高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析第3課時(shí)成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析學(xué)案

第3課時(shí)成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析[考試要求]1．了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，會(huì)通過(guò)散點(diǎn)圖或相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性．2．了解一元線性回歸模型的含義，針對(duì)實(shí)際問(wèn)題，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)．3．理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義，了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用．考點(diǎn)一成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性1．變量的相關(guān)關(guān)系兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．2．相關(guān)關(guān)系的分類(1)按變量間的增減性分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)．①正相關(guān)：當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)；②負(fù)相關(guān)：當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)．(2)按變量間是否有線性特征分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．①線性相關(guān)：如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)；②非線性相關(guān)或曲線相關(guān)：如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，我們稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．3．相關(guān)關(guān)系的刻畫(huà)(1)散點(diǎn)圖：成對(duì)樣本數(shù)據(jù)用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來(lái)，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖，叫做散點(diǎn)圖．(2)樣本相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算式(3)樣本相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)①樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[－1，1]；②若r>0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；③若r<0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；④當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱．提醒：當(dāng)兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)|r|＝1時(shí)，兩個(gè)變量呈函數(shù)關(guān)系．[典例1](1)(2023·江西上饒統(tǒng)考二模)中國(guó)新能源汽車(chē)出口實(shí)現(xiàn)跨越式突破，是國(guó)產(chǎn)汽車(chē)品牌實(shí)現(xiàn)彎道超車(chē)，打造核心競(jìng)爭(zhēng)力的主要抓手．下表是2023年我國(guó)某新能源汽車(chē)廠前5個(gè)月的銷量y和月份x的統(tǒng)計(jì)表，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝bx＋1.16，則下列四個(gè)命題正確的個(gè)數(shù)為()月份x12345銷量y/萬(wàn)輛1.51.622.42.5①變量x與y正相關(guān)；②b＝0.24；③y與x的樣本相關(guān)系數(shù)r>0；④2023年7月該新能源汽車(chē)廠的銷量一定是3.12萬(wàn)輛．A．1B．2C．3D．4(2)(多選)某運(yùn)動(dòng)制衣品牌為了成衣尺寸更精準(zhǔn)，現(xiàn)選擇15名志愿者對(duì)其身高和臂展進(jìn)行測(cè)量(單位：厘米)，圖1為選取的15名志愿者身高與臂展的折線圖，圖2為身高與臂展所對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖，并求得其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝1.16x－30.75，以下結(jié)論正確的是()A．15名志愿者身高的極差小于臂展的極差B．15名志愿者的身高和臂展具有正相關(guān)關(guān)系C．可估計(jì)身高為190厘米的人臂展大約為189.65厘米D．身高相差10厘米的兩人臂展都相差11.6厘米(1)B(2)ABC[(1)由x＝1+2+3+4+55＝3，y＝1.5+1.6+2+2.4+2.55＝2，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)(x，y)，所以2＝3b＋1.16，b＝0.28，②錯(cuò)誤；可知y隨著x變大而變大，所以變量x(2)對(duì)于A，身高極差大約為21，臂展極差大約為26，故結(jié)論正確；對(duì)于B，很明顯根據(jù)散點(diǎn)圖以及經(jīng)驗(yàn)回歸直線得到，身高矮一些，臂展就會(huì)短一些，身高高一些，臂展就長(zhǎng)些，故結(jié)論正確；對(duì)于C，身高為190cm，代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程可得到臂展估計(jì)值等于189.65cm，但不是準(zhǔn)確值，故結(jié)論正確；對(duì)于D，身高相差10cm的兩人臂展的估計(jì)值相差11.6cm，但并不是準(zhǔn)確值，經(jīng)驗(yàn)回歸直線上的點(diǎn)并不都是準(zhǔn)確的樣本點(diǎn)，故結(jié)論不正確，故選ABC.]判定兩個(gè)變量正、負(fù)相關(guān)的方法(1)畫(huà)散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．(2)相關(guān)系數(shù)：r＞0時(shí)，正相關(guān)；r＜0時(shí)，負(fù)相關(guān)．(3)線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程中：b>0時(shí)，正相關(guān)；b<0時(shí)，負(fù)相關(guān)．跟進(jìn)訓(xùn)練1(2024·江西宜春一模)給出下列命題，其中正確命題的個(gè)數(shù)為()①若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為4，則數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差為8；②經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝0.6－0.25x時(shí)，變量x與y具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系；③隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3，σ2)，P(X≤4)＝0.64，則P(2≤X≤3)＝0.07；④在回歸分析中，對(duì)一組給定的樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)而言，當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)|r|越接近1時(shí)，樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)B[對(duì)于①，由方差的性質(zhì)可知：數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差為22×4＝16，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由經(jīng)驗(yàn)回歸方程知：b＝－0.25，則變量x與y具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系，②正確；對(duì)于③，由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可知：P(2≤X≤3)＝P(3≤X≤4)＝P(X≤4)－P(X≤3)＝0.64－0.5＝0.14，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由樣本相關(guān)系數(shù)意義可知：|r|越接近1時(shí)，樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，④正確，故選B.]考點(diǎn)二回歸模型1．一元線性回歸模型與最小二乘法(1)一元線性回歸模型稱Y=bx+a+e，Ee=0，De=σ2為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型．其中，Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx＋(2)最小二乘法將y＝bx＋a稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線，這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的b，a叫做b，a的最小二乘估計(jì)，其中提醒：經(jīng)驗(yàn)回歸方程一定過(guò)點(diǎn)(x，2．刻畫(huà)回歸效果的方式(1)殘差圖法在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在以橫軸為對(duì)稱軸的水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高．(2)殘差平方和法殘差平方和為，殘差平方和越小，模型擬合效果越好．(3)利用R2刻畫(huà)擬合效果R2＝1，R2越大，模型的擬合效果越好，R2越小，模型的擬合效果越差．一元線性回歸模型[典例2](2023·安徽合肥三模)移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)制造、公共服務(wù)、個(gè)人消費(fèi)等領(lǐng)域．如圖是2018－2022年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)w與年份代碼t的散點(diǎn)圖，其中年份2018－2022對(duì)應(yīng)的t分別為1～5.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)．計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)，并推斷它們的相關(guān)程度；(2)求w關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)2024年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)．附：樣本相關(guān)系數(shù)，a＝w－bt，[解](1)由題圖可知，兩個(gè)變量線性相關(guān)．由已知條件可得：t＝1+2+3+4+55w＝7+12+13+19+245所以(ti＝64+9+4+16+81＝174，＝4+1+0+1+4＝10，所以樣本相關(guān)系數(shù)r＝411740≈41(2)結(jié)合(1)可知，b＝4110＝4.1，a＝w－b所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程是：w＝4.1t＋2.7，當(dāng)t＝7時(shí)，有w＝4.1×7＋2.7＝31.4，即預(yù)測(cè)2024年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)為31.4億戶．非線性回歸模型[典例3](2023·廣東廣州二模)一企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，通過(guò)加大技術(shù)創(chuàng)新投入降低了每件產(chǎn)品成本，為了調(diào)查年技術(shù)創(chuàng)新投入x(單位：千萬(wàn)元)對(duì)每件產(chǎn)品成本y(單位：元)的影響，對(duì)近10年的年技術(shù)創(chuàng)新投入xi和每件產(chǎn)品成本yi(i＝1，2，3，…，10)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的散點(diǎn)圖，并計(jì)算得：x＝6.8，y＝70，1xi＝3，1xi2＝1.6，(1)根據(jù)散點(diǎn)圖可知，可用函數(shù)模型y＝bx＋a擬合y與x的關(guān)系，試建立y關(guān)于x(2)已知該產(chǎn)品的年銷售額m(單位：千萬(wàn)元)與每件產(chǎn)品成本y(單位：元)的關(guān)系為m＝－y2500+2y25(注：年利潤(rùn)＝年銷售額－年投入成本)參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為βα＝v－βu.[解](1)令u＝1x，則y關(guān)于u的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝α＋βu由題意可得β＝350-210α＝y(tǒng)－βu＝70－200×0.3＝10，則所以y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝10＋200x(2)由y＝10＋200x可得x＝200年利潤(rùn)M＝m－x－10＝－y2500+2y25+200y-當(dāng)y＝20時(shí)，年利潤(rùn)M取得最大值，此時(shí)x＝200y-10所以當(dāng)年技術(shù)創(chuàng)新投入為20千萬(wàn)元時(shí)，年利潤(rùn)M的預(yù)報(bào)值取最大值．【教師備用】(2023·山東淄博一模)某電商平臺(tái)統(tǒng)計(jì)了近七年小家電的年度廣告費(fèi)支出xi(單位：萬(wàn)元)與年度銷售量yi(單位：萬(wàn)臺(tái))的數(shù)據(jù)，如表所示：年份2017201820192020202120222023廣告費(fèi)支出x/萬(wàn)元1246111319銷售量y/萬(wàn)臺(tái)1.93.24.04.45.25.35.4其中xiyi＝279.4，x(1)若用線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)若用y＝c＋dx模型擬合得到的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝1.63＋0.99x，經(jīng)計(jì)算線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型及該模型的R2分別為0.75和0.88，請(qǐng)根據(jù)R2的數(shù)值選擇更好的經(jīng)驗(yàn)回歸模型擬合y與x的關(guān)系，進(jìn)而計(jì)算出年度廣告費(fèi)x為何值時(shí)，利潤(rùn)z＝200y－x的預(yù)報(bào)值最大？參考公式：＝[解](1)由題意可得：x＝1+2+4+6+11+13+197y＝1.9+3.2+4.0+4.4+5.2+5.3+5.47所以＝279.4-＝0.17，a＝y(tǒng)－bx所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝0.17x＋2.84.(2)因?yàn)?.75<0.88，R2越大，擬合效果越好，所以選用非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程y＝1.63＋0.99x更好，z＝200(1.63＋0.99x)－x＝－x＋198x＋326，z＝－(x－99)2＋10127，即當(dāng)x＝99，x＝9801時(shí)，利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大．回歸分析問(wèn)題的類型及解題方法(1)求經(jīng)驗(yàn)回歸方程①根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩變量是否線性相關(guān)，如不是，應(yīng)通過(guò)換元構(gòu)造線性相關(guān)．②利用公式，求出回歸系數(shù)b．③待定系數(shù)法：利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，求系數(shù)a．(2)利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)，把經(jīng)驗(yàn)回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值．(3)利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程判斷正、負(fù)相關(guān)，決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù)b．(4)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)|r|越趨近于1時(shí)，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．跟進(jìn)訓(xùn)練2(1)(2024·江西聯(lián)考模擬)某校對(duì)學(xué)生記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，所得數(shù)據(jù)如表：記憶力x25689判斷力y78101218則y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為()(附：)A．y＝－1.4x＋19.4 B．y＝1.4x＋2.6C．y＝1.4x－2.6 D．y＝－1.4x－19.4(2)(2024·河南聯(lián)考模擬)雨滴在下落過(guò)程中，受到的阻力隨速度增大而增大，當(dāng)速度增大到一定程度時(shí)，阻力與重力達(dá)到平衡，雨滴開(kāi)始勻速下落，此時(shí)雨滴的下落速度稱為“末速度”．某學(xué)習(xí)小組通過(guò)試驗(yàn)，得到了雨滴的末速度v(單位：m/s)與直徑d(單位：mm)的一組數(shù)據(jù)，并繪制成如圖所示的散點(diǎn)圖，則在該試驗(yàn)條件下，下面四個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型中最適宜作為雨滴的末速度v與直徑d的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型的是()A．v＝a＋bd B．v＝a＋bC．v＝a＋bd2 D．v＝a＋bed(1)B(2)A[(1)由題表中數(shù)據(jù)知，隨著x的增大，y增大，所以x與y正相關(guān)，排除AD，又x＝2+5+6+8+95(2)由一次函數(shù)、二次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，BCD不符合散點(diǎn)的變化趨勢(shì)，由散點(diǎn)圖分布可知，散點(diǎn)圖分布在一個(gè)冪函數(shù)的圖象附近，因此，最適宜作為雨滴的末速度v與直徑d的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型的是v＝a＋bd故選A.]考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)1．2×2列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)分類變量X，Y的2×2列聯(lián)表：XY合計(jì)Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d則χ2＝nad(2)利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn)．(3)χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8282．兩個(gè)分類變量之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的定性分析的方法(1)利用等高堆積條形圖直觀判斷：如圖，在等高堆積條形圖中，下方同一顏色區(qū)域的兩個(gè)高度相差比較明顯時(shí)，可以判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)聯(lián)性．(2)頻率分析法：在2×2列聯(lián)表中，aa+b與cc+d或ba+b與d[典例4]為了解某校學(xué)生對(duì)科技發(fā)明活動(dòng)的興趣，隨機(jī)從該校學(xué)生中抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，其中女生中對(duì)科技發(fā)明活動(dòng)沒(méi)興趣的占女生人數(shù)的14(1)完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“該校學(xué)生對(duì)科技發(fā)明活動(dòng)是否有興趣與性別有關(guān)”？性別興趣合計(jì)有興趣沒(méi)興趣男60女合計(jì)(2)從樣本中對(duì)科技發(fā)明活動(dòng)沒(méi)有興趣的學(xué)生按性別用分層隨機(jī)抽樣的方法抽出6名學(xué)生，記從這6人中隨機(jī)抽取3人，抽到的男生人數(shù)為X，求X的分布列和期望．附：χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，n＝α0.100.050.0250.010xα2.7063.8415.0246.635[解](1)由題述列聯(lián)表可知，男生合計(jì)60人，所以女生合計(jì)100－60＝40(人)，由題意，女生中對(duì)科技發(fā)明沒(méi)興趣、有興趣的分別有40×14男生中對(duì)科技發(fā)明沒(méi)興趣、有興趣的分別有5人，60－5＝55(人)，由此可以得到完整列聯(lián)表如下：性別興趣合計(jì)有興趣沒(méi)興趣男55560女301040合計(jì)8515100零假設(shè)H0：該校學(xué)生對(duì)科技發(fā)明活動(dòng)是否有興趣與性別無(wú)關(guān)．χ2＝nad-bc所以依據(jù)小概率值α＝0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為“該校學(xué)生對(duì)科技發(fā)明活動(dòng)是否有興趣與性別有關(guān)”．(2)由題意首先抽出的6名學(xué)生中，男生、女生分別有6×55+10＝2(人)，6×10若從這6人中隨機(jī)抽取3人，抽到的男生人數(shù)為X，則X的所有可能取值為0，1，2，P(X＝0)＝C20C43P(X＝1)＝C21C42P(X＝2)＝C22C41所以X的分布列為X012P131所以E(X)＝0×15＋1×35＋2×【教師備用】(2024·貴州黔東南模擬預(yù)測(cè))二十四節(jié)氣起源于黃河流域，是古代中國(guó)勞動(dòng)人民長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)的積累和智慧的結(jié)晶．其中“立冬小雪十一月，大雪冬至迎新年”就是描述二十四節(jié)氣農(nóng)歷11月和12月的節(jié)氣口訣．某中學(xué)為調(diào)查本校學(xué)生對(duì)二十四節(jié)氣的了解情況，組織測(cè)試活動(dòng)，按照性別分層隨機(jī)抽樣抽取了150名學(xué)生進(jìn)行答題，其中男生占60%，記錄其性別和是否全部答對(duì)的情況，得到如圖的等高條形圖．(1)完成下面的2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“是否全部答對(duì)與性別有關(guān)”？性別對(duì)錯(cuò)合計(jì)完全答對(duì)部分答對(duì)男女合計(jì)(2)從參加測(cè)試的女生中選取一人繼續(xù)回答甲、乙兩道題目，已知該女生答對(duì)甲、乙兩道題目的概率分別是45，34，記該女生答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為附：χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n＝α0.1000.0500.0100.005xα2.7063.8416.6357.879[解](1)按照性別分層隨機(jī)抽樣抽取出的男生人數(shù)為150×60%＝90，則抽取的女生人數(shù)為：150－90＝60.抽取的女生中全部答對(duì)的人數(shù)為：60×0.7＝42，部分答對(duì)的人數(shù)為：60－42＝18，抽取的男生中全部答對(duì)的人數(shù)為：90×0.5＝45，部分答對(duì)的人數(shù)為：90－45＝45.性別對(duì)錯(cuò)合計(jì)完全答對(duì)部分答對(duì)男454590女421860合計(jì)8763150零假設(shè)H0：是否全部答對(duì)與性別無(wú)關(guān)．χ2＝150×45×18依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為“是否全部答對(duì)與性別有關(guān)”．(2)由題意可得，X可能取值為0，1，2，P(X＝0)＝1-45P(X＝1)＝45×1P(X＝2)＝45×3則X的分布列為X012P173所以E(X)＝0×120＋1×720＋2×35＝獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式χ2＝nad(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷．跟進(jìn)訓(xùn)練3第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)于2023年7月28日至8月8日在中國(guó)四川省成都市舉行．某體育博主為調(diào)查大學(xué)生對(duì)成都大運(yùn)會(huì)的了解情況，在某大學(xué)隨機(jī)抽取了200名大學(xué)生(其中男生和女生各100名)提問(wèn)他們有關(guān)大運(yùn)會(huì)的問(wèn)題，完全答對(duì)的認(rèn)為了解大運(yùn)會(huì)，否則認(rèn)為不了解大運(yùn)會(huì)，得到如下2×2列聯(lián)表：情況性別合計(jì)男生女生了解大運(yùn)會(huì)7050120不了解大運(yùn)會(huì)305080合計(jì)100100200(1)根據(jù)2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為大學(xué)生是否了解大運(yùn)會(huì)與性別有關(guān)？(2)將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，若從該校大學(xué)生中隨機(jī)抽取3人調(diào)查他們對(duì)大運(yùn)會(huì)的了解情況，記抽取的3人中了解大運(yùn)會(huì)的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n＝α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828[解](1)零假設(shè)H0：大學(xué)生是否了解大運(yùn)會(huì)與性別無(wú)關(guān)．由題意，χ2＝200×70×50依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為大學(xué)生是否了解大運(yùn)會(huì)與性別有關(guān)．(2)從該校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，其了解大運(yùn)會(huì)的概率為120200＝35，所以X～B由題意知，X的可能取值為0，1，2，3，P(X＝0)＝C30×1-353＝8125P(X＝2)＝C32×P(X＝3)＝C33×所以X的分布列為X0123P8365427所以E(X)＝0×8125＋1×36125＋2×54125＋3×27課后習(xí)題(五十八)成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析1．(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P103習(xí)題8.1T1改編)下列四個(gè)散點(diǎn)圖中，變量x與y之間具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系的是() AB CDD[觀察散點(diǎn)圖可知，只有D選項(xiàng)的散點(diǎn)圖表示的是變量x與y之間具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系．]2．(人教B版選擇性必修第二冊(cè)P115練習(xí)BT2改編)某冷飲店日盈利y(單位：百元)與當(dāng)天氣溫x(單位：℃)之間有如下數(shù)據(jù)：x/℃1520253035y/百元12245已知y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，則y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是()A．y＝0.2x－2 B．y＝0.2x－2.2C．y＝0.2x＋2 D．y＝0.2x＋2.2B[經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過(guò)樣本中心點(diǎn)，由題意得x＝15+20+25+30+355y＝1+2+2+4+55＝2.8，結(jié)合選項(xiàng)可知，2.8＝0.2×25－2.2，即y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是y＝0.2x3．(蘇教版選擇性必修第二冊(cè)P187本章測(cè)試T6改編)動(dòng)力電池作為新能源汽車(chē)的核心部件，在新能源整車(chē)成本中占比較高，而碳酸鋰又是動(dòng)力電池的核心原料．從2020年底開(kāi)始，碳酸鋰的價(jià)格一路水漲船高．如下表所示是2023年某企業(yè)前5個(gè)月碳酸鋰的價(jià)格與月份的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：月份代碼x12345碳酸鋰價(jià)格y(萬(wàn)元/kg)0.50.61m1.5根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝0.28x＋a，根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算出在樣本點(diǎn)(5，1.5)處的殘差為－0.06，則m＝________．1．4[由題意，樣本點(diǎn)(5，1.5)處的殘差為－0.06，則1.5－(0.28×5＋a)＝－0.06，解得a＝0.16.由題表數(shù)據(jù)可得，x＝15×y＝15×(0.5＋0.6＋1＋m＋1.5)＝3.6+m則3.6+m5＝0.28×3＋0.16，解得m4．(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P133例4改編)為了調(diào)查患肺癌是否與吸煙有關(guān)，調(diào)查了100名50歲以下的人，調(diào)查結(jié)果如下表：吸煙肺癌合計(jì)肺癌患者非肺癌患者吸煙者20m40不吸煙者n5560合計(jì)2575100根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，求得χ2＝________(保留3位有效數(shù)字)，那么，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)________的前提下，認(rèn)為患肺癌與吸煙有關(guān)．附：α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828χ2＝nad22.20.001[由20＋m＝40，得m＝20.由20＋n＝25，得n＝5.故χ2＝100×20×55-20×52所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，認(rèn)為患肺癌與吸煙有關(guān)．]5．(多選)(2023·安徽黃山三模)下列命題中，正確的是()A．在回歸分析中，可用決定系數(shù)R2的值判斷模型的擬合效果，R2越大，模型的擬合效果越好B．對(duì)分類變量x與y的統(tǒng)計(jì)量χ2來(lái)說(shuō)，χ2值越小，判斷“x與y有關(guān)系”的把握程度越大C．在回歸模型中，殘差是觀測(cè)值y與預(yù)測(cè)值y的差，殘差點(diǎn)所在的帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，說(shuō)明模型擬合精度越高D．一組數(shù)據(jù)88，90，90，91，92，93，95，96，98的第75百分位數(shù)為95ACD[對(duì)于A，由決定系數(shù)的定義知：R2越大，模型的擬合效果越好，A正確；對(duì)于B，由獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想知：χ2值越大，“x與y有關(guān)系”的把握程度越大，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，殘差點(diǎn)所在的帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，則殘差平方和越小，模型擬合精度越高，C正確；對(duì)于D，∵9×0.75＝6.75，∴第75百分位數(shù)為第7個(gè)數(shù)據(jù)95,D正確．故選ACD.]6．(多選)如圖，5個(gè)數(shù)據(jù)(x，y)，去掉點(diǎn)D(3，10)后，下列說(shuō)法正確的是()A．樣本相關(guān)系數(shù)r變大B．殘差平方和變大C．變量x與變量y呈正相關(guān)D．變量x與變量y的相關(guān)性變強(qiáng)ACD[由散點(diǎn)圖可知，去掉D(3，10)后，y與x的相關(guān)性變強(qiáng)，且為正相關(guān)，即樣本相關(guān)系數(shù)r變大，故A、C、D正確；樣本相關(guān)系數(shù)r變大，則誤差變小，故B錯(cuò)誤．]7．(2024·四川成都模擬預(yù)測(cè))某老師為了了解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)得分y(單位：分)與每天數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間x(單位：分鐘)是否存在線性關(guān)系，搜集了100組數(shù)據(jù)(xi=5600，yi=11200)，并據(jù)此求得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝bA．106B．122C．136D．140C[由題設(shè)可得x＝5600100＝56，y＝11200100＝112，故112＝b×56＋56，故故當(dāng)x＝80時(shí)，y＝80＋56＝136，故選C.]8．(2024·青島模擬)通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)某中學(xué)110名中學(xué)生是否愛(ài)好跳繩，得到如下列聯(lián)表：跳繩性別合計(jì)男女愛(ài)好402060不愛(ài)好203050合計(jì)6050110已知χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，P(χA．愛(ài)好跳繩與性別有關(guān)B．愛(ài)好跳繩與性別有關(guān)，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001C．愛(ài)好跳繩與性別無(wú)關(guān)D．愛(ài)好跳繩與性別無(wú)關(guān)，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001C[χ2＝nad-bc9．(2024·安徽合肥聯(lián)考模擬)為了反映城市的人口數(shù)量x與就業(yè)壓力指數(shù)y之間的變量關(guān)系，研究人員選擇使用非線性回歸模型y＝e-910·e710x46810z2c563[x＝4+6+8+104＝7，z＝2+c+5+64＝13+c4，依題意，z＝lny＝而經(jīng)驗(yàn)回歸方程z＝710x－910過(guò)點(diǎn)故13+c4＝7×710-10．(2024·廣西聯(lián)考模擬)某單位為了調(diào)查性別與對(duì)工作的滿意程度是否具有相關(guān)性，隨機(jī)抽取了若干名員工，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示，其中x∈N*，且x<20，若依據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為性別與對(duì)工作的滿意程度具有相關(guān)性，則x的值可以是________．(橫線上給出一個(gè)滿足條件的x的值即可)性別滿意程度對(duì)工作滿意對(duì)工作不滿意男5x5x女4x6x附：χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n＝α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.82814(或15，16，17，18，19中任意一個(gè))[χ2＝20x·30x解得x>13.3947，因?yàn)閤∈N*且x<20，所以x＝14或x＝15或x＝16或x＝17或x＝18或x＝19.故答案為：14(或15，16，17，18，19中任意一個(gè))．]11．(2023·河南襄城三模)某公司是一家集無(wú)人機(jī)特種裝備的研發(fā)、制造與技術(shù)服務(wù)的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè)，產(chǎn)品主要應(yīng)用于森林消防、物流運(yùn)輸、航空測(cè)繪、軍事偵察等領(lǐng)域，獲得市場(chǎng)和廣大觀眾的一致好評(píng)，該公司生產(chǎn)的甲、乙兩種類型無(wú)人運(yùn)輸機(jī)性能都比較出色，但操控水平需要十分嫻熟，才能發(fā)揮更大的作用．該公司分別收集了甲、乙兩種類型無(wú)人