb=—,c=—>

244

所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=1,焦距2c=g焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,土g],

短軸長(zhǎng)為費(fèi)=（，離心率e=￡=3.

2a2

故選：CD

10.已知方程/+產(chǎn)―"+2.+2/+〃-1=0,則下列選項(xiàng)中”的值能滿足方程表示圓的有（）

A.-1B.0C.1D.-2

ABC

【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程卜-費(fèi)+（y+of=1-。一%,則1—"%>0,解得即可得出

答案.

【詳解】解：x2+/-ar+2?>'+2a2+a-l=0,即方程1―卷）+（尸4=--#方程表示圓的

條件是l-a-Y>0，即-2<"弓.所以選項(xiàng)A,B,C能表示圓，選項(xiàng)D表示一個(gè)點(diǎn)，不能表示

43

圓.

故選：ABC.

11.衢州市柯城區(qū)溝溪鄉(xiāng)余東村是中國(guó)十大美麗鄉(xiāng)村，也是重要的研學(xué)基地，村口的大水車(chē)，是一

道獨(dú)特的風(fēng)景.假設(shè)水輪半徑為4米（如圖所示），水輪中心。距離水面2米，水輪每60秒按逆時(shí)針

轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中玲）開(kāi)始計(jì)時(shí)，則（）

p

......

A.點(diǎn)P第一次達(dá)到最高點(diǎn)，需要20秒

B.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)155秒時(shí)，點(diǎn)尸距離水面2米

C.在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有15秒的時(shí)間，點(diǎn)尸距水面超過(guò)2米

D.點(diǎn)P距離水面的高度〃(米)與"秒)的函數(shù)解析式為萬(wàn)=4$/9-4+2

<306)

ABD

【分析】先根據(jù)題意求出點(diǎn)P距離水面的高度”(米)與/(秒)的函數(shù)解析式，再?gòu)慕馕鍪匠霭l(fā)求

解ABC選項(xiàng).

【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作。C,水面于點(diǎn)C,作。4平行于水面交圓于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)尸作P8L0A

于點(diǎn)B,則因?yàn)樗喢?0秒按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，故轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為芻=三(rad/s),且點(diǎn)P從水

6030

7T

中浮現(xiàn)時(shí)(圖中《)開(kāi)始計(jì)時(shí)，f(秒)后，可知又水輪半徑為4米，水輪中心。距

7T7T7T

離水面2米，即OC=2m,O《=4m,所以NO4C=NAO?==,所以=因?yàn)椤Ｊ?4m,

6306

所以PB=4sin仔r-，］,故6=4sin依r-11+2,D選項(xiàng)正確；

1306J1306J

點(diǎn)P第一次達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)sin(9/—4=1,令占=解得：/=20(s),A正確；

oJ3()62

令4sin仁/—工+2=2,解得：r=5+3(R,keZ,當(dāng)人=5時(shí)，f=155(s),B選項(xiàng)正確；

(3。oJ

但T1+2>2,令0<白_￡<兀，解得：5</<35,故有30s的時(shí)間點(diǎn)尸距水面超過(guò)2米,

13UoJ3()6

12.已知正四棱柱ABCO-ABCQI，43=2,點(diǎn)"為CG點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面

上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論中正確的為()

A.當(dāng)〃=石且點(diǎn)P位于底面AACQi的中心時(shí)，四棱錐P-A3CD外接球的表面積為亍

B.當(dāng)a=2時(shí)，存在點(diǎn)P滿足以+PM=4

C.當(dāng)”=2時(shí)，存在唯一的點(diǎn)P滿足NAPM=90。

D.當(dāng)a=2時(shí)，滿足8P_LAM的點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為近

ACD

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合球的截面小圓性質(zhì)求出球半徑計(jì)算判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，利

用空間向量計(jì)算判斷B,C,D作答.

【詳解】在正四棱柱ABCO-ABCR中，取底面A8C。的中心”，即四邊形ABC。外接圓圓心，連

接PH,BH,如圖，

四棱錐P-43co是正四棱錐，P4_L底面ABC￡),PH=6,BH=6,

顯然四棱錐P-ABCD的外接球球心0在直線PH上，連80,令球半徑為R,則0H=|R-&|,

由80?=O42+B"2得：片=(R-業(yè)2+(歷,解得R=^.,

所以四棱錐P-45CD外接球的表面積為5=4萬(wàn)/?2=專(zhuān)，A正確；

在正四棱柱ABCO-4耳G"中，以點(diǎn)4為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)。=2時(shí)，

Xf

則A(0,0,2),8(2,0,2),"(2,2』)，延長(zhǎng)MG至點(diǎn)M',使CM="G=1,

連接AM，交底面ASG2于點(diǎn)尸'，連接PM,P'",PM’,則點(diǎn)”(2,2,-1),

因MM」平面A/CQ，則線段W被平面ABIGR垂直平分，即有PM=PA7,PM=PM',

PA+PM=PA+PM'>AM'=AP+P,M'=AP'+P'M,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸與P'重合時(shí)取等號(hào)，

因此(PA+PM)1rtli=AM'=，22+22+32=標(biāo)>4,B不正確；

設(shè)尸(x,y,0),0<x<2,0<y<2,

AP=(x,y,-2),講=(x-2,y-2,-1),麗=(x-2,y,-2),而=(2,2,-1),

因而?；wA=x(x-2)+y(y—2)+2=(x-l)2+(y-l)2,則當(dāng)且僅當(dāng)x=l,y=1,即點(diǎn)P(l,l,0)時(shí)，

麗?痔=0成立，

所以存在唯一的點(diǎn)尸滿足NAPM=90。，C正確；

當(dāng)時(shí)，BPAM=2x+2y-2=0,即x+y=l,而x20,yW。，

因此點(diǎn)尸的軌跡是以點(diǎn)(1,0,0)與點(diǎn)(。,1,0)為端點(diǎn)的線段，其長(zhǎng)度為正，D正確.

故選：ACD

三、填空題

13.已知同=4,忖=3,ab=-6,則］與萬(wàn)所成的夾角大小是.

-##-?!##120°

33

【分析】根據(jù)向量夾角公式，由題中條件，即可直接求解.

【詳解】因?yàn)橥?4,忖=3,&出=-6,記1與5所成的夾角為。，

ca2b61

所以3"麗=乃="，

因此，=4.

故答案為.2奇萬(wàn)

14.空間向量但=(1,1,1)3=(1,0,1),1=(1,2,⑼,若三個(gè)向量量瓦白共面,則實(shí)數(shù)加的值為

【分析】利用空間向量共面定理即得.

【詳解】因?yàn)槿齻€(gè)向量。，反E共面,

可設(shè)萬(wàn)=+〃},BP(1,1,1)=4(1,0,1)+〃(L2,m),

1=2+//

?，?＜1=2〃,

1=幾+相〃

解得4=〃=;,相=1.

故1.

15.在四面體尸-ABC中，PCJ_平面ABC,PA=PB=5,PC=4,AB=3無(wú)，則四面體P-ABC

外接球的表面積為.

347c

【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理及勾股定理，結(jié)合長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出半徑,

再利用球的表面積公式即可求解.

【詳解】如圖所示，

PC_L平面ABC,PA=PB=5,PC=4,由勾股定理得，AC=BC=3,

又A8=3&,得AC?+BC?=AB?,則AC13C.

設(shè)外接球的半徑為R,則（2R）2=PC2+AC2+BC2=42+32+32=34,解得R=理，

所以外接球的表面積為S=4TC7?2=34兀.

故34兀

22

16.山工是柳圓6￡+3=1（〃＞匕＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓E上一點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，

滿足N4MV=NKA/N=60。，若3而+5瓶及=如麗,則橢圓E的離心率為.

7

-##0.875

8

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合向量加法的平行四邊形法則確定IM片I與1胡乙1的關(guān)系，再利用橢圓定

義結(jié)合余弦定理求解作答.

【詳解】由3砥+5近=/1麗得：以3砥、5而冗為一組鄰邊的平行四邊形的以點(diǎn)M為起點(diǎn)的對(duì)

角線對(duì)應(yīng)的向量與礪共線，

由NKMN=Nf；MN=60。知，MN平分NF\MF”因此這個(gè)平行四邊形是菱形，有3|加片|=51M行|,

53

又|M6l+|MEh=2a,于是得|吟|=]〃,|加工|=14,令橢圓E的半焦距為c,

在△片M8中，/44%=120。,由余弦定理得:\F,F^=\MF^+\MF^ZF,MF,

2-2\MFX^MF2\COS2

即402=(；<7)2+《4)2+_|夕14=學(xué)4;:,貝!]有e?=：=竺，品簞得e=(,

444416a2648

7

所以橢圓E的離心率為

O

四、解答題

17.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,G)和點(diǎn)B(l,2@的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出橢圓的方程，利用待定系數(shù)法計(jì)算作答.

【詳解】設(shè)橢圓的方程為：nvc+ny2=l(m>0,〃>0,機(jī)#〃)，因該橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)9-2,句和B(l,26),

4m+3H=111x22

于是得m+⑵=1,解得"§，〃=百'即有二+rv=1，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.蔣+：=1

18.已知圓0:/+(、_])2=5,直線/:如—>+]_〃?=0

(1)求證：對(duì)〃2￡/?,直線/與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

(2)若直線/與圓。交于兩點(diǎn)，當(dāng)|A8|二J萬(wàn)時(shí)，求加的值.

(1)略

(2)m=±5/3

【詳解】試題分析：

(1)先證明直線/恒過(guò)定點(diǎn)尸(U),再證明點(diǎn)P在圓。內(nèi)即可.(2)將直線方程與圓方程聯(lián)立消元

后得到一個(gè)二次方程，運(yùn)用根據(jù)系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式求得機(jī)=±G,進(jìn)而得到直線/的傾斜角為3

2乃

或P—

-乂3.

試題解析:

（1）證明：直線/的方程可化為y-l=〃?（x-1）,

fx-l=Ofx=l

令1n'解得,?

ly-l=O［y=l

???直線/恒過(guò)定點(diǎn)P（U）.

V|PC|=l<>/5,

...點(diǎn)尸在圓C內(nèi)，

直線/與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

⑵由］1+（k1）=5'消去y整理得

iwc-y+l-m=O,

（機(jī)2+1）%2-2m2工+機(jī)2-5=0,

22

顯然△=（—2加2）2-4（/n+l）（m-5）=4（4裙+5）>0.

設(shè)4（%,3）3（%2，%），

則為,々是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，

.2m2m2—5

?,占+%=-T—；，*W=，

m4-1m+1

2

,**\AB\=yj\+m|Xj-x2\=J（1+M）［（X］+々）2-4%々］'

:.歷二■等,

1+〃7

解得加2=3,

：.m=±^3,即直線/的斜率為±6

直線/的傾斜角為？或富.

點(diǎn)睛：圓的弦長(zhǎng)的求法

⑴幾何法：設(shè)圓的半徑為『，弦心距為d,弦長(zhǎng)為/,則（夕=尸-八

y=kx-^m

⑵代數(shù)法：設(shè)直線與圓相交于&X“X）,832,%）兩點(diǎn)，由方程組/\212消y后得到

（x-a）+［y-b）=r,

關(guān)于x的一元二次方程，從而求得不+%,西々，則弦長(zhǎng)為

|，（1+爐）［（芭+王尸-4x㈤伙為直線斜率）.在代數(shù)法中，由于涉及到大量的計(jì)算，所以在解題中

要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性，同時(shí)也要注意整體代換的運(yùn)用，以減少運(yùn)算量.

19.如圖，四棱錐尸中，底面ABC3為邊長(zhǎng)為2的菱形且對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)0,

ND4B=60°,PO_L底面48C。，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn).

A

⑴求證：AP〃平面應(yīng)出；

(2)若三棱錐P-%見(jiàn)的體積為白，求OP的長(zhǎng).

(1)證明見(jiàn)解析

⑵OP=6

【分析】(1)由中位線證得EO〃AP,即可證得AP〃平面BDE；

(2)取OC中點(diǎn)F,證得平面A8C。，再由％一皿=%.皿=%一皿結(jié)合棱錐的體積公式即可求解.

【詳解】(1)證明：連接OE.

?.?點(diǎn)。，E分別為AC,CP的中點(diǎn)，EO〃AP,；OEu平面平面BOE,〃平面

BDE；

(2)取OC中點(diǎn)F,連接EF.

E

為PC中點(diǎn)，，￡尸為△POC的中位線，EF〃QP,且=由菱形的性質(zhì)知，ABCD

為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.

又。尸，平面ABC。，平面ABC。，S48=；x2xG=6,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，

X

VfDE=Vc-BDE~VE-BCD=3乂3后=6'。尸=6.

22

20.dBC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知A為銳角，sinB—cosC=U二二.

(1)求A；

(2)^b=—c,且BC邊上的高為2石，求AABC的面積.

(1)—;(2)7>/3.

6

【分析】(1)先用余弦定理化余弦為邊，再用正弦定理化邊為角從而求得A;

(2)由余弦定理用c表示。，然后把三角形的面積用兩種方法表示求得c,從而可計(jì)算出面積.

2_2

【詳解】(1)由sinB-cosC=^——得2"sin8-2abcosC=c2

2ab

由余弦定理得2absinB+c2-a2-b2=c^-a2>所以2nsin3=〃，

由正弦定理得2sinAsin8=sin8,8是三角形內(nèi)角，sinB0,

JT

所以sinA=1又A為銳角，所以A=f.

26

(2)由(1)a2=b2+c2-2bccosA=—c2+c2-2x—c-c-cos—=~~^?a=^-c，

1646164

所以S/^ABC=!〃csinA=!〃x26,即正c?x-=-x—cx2>/3，c=4>/7,

2224224

b=^-c=V2T,

4

思路點(diǎn)睛：本題考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式.利用正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互

化是解題關(guān)鍵.三角形的面積采取了二次計(jì)算，通過(guò)不同的計(jì)算方法得出等式，從而求解.這是一

種解題技巧.

21.如圖，半圓所在的平面與矩形所在平面ABCO垂直，P是半圓弧上一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，A。是半

圓的直徑，AB=i,4)=2.

(1)求證：平面附8_L平面PDC；

(2)是否存在尸點(diǎn)，使得二面角的正弦值為正？若存在，求四棱錐P-ABCO的體積；若不

2

存在，說(shuō)明理由，

(1)證明見(jiàn)解析

*

【分析】(1)根據(jù)矩形性質(zhì)和面面垂直性質(zhì)定理可證CO_L平面AOP,結(jié)合直徑所對(duì)圓周角為直角

可證API平面PDC,然后由面面垂直判定定理可證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可得二面角B-PC-。為正弦值為且時(shí)點(diǎn)尸坐標(biāo)，然后計(jì)算

2

可得體積.

【詳解】(1)在矩形48。中，CDLAD,

又平面A58/平面ADP,平面ABCDC平面ADP=A￡>,CDu平面ABCD,

所以，C￡>_L平面ADP,

又APu平面ADP,所以C￡)_LAP,

P是為直徑的半圓上一點(diǎn)，所以小,"，

又CDCDP=P,CD,OPu平面PDC,

所以，API平面尸DC,

又APu平面則平面R4B_L平面?DC

(2)取BC中點(diǎn)E,以AO的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，OE為了軸建立如圖所示空間直角坐

標(biāo)系，由平面ABCD1平面AOP可知，半圓在平面xOz平面內(nèi)，設(shè)P(a,0,6),

則a2+h2=l,b>0,又A(1,O,O),B(1,1,O),C(-1,1,0),￡>(-1,0,0),

由(1)可知，平面POC的一個(gè)法向量為而,Q=(a-1,0,8),

設(shè)平面PBC的法向量為為=(x,y,z),又麗=(a_l,-l,b),BC=(-2,0,0),

BP-n=(a-\)x-y+bz=0?

則〈—.，取z=l,貝=

Z?Cw=-2x=0

設(shè)二面角B-PC-。的大小為。,

|cosa|=|cos(AP,@|=h

,(a-if+b~\Jb"+i

A\_____

若sina=/-,則|cosa|=],又b=\!l-a1，

4i-a2+a1

所以，=