數(shù)值積分 課件

數(shù)值積分近似計算8.1插值型求積公式思路利用插值多項式

則積分易算。

在[a,b]上取a

x0<x1<…<xn

b，做f的

n

次插值多項式，即得到Ak由決定，與無關。節(jié)點f(x)插值型積分公式誤差8.2復化求積公式如果積分區(qū)間比較大，直接地使用上述求積公式，精度難以保證。高次插值有Runge現(xiàn)象，故采用分段低次插值

分段低次合成的Newton-Cotes

復合求積公式。（1）等分求積區(qū)間，比如取步長，分[a,b]為n等分，分點為

k=0,1,2,…,n（2）在區(qū)間

[xk,xk+1]上使用以上求積公式求得Ik（3）取和值，作為整個區(qū)間上的積分近似值。

復化梯形公式：在每個上用梯形公式：=

Tn/*積分中值定理*/

復化Simpson公式：44444=

Sn例8.1：利用數(shù)據表

xk01/81/43/81/25/83/47/81f(xk)43.938463.764703.506853.200002.876402.460002.265492計算積分這個問題有明顯的答案取n=8用復化梯形公式取n=4,用辛卜生公式8.3變步長梯形方法8.4求積公式的誤差當時，不考慮舍入誤差，求積公式是精確成立的。舍入誤差：

取f(x)

1，則若f(xk)的舍入誤差小于

，則1．梯形公式的截斷誤差2．辛卜生公式的截斷誤差8.5龍貝格求積公式龍貝格積分法是在計算梯形和序列的基礎上應用了線性外推的加速方法，由此構成的一種具有超線性收斂的自動積分法方法思路:1.按照區(qū)間逐次分半的方法，計算梯形和序列由此生成序列T0,T1,…,Tn,…當時，就可以結束計算。oh2TSnITTn+1Tnh2設Tn為梯形和，I為積分真值，由復化梯形公式

f(x)2.加速由解析幾何

令h=0，則此直線在T軸上的截距為由，得：用類似方法可推得：

柯特斯序列龍貝格序列由此法，可得如下三角形數(shù)表梯形辛卜生柯特斯龍貝格T0T3T2T1S0

S2S1

C0

C1

D0計算方法的實現(xiàn)：首先構造T數(shù)表：計算步驟：1．取，計算2．對k=1,2,…計算下列各步3．對n=0,1,2,…,k=n–1,n–2,…4．收斂控制若或則輸出積分值，否則轉3。

8.6

高斯型求積公式問題：在節(jié)點個數(shù)一定的情況下，是否可以在[a,b]上自由選擇節(jié)點的位置，使求積公式的精度提得更高？代數(shù)精確度：稱：

為一般求積公式。這里Ak為不依賴f(x)的常數(shù)若（8.9）對任意不高于m次的多項式精確成立，而對于xm+1不能精確成立，就說（8.9）式具有m次代數(shù)精確度。（8.9）例

8.2：求形如

的兩點求積公式。（1）用梯形公式（即以x0=-1，x1=1為節(jié)點的插值型求積公式）立即可得一次代數(shù)精確度。

（2）若對求積公式中的四個待定系數(shù)A0,A1,x0,x1適當選取，使求積公式對f(x)=1，x，x2，x3都準確成立oxyabABf(x)求積公式的代數(shù)精確度不僅與積分節(jié)點有關，而且與這些這點的所在位置有關。適當調整這些點的分布和求積系數(shù)，能使求積公式達到最高的代數(shù)精確度。引入權函數(shù)以后，考慮積分假定采取n+1個節(jié)點的求積公式系數(shù)Ai(i==0,1,2,…,n)不依賴于f(x)，但與權函數(shù)

(x)有關，可以適當?shù)剡x取n個節(jié)點，和相應的n個系數(shù)A0,A1,A2,…,An，使得積分公式具有最大的代數(shù)精確度

首先考慮對于固定的n值，公式最大可以達到多少次代數(shù)精確度？設對所有的m次多項式(m待定)是準確的。于是有令并重新組合上式右端各項，得由于系數(shù)am,am-1,…,a0的任意性，使上式成立的充要條件是：定理：插值型求積公式中，節(jié)點xi(i=0,1,2,…,n)是高斯點的充分必要條件是：在區(qū)間[a,b]上，以這些點為零點的n+1次多項式與所有次數(shù)不超過n的多項式P(x)都正交，即高斯型求積公式的特點：（1）代數(shù)精確度達到2n–1；（2）節(jié)點是

[a,b]上的

n+1次正交多項式的n+1個零點。

高斯型求積公式的構造

根據以上定理，構造高斯型求積公式的方法就是去找[a,b]上的n+1次多項式，再把它的n+1個零點求出來，由于正交多項式具有性質；在[a,b]上的n+1次多項式一定有n+1個不同零點，且全部位于[a,b]內，所以只要將此n+1個零點作為n+1次插值多項式的節(jié)點，構造出的插值多項式即為高斯型求積公式。不失一般性，假定積分區(qū)間為（-1,1），因為總可以利用變換

將區(qū)間（a,b）變成（-1,1）而積分變?yōu)椋?.高斯-勒讓德(Gauss-Legendre)求積公式在高斯型求積公式中，若取權

，區(qū)間為[-1,1]，相對應的正交多項式為勒讓德多項式

，則此時的高斯型求積公式稱為高斯-勒讓德求積公式，例8.3：運用高斯――勒讓德公式計算積分解：兩點勒讓德公式兩點梯形公式三點勒讓德公式：三點辛卜生公式：2.高斯-切比雪夫（Gaoss-Chebyshev）求積公式若取權函數(shù)

，區(qū)間為[-1,1]，則相應的正交多項式為切比雪夫多項式

，稱此時的高斯型求積公式為高斯-切比雪夫求積公式，其形式為例8.5求兩點（n=1）高斯切比雪夫求積公式解：由xi，Ai

的定義有