2004年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(三)試題及答案

2004年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(三)試題及答案填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）(1)若，則a=，b=.【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題.【詳解】因為，且，所以，得a=1.極限化為，得b=4.因此，a=1，b=4.(2)設(shè)函數(shù)f(u,v)由關(guān)系式f[xg(y),y]=x+g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y)0，則.【分析】令u=xg(y)，v=y，可得到f(u,v)的表達(dá)式，再求偏導(dǎo)數(shù)即可.【詳解】令u=xg(y)，v=y，則f(u,v)=， 所以，，.(3)設(shè)，則.【分析】本題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元：x1=t，再利用對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)即可.【詳解】令x1=t， ＝.(4)二次型的秩為2.【分析】二次型的秩即對應(yīng)的矩陣的秩,亦即標(biāo)準(zhǔn)型中平方項的項數(shù),于是利用初等變換或配方法均可得到答案.【詳解一】因為于是二次型的矩陣為,由初等變換得,從而,即二次型的秩為2.【詳解二】因為,其中.所以二次型的秩為2.(5)設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則.【分析】根據(jù)指數(shù)分布的分布函數(shù)和方差立即得正確答案.【詳解】由于,的分布函數(shù)為 故.(6)設(shè)總體服從正態(tài)分布,總體服從正態(tài)分布,和分別是來自總體和的簡單隨機(jī)樣本,則.【分析】利用正態(tài)總體下常用統(tǒng)計量的數(shù)字特征即可得答案.【詳解】因為,,故應(yīng)填.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）(7)函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界.(A)(1,0). (B)(0,1). (C)(1,2). (D)(2,3).[A]【分析】如f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)有界.【詳解】當(dāng)x0,1,2時，f(x)連續(xù)，而，，，，，所以，函數(shù)f(x)在(1,0)內(nèi)有界，故選(A).(8)設(shè)f(x)在(,+)內(nèi)有定義，且， ，則(A)x=0必是g(x)的第一類間斷點. (B)x=0必是g(x)的第二類間斷點.(C)x=0必是g(x)的連續(xù)點.(D)g(x)在點x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān). [D]【分析】考查極限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通過換元，可將極限轉(zhuǎn)化為.【詳解】因為=a(令)，又g(0)=0，所以， 當(dāng)a=0時，，即g(x)在點x=0處連續(xù)，當(dāng)a0時，，即x=0是g(x)的第一類間斷點，因此，g(x)在點x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)，故選(D).(9)設(shè)f(x)=|x(1x)|，則(A)x=0是f(x)的極值點，但(0,0)不是曲線y=f(x)的拐點.(B)x=0不是f(x)的極值點，但(0,0)是曲線y=f(x)的拐點.(C)x=0是f(x)的極值點，且(0,0)是曲線y=f(x)的拐點.(D)x=0不是f(x)的極值點，(0,0)也不是曲線y=f(x)的拐點. [C]【分析】由于f(x)在x=0處的一、二階導(dǎo)數(shù)不存在，可利用定義判斷極值情況，考查f(x)在x=0的左、右兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)的符號，判斷拐點情況.【詳解】設(shè)0<<1，當(dāng)x(,0)(0,)時，f(x)>0，而f(0)=0，所以x=0是f(x)的極小值點. 顯然，x=0是f(x)的不可導(dǎo)點.當(dāng)x(,0)時，f(x)=x(1x)，， 當(dāng)x(0,)時，f(x)=x(1x)，，所以(0,0)是曲線y=f(x)的拐點. 故選(C).(10)設(shè)有下列命題： (1)若收斂，則收斂. (2)若收斂，則收斂. (3)若，則發(fā)散. (4)若收斂，則，都收斂.則以上命題中正確的是(A)(1)(2). (B)(2)(3). (C)(3)(4). (D)(1)(4). [B]【分析】可以通過舉反例及級數(shù)的性質(zhì)來說明4個命題的正確性.【詳解】(1)是錯誤的，如令，顯然，分散，而收斂.(2)是正確的，因為改變、增加或減少級數(shù)的有限項，不改變級數(shù)的收斂性.(3)是正確的，因為由可得到不趨向于零(n)，所以發(fā)散.(4)是錯誤的，如令，顯然，，都發(fā)散，而收斂.故選(B).(11)設(shè)在[a,b]上連續(xù)，且，則下列結(jié)論中錯誤的是 (A)至少存在一點，使得>f(a). (B)至少存在一點，使得>f(b). (C)至少存在一點，使得. (D)至少存在一點，使得=0. [D]【分析】利用介值定理與極限的保號性可得到三個正確的選項，由排除法可選出錯誤選項.【詳解】首先，由已知在[a,b]上連續(xù)，且，則由介值定理，至少存在一點，使得； 另外，，由極限的保號性，至少存在一點 使得，即.同理，至少存在一點 使得.所以，(A)(B)(C)都正確，故選(D).(12)設(shè)階矩陣與等價,則必有(A)當(dāng)時,.(B)當(dāng)時,.(C)當(dāng)時,.(D)當(dāng)時,.[D]【分析】利用矩陣與等價的充要條件:立即可得.【詳解】因為當(dāng)時,,又與等價,故,即,故選(D).(13)設(shè)階矩陣的伴隨矩陣若是非齊次線性方程組的互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(A)不存在.(B)僅含一個非零解向量.(C)含有兩個線性無關(guān)的解向量.(D)含有三個線性無關(guān)的解向量. [B]【分析】要確定基礎(chǔ)解系含向量的個數(shù),實際上只要確定未知數(shù)的個數(shù)和系數(shù)矩陣的秩.【詳解】因為基礎(chǔ)解系含向量的個數(shù)=,而且根據(jù)已知條件于是等于或.又有互不相等的解,即解不惟一,故.從而基礎(chǔ)解系僅含一個解向量,即選(B).(14)設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,對給定的,數(shù)滿足,若,則等于(A).(B).(C).(D).[C]【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對稱性和幾何意義即得.【詳解】由,以及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得.故正確答案為(C).三、解答題(本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(本題滿分8分) 求.【分析】先通分化為“”型極限，再利用等價無窮小與羅必達(dá)法則求解即可.【詳解】 =.(16)(本題滿分8分) 求，其中D是由圓和所圍成的平面區(qū)域(如圖).【分析】首先，將積分區(qū)域D分為大圓減去小圓 ，再利用對稱性與極坐標(biāo)計算即可.【詳解】令， 由對稱性，. . 所以，.(17)(本題滿分8分) 設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，且滿足，x[a,b)，.證明：.【分析】令F(x)=f(x)g(x)，，將積分不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式即可.【詳解】令F(x)=f(x)g(x)，， 由題設(shè)G(x)0，x[a,b]， G(a)=G(b)=0，. 從而， 由于G(x)0，x[a,b]，故有 ， 即. 因此.(18)(本題滿分9分) 設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=1005P，其中價格P(0,20)，Q為需求量. (I)求需求量對價格的彈性(>0)； (II)推導(dǎo)(其中R為收益)，并用彈性說明價格在何范圍內(nèi)變化時，降低價格反而使收益增加.【分析】由于>0，所以；由Q=PQ及可推導(dǎo).【詳解】(I). (II)由R=PQ，得 . 又由，得P=10. 當(dāng)10<P<20時，>1，于是， 故當(dāng)10<P<20時，降低價格反而使收益增加.(19)(本題滿分9分) 設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為S(x).求：(I)S(x)所滿足的一階微分方程；(II)S(x)的表達(dá)式.【分析】對S(x)進(jìn)行求導(dǎo)，可得到S(x)所滿足的一階微分方程，解方程可得S(x)的表達(dá)式.【詳解】(I)， 易見S(0)=0， . 因此S(x)是初值問題 的解. (II)方程的通解為 ， 由初始條件y(0)=0，得C=1. 故，因此和函數(shù).(20)(本題滿分13分)設(shè),,,,試討論當(dāng)為何值時,(Ⅰ)不能由線性表示;(Ⅱ)可由唯一地線性表示,并求出表示式;(Ⅲ)可由線性表示,但表示式不唯一,并求出表示式.【分析】將可否由線性表示的問題轉(zhuǎn)化為線性方程組是否有解的問題即易求解.【詳解】設(shè)有數(shù)使得.(*)記.對矩陣施以初等行變換,有.(Ⅰ)當(dāng)時,有.可知. 故方程組(*)無解,不能由線性表示.(Ⅱ)當(dāng),且時,有, 方程組(*)有唯一解：,,．此時EMBEDEquation.3可由唯一地線性表示,其表示式為．(Ⅲ)當(dāng)時,對矩陣施以初等行變換,有，, 方程組(*)有無窮多解，其全部解為,,，其中為任意常數(shù)．EMBEDEquation.3 可由線性表示,但表示式不唯一,其表示式為．(21)(本題滿分13分) 設(shè)階矩陣.(Ⅰ)求的特征值和特征向量;(Ⅱ)求可逆矩陣,使得為對角矩陣.【分析】這是具體矩陣的特征值和特征向量的計算問題,通?？捎汕蠼馓卣鞣匠毯妄R次線性方程組來解決.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時，＝,得的特征值為，．對，EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3解得，所以的屬于的全部特征向量為(為任意不為零的常數(shù))．對，得基礎(chǔ)解系為，，．故的屬于的全部特征向量為(是不全為零的常數(shù))．EMBEDEquation.3 當(dāng)時，,特征值為，任意非零列向量均為特征向量．(Ⅱ)當(dāng)時，有個線性無關(guān)的特征向量，令，則EMBEDEquation.3 當(dāng)時，，對任意可逆矩陣,均有．(22)(本題滿分13分) 設(shè)，為兩個隨機(jī)事件,且,,,令求(Ⅰ)二維隨機(jī)變量的概率分布;(Ⅱ)與的相關(guān)系數(shù);(Ⅲ)的概率分布.【分析】本題的關(guān)鍵是求出的概率分布，于是只要將二維隨機(jī)變量的各取值對轉(zhuǎn)化為隨機(jī)事件和表示即可．【詳解】(Ⅰ)因為，于是，則有，，，，(或)，即的概率分布為：EMBEDEquation.30101(Ⅱ)方法一：因為，，，，，，，，所以與的相關(guān)系數(shù)．方法二：X,Y的概率分布分別為X01Y01PP則，，DY=,E(XY)=,故，從而(Ⅲ)的可能取值為：0，1，2．，，，即的概率分布為：012(23)(本題滿分13分)設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為其中參數(shù).設(shè)為來自總體的簡單隨機(jī)樣本,(Ⅰ)當(dāng)時,求未知參數(shù)的矩估計量;(Ⅱ)當(dāng)時,求未知參數(shù)的最大似然估計量;(Ⅲ)當(dāng)時,求未知參數(shù)的最大似然估計量.【分析】本題是一個常規(guī)題型,只要注意求連續(xù)型總體未知參數(shù)的矩估計和最大似然估計都須已知密度函數(shù),從而先由分布函數(shù)