專題1.8概率精講精練

一、確定事件和隨機(jī)事件1、確定事件必然發(fā)生的事件：在一定的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗時，在每次試驗中必然會發(fā)生的事件。不可能發(fā)生的事件：有的事件在每次試驗中都不會發(fā)生，這樣的事件叫做不可能的事件。2、隨機(jī)事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不放聲的事件，稱為隨機(jī)事件。二、頻率與概率1.概率的概念一般地，對于一個隨機(jī)事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記為P(A).2.頻率與概率的關(guān)系當(dāng)我們大量重復(fù)進(jìn)行試驗時，某事件出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定到某一個數(shù)值，把這一頻率的穩(wěn)定值作為該事件發(fā)生的概率的估計值.學(xué)科+網(wǎng)三、概率的計算1.公式法一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果,并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果,那么事件A發(fā)生的概率為P(A)＝nm2.列表法當(dāng)一次試驗要涉及兩個因素(例如擲兩個骰)并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.3.畫樹狀圖當(dāng)一次試驗要涉及3個或更多的因素(例如從3個口袋中取球)時，列表就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖.4.幾何概型事件A發(fā)生的面積一般是用幾何圖形的面積比來求概率，計算公式為：P(A)＝,解這類題除了掌握概率的事件A發(fā)生的面積計算方法外，還應(yīng)熟練掌握幾何圖形的面積計算.5.游戲公平性判斷游戲的公平性是通過概率來判斷的，在條件相等的前提下，如果對于參加游戲的每一個人獲勝的概率都相等，則游戲公平，否則不公平.【考點1】隨機(jī)事件【例1】（揚州）下列生活中的事件，屬于不可能事件的是()A．3天內(nèi)將下雨B．打開電視，正在播新聞C．買一張電影票，座位號是偶數(shù)號D．沒有水分，種發(fā)芽【變式1.1】（東湖區(qū)模擬）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣6次，下列說法正確的是A．必有3次正面朝上B．可能有3次正面朝上C．至少有1次正面朝上D．不可能有6次正面朝上【變式1.2】（饒平縣校級期末）下列事件中，屬于必然事件的為A．打開電視機(jī)，正在播放廣告B．任意畫一個三角形，它的內(nèi)角和等于180°C．?dāng)S一枚硬幣，正面朝上D．在只有紅球的盒里摸到白球【變式1.3】（越秀區(qū)模擬）在等腰三角形、等腰梯形、平行四邊形、矩形中任選兩個不同的圖形，那么下列事件中為不可能事件的是A．這兩個圖形都是軸對稱圖形B．這兩個圖形都不是軸對稱圖形C．這兩個圖形都是中心對稱圖形D．這兩個圖形都不是中心對稱圖形【考點2】事件的可能性【例2】（徐匯區(qū)期末）從標(biāo)有1，2，3，…，20的20張卡片中任意抽取一張，可能性最大的是A．卡片上的數(shù)字是合數(shù)B．卡片上的數(shù)字是2的倍數(shù)C．卡片上的數(shù)字是素數(shù)D．卡片上的數(shù)字是3的倍數(shù)【變式2.1】（瑞安市期中）某班有25名男生和20名女生，現(xiàn)隨機(jī)抽簽確定一名學(xué)生做代表參加學(xué)代會，則下列選項中說法正確的是A．男、女生做代表的可能性一樣大B．男生做代表的可能性較大C．女生做代表的可能性較大D．男、女生做代表的可能性的大小不能確定【變式2.2】（利川市期末）在一次比賽前，教練預(yù)言說：“這場比賽我們隊有70%的機(jī)會獲勝”，則下列說法中與“有70%的機(jī)會獲勝”的意思接近的是A．他這個隊贏的可能性較大B．若這兩個隊打10場，他這個隊會贏7場C．若這兩個隊打100場，他這個隊會贏70場D．他這個隊必贏【變式2.3】（豐順縣校級月考）宋代陸游所作的哲理詩《冬夜讀書示聿》有如下四句：①紙上得來終覺淺；②少壯工夫老始成；③絕知此事要躬行；④古人學(xué)問無遺力.這四句詩歌的順序被打亂了，蘭蘭想把這幾句詩歌調(diào)整為正確的順序，則她第一次就調(diào)整正確的可能性【考點3】概率公式【例3】（松山區(qū)期末）如圖，在2×2的正方形網(wǎng)格中有9個格點，已經(jīng)取定點A和B，在余下的點中任取一點C，使△ABC為直角三角形的概率是()其中任意抽取一個，運算結(jié)果正確的概率是()【變式3.2】（紫陽縣期末）如圖是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有3個小方格涂成了灰色．現(xiàn)在要從其余13個白色小方格中任選出一個也涂成灰色，則使整個涂灰部分為軸對稱圖形的概率是()【變式3.3】（成安縣期中）如圖所示的是一個游戲轉(zhuǎn)盤，自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后，指針落在數(shù)字“Ⅲ”所在區(qū)域內(nèi)的概率是()【考點4】幾何概率【例4】（玄武區(qū)期中）如圖，在一塊正三角形飛鏢游戲板上畫一個正六邊形（圖中陰影部分假設(shè)飛鏢投中游戲板上的每一點是等可能的（若投中邊界或沒有投中游戲板，則重投1次任意投擲飛鏢1次，則飛鏢投中陰影部分的概率為()【變式4.1】（湖口縣期中）如圖，一個小球在地板上滾動，并隨機(jī)停在某塊方磚上，如果每一塊方磚除顏色外完全相同，那么小球最終停留在黑磚上的概率是()【變式4.2】（明山區(qū)校級月考）如果小球在如圖所示的地面上自由滾動，并隨機(jī)停留在某塊方磚上，那么它最終停留在黑色區(qū)域的概率是()【變式4.3】（南京模擬）將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤上，飛鏢落在白色區(qū)域的概率為【考點s】用頻率估計概率【例5】（金水區(qū)校級期中）一個密閉不透明的盒里有若干個白球，在不允許將球倒出來的情況下，為估計白球的個數(shù)，小剛向其中放入6個黑球，搖勻后從中隨機(jī)摸出一個球記下顏色，再把它放回盒中，不斷重復(fù)，共摸球400次，其中66次摸到黑球，估計盒中大約有白球()A．28個B．29個C．30個【變式5.1】（禹州市期末）木箱里裝有僅顏色不同的9張紅色和若干張藍(lán)色卡片，隨機(jī)從木箱里摸出一張卡片后記下顏色后再放回，經(jīng)過多次的重復(fù)實驗，發(fā)現(xiàn)摸到紅色卡片的頻率穩(wěn)定在0.6附近，則估計木箱中藍(lán)色卡片有()【變式5.2】（無為市期末）在一個不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的小球共40個，除顏色不同外其他完全相同，通過多次摸球試驗后，摸到紅色球、黑色球的頻率分別穩(wěn)定在25%和45%，則口袋中白色球的個數(shù)可能是()A．4B．8C【變式5.3】（宛城區(qū)期末）某學(xué)習(xí)小組做“用頻率估計概率”的試驗時，統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如下折線統(tǒng)計圖，則符合這一結(jié)果的試驗最有可能的是()A．從裝有相同質(zhì)地的3個紅球和2個黃球的暗箱中隨機(jī)取一個紅球B．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”C．先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，兩次都出現(xiàn)反面D．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的正六面體骰，向上一面的點數(shù)之和超過7【考點6】樹狀圖與列表法求概率【例6】（宜城市期末）在甲乙兩個不透明的口袋中，分別有大小、材質(zhì)完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分別標(biāo)有數(shù)字2，3，4．先從甲袋中任意摸出一個小球，記下數(shù)字為m，再從乙袋中摸出一個小球，記下數(shù)字為n.（1）請用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有（m，n）可能的結(jié)果；（2）若m，n都是方程x2﹣7x+12＝0的解時，則小明獲勝；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解時，則小利獲勝，問他們兩人誰獲勝的概率大？【變式6.1】（利川市期末）第一盒中有2個白球、1個黃球，第二盒中有1個白球、1個黃球，這些球除顏色外無其他差別．分別從每個盒中隨機(jī)取出1個球，用列表法或畫樹狀圖法求下列事件的概率：（1）取出的2個球都是黃球；（2）取出的2個球中1個白球、1個黃球.【變式6.2】（平泉市期末）佳佳和琪琪兩位同學(xué)玩抽數(shù)字游戲，5張卡片上分別寫有2，4，6，8，x這5個數(shù)字，其中兩張卡片上的數(shù)字是相同的．從中隨機(jī)抽出一張，已知P(抽到數(shù)字6的卡片)=.（1）求這5張卡片上的數(shù)字的眾數(shù).（2）若佳佳已抽走一張數(shù)字2的卡片，琪琪準(zhǔn)備從剩余4張卡片中抽出一張.①所剩的4張卡片上數(shù)字的中位數(shù)與原來5張卡片上數(shù)字的中位數(shù)是否相同？并簡要說明理由.②琪琪先隨機(jī)抽出一張卡片后放回，之后又隨機(jī)抽出1張，用列表法（或樹狀圖）求琪琪兩次都抽到數(shù)字6的概率.【變式6.3】（福鼎市期中）某中學(xué)在參加“創(chuàng)文明城，點贊泉城”書畫比賽中，楊老師從全校30個班中隨機(jī)抽取了4個班（用A，B，C，D表示對征集到的作品的數(shù)量進(jìn)行了分析統(tǒng)計，制作了兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）楊老師采用的調(diào)查方式是（填“普查”或“抽樣調(diào)查”（2）請補充完整條形統(tǒng)計圖，并計算扇形統(tǒng)計圖中C班作品數(shù)量所對應(yīng)的圓心角度數(shù).（3）如果全班征集的作品中有5件獲得一等獎，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，現(xiàn)要在獲得一樣等獎的作者中選取兩人參加表彰座談會，請你用列表或樹狀圖的方法，求恰好選取的兩名學(xué)生性別不同的概率.【考點7】概率與函數(shù)方程綜合題【例7】（蘭州期中）已知a，b可以取﹣21，1，2中的任意一個值（a≠b則直線y＝ax+b經(jīng)過第一、二、四象限的概率是.【變式8.1】（金牛區(qū)校級期中）從﹣1，0，1，2，3這五個數(shù)中，隨機(jī)取出一個數(shù)，記為a，那么使關(guān)于x的方程=1有解，且使關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0有兩個不相等的實數(shù)根的概率為.【變式7.2】（金牛區(qū)校級期中）有五張大小形狀相同的卡片，分別寫有1～5這五個數(shù)字，將它們背面朝上洗勻后，任意抽取一張，記卡片上的數(shù)字為a，則a的值使得關(guān)于x的分式方程有整數(shù)解的概率為.【變式7.3】（武侯區(qū)校級期中）有六張正面分別標(biāo)有數(shù)字﹣1，0，1，2，3，4的不透明卡片，它們除數(shù)字不同外其余全部相同．現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從中任取一張，則抽取的卡片上的數(shù)字為不等式組的解的概率為.【變式7.4】（錦江區(qū)校級期中）已知a為正整數(shù)，且二次函數(shù)y＝x2+（a﹣7）x+3的對稱軸在y軸右側(cè)，則a使關(guān)于y的分式方程有正整數(shù)解的概率為.【變式7.5】（青羊區(qū)校級期中）從﹣3，01，2這5個數(shù)中任取一個數(shù)記為m，則能使二次函數(shù)yx﹣2）2+m的頂點在x軸上方的概率為.【考點8】游戲的公平性【例8】（古丈縣期末）學(xué)完《概率初步》后，小誠和小明兩個好朋友利用課外活動時間自制A、B兩組卡片共5張，A組三張分別寫有數(shù)字2，4，6，B組兩張分別寫有3，5．它們除了數(shù)字外沒有任何區(qū)別．他倆提出了如下兩個問題請你解答：（1）隨機(jī)從A組抽取一張，求抽到數(shù)字為2的概率；（2）隨機(jī)地分別從A組、B組各抽取一張，請你用列表或畫樹狀圖的方法表示所有等可能的結(jié)果；（3）如果他倆還制定這樣一個游戲規(guī)則：若選出的兩數(shù)之積為3的倍數(shù)，則小誠獲勝；否則小明獲勝．請問這樣的游戲規(guī)則對小誠、小明雙方公平嗎？請說明理由.【變式8.1】（遜克縣期末）淘淘和明明玩骰游戲，每人將一個各面分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6的正方體骰擲一次，把兩人擲得的點數(shù)相加，并約定：點數(shù)之和等于6，淘淘贏；點數(shù)之和等于7，明明贏；點數(shù)之和是其它數(shù)，兩人不分勝負(fù).（1）請你用“畫樹狀圖”或“列表”的方法分析說明此游戲是否公平.（2）請你基于（1）問中得到的數(shù)據(jù)，設(shè)計出一種公平的游戲規(guī)則列出一種即可）【變式8.2】（市南區(qū)校級二模）青島二十六中某班舉辦了一場摸牌游戲，由甲乙同學(xué)兩人進(jìn)行．現(xiàn)有5張形狀大上完全相同的牌，正面分別標(biāo)有數(shù)字﹣1，2，3，5，6，將四張牌背面朝上，洗勻后放在桌上．甲從中隨機(jī)抽取一張牌，乙再隨機(jī)抽取一張.（1）請用列表法或畫樹狀圖的方法，求兩人抽取相同數(shù)字的概率；（2）若