2024內(nèi)蒙古中考數(shù)學(xué)一輪知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí) 第28課時(shí) 圓的基本性質(zhì)（課件）

第28課時(shí)圓的基本性質(zhì)

考點(diǎn)精講1

重難點(diǎn)分層練2

內(nèi)蒙古中考真題及拓展3確定圓的條件弦、弧、圓心角的關(guān)系定理推論圓內(nèi)接正多邊形圓的相關(guān)概念及性質(zhì)相關(guān)概念性質(zhì)垂徑定理及其推論垂徑定理推論結(jié)論三角形的外接圓圓內(nèi)接四邊形圓的基本性質(zhì)圓周角定理及其推論定理推論常見圖形結(jié)論考點(diǎn)精講【對(duì)接教材】北師：九下第三章P65～P88、P97～P99；

人教：九上第二十四章P79～P91、P105～P110.

1考點(diǎn)

圓的相關(guān)概念及性質(zhì)1.相關(guān)概念圓圓可以看成是平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形，其中定點(diǎn)就是圓心，定長(zhǎng)就是半徑．如圖，以點(diǎn)O為圓心的圓記作⊙O，線段OC叫做半徑弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分；小于半圓的弧叫做劣弧，如；大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，如弦連接圓上任意兩點(diǎn)的線段，如AC，AB.經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是最大的弦，如圖中AB圓心角頂點(diǎn)在______的角，如∠AOC或∠BOC圓周角頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，如圖中________2.性質(zhì)對(duì)稱性(1)圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任何一條直徑所在的直線；(2)圓是中心對(duì)稱圖形，______是它的對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)不變性圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都與自身重合圓心∠CAB圓心2考點(diǎn)

確定圓的條件圓的確定1.圓心確定圓的______，半徑確定圓的______；2.不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓【滿分技法】過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓，其實(shí)質(zhì)為作這三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的外接圓3考點(diǎn)

弦、弧、圓心角的關(guān)系定理在同圓或______中，相等的圓心角所對(duì)的弧_____，所對(duì)的弦也相等推論1.在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等；2.在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的優(yōu)弧和劣弧分別相等位置大小等圓相等4考點(diǎn)

圓周角定理及其推論定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的______推論1.同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧也相等2.半圓(或直徑)所對(duì)的_______是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦______

常見圖形結(jié)論∠APB＝____∠AOB

一半圓周角直徑

垂徑定理及其推論5考點(diǎn)垂徑定理垂直于弦的直徑______弦，并且______弦所對(duì)的兩條弧推論平分弦(不是直徑)的直徑______于弦，并且______弦所對(duì)的兩條弧結(jié)論1.＝；2.______＝；3.AE＝_____；4.AB⊥_____；5.CD是直徑．若其中任意兩個(gè)結(jié)論成立，那么其他三個(gè)結(jié)論也成立，即“知二推三”，注意：推論中被平分的弦不是直徑【滿分技法】應(yīng)用：半徑、弦心距和弦的一半構(gòu)成直角三角形，滿足OB2＝OE2＋BE2，常用于在圓中求線段長(zhǎng)平分平分垂直平分BECD6考點(diǎn)

三角形的外接圓概念經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓

圓心三角形三條邊的____________的交點(diǎn)性質(zhì)三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離_____角度關(guān)系∠BOC＝2∠A垂直平分線相等7考點(diǎn)

圓內(nèi)接四邊形概念四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)圓上的四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形

性質(zhì)1.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角______，如圖，∠A＋∠BCD＝______，∠B＋∠D＝______2.圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的________(和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角)，如圖∠DCE＝______互補(bǔ)180°180°內(nèi)對(duì)角∠A8考點(diǎn)

圓內(nèi)接正多邊形邊心距如圖，設(shè)正n邊形的邊長(zhǎng)為a，則邊心距

周長(zhǎng)l＝na面積中心角【滿分技法】正六邊形的邊長(zhǎng)等于其外接圓的半徑，正三角形的邊長(zhǎng)等于其外接圓半徑的倍，正方形的邊長(zhǎng)等于其外接圓半徑的倍

θ＝S＝lr＝nar證明：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．已知：如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形．求證：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.【自主作答】證明：如解圖，連接OB，OD.題圖∵∠A所對(duì)的弧為

，∠C所對(duì)的弧為

，又∵和

所對(duì)的圓心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝

＝180°.同理∠ABC＋∠ADC＝180°.回歸教材重難點(diǎn)分層練回顧必備知識(shí)例1一題多設(shè)問如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)(點(diǎn)C與點(diǎn)D在AB異側(cè))，連接CD交AB于點(diǎn)E，連接OC、AD、BD.例1題圖例1題圖(1)∠ACB＝_____；【解題依據(jù)】用到的圓的性質(zhì)為______________________.90°(2)若∠BAC＝26°，則∠ACO＝_____，∠BOC＝_____；【解題依據(jù)】求∠BOC時(shí)用到的圓的性質(zhì)___________________________________.直徑所對(duì)的圓周角為90°26°52°(3)若∠ABD＝54°，OC∥BD，則∠ACO＝_____；同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半27°(4)若∠CAB＝30°，則∠CDB＝_____，若點(diǎn)B為

的中點(diǎn)，則∠BCD＝_____，∠COB＝_____，∠OCB＝_____；【解題依據(jù)】第一空用到的圓的性質(zhì)為______________________.(5)當(dāng)CD⊥AB時(shí)，若AB＝10，CD＝8，則BE＝____.【解題依據(jù)】用到的圓的性質(zhì)為_______________________________________________.30°30°60°60°等弧所對(duì)的圓周角相等2垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧例1題圖提升關(guān)鍵能力例2一題多設(shè)問如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，連接DE.(1)求證：DE＝BD；例2題圖①(1)證明：如解圖，連接AD、BE，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.又∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD.∵∠DBE＝∠CAD，∠DEB＝∠BAD，∴∠DBE＝∠DEB，∴DE＝DB；(2)若AE＝DE，求∠ABD的度數(shù)；(2)解：如解圖，連接BE，例2題圖①∵AE＝DE，∴＝

，∴∠ABE＝∠CBE.∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，易證△ABE≌△CBE(ASA)，∴AB＝CB，又∵AB＝AC，∴AB＝CB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABD＝60°；在△ABE和△CBE中例2題圖①(3)若BC＝6，AB＝5，求AE的長(zhǎng)；例2題圖①(3)解：如解圖，∵AB＝AC，∠ADB＝90°，∴BD＝

BC＝3.由勾股定理得，AD＝＝4，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∴×BC×AD＝

×AC×BE，即

×6×4＝

×5×BE，∴BE＝

.在Rt△AEB中，由勾股定理得，

；(4)如圖②，連接OD、BE，交于點(diǎn)F.①求證：OD⊥BE；例2題圖②(4)①證明：如解圖，連接AD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝∠ADB＝90°.∵AB＝AC，∴DC＝DB.∵OA＝OB，∴OD是△BAC的中位線，∴OD∥AC，∴∠OFB＝∠AEB＝90°，∴OD⊥BE；②若

，求

的值；②解：∵，∴設(shè)CE＝2x，OF＝3x，∵OD⊥BE，∴BF＝EF.由①知BD＝CD，∴DF是△BEC的中位線，∴FD＝

CE＝x，例2題圖②∴OD＝OF＋FD＝3x＋x＝4x，∴AB＝AC＝8x，∴，∴，∴BC＝2BD＝

，∴

；例2題圖②(5)如圖③，過點(diǎn)D作DG⊥AC，交AC于點(diǎn)G.①求證：CD2＝AB·CG；例2題圖③(5)①證明：如解圖，連接AD，∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠GCD.∵∠ADB＝∠DGC＝90°，∴△ADB∽∠DGC，∴.由(4)知DC＝DB，∴，即CD2＝AB·CG；②若OA＝5，sin∠CAB＝

，求DG的長(zhǎng)；②解：如解圖，連接BE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，又∵sin∠CAB＝

，∴.∵OA＝5，∴AB＝2OA＝10，∴BE＝8.∵DG⊥AC，∴∠DGA＝90°，∵CD＝BD，∴DG∥BE.∴DG是△BEC的中位線，∴DG＝

BE＝4；(6)如圖④，過點(diǎn)B作BH⊥AB交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.①求證：∠BAC＝2∠CBH；例2題圖④(6)①證明：如解圖，連接AD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即∠BAD＋∠ABD＝90°.∵BH⊥AB，∴∠CBH＋∠ABD＝90°，∴∠CBH＝∠BAD.∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠BAD.∴∠BAC＝2∠CBH；②若AB＝3，CH＝2，求tan∠CBH的值．②解：如解圖，連接BE，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∴∠BAC＋∠ABE＝90°.∵BH⊥AB，∴∠ABE＋∠EBH＝90°，∴∠BAC＝∠EBH.由①知∠BAC＝2∠CBH，∴∠EBH＝2∠CBH，∴∠EBC＝∠CBH.∵AB＝AC＝3，CH＝2，∴AH＝AC＋CH＝5.例2題圖④在Rt△ABH中，

，∵

AB·BH＝

AH·BE，∴

，在Rt△EBH中，

，∴CE＝EH－CH＝

，在Rt△EBC中，tan∠EBC＝

，∴tan∠CBH＝tan∠EBC＝

.例2題圖④內(nèi)蒙古中考真題及拓展1命題點(diǎn)

圓周角定理及其推論的相關(guān)計(jì)算(包頭3考，呼和浩特2考，赤峰4考)1.(2021赤峰10題3分)如圖，點(diǎn)C、D在以AB為直徑的半圓上，且∠ADC＝120°，點(diǎn)E是

上任意一點(diǎn)，連接

BE、CE.則∠BEC的度數(shù)為(

)第1題圖A.20°B.30°C.40°D.60°B2.(2022赤峰11題3分)如圖，⊙A經(jīng)過平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，交x軸于點(diǎn)B(－4，0)，交y軸于點(diǎn)C(0，3)，點(diǎn)D為第二象限內(nèi)圓上一點(diǎn)，則∠CDO的正弦值是(

)第2題圖A.B.－

C.

D.

A3.(2023包頭24題10分)如圖，在⊙O中，B是⊙O上一點(diǎn)，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，連接MA，MC.(1)求⊙O半徑的長(zhǎng)；第3題圖(1)解：∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC.∴∠MBA＝∠MBC＝

∠ABC＝60°，∴∠ACM＝∠ABM＝60°，∠MAC＝∠MBC＝60°，∴在△AMC中，∠AMC＝60°，∴△AMC是等邊三角形．∴AO＝CO，∠AOC＝2∠AMC＝120°.∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴AH＝CH＝

AC＝

.∴在Rt△AOH中，

，∴⊙O的半徑長(zhǎng)為2；如解圖，連接OA、OC，過點(diǎn)O作OH⊥AC于點(diǎn)H.∟第3題圖(2)求證：AB＋BC＝BM.(2)證明：如解圖，在BM上截取BE＝BC，連接CE，∟E∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC為等邊三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，∴∠BCD＋∠DCE＝60°.∵∠ACM＝60°，∴∠ECM＋∠DCE＝60°.∴∠ECM＝∠BCD.第3題圖∟E由(1)知△AMC為等邊三角形，∴AC＝MC，∴△ACB≌△MCE(SAS)，∴AB＝ME.∵M(jìn)E＋EB＝BM，∴AB＋BC＝BM.第3題圖4.(2021包頭24題10分)如圖，在銳角三角形ABC中，AD是BC邊上的高，以AD為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為H，交

于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)M，連接AG，DE，DF.(1)求證：∠GAD＋∠EDF＝180°；第4題圖(1)證明：∵AD是⊙O的直徑，∴∠AED＝90°.∵FG⊥AB，∴∠AHF＝90°，∴∠AED＝∠AHF，∴DE∥GF，∴∠EDF＋∠DFG＝180°.∵∠GAD＝∠DFG，∴∠GAD＋∠EDF＝180°；第4題圖(2)若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2，求HF的長(zhǎng)．(2)解：如解圖，連接OF，∵AD是BC邊上的高，∴∠ADC＝90°.∵∠ACB＝45°，∴∠CAD＝∠ACB＝45°，∴AD＝CD.∵AD是⊙O的直徑，∴∠AFD＝90°，∴DF⊥AC，∴AF＝CF.第4題圖又∵OA＝OD，∴OF是△ADC的中位線，∴OF∥DC，∴∠AOF＝∠ADC＝90°，∴∠MFO＋∠FMO＝90°.∵∠AHM＝90°，∴∠MAH＋∠AMH＝90°.∵∠FMO＝∠AMH，∴∠MFO＝∠MAH，∴∠MFO＝∠BAD.又∵∠FOM＝∠ADB＝90°，∴△FMO∽△ABD，∴，第4題圖在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝

＝2，AD＝4，∴BD＝2，OF＝OA＝2，∴

，∴MO＝1，∴AM＝1，∴在Rt△MOF中，

.∵∠AHM＝∠FOM＝90°，∠AMH＝∠FMO，∴△AHM∽△FOM，∴

，即

，∴HM＝

，∴HF＝HM＋MF＝

.拓展訓(xùn)練5.(2021荊州)如圖，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)D在OA的延長(zhǎng)線上．若A(2，0)，D(4，0)，以O(shè)為圓心、OD長(zhǎng)為半徑的弧經(jīng)過點(diǎn)B，交y軸正半軸于點(diǎn)E，連接DE，BE，則∠BED的度數(shù)是(

)第5題圖A.15°B.22.5°C.30°D.45°C6.(2023本溪)如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)D，則tan∠ADC＝____．第6題圖2命題點(diǎn)

垂徑定理的相關(guān)計(jì)算7.(2023赤峰10題3分)如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，∠ADC＝30°，則∠BOC的度數(shù)為(

)第7題圖A.30°

B.40°C.50°

D.60°D8.(2021玉林)學(xué)習(xí)圓的性質(zhì)后，小銘與小熹就討論起來，小銘說：“被直徑平分的弦也與直徑垂直”，小熹說：“用反例就能說明這是假命題”，下列判斷正確的是(

)拓展訓(xùn)練A.兩人說的都對(duì)B.小銘說的對(duì)，小熹說的反例不存在C.兩人說的都不對(duì)D.小銘說的不對(duì)，小熹說的反例存在D9.(2021鄂州)筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖①，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖②，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長(zhǎng)為6米，⊙O半徑長(zhǎng)為4米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是(

)

第9題圖A.1米

B.(4－

)米C.2米

D.(4＋

)米B3命題點(diǎn)

三角形的外接圓10.(2020赤峰10題3分)如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，EF是AC的垂直平分線，交AD于點(diǎn)O.若OA＝3，則△ABC外接圓的面積為(

)

第10題圖A.3π

B.4πC.6π

D.9πD4命題點(diǎn)

正多邊形與圓(呼和浩特5考)11.(2021呼和浩特8題3分)如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，剪去四個(gè)角后成為一個(gè)正八邊形，則可求出此正八邊形的外接圓直徑d，根據(jù)我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”思想，如果用此正八邊形的周長(zhǎng)近似代替其外接圓周長(zhǎng)，便可估計(jì)π的值，下面d及π的值都正確的是(

)A.

，π≈8sin22.5°B.，π≈4sin22.5°C.，π≈8sin22.5°D.，π≈4sin22.5°第11題圖C12.(2020呼和浩特23題10分)某同學(xué)在學(xué)習(xí)了正多邊形和圓之后，對(duì)正五邊形的邊及相關(guān)線段進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)多處出現(xiàn)著名的黃金分割比

≈0.618.如圖，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE，圓心為O，OA與BE交于點(diǎn)H，AC、AD與BE分別交于點(diǎn)M、N.根據(jù)圓與正五邊形的對(duì)稱性，只對(duì)部分圖形進(jìn)行研究．(其他可同理得出