人教A版普通高中數(shù)學一輪復習第二章第六節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)學案

第六節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)考試要求：1.理解對數(shù)的概念和運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)．2．通過實例，了解對數(shù)函數(shù)的概念，能用描點法或借助計算工具畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點．3．了解指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)．自查自測知識點一對數(shù)1．在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意義，x的取值范圍為(B)A．(－∞，3]B．(3，4)∪(4，＋∞)C．(4，＋∞)D．(3，4)2．(教材改編題)設lg2＝a，lg3＝b，則log1210＝()A．12a+b B．C．2a＋b D．2b＋aA解析：log1210＝1lg12＝1lg3．計算：log62＋log63＝1．4．計算：log92·log43＝14核心回扣1.對數(shù)的概念一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．2．對數(shù)的性質(zhì)與運算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)①loga1＝0．②logaa＝1．③alogaN＝N．④logaan＝n(a＞0，且a≠1)．(2)對數(shù)的運算性質(zhì)如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN．②logaMN＝logaM－logaN③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)對數(shù)的換底公式logab＝logcblogca(a＞0，且a≠1；c＞0，且c自查自測知識點二對數(shù)函數(shù)與反函數(shù)1．函數(shù)f(x)＝lg(2x－1)的定義域為()A．(1，2)B．12，1∪C．12D．(2，＋∞)C解析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得2x－1＞0，解得x＞12，所以函數(shù)f(x)＝lg(2x－1)的定義域為12．已知實數(shù)a＝log32，b＝log2π，c＝log210，則有(A)A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜bC．c＜a＜b D．c＜b＜a3．函數(shù)f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)的圖象必不過()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A解析：函數(shù)f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)的圖象如圖所示．故選A．4．已知函數(shù)y＝loga(x－3)－1的圖象恒過定點P，則點P的坐標是(4，－1)．5．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝3x的反函數(shù)，則f12＝－log32核心回扣1．對數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0，＋∞)．2．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)0＜a＜1a＞1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質(zhì)過定點(1，0)，即x＝1時，y＝0當x＞1時，y＜0；當0＜x＜1時，y＞0當x＞1時，y＞0；當0＜x＜1時，y＜0減函數(shù)增函數(shù)3.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的定義域與值域正好互換，圖象關于直線y＝x對稱．【常用結(jié)論】1．換底公式的變形(1)logab·logba＝1，即logab＝1/(a，b均大于0且不等于1)．(2)＝nmlogab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)．(3)logNM＝logaMlogaN＝logbMlogbN(2．換底公式的推廣：logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d＞0)．應用求值：(log32＋log92)(log43＋log83)＝．54解析：原式＝lg2lg3+lg2lg9對數(shù)的運算1．(2024·莆田模擬)已知2x＝3，log483＝y(tǒng)，則x＋2yA．32 C．4 D．3D解析：由2x＝3，得x＝log23，又log483＝y(tǒng)，故x＋2y＝log23＋2log483＝log2．已知聲強級(單位：分貝)L＝10lgII0，其中常數(shù)I0(I0＞0)是能夠引起聽覺的最弱的聲強，A．110 B．C．10-10 D．10D解析：L1－L2＝1，即10lgI1I0－10lgI2I0＝1，所以I1I2＝3．計算：log381-log98×0解析：原式＝log334－32×log32×log23－3＋lg10＝4－32－3＋4．(2024·德州模擬)已知2m＝3n＝6，則m+nmn＝1解析：由2m＝3n＝6，得m＝log26，n＝log36，所以1m＝log62，1n＝log63，所以m+nmn＝1n＋1m＝log6對數(shù)式化簡與求值的基本原則和方法(1)基本原則：對數(shù)式的化簡求值一般是正用或逆用公式，對真數(shù)進行處理，選哪種策略化簡，取決于問題的實際情況，一般本著便于真數(shù)化簡的原則進行．(2)兩種常用的方法：①“收”：將同底的兩個對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù)．②“拆”：將積(商)的對數(shù)拆成同底的兩個對數(shù)的和(差)．對數(shù)函數(shù)的圖象及應用【例1】(1)若函數(shù)y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域為{y|y≥1}，則函數(shù)y＝loga|x|的大致圖象為()B解析：由于y＝a|x|的值域為{y|y≥1}，所以a＞1，則y＝loga|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又函數(shù)y＝loga|x|的圖象關于y軸對稱，因此y＝loga|x|的大致圖象為選項B.(2)當0＜x≤12時，4x＜logax，則實數(shù)aA．0，22 C．(1，2) D．(2，2)B解析：易知0＜a＜1，函數(shù)y＝4x與y＝logax的大致圖象如圖所示．由題意可知只需滿足loga12＞412，解得[變式]若將本例(2)中的條件“4x＜logax”變?yōu)椤?x＝logax有解”，則實數(shù)a的取值范圍為．0，22解析：若方程4x＝logax在0，12上有解，則函數(shù)y＝4x與y＝logax的圖象在0，12上有交點，所以0＜a研究對數(shù)型函數(shù)圖象的思路(1)對有關對數(shù)型函數(shù)圖象的識別問題，主要依據(jù)底數(shù)確定圖象的變化趨勢、圖象的位置、圖象所過的定點及圖象與坐標軸的交點等，通過排除法求解．(2)對有關對數(shù)型函數(shù)的作圖問題，一般是從基本初等函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到所要求的函數(shù)圖象．特別地，當?shù)讛?shù)與1的大小關系不確定時應注意分類討論．1．在同一個坐標系中，函數(shù)f(x)＝1ax與g(x)＝lgA解析：由題意，得a＞0且a≠1，所以函數(shù)g(x)＝lgax單調(diào)遞減，故排除B，D.對于A，C，由函數(shù)f(x)＝1ax的圖象，可知0＜a＜1，對于函數(shù)g(x)＝lgax，g2．已知函數(shù)f(x)＝|lnx|.若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，則2a＋b的取值范圍是()A．(22，＋∞) B．[22，＋∞)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)B解析：f(x)＝|lnx|的圖象如圖所示，因為0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，所以|lna|＝|lnb|，且0＜a＜1，b＞1，即－lna＝lnb，即ab＝1.所以2a＋b≥22ab＝22，當且僅當2a＝b，即a＝22，b＝2時，等號成立，所以2a＋b的取值范圍為[22，＋∞對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用考向1比較大小【例2】(1)已知a＝log62，b＝log124，c＝log186，則()A．c＞b＞a B．a(chǎn)＞b＞cC．c＞a＞b D．a(chǎn)＞c＞bA解析：由對數(shù)運算公式，得1a＝log26＝1＋log23，1b＝log412＝1＋log43，1c＝log618＝1＋log63.易知log23＞log43＞log63＞0，則1a＞1b＞(2)已知a＝log315，b＝log420，2c＝1.9，則()A．a(chǎn)＞c＞b B．c＞a＞bC．b＞a＞c D．a(chǎn)＞b＞cD解析：a＝log315＝log3(3×5)＝1＋log35＞1，b＝log420＝log4(4×5)＝1＋log45＞1，c＝log21.9＜1.因為log35＝lg5lg3＞lg5lg4＝log比較對數(shù)函數(shù)值大小的方法單調(diào)性法在同底的情況下直接得到大小關系，若不同底，先化為同底中間量過渡法尋找中間數(shù)聯(lián)系要比較的兩個數(shù)，一般是用“0”“1”或其他特殊值進行“比較傳遞”圖象法根據(jù)圖象觀察得出大小關系考向2解對數(shù)方程或不等式【例3】(1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解為x＝．5解析：原方程變形可得log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±5.又由題知x＞1，所以x＝5.(2)已知函數(shù)f(x)＝log2x，x＞0，log12-x，x＜(－1，0)∪(1，＋∞)解析：由題意，得a＞0，log2a＞-log2a或a＜0，簡單對數(shù)不等式問題的求解策略(1)解決簡單的對數(shù)不等式，應先利用對數(shù)的運算性質(zhì)化為同底數(shù)的對數(shù)值，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解．(2)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和底數(shù)a的值有關，在研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，要按0＜a＜1和a＞1進行分類討論．(3)某些對數(shù)不等式可轉(zhuǎn)化為相應的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．考向3對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應用【例4】(2024·泰安模擬)已知f(x)＝log1(1)若a＝2，求f(x)的值域；解：若a＝2，則f(x)＝log1因為x2－2x＋10＝(x－1)2＋9≥9＞0，當且僅當x＝1時，等號成立，可知f(x)的定義域為R，且y＝log13x所以f(x)的值域為(－∞，－2].(2)若f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．解：因為y＝log1由題意，可知y＝x2－ax＋5a在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，且x2－ax＋5a＞0在[1，＋∞)上恒成立，故a2≤1，1-a+5a＞所以a的取值范圍為-1解決對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題的注意點(1)要分清函數(shù)的底數(shù)是a∈(0，1)，還是a∈(1，＋∞)．(2)確定函數(shù)的定義域，無論研究函數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某個性質(zhì)，都要在其定義域上進行．(3)在轉(zhuǎn)化時一定要注意對數(shù)問題轉(zhuǎn)化的等價性．1．已知函數(shù)f(x)＝logax(a＞0且a≠1)滿足f2a＜f3a，則f(2x－1)A．(0，1) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)C解析：(方法一)因為函數(shù)f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上為單調(diào)函數(shù)，而2a＜3a，且f2a＜f3a，所以f(x)＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得f(2x－1)＞0，即2x(方法二)由f2a＜f3a，知loga2a＜loga3a，所以loga2－1＜loga3－1，所以loga2＜loga3，所以a＞1.由f(2x－1)＞0，得loga(2x－1)＞0，所以2x－1＞2．(多選題)設函數(shù)y＝ln(x2－x＋1)，則下列命題中正確的是()A．函數(shù)的定義域為RB．函數(shù)是增函數(shù)C．函數(shù)的值域為RD．函數(shù)的圖象關于直線x＝12AD解析：因為x2－x＋1＝x-122＋34＞0恒成立，所以函數(shù)的定義域為R，A正確；由復合函數(shù)的單調(diào)性，知函數(shù)y＝ln(x2－x＋1)在12，+∞上單調(diào)遞增，在-∞，12上單調(diào)遞減，B錯誤；由x2－x＋1＝x-122＋34≥34，得y＝ln(3．已知函數(shù)f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，且a≠1)．若f(x)＞1在區(qū)間[1，2]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．1，83解析：當a＞1時，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上單調(diào)遞減，由f(x)＞1在區(qū)間[1，2]上恒成立，得f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)＞1，且8－2a＞0，解得1＜a＜83．當0＜a＜1時，f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，由f(x)＞1在區(qū)間[1，2]上恒成立，得f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)＞1，且8－2a＞0，解得a∈?.綜上可知，實數(shù)課時質(zhì)量評價(十一)1．函數(shù)f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是()A．0 B．1C．2 D．a(chǎn)C解析：因為0＜a＜1，所以f(x)＝logax在[a2，a]上單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2.故選C.2．函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝3x的圖象關于直線y＝x對稱，則f13＋fA．1 B．2C．3 D．4A解析：因為函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝3x的圖象關于直線y＝x對稱，所以f(x)＝log3x，所以f13＋f(9)＝log313＋log3．(2024·濰坊模擬)已知函數(shù)f(x)＝1-2x，x≤1，A．－14 B．C．34 D．B解析：因為f(0)＝1－20＝0，f(log25)＝f(log25－1)＝flog252＝flog252-1＝flog254＝1-2log2544．某公司開發(fā)的小程序發(fā)布經(jīng)過t天后，用戶人數(shù)A(t)＝500ekt，其中k為常數(shù)．已知小程序發(fā)布經(jīng)過10天后有2000名用戶，則用戶超過500000名至少經(jīng)過的天數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301)()A．31 B．32C．40 D．50D解析：由題意，得當t＝10時，A(10)＝500e10k＝2000，即e10k＝4.令A(t)＝500ekt＞500000，得ekt＞1000，即4t10＞1000，兩邊取常用對數(shù)，得t10lg4＞3，即t＞15lg5．已知函數(shù)f(x)＝3x，x≤0，19解析：因為f(x)＝3x，x≤0，log4x，x＞0，所以f16．函數(shù)f(x)＝log2x－2log2(x＋1)的值域為．(－∞，－2]解析：函數(shù)f(x)＝log2x－2log2(x＋1)的定義域為(0，＋∞)，又f(x)＝log2x－2log2(x＋1)＝log2xx+12＝log21x+1x+2≤log212x·1x+2＝log27．若函數(shù)f(x)＝ln4-mx4-2x的圖象關于原點對稱，則實數(shù)m的值為－2解析：依題意，得f(－x)＝－f(x)，即ln4+mx4+2x＝－ln4-mx4-2x，所以4+mx4+2x＝4-2x4-mx，解得m＝±2.當m＝2時，f(x)＝ln4-2x4-2x，定義域{xx≠2}不關于原點對稱，故舍去；當m＝－2時，f(x)＝ln8．(2024·武漢模擬)已知函數(shù)f(x)＝lgx＋1-x1+x．若f(a)＝2，則f1a＝－2解析：因為f1x＝lg1x＋1-1x1+1x＝－lgx＋x-1x+1，所以f(x)＋f1x＝lgx＋1-x1+x－lgx＋x-1x+1＝0，故f(a9．已知函數(shù)f(x)＝loga(1－x)，g(x)＝loga(x＋1)，其中a＞0且a≠1.(1)求函數(shù)f(x)＋g(x)的定義域；解：由1-x＞0，x+1＞所以函數(shù)f(x)＋g(x)的定義域為(－1，1)．(2)若f(x)＞g(x)，求x的取值范圍．解：當a＞1時，由f(x)＞g(x)，得1－x＞x＋1＞0，解得－1＜x＜0；當0＜a＜1時，由f(x)＞g(x)，得0＜1－x＜x＋1，解得0＜x＜1.綜上可知，當a＞1時，x的取值范圍為(－1，0)，當0＜a＜1時，x的取值范圍為(0，1)．10．已知一個15位正整數(shù)N＝a×1014(1≤a＜10)，且30N仍是一個整數(shù)，則30N的值為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3，lg3≈0.48，lg5A．3 B．4C．5 D．6A解析：令x＝30N(x＞0)，則x30＝N＝a×1014(1≤a＜10)，故30lgx＝lga＋14，lgx＝lga+1430，lga∈[0，1)，所以lgx∈715，12．又lg2＜715≈11．我國5G技術遙遙領先，5G技術的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式：C＝Wlog21+SN．它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內(nèi)信號的平均功率S以及信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中SN叫做信噪比．當信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計．按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至5000，則CA．43% B．33%C．23% D．13%C解析：由題意，得Wlog25000Wlog21000－1＝lg5000lg12．已知f(x)是不恒為0的函數(shù)，定義域為D，對任意x∈D，n∈N*，都有nf(x)＝f(xn)成立，則f(x)＝．(寫出一個即可)log2x(答案不唯一)解析：符合對數(shù)運算法則，可選擇一個對數(shù)函數(shù)，如f(x)＝log2x，nf(x)＝nlog2x＝log2xn＝f(xn)．13．(2024·昆明模擬)設函數(shù)f(x)＝log22x·log2x16(1)解方程f(x)＋6＝0；(2)設不等式2x2＋x≤43x-2的解集為M，求函數(shù)f(x)(x∈M)的值域．解：f(x)＝(log22＋log2x)·(log2x－log216)＝(1＋log2x)·(log2x－4)＝(log2x)2－3log2x－4.(1)由f(x)＋6＝0，得(log2x)2－3log2x＋2＝0，解得log2x＝1或log2x＝2，所以x＝2或x＝4.所以方程f(x)＋6＝0的解是x＝2或x＝4.（2）由2x2＋x≤43x-2，得2x2＋x≤26x-4，即x2＋x≤6x－4，解得1≤x≤4，故M＝{x|1≤x≤4