人教A版普通高中數(shù)學一輪復習第八章第七節(jié)拋物線學案

第七節(jié)拋物線考試要求：1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程．2．了解拋物線的簡單幾何性質．自查自測知識點一拋物線的定義1．(教材改編題)動點P(x，y)到點F(3，0)的距離比它到直線x＋2＝0的距離大1，則動點P的軌跡是()A．橢圓 B．雙曲線C．雙曲線的一支 D．拋物線D解析：因為動點P到點F(3，0)的距離比它到直線x＝－2的距離大1，所以將動點P到點F(3，0)的距離等于它到直線x＝－3的距離，因此動點P的軌跡是以(3，0)為焦點，x＝－3為準線的拋物線．2．已知拋物線y2＝8px(p＞0)，F(xiàn)是焦點，則p表示()A．F到準線的距離 B．F到準線距離的1C．F到準線距離的18 D．F到y(tǒng)B解析：根據(jù)拋物線方程可知準線方程為x＝－2p，焦點F(2p，0)，所以焦點F到準線的距離為4p，則p表示F到準線距離的14核心回扣1．我們把平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．2．當點F在直線l上時，與定點F和直線l距離相等的點的軌跡是過點F與直線l垂直的直線．自查自測知識點二拋物線的標準方程及幾何性質1．判斷下列說法的正誤，正確的打“√”，錯誤的打“×”．(1)方程y＝4x2表示焦點在x軸上的拋物線，焦點坐標為(1，0)．(×)(2)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．(×)(3)以(0，1)為焦點的拋物線的標準方程為x2＝4y.(√)2．(教材改編題)拋物線x2＝14yA．y＝－116 B．x＝－C．y＝116 D．x＝A解析：由拋物線的標準方程，可得拋物線的焦點位于y軸正半軸上，焦點坐標為0，116，準線方程為y3．(多選題)過點P(－2，3)的拋物線的標準方程可以是()A．y2＝－92x B．y2＝9C．x2＝－43y D．x2＝4AD解析：設拋物線的標準方程為y2＝kx或x2＝my，代入點P(－2，3)，解得k＝－92，m＝43，所以y2＝－92x或x2＝核心回扣1．拋物線的標準方程和幾何性質標準方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形對稱性關于y＝0對稱關于x＝0對稱頂點坐標O(0，0)焦點坐標p-00準線方程x＝－px＝py＝－py＝p離心率e＝1范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R2.由y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)求焦點坐標時，只需將x或y的系數(shù)除以4，再確定焦點的位置即可．【常用結論】設AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)以弦AB為直徑的圓與準線相切．(2)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切．(3)過拋物線的焦點垂直于對稱軸的弦稱為拋物線的通徑，通徑是過焦點最短的弦，長為2p.(4)AF＝x1＋p2，BF＝x2＋p2，AB＝x1＋x2＋應用1拋物線y2＝2px(p＞0)上一點M(3，m)到焦點F的距離|MF|＝4，則拋物線的方程為()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝xB解析：由題意可得|MF|＝xM＋p2＝3＋p2＝4，解得p＝2，故拋物線的方程為y2＝4應用2過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于()A．9 B．8C．7 D．6B解析：根據(jù)題意可得2p＝4，即p＝2，所以|PQ|＝x1＋x2＋2＝8.拋物線的標準方程1．已知A為拋物線C：y2＝2px(p＞0)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p＝()A．2 B．3C．6 D．9C解析：(方法一)因為點A到y(tǒng)軸的距離為9，所以可設點A(9，yA)，所以yA2＝18又點A到焦點p2所以9-p所以9-p22＋18p＝122，即p2＋36解得p＝6或p＝－42(舍去)．(方法二)根據(jù)拋物線的定義及題意，得點A到拋物線C的準線x＝－p2的距離為12，又因為點A到y(tǒng)軸的距離為9，所以p2＝12－9，解得2．(多選題)設拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，點M在拋物線C上，|MF|＝5.若以|MF|為直徑的圓過點(0，2)，則拋物線C的方程為()A．y2＝4x B．y2＝8xC．y2＝16x D．y2＝2xAC解析：拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為Fp2，0，設M(x0，y0)，由題意及拋物線的定義，知|MF|＝x0＋p2＝5，得x0＝5－p2，則以MF為直徑的圓的圓心橫坐標為52，而圓的半徑為52，所以該圓與y軸相切，切點為(0，2)，得圓心的縱坐標為2，則點M的縱坐標為4，即M5-p2，4，從而有42＝2p5-p2，整理得p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p3．(2024·威海模擬)如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A，B，C．若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為()A．y2＝32x B．y2＝9C．y2＝92x D．y2＝3D解析：如圖，分別過點A，B作準線的垂線，交準線于點E，D.設|BF|＝a，則|BC|＝2a.由拋物線的定義得|BD|＝|BF|＝a，故易知∠BCD＝30°，所以在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|.因為|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，所以3＋3a＝6，解得a＝1.因為BD∥FG，所以1p＝2所以p＝32因此拋物線的方程為y2＝3x.求拋物線標準方程的方法(1)定義法：若題目已給出拋物線的方程(含有未知數(shù)p)，那么只需求出p即可．(2)待定系數(shù)法：若題目未給出拋物線的方程，對于焦點在x軸上的拋物線的標準方程可設為y2＝ax(a≠0)，焦點在y軸上的拋物線的標準方程可設為x2＝ay(a≠0)，a的正負由題設來定．這樣就減少了不必要的討論．拋物線的定義及應用【例1】(1)(2022·全國乙卷)設F為拋物線C：y2＝4x的焦點，點A在C上，點B(3，0)，若|AF|＝|BF|，則|AB|等于()A．2 B．22C．3 D．32B解析：(方法一)由題意可知F(1，0)，拋物線的準線方程為x＝－1.設Ay024，y0因為|BF|＝3－1＝2，所以y024＋1＝2，解得y0所以A(1，2)或A(1，－2)．則|AB|＝1-32+22＝(方法二)由題意可知F(1，0)，故|BF|＝2，所以|AF|＝2.因為拋物線的通徑長為2p＝4，故AF的長為通徑長的一半，所以AF⊥x軸，所以|AB|＝AF2+BF2＝22(2)若P是拋物線y2＝8x上的動點，點P到y(tǒng)軸的距離為d1，到圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上動點Q的距離為d2，則d1＋d2的最小值為．34－4解析：圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4的圓心為C(－3，3)，半徑r＝2，拋物線y2＝8x的焦點為F(2，0)．由題意及拋物線定義可知d1＋d2＝|PF|－2＋d2＝|PF|＋|PQ|－2≥|PF|＋|PC|－|CQ|－2＝|PF|＋|PC|－4，所以要使d1＋d2最小，只需點P到拋物線的焦點與到圓C的圓心的距離之和最?。鐖D，連接PF，F(xiàn)C，易知當點F，P，C共線時，|PF|＋|PC|取得最小值為|FC|，則d1＋d2的最小值為|FC|－4＝-3-22+3-0利用拋物線的定義可解決的常見問題軌跡問題用拋物線的定義可以確定與定點、定直線距離有關的動點軌跡是否為拋物線距離問題靈活地進行拋物線上的點到焦點距離與其到準線距離間的等價轉化．“看到準線應該想到焦點，看到焦點應該想到準線”，這是解決拋物線中與距離有關問題的有效途徑1．已知拋物線y＝mx2(m＞0)上的點(x0，2)到該拋物線焦點F的距離為114，則mA．4 B．3C．14 D．D解析：由題意知，拋物線y＝mx2(m＞0)的準線方程為y＝－14m根據(jù)拋物線的定義，可得點(x0，2)到焦點F的距離等于到準線y＝－14m即2＋14m＝114，解得m＝2．已知點M(20，40)不在拋物線C：y2＝2px(p＞0)上，拋物線C的焦點為F.若對于拋物線上的一點P，|PM|＋|PF|的最小值為41，則p的值等于．42或22解析：當點M(20，40)位于拋物線內時，如圖1，過點P作拋物線準線的垂線，垂足為D，則|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.當點M，P，D共線時，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值為41，得20＋p2＝41，解得p當點M(20，40)位于拋物線外時，如圖2，當點P，M，F(xiàn)三點共線時，|PM|＋|PF|的值最?。勺钚≈禐?1，得20-p解得p＝22或p＝58.當p＝22時，代入驗證成立；當p＝58時，y2＝116x，點M(20，40)在拋物線內，故舍去．綜上，p＝42或p＝22.圖1圖2拋物線的性質考向1范圍問題【例2】(1)已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線C：y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A．355C．115 B解析：由題意可知l2：x＝－1是拋物線的準線，設拋物線的焦點為F(1，0)，所以動點P到l2的距離等于|PF|，所以動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值，即焦點F到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，如圖所示．故最小值是4-0+65(2)已知M是拋物線x2＝4y上一點，F(xiàn)為其焦點，點A在圓C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，則|MA|＋|MF|的最小值是．5解析：依題意，由點M向拋物線x2＝4y的準線l：y＝－1引垂線，垂足為M1(圖略)，則有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，結合圖形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圓心C(－1，5)到直線y＝－1的距離再減去圓C的半徑，即6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.與拋物線有關的最值問題的兩個轉化策略(1)將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間，線段最短”，使問題得解．(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中，垂線段最短”原理解決．考向2弦長問題【例3】(2024·濟寧調研)過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于()A．4 B．9C．5 D．6B解析：(方法一)易知直線l的斜率存在，設為k(k≠0)，則其方程為y＝k(x－1)．由y=kx-1，y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1①.因為|AF|＝2|BF|，由拋物線的定義得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1②，由①②解得xA＝2，xB＝12所以|AB|＝xA＋xB＋p＝92(方法二)由對稱性不妨設點A在x軸的上方，如圖，設點A，B在準線上的射影分別為D，C，作BE⊥AD于點E.設|BF|＝m，直線l的傾斜角為θ，則|AB|＝3m，由拋物線的定義知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cosθ＝AEAB＝1所以sin2θ＝89由y2＝4x，知2p＝4，故利用弦長公式得|AB|＝2psin2θ(方法三)因為|AF|＝2|BF|，所以1AF＋1BF＝12BF＋1BF＝32BF＝2故|AB|＝|AF|＋|BF|＝92[變式]本例中拋物線方程不變，拋物線與直線2x＋y－4＝0交于A，B兩點，則|FA|＋|FB|＝．7解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立(2x+y-4=0聯(lián)立化簡整理可得x2－5x＋4＝0，由根與系數(shù)的關系，可得x1＋x2＝5.因為拋物線y2＝4x，所以2p＝4，即p＝2，根據(jù)拋物線的定義可得|FA|＋|FB|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋1．有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點．若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p；若不過焦點，則必須用一般弦長公式．2．涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用一元二次方程根與系數(shù)的關系采用“設而不求”“整體代入”等解法．1．在拋物線y＝2x2上有一點P，它到點A(1，3)的距離與它到焦點的距離之和最小，則點P的坐標是()A．(－2，1) B．(1，2)C．(2，1) D．(－1，2)B解析：如圖所示，直線l為拋物線y＝2x2的準線，F(xiàn)為其焦點，PN⊥l，AN1⊥l.由拋物線的定義，知|PF|＝|PN|，所以|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，當且僅當A，P，N三點共線時取等號，此時點P(1，2)．2．如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線l于點C．若F是AC的中點，且|AF|＝4，則線段AB的長為()A．5 B．6C．163 D．C解析：如圖．設l與x軸交于點M，過點A作AD⊥l交l于點D，由拋物線的定義，知|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中點，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x.(方法一)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋p2＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝23，所以A(3，23又F(1，0)，所以直線AF的斜率k＝23-03-1所以直線AF的方程為y＝3(x－1)，代入拋物線方程y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝103，|AB|＝x1＋x2＋p＝16(方法二)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋p2＝x1所以x1＝3.又x1x2＝p24＝1，所以x2＝所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋13＋2＝16(方法三)因為1AF＋1BF＝2p，|AF所以|BF|＝43所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋43＝16課時質量評價(五十二)1．動圓與定圓A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直線x＝1相切，則動圓圓心的軌跡是()A．直線 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線D解析：設動圓的圓心為C，半徑為r，則C到定圓A：(x＋2)2＋y2＝1的圓心的距離等于r＋1，而C到直線x＝1的距離等于r，所以C到直線x＝2的距離為r＋1，根據(jù)拋物線的定義知，動圓圓心的軌跡為拋物線．2．(2021·新高考全國Ⅱ卷)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點到直線y＝x＋1的距離為2，則p＝()A．1 B．2C．22 D．4B解析：拋物線的焦點坐標為p2，0，其到直線x－y＋1＝0的距離為d＝p2-0+11+1＝3．(2024·榆林模擬)已知拋物線x2＝2py(p＞0)上的一點M(x0，1)到其焦點的距離為2，則該拋物線的焦點到其準線的距離為()A．6 B．4C．3 D．2D解析：由題可知，拋物線的準線為y＝－p2，可得1＋p2＝2，解得p＝2，所以該拋物線的焦點到其準線的距離為4．設拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，準線為l，M(5，y0)為拋物線C上一點，以M為圓心的圓M與準線l相切，且過點E(9，0)，則拋物線的方程為()A．y2＝4xB．y2＝2xC．y2＝36xD．y2＝4x或y2＝36xD解析：由拋物線的定義知，圓M經過焦點Fp2，0，點M的橫坐標為5，由題意，當E，F(xiàn)不重合時，M是線段EF垂直平分線上的點，所以5＝p2+92，所以p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x；當E，F(xiàn)重合時，p2＝9，所以p＝18，所以拋物線5．(多選題)(2023·新高考全國Ⅱ卷)設O為坐標原點，直線y＝－3(x－1)過拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則()A．p＝2B．|MN|＝8C．以MN為直徑的圓與l相切D．△OMN為等腰三角形AC解析：直線y＝－3(x－1)過拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點，可得p2＝1，所以p拋物線方程為y2＝4x，聯(lián)立直線方程可得3x2－10x＋3＝0，xM＋xN＝103，所以|MN|＝xM＋xN＋p＝16M，N的中點的橫坐標為53，中點到拋物線的準線l的距離為1＋53＝83＝12|MN|，所以以因為3x2－10x＋3＝0，所以不妨取xM＝3，xN＝13，則yM＝－23，yN＝2|OM|＝9+12＝21，|ON|＝19+129＝133所以△OMN不是等腰三角形，所以D不正確．6．已知A(2，0)，B為拋物線y2＝x上一點，則|AB|的最小值為．72解析：設B(x，y)，則x＝y(tǒng)2≥所以|AB|＝x-22+＝x2-3x+4＝所以當x＝32時，|AB|取得最小值，且|AB|min＝77．已知拋物線C：y2＝4x，焦點為F，點M為拋物線C上的一點，且|FM|＝6，則M的橫坐標是，作MN⊥x軸于點N，則S△FMN＝．545解析：因為拋物線的方程為y2＝4x，故p＝2且F(1，0)．因為|FM|＝6，所以xM＋p2＝6，解得xM故yM＝±25，所以S△FMN＝12×(5－1)×25＝458．如圖所示，拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上．(1)寫出該拋物線的方程及其準線方程；(2)當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求y1＋y2的值及直線AB的斜率．解：(1)由已知條件，可設拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)．因為點P(1，2)在拋物線上，所以22＝2p×1，解得p＝2.故所求拋物線的方程是y2＝4x，準線方程是x＝－1.(2)由題意可知kPA＝y(tǒng)1-2x1-1(x1≠1)，kPB＝y(tǒng)因為PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，所以kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上，得y12=4x1整理得y1＋2＝－(y2＋2)，所以y1＋y2＝－4.由①－②，得y12-y22＝4(所以kAB＝y(tǒng)1-y2x1-x29．已知拋物線y2＝2px的焦點F與雙曲線x27－y29＝1的右焦點重合，拋物線的準線與x軸的交點為K，點A在拋物線上，且|AK|＝2|AFA．4 B．8C．16 D．32D解析：由題可知拋物線的焦點坐標為(4，0)，所以p＝8.過點A作直線AA′垂直于拋物線的準線，垂足為A′(圖略)，根據(jù)拋物線定義知，|AA′|＝|AF|.在△AA′K中，|AK|＝2|AA′|，故∠KAA′＝45°，所以直線AK的傾斜角為45°，直線AK的方程為y＝x＋4，代入拋物線方程y2＝16x得y2＝16(y－4)，即y2－16y＋64＝0，解得y＝8，x＝4，即A(4，8)，所以△AFK為直角三角形，故△AFK的面積為12×8×10．(多選題)已知F是拋物線C：y2＝16x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則()A．C的準線方程為x＝－4B．點F的坐標為(0，4)C．|FN|＝12D．△ONF的面積為162(O為坐標原點)ACD解析：如圖，不妨設點M位于第一象限，設拋物線的準線l與x軸交于點F′，作MB⊥l于點B，NA⊥l于點A．由拋物線的解析式可得準線方程為x＝－4，點F的坐標為(4，0)，則|AN|＝4，|FF′|＝8.在直角梯形ANFF′中，中位線|MB|＝AN+FF'2＝6.由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝6，結合題意，有|MN|＝|MF|＝6，故|FN|＝|MF|＋|MN|＝6＋6＝12，|ON|＝122-42＝82，S△ONF11．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線3x2－y2＝3a2(a＞0)的左、右焦點，P是拋物線y2＝8ax與雙曲線的一個交點．若|PF1|＋|PF2|＝12，則拋物線的準線方程為．x＝－2解析：將雙曲線方程化為標準方程得x2a2－y23a2＝1，則F1(－2拋物線的準線為x＝－2a，聯(lián)立x2a2-y2即點P的橫坐標為3a.而由PF1+PF2所以|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，所以拋物線的準線方程為x＝－2.12．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，準線為l，M是拋物線C上一點，MH⊥l于點H.若|MH|＝4，∠HFM＝60°，則拋物線C的方程為．y2＝4x解析：如圖，因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，所以|MF|＝|MH|＝4.又∠HFM＝60°，所以△MHF為正三角形，所以|HF|＝4.記準線l與x軸交于點Q，則∠QHF＝30°，所以p＝|QF|＝|HF|sin∠QHF