人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章第二節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系學(xué)案

第二節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系考試要求：1.借助長(zhǎng)方體，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義．2．了解可以作為推理依據(jù)的基本事實(shí)和定理．3．能運(yùn)用基本事實(shí)、定理和已獲得的結(jié)論證明與空間圖形位置關(guān)系有關(guān)的命題．自查自測(cè)知識(shí)點(diǎn)一平面的基本事實(shí)判斷下列說(shuō)法的正誤，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”．(1)若兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．(×)(2)經(jīng)過(guò)一條直線和一個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．(×)(3)分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)的兩條直線若相交，則交點(diǎn)一定在兩個(gè)平面的交線上．(√)(4)兩兩相交的三條直線共面．(×)(5)如果兩條直線都垂直于第三條直線，那么這兩條直線互相平行．(×)核心回扣1.基本事實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．2．基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．3．基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．4．基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行．自查自測(cè)知識(shí)點(diǎn)二空間兩條直線的位置關(guān)系1．判斷下列說(shuō)法的正誤，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”．(1)空間中，沒有交點(diǎn)的兩條直線是異面直線．(×)(2)空間中，不平行也不相交的兩條直線是異面直線．(√)(3)分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線是異面直線．(×)(4)如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等．(×)2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別為A1B1，BB1，AA1，BC的中點(diǎn)，則直線PM與NQ所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°C解析：如圖所示，取AB的中點(diǎn)R，連接RN，RQ，AB1.因?yàn)镸，N，P，Q分別為A1B1，BB1，AA1，BC的中點(diǎn)，所以PM∥AB1，RN∥AB1，所以PM∥RN，所以∠RNQ為直線PM與NQ所成的角．又因?yàn)椤鱎NQ是等邊三角形，所以∠RNQ＝60°.核心回扣1．兩條直線的位置關(guān)系相交同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)平行同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)2.異面直線所成的角(1)作法：平移直線．(2)范圍：0，3．異面直線的判定過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．4．等角定理：若空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．自查自測(cè)知識(shí)點(diǎn)三空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系1．若直線上有一點(diǎn)在平面外，則下列結(jié)論正確的是()A．直線上所有的點(diǎn)都在平面外B．直線上有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)都在平面外C．直線上有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)都在平面內(nèi)D．直線上至少有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)B解析：直線上有一點(diǎn)在平面外，則直線不在平面內(nèi)，故直線上有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)在平面外．2．如果在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是．平行或相交解析：逆向考慮，畫兩個(gè)平行平面，能在這兩個(gè)平面內(nèi)畫兩條平行直線，同樣畫兩個(gè)相交平面，也能在這兩個(gè)平面內(nèi)畫兩條平行直線，如圖所示．核心回扣1．直線與平面的位置關(guān)系：相交、平行、在平面內(nèi)．2．平面與平面的位置關(guān)系：平行、相交．注意點(diǎn)：直線l與平面α相交、直線l與平面α平行統(tǒng)稱直線l在平面α外，記作l?α.【常用結(jié)論】(1)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．(3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．(4)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．應(yīng)用下列命題中，正確的是()A．過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與這條直線平行B．過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直C．過(guò)已知平面外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與已知平面垂直D．過(guò)已知平面外一條直線，必能作出與已知平面平行的平面B解析：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，過(guò)直線AB外一點(diǎn)D1，有平面A1B1C1D1、平面DCC1D1都與直線AB平行，A錯(cuò)誤；由于垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，故過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直，B正確；過(guò)平面ABCD外一點(diǎn)D1，有平面DCC1D1、平面A1ADD1都與平面ABCD垂直，C錯(cuò)誤；當(dāng)直線與平面相交時(shí)，過(guò)該直線不能作出與已知平面平行的平面，D錯(cuò)誤．平面的基本性質(zhì)【例1】(1)(2024·濟(jì)南模擬)已知α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題錯(cuò)誤的是()A．若α∩β＝l，A∈α且A∈β，則A∈lB．若A，B，C是平面α內(nèi)不共線的三個(gè)點(diǎn)，A∈β，B∈β，則C?βC．若直線a?α，直線b?β，則a與b為異面直線D．若A∈α且B∈α，則直線AB?αC解析：由A∈α且A∈β，可知A是平面α和平面β的公共點(diǎn)．又α∩β＝l，由平面基本事實(shí)3可得A∈l，故A正確．由平面基本事實(shí)1可知，過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，又A∈β，B∈β，且A，B，C∈α，則C?β，故B正確．由于平面α和平面β的位置不確定，則直線a與直線b的位置關(guān)系也不確定，可能異面、相交、平行、重合，故C錯(cuò)誤．由平面基本事實(shí)2可知，如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，故D正確．(2)如圖，ABCD為空間四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G，H分別在CD，AD上，且DH＝13AD，DG＝13①E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；②EH，F(xiàn)G相交且交點(diǎn)在直線BD上．證明：①如圖，連接AC，EF，HG，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，DH＝13AD，DG＝13所以EF∥AC，HG∥AC，所以EF∥HG，所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．②如圖，連接EH，F(xiàn)G.易知HG＝13AC，又EF＝12所以HG≠EF，結(jié)合(1)的結(jié)論可知，四邊形EFGH是梯形，因此直線EH與FG不平行．設(shè)EH與FG的交點(diǎn)為P，則P∈EH，所以P∈平面ABD．同理P∈FG，所以P∈平面BCD．又平面ABD∩平面BCD＝BD，因此P∈BD，即EH，F(xiàn)G相交且交點(diǎn)在直線BD上．共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明(1)共面：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)．(2)共線：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上．(3)共點(diǎn)：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)．1．在三棱錐A-BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)．若EF∩HG＝P，則點(diǎn)P()A．一定在直線BD上B．一定在直線AC上C．在直線AC或BD上D．不在直線AC上，也不在直線BD上B解析：如圖，因?yàn)镋F?平面ABC，HG?平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD．又因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC．2．(多選題)如圖，ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，下列結(jié)論正確的是()A．B，B1，O，M四點(diǎn)共面B．A，M，O，A1四點(diǎn)共面C．A，O，C，M四點(diǎn)共面D．A，M，O三點(diǎn)共線BCD解析：如圖，連接AC，A1C1，BD，OM.則B，B1，O都在平面BB1D1D上，若M∈平面BB1D1D，則直線OM?平面BB1D1D，所以A∈平面BB1D1D，顯然A?平面BB1D1D，故A不正確．由M∈A1C，A1C?平面ACC1A1，可得A，M，O，A1四點(diǎn)共面，故B正確．由B選項(xiàng)分析可得A，O，C，M四點(diǎn)共面，故C正確．因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，O是B1D1的中點(diǎn)，所以O(shè)∈A1C1.因?yàn)镺A?平面AB1D1，OA?平面ACC1A1，所以平面ACC1A1∩平面AB1D1＝OA．而直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，即M∈OA，故D正確．空間兩條直線的位置關(guān)系考向1異面直線的判定【例2】如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，已知AA1＝4，AB＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱BB1，CC1上，且BE＝14BB1，CF＝12CC1，下列A．D1E≠AF，且直線D1E與AF是相交直線B．D1E≠AF，且直線D1E與AF是異面直線C．D1E＝AF，且直線D1E與AF是異面直線D．D1E＝AF，且直線D1E與AF是相交直線B解析：如圖，連接B1D1，AC，由題意知B1D1＝22，AC＝22，D1E＝D1B12+B1E2＝17，AF＝AC2+CF2＝23≠D1E.取BC的中點(diǎn)M，連接AM，MF，AD1，D1F，則AD1∥MF，故A，M，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面，點(diǎn)E在平面AMFD1外，故直線D1異面直線的判定方法平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的連線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．考向2平行或相交直線的判定【例3】如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，則直線EF與BD1的位置關(guān)系是()A．相交但不垂直 B．相交且垂直C．異面 D．平行D解析：如圖，連接D1E并延長(zhǎng)，與AD交于點(diǎn)M.由A1E＝2ED，可得M為AD的中點(diǎn)．連接BF并延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)N.由CF＝2FA，可得N為AD的中點(diǎn)，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且MEED1＝12，MFBF＝12，所以MEED空間中兩直線位置關(guān)系的判定方法1．(多選題)若α，β是兩個(gè)不重合的平面，a，b，c是空間中互不重合的三條直線，則下列命題不正確的是()A．若a∥b，b∥c，則a∥cB．若a⊥b，b⊥c，則a∥cC．若a與b相交，b與c相交，則a與c相交D．若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線BCD解析：根據(jù)基本事實(shí)4可知，若a∥b，b∥c，則a∥c，故A正確；在空間中，當(dāng)a⊥b，b⊥c時(shí)，a與c可以相交、平行，也可以異面，故B錯(cuò)誤；在空間中，若a與b相交，b與c相交，a與c可以相交、平行，也可以異面，故C錯(cuò)誤；若a?平面α，b?平面β，并不能說(shuō)明a與b不在同一個(gè)平面內(nèi)，a與b可以平行、相交，也可以異面，故D錯(cuò)誤．2．(多選題)如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中，下列說(shuō)法正確的是()A．AF與CN平行B．BM與AN是異面直線C．AF與BM是異面直線D．BN與DE是異面直線CD解析：把正方體的平面展開圖還原，如圖．由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，AF與CN異面，故A錯(cuò)誤；BM與AN平行，故B錯(cuò)誤；BM?平面BCMF，F(xiàn)∈平面BCMF，A?平面BCMF，F(xiàn)?BM，故AF與BM是異面直線，故C正確；DE?平面ADNE，N∈平面ADNE，B?平面ADNE，N?DE，故BN與DE是異面直線，故D正確．異面直線所成的角【例4】(1)(2024·泰安模擬)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，AA1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，C1∈平面α，直線A1D1∩平面α＝P，則直線BP與直線CD1所成角的余弦值為()A．33 B．C．39 D．B解析：如圖，連接EF并延長(zhǎng)，交線段B1A1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接GC1交A1D1于點(diǎn)P，易知A1P＝13A1D1.連接BA1，由正方體的結(jié)構(gòu)特征知CD1∥BA1，所以異面直線BP與CD1所成的角為∠PBA1在Rt△PBA1中，易得A1P＝1，A1B＝22，BP＝12+222＝3，則cos∠PBA1(2)平面α過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A．32 B．C．33 D．A解析：如圖，過(guò)點(diǎn)A補(bǔ)作一個(gè)與正方體ABCD-A1B1C1D1相同棱長(zhǎng)的正方體，易知平面α為平面AF1E，則m，n所成的角為∠EAF1(或其補(bǔ)角)．易知△AF1E為正三角形，所以sin∠EAF1＝sin60°＝32求異面直線所成角的方法(1)平移法：將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的平行線或者作平行線，形成三角形求解．(2)補(bǔ)形法：在該幾何體的某側(cè)補(bǔ)接上一個(gè)同樣的幾何體，在這兩個(gè)幾何體中找異面直線相應(yīng)的位置，形成三角形求解．1．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是直角三角形，且AB＝BC＝AA1，D為棱B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱BC上，且BC＝4BE，則異面直線AC與DE所成角的余弦值是()A．3417 B．C．105 D．B解析：如圖，在棱BC上取點(diǎn)F，使CF＝BE，連接C1F，AF，A1F.設(shè)AB＝BC＝AA1＝4，可得BE＝CF＝1，BF＝3，A1C1＝AC＝42，EF＝2.在Rt△ABF中，AF＝AB在Rt△A1AF中，A1F＝AA12在Rt△C1CF中，C1F＝CC12因?yàn)镈是棱B1C1的中點(diǎn)，所以C1D＝2，所以EF＝C1D．又因?yàn)锽C∥B1C1，所以EF∥C1D，所以四邊形C1DEF是平行四邊形，所以DE∥C1F.又AC∥A1C1，所以∠A1C1F是異面直線AC與DE所成的角(或其補(bǔ)角)．在△A1C1F中，由余弦定理可得cos∠A1C1F＝32+17-412×42×17＝34342．如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為BC的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為()A．33 B．C．306 D．D解析：如圖，過(guò)點(diǎn)E作圓柱的母線交下底面于點(diǎn)F.連接AF，易知F為AD的中點(diǎn)，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則EF＝2，AF＝2，所以AE＝22+22＝6.連接ED，則ED＝6.因?yàn)锽C∥AD，所以異面直線AE與BC所成的角即為∠EAD(或其補(bǔ)角)．在△EAD中，由余弦定理可得cos∠EAD＝6+4-62×2×6課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(三十三)1．(2024·濰坊模擬)下列四個(gè)命題中的真命題是()A．如果一條直線與另兩條直線都相交，那么這三條直線必共面B．如果三條直線兩兩都相交，那么它們能確定一個(gè)平面C．如果三條直線相互平行，那么這三條直線在同一個(gè)平面上D．如果一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線確定一個(gè)平面D解析：當(dāng)三條直線交于同一點(diǎn)時(shí)，三條直線可能不共面，故A，B錯(cuò)誤；當(dāng)三條直線相互平行時(shí)，三條直線可能不共面，故C錯(cuò)誤；如果一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線確定一個(gè)平面，故D正確．2．已知兩條不同的直線a，b及兩個(gè)不同的平面α，β，下列說(shuō)法正確的是()A．若α∥β，a?α，b?β，則a∥bB．若α∥β，a?α，b?β，則a與b是異面直線C．若α∥β，a?α，b?β，則a與b平行或異面D．若α∩β＝b，a?α，則a與β一定相交C解析：若α∥β，a?α，b?β，則直線a，b沒有交點(diǎn)，故a與b平行或異面，故A，B錯(cuò)誤，C正確；若α∩β＝b，a?α，當(dāng)a∥b時(shí)，a與β平行，故D錯(cuò)誤．3．(多選題)(2024·廣州模擬)下列命題正確的是()A．如果一條直線上兩點(diǎn)到一個(gè)平面的距離相等，那么這條直線與這個(gè)平面平行B．兩條平行直線被兩個(gè)平行平面所截得的線段長(zhǎng)度相等C．如果一個(gè)平面內(nèi)一個(gè)銳角的兩邊分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)平面平行D．如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直BC解析：如果一條直線上兩點(diǎn)到一個(gè)平面的距離相等，那么這條直線可能在平面內(nèi)，也可能與平面相交，故A錯(cuò)誤；兩條平行直線被兩個(gè)平行平面所截得的線段長(zhǎng)度相等，故B正確；如果一個(gè)平面內(nèi)一個(gè)銳角的兩邊，分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)一個(gè)角的兩邊，由平面與平面平行的判定定理可知，這兩個(gè)平面平行，故C正確；如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，當(dāng)這無(wú)數(shù)條直線均平行時(shí)，不能得出直線與這個(gè)平面垂直，故D錯(cuò)誤．4．(多選題)如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則下列命題中，正確的為()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．異面直線PM與BD所成的角為45°ABD解析：因?yàn)榻孛鍼QMN是正方形，所以PQ∥MN，QM∥PN.因?yàn)镸N?平面ACD，PQ?平面ACD，PN?平面ABD，QM?平面ABD，所以PQ∥平面ACD，QM∥平面ABD．因?yàn)镻Q?平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝AC，所以PQ∥AC．同理可得QM∥BD．由PQ⊥QM，可得AC⊥BD，故A正確．由PQ∥AC，PQ?平面PQMN，AC?平面PQMN，得AC∥截面PQMN，故B正確．因?yàn)锽D∥PN，PQ∥AC，所以PNBD＝ANAD，MNAC＝DNAD．而AN≠DN，PN＝MN，所以異面直線PM與BD所成的角等于PM與QM所成的角，即∠PMQ＝45°，故D正確．5．若正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面邊長(zhǎng)為1，高為6，則直線AE1與EF所成角的大小為()A．π6 B．C．π3 D．C解析：如圖，連接AF1，AE1，AE.易知EF∥E1F1，所以直線AE1與EF所成的角為∠AE1F1(或其補(bǔ)角)．由題意知，在△AFE中，AF＝EF＝1，∠AFE＝2π3，所以AE2＝AF2＋EF2－2AF·EF·cos∠AFE＝3.又FF1＝EE1＝6，所以AE12＝AE2+EE12＝9，即AE在△AF1E1中，cos∠AE1F1＝AE12+E1F12-AF122AE1·E1F6．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是棱CC1，BB1，DD1的中點(diǎn)，∠CGB＝70°，則∠ED1F＝．70°解析：依題意，EC∥D1G且EC＝D1G，所以四邊形ECGD1為平行四邊形，所以GC∥D1E，同理可得GB∥D1F.又因?yàn)閮山堑膬蛇叿较蛳嗤?，所以∠ED1F＝∠CGB＝70°.7．如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的有對(duì)．3解析：畫出該正方體的直觀圖如圖所示，易知異面直線有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF)．故共有3對(duì)．8．若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是．相交、平行或異面解析：如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，①若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線B1A1記為直線c，此時(shí)a和c相交；②若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線DD1記為直線c，此時(shí)a和c平行；③若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線C1D1記為直線c，此時(shí)a和c異面．9．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)．已知∠BAC＝π2，AB＝2，AC＝23，PA(1)三棱錐P-ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．解：(1)由題意知PA為三棱錐P-ABC的高．因?yàn)椤螧AC＝π2，AB＝2，AC＝23，PA＝2，所以S△ABC＝12×2×23＝2三棱錐P-ABC的體積V＝13S△ABC·PA＝13×23×2＝(2)如圖，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補(bǔ)角)．因?yàn)椤螧AC＝π2，所以BC＝AB2+AC2＝4.因?yàn)镻A⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝在△ADE中，DE＝12BC＝2，AE＝12PB＝2，AD＝1所以cos∠ADE＝A＝22+2故異面直線BC與AD所成角的余弦值為3410．如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C?l，直線AB∩l＝M，過(guò)A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必經(jīng)過(guò)()A．點(diǎn)A B．點(diǎn)BC．點(diǎn)C但不過(guò)點(diǎn)M D．點(diǎn)C和點(diǎn)MD解析：因?yàn)锳B?γ，M∈AB，所以M∈γ.因?yàn)棣痢搔拢絣，M∈l，所以M∈β.根據(jù)基本事實(shí)3可知，點(diǎn)M在γ與β的交線上．同理可知，點(diǎn)C也在γ與β的交線上．所以γ與β的交線必經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)M.11．(多選題)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論中，正確的有()A．直線AM與CC1是相交直線B．直線BN與MB1是異面直線C．AM與BN平行D．直線A1M與BN共面BD解析：A選項(xiàng)，因?yàn)锳，M，C，C1四點(diǎn)不共面，所以根據(jù)異面直線的定義可得直線AM與CC1是異面直線，故A錯(cuò)誤．B選項(xiàng)，因?yàn)锽，N，M，B1四點(diǎn)不共面，所以根據(jù)異面直線的定義可得直線BN與MB1是異面直線，故B正確．C選項(xiàng)，如圖，取DD1的中點(diǎn)E，連接AE，EN，則有AB∥EN，AB＝EN，所以四邊形ABNE是平行四邊形，所以AE∥BN.因?yàn)锳M與AE交于點(diǎn)A，所以AM與AE不平行，則AM與BN不平行，故C錯(cuò)誤．D選項(xiàng)，如圖，連接MN，BA1，CD1.因?yàn)镸，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，所以MN∥D1C．由正方體的性質(zhì)可知BA1∥D1C，所以MN∥A1B，所以A1，B，M，N四點(diǎn)共面，所以直線A1M與BN共面，故D正確．12．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，若直線AB1與側(cè)面AA1C1C所成的角為π6，則異面直線A1B與ACA．12 B．C．22 D．D解析：如圖，取A1C1的中點(diǎn)H，連接B1H.根據(jù)題意易得B1H⊥側(cè)面AA1C1C，所以直線AB1與側(cè)面AA1C1C所成的角為∠B1AH＝π6在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1B1C1＝∠ABC＝π2，A1B1＝AB＝2，B1C1＝BC＝2，所以A1C1＝22，B1H＝12A1C1＝2，B1A＝B1又A1B1＝2，所以A1A＝B1A2-A又BC＝2，所以BC1＝22，易知A1C1＝22，所以△A1BC1為等邊三角形，所以∠B