人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章第四節(jié)數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入學(xué)案

第四節(jié)數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入考試要求：1.理解復(fù)數(shù)的基本概念．2．理解復(fù)數(shù)相等的充要條件．3．了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．4．會進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算．5．了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義．自查自測知識點一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1．判斷下列說法的正誤，正確的打“√”，錯誤的打“×”．(1)復(fù)數(shù)z＝a－bi(a，b∈R)中，虛部為b.(×)(2)復(fù)數(shù)可以比較大?。?×)(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)a＝0時，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)．(×)(4)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模．(√)核心回扣1.定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}(i為虛數(shù)單位)中的數(shù)，即形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部．2．分類：滿足條件(a，b為實數(shù))復(fù)數(shù)的分類a＋bi為實數(shù)?b＝0a＋bi為虛數(shù)?b≠0a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠02．(教材改編題)若復(fù)數(shù)z＝m2+m-6m＋(m2－2mA．2 B．－3C．2或－3 D．1或－3B解析：因為復(fù)數(shù)z＝m2+m-6m＋(m2所以m≠0，m23.復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．4．共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．5．模：向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2知識點二復(fù)數(shù)的幾何意義在復(fù)平面內(nèi)，向量AB對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2＋i，向量CB對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－1－3i，則向量CA對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4iD解析：由CA＝CB+BA知，1．復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)一一對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，2．復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)一一對應(yīng)平面向量知識點三復(fù)數(shù)的運算法則1．(教材改編題)復(fù)數(shù)5i-2的共軛復(fù)數(shù)是－2＋i解析：5i-2＝2．已知復(fù)數(shù)z滿足(3＋4i)·z＝5(1－i)，則z的虛部是．－75解析：因為(3＋4i)·z所以z＝51-i3+4i＝51-i3-4i3+4所以z的虛部為－75設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.【常用結(jié)論】1．(1±i)2＝±2i，1+i1-i2．若ω＝－12＋32i，則有ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0，1＋ω+ω2＝0，3．i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈N*)，i4n＋i4n+1＋i4n+2＋i4n+3＝0(n∈N*)．4．z·z＝|z|2＝|z|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝z1z2，|z應(yīng)用1復(fù)數(shù)z＝1-i1+i，則ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋A．1 B．－1C．i D．－iB解析：因為z2＝1-i1+i2應(yīng)用21-i216＋(1＋2i)2＝－2＋4i解析：原式＝1-i228＋(－3＋4i)＝-2i復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1．若z＝3＋4i，則|z|＝()A．5 B．5C．7 D．25B解析：因為z＝3＋4i，所以|z|＝32+42．(2024·泰安模擬)已知復(fù)數(shù)z與(z＋2)2＋8i都是純虛數(shù)，則z＝()A．2 B．－2C．2i D．－2iC解析：設(shè)z＝bi(b≠0)．因為(z＋2)2＋8i＝(bi＋2)2＋8i＝4－b2＋(4b＋8)i為純虛數(shù)，所以4-b2=0所以z＝2i.3．(2022·全國乙卷)已知z＝1－2i，且z＋az＋b＝0，其中a，b為實數(shù)，則()A．a(chǎn)＝1，b＝－2 B．a(chǎn)＝－1，b＝2C．a(chǎn)＝1，b＝2 D．a(chǎn)＝－1，b＝－2A解析：由題可得z＝1＋2i，則z＋az＋b＝1－2i＋a(1＋2i)＋b＝(1＋a＋由z＋az＋b＝0，得1+a+b=0，2a-2=0解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(1)求一個復(fù)數(shù)的實部與虛部，只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，則該復(fù)數(shù)的實部為a，虛部為b.(2)求一個復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，只需將此復(fù)數(shù)整理成標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式，實部不變，虛部變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，即得原復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)．復(fù)數(shù)z1＝a＋bi與z2＝c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．復(fù)數(shù)的幾何意義【例1】(1)(2024·武漢模擬)已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)m＋1＋(2－m)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，－1)B．(－1，2)C．(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)A解析：因為復(fù)數(shù)m＋1＋(2－m)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，所以m+1＜0，2-m＞0，解得(2)(2023·新高考全國Ⅱ卷)在復(fù)平面內(nèi)，(1＋3i)·(3－i)對應(yīng)的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A解析：因為(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為(6，8)，位于第一象限．(3)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z＋1|＝|z－i|，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x，y)，則()A．x＝0 B．y＝0C．x－y＝0 D．x＋y＝0D解析：由題可得z＝x＋yi.因為復(fù)數(shù)z滿足|z＋1|＝|z－i|，所以x+12+y2＝x2復(fù)數(shù)幾何意義問題的解題策略(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點Z及向量OZ間的相互聯(lián)系：z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?OZ＝(a，b)．(2)由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題簡單化．1．(2024·岳陽模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足z(1＋i)＝2i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點所在象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A解析：因為z(1＋i)＝2i，所以z＝2i1+i＝22．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z－1|＝2，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x，y)，則()A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4C．2x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4A解析：|z－1|＝x-12+所以(x－1)2＋y2＝4.復(fù)數(shù)的運算考向1復(fù)數(shù)的乘法運算【例2】(1)(2022·新高考全國Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)等于()A．－2＋4i B．－2－4iC．6＋2i D．6－2iD解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i.(2)計算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于()A．2i－13 B．13＋2iC．13－2i D．－13－2iD解析：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.(3)若z＋z＝6，z·z＝10，則z等于()A．1±3i B．3±iC．3＋i D．3－iB解析：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z＝a－bi，由題意得2a=6，a2+b2=10復(fù)數(shù)乘法運算的要點(1)復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的乘法，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可，但要注意把i2換成－1.(2)常用公式①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．③(1±i)2＝±2i.考向2復(fù)數(shù)的除法運算【例3】(1)(2023·新高考全國Ⅰ卷)已知z＝1-i2+2i，則zA．－i B．iC．0 D．1A解析：因為z＝1-i2+2i＝1-i1-i2(2)(2023·全國乙卷)設(shè)z＝2+i1+iA．1－2i B．1＋2iC．2－i D．2＋iB解析：由題意可得z＝2+i1+i2+i5＝2+復(fù)數(shù)的除法運算法則的應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法法則在實際操作中不方便使用，一般將除法寫成分式形式，采用分母“實數(shù)化”的方法，即將分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母成為實數(shù)，再計算．考向3復(fù)數(shù)運算的綜合應(yīng)用【例4】(1)(多選題)若復(fù)數(shù)z1＝1＋2i，z2＝7－3i，則下列說法正確的是()A．z1＝B．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z2所對應(yīng)的點位于第四象限C．z1·z2的實部為13D．z1·z2的虛部為－11ABC解析：由題意得，z1＝12+22＝5，故A正確；在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z2所對應(yīng)的點為(7，－3)，位于第四象限，故B正確；因為z1·z2＝(1＋2i)(7－3i)＝7－3i＋14i＋6＝13＋11i，所以z(2)已知復(fù)數(shù)z滿足|z－1＋i|＝22，z為z的共軛復(fù)數(shù)，則z·z的最大值為18解析：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z－1＋i|＝|a－1＋(b＋1)i|＝a-12+b+12＝22的幾何意義為z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(a，所以z所對應(yīng)的點(a，b)的軌跡是以(1，－1)為圓心，22為半徑的圓．而zz＝a2＋b2可看作該圓上的點(a，b)到原點的距離的平方，所以(z·z)max＝(2＋22)2＝18.(1)研究復(fù)數(shù)模的問題，可利用數(shù)形結(jié)合法，考慮模的幾何意義求解．(2)若復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝r，點Z在以(0，0)為圓心，r為半徑的圓上．1．已知a∈R，若a-ia-2iA．－1 B．0C．1 D．2B解析：因為a-ia-2i＝a-iia-2i2＝2．(多選題)若復(fù)數(shù)z＝21+A．z的虛部為－1B．|z|＝2C．z2為純虛數(shù)D．z的共軛復(fù)數(shù)為－1－iABC解析：z＝21+i＝21-i1+i1-i＝2-2i2＝1－i.對于A，z的虛部為－1，正確；對于B，模長|z|＝2，正確；對于C，因為3．若復(fù)數(shù)z滿足(1＋2i)z＝1－i，則|z|＝()A．25 B．C．105 D．C解析：(方法一)由(1＋2i)z＝1－i，可得z＝1-i1+2i＝1-i1-2i1+2i1-2i＝1-2i(方法二)由(1＋2i)z＝1－i，可得|(1＋2i)z|＝|1－i|，即|1＋2i|·|z|＝|1－i|，得到5|z|＝2，故|z|＝1054．如果復(fù)數(shù)z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是()A．1 B．2C．2 D．5A解析：因為|z＋i|＋|z－i|＝2，所以點Z到點A(0，－1)與到點B(0，1)的距離之和為2，所以點Z的軌跡為線段AB.而|z＋i＋1|表示點Z到點(－1，－1)的距離，由數(shù)形結(jié)合，得最小距離為1.5．(多選題)(2024·湛江模擬)下列命題中，真命題是()A．若z為實數(shù)，則z＝zB．若z＝z，則z為實數(shù)C．若z為實數(shù)，則z·z為實數(shù)D．若z·z為實數(shù)，則z為實數(shù)ABC解析：不妨設(shè)z＝a＋bi，a，b∈R，故可得z＝a－bi.若z為實數(shù)，則z＝a，所以z＝a，故A正確；若z＝z，則a＋bi＝a－bi，故可得b＝0，所以z＝a∈R，故B正確；若z為實數(shù)，故可得z＝a，z＝a，顯然z·z若z·z∈R，即a2＋b2∈R，無法得到b＝0，故D錯誤．課時質(zhì)量評價(三十一)1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點A的坐標(biāo)為(1，－1)，則z的實部與虛部的和是()A．2 B．0C．1＋i D．1－iB解析：由題意可知z＝1－i，所以復(fù)數(shù)z的實部是1，虛部是－1，其和為0.2．(2024·煙臺模擬)若復(fù)數(shù)z滿足(1＋2i)z＝4＋3i，則z等于()A．－2＋i B．－2－iC．2＋i D．2－iC解析：由(1＋2i)z＝4＋3i得z＝4+3i1+2i＝4+33．已知i為虛數(shù)單位，則2+iA．5 B．5iC．－75－125i D．－754．(數(shù)學(xué)與文化)歐拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ(其中e＝2.718…，i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式，下列結(jié)論中正確的是()A．eiπ的實部為0B．e2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限C．|eiθ|＝1D．eiπ的共軛復(fù)數(shù)為1C解析：對于A，eiπ＝cosπ＋isinπ＝－1，則實部為－1，A錯誤；對于B，e2i＝cos2＋isin2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(cos2，sin2)，因為cos2＜0，sin2＞0，所以e2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，B錯誤；對于C，|eiθ|＝|cosθ＋isinθ|＝cos2對于D，eiπ＝cosπ＋isinπ，則其共軛復(fù)數(shù)為cosπ－isinπ＝－1，D錯誤．5．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z(1－i)＝2i，則z＝．－1＋i解析：由題意可得z＝2i1-i＝26．(2024·石家莊模擬)設(shè)O是坐標(biāo)原點，向量OA，OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2－3i，－3＋2i，那么向量BA對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－5i解析：因為向量OA，所以O(shè)A＝(2，－3)，OB＝(－3，2)，所以BA＝OA-其對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－5i.7．已知復(fù)數(shù)z滿足1≤|z－(1－i)|≤2，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z所在區(qū)域的面積為．3π解析：令z＝a＋bi且a，b∈R，則1≤|(a－1)＋(b＋1)i|≤2，所以1≤(a－1)2＋(b＋1)2≤4，即對應(yīng)區(qū)域的面積是圓心為(1，－1)，半徑分別為1，2的兩個同心圓的面積的差，所以點Z所在區(qū)域的面積為4π－π＝3π.8．已知復(fù)數(shù)z＝1-i(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若z2＋az＋b＝1－i，求實數(shù)a，b的值．解：(1)z＝-2i+3+3i2-i＝(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，所以a+b=1，2+a=-19．在復(fù)平面內(nèi)，滿足條件|z＋4i|＝2|z＋i|的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡是()A．直線 B．圓C．橢圓 D．雙曲線B解析：設(shè)復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z＋4i|＝|x＋(y＋4)i|＝x2|z＋i|＝|x＋(y＋1)i|＝x2結(jié)合題意有x2＋(y＋4)2＝4x2＋4(y＋1)2，整理可得x2＋y2＝4.故復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡是圓．10．(多選題)設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列說法中正確的是()A．z1－z2＝z1B．z1z2＝C．若z1z2∈R，則z1＝zD．若z1-z2ABD解析：設(shè)z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，z1－z2＝(a－c)－(b－d)i，z1－z2＝a－bi－(c－di)＝(a－c)－(bz1z2＝ac-bd+ad+bciz1·z2＝a2當(dāng)z1＝i，z2＝－4i時，z1z2＝4∈R，但是z1≠z2，若z1-z2＝0，則a-c+b-di＝a-c2+b-d2＝0，所以a＝c，b＝d，11．(多選題)已知復(fù)數(shù)z1＝－2＋i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2滿足|z2－1＋2i|＝2，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為M(x，y)，則下列說法正確的是()A．復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限B．1z1＝－25C．(x＋1)2＋(y－2)2＝4D．|z2－z1|的最大值為32＋2ABD解析：對于A，復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(－2，1)，該點位于第二象限，故A正確；對于B，1z1＝1-2+i＝-2-i對于C，z2－1＋2i＝(x－1)＋(y＋2)i，又因為|z2－1＋2i|＝2，所以(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故C錯誤；對于D，z1－1＋2i＝－3＋3i，則|z1－1＋2i|＝-32+3|z2－z1|＝|(z2－1＋2i)－(z1－1＋2i)|≤|z2－1＋2i|＋|z1－1＋2i|＝2＋32，故D正確．12．(2024·鄒城模擬)一般地，任何一個復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中r是復(fù)數(shù)z的模，θ是以x軸的非負半軸為始邊，向量OZ所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的輻角，r(cosθ＋isinθ)叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的三角表示式，簡稱三角形式．為了與“三角形式”區(qū)分開來，a＋bi(a，b∈R)叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱