第07講“AAS”與“HL”判定三角形全等-2024年新八年級數(shù)學暑假提升講義（人教版 學習新知）

第07講“AAS”與“HL”判定三角形全等（2個知識點+8個考點）模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“AAS”，“HL”．(重點)2．能運用“AAS”“HL”判定方法解決有關問題．(重點)3．“AAS”和“HL”判定方法的探究以及適合“角邊角”判定方法的條件的尋找．(難點)知識點1.三角形全等的推論：角角邊（重點）1.全等三角形判定——“角角邊”兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）要點歸納：由三角形的內角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2.三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.【例1】如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于E.AD與BE交于F，若BF＝AC，求證：△ADC≌△BDF.【變式1-1】如圖，在四邊形ABCD中，E是對角線AC上一點，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求證：△ADE≌△CAB．【變式1-2】（2023八年級·浙江湖州·期末）如圖，已知OA=OC，∠B=∠D，∠AOC=∠BOD．求證：△AOB≌△COD．

【變式1-3】（2023八年級·湖北孝感·期中）如圖,在△ABC中，AD是BC邊上的中線,CE⊥AD于點E，BF⊥AD交AD的延長線于點F．(1)求證：CE=BF；(2)若AE+AF＝16,求AD的長．知識點2.直角三角形全等的判定方法：HL（重點）【例2】如圖，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在線段BC上，DE與AF交于點O，且AB＝CD，BE＝CF.求證：Rt△ABF≌Rt△DCE.【變式2-1】（2023八年級·陜西渭南·期末）如圖，在Rt△ABC和Rt△DAB中，AC=DB，判斷Rt△ABC【變式2-2】（2023八年級·山東濟南·期末）如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′【變式2-3】（2023八年級·廣西南寧·期中）已知，如圖，點A、E、F、B在同一條直線上，CA⊥AB，DB⊥AB，AE=FB，CF=DE

(1)求證：△CAF≌(2)若∠AFC=25°，求∠D的度數(shù)考點1：證明線段相等1.（2023八年級·江蘇蘇州·期末）如圖，已知在△ABC中，GF∥AC，∠BDE=∠BFG，∠AGH=∠C，BE=AH．求證：2.如圖，已知AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求證：BC＝BE.3.（2023八年級·湖北十堰·期末）已知：如圖，AC=AE，∠BAD=∠EAC=∠EDC．

(1)若△ABC中，∠B<90°，D為BC上的一點，DE與AC相交于點F，求證：AD=AB．(2)若△ABC中，∠B>90°，D在CB的延長線上，AE交CB的延長線相交于點E，則（1）的結論是否仍然成立？若成立，請完成下圖，并加以證明；若不成立，請說明理由．考點2：證明角相等4.如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求證：∠1＝∠2.5.（2023八年級·浙江溫州·期中）已知，如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，且BE=CF．求證：∠B=∠C．完成下面的證明過程．證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=__________=90°．∵D是BC的中點，∴BD=__________，又∵BE=CF，∴Rt∴∠B=∠C．6．（2023八年級·山東濟南·期中）如圖，在△ABF與△DCE中，點E，F(xiàn)在線段BC上，BE=CF，AF=DE，∠B=∠C=90°，求證：∠A=∠D．

7．（2023·云南·模擬預測）如圖，D是△ABC內部的一點，BD=CD，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE=CF．求證：∠DBE=∠DCF．考點3：證明線段之間的關系8.已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E.求證：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.9.（2023八年級·江蘇蘇州·期末）如圖，在四邊形OACB中，CE⊥OA于E，∠1=∠2，CA=CB．求證：∠3+∠4=180°；OA+OB=2OE．

10.如圖，四邊形中，，連接對角線，且，點在邊上，連接，過點作，垂足為，若．

(1)求證：；(2)求證：．考點4:解決實際問題11.（2023八年級·安徽·專題練習）如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠ABC和∠DFE的大小間的關系是（）A．∠ABC=∠DFE B．∠ABC＞∠DFEC．∠ABC＜∠DFE D．∠ABC+∠DFE=90°12.（2023八年級·江蘇揚州·期中）如圖，小明與小敏玩蹺蹺板游戲，如果蹺蹺板的支點O（即蹺蹺板的中點）至地面的距離是42cm，當小敏從水平位置CD下降16cm時，小明離地面的高度是13.（2023八年級·河北邢臺·期中）在一次數(shù)學活動中，為了測一堵墻上點A的高度AM，嘉淇設計了如下方案：第一步：找一根長度大于AM的直桿，使直桿靠在墻上，且頂端與點A重合，記錄直桿與地面的夾角∠ABM=55°；第二步：使直桿頂端沿墻面豎直緩慢下滑，使得∠MDC=°，標記此時直桿的底端點D；第三步：測量地面上線段的長度，即為點A的高度．若測得BM=5m，DM=7m，直桿下滑的高度AC=14.（2023八年級·陜西西安·期末）數(shù)學活動課上，小宇帶著組員想要測量學校博智樓AB的高度．他們的測量方案如下：在大樹DE與博智樓AB之間找到一點C，使得此時樹的頂端點D處的視線CD與博智樓的頂端A處的視線交于點C，此時，測量得知∠ACB與∠DCE互余，且BC=DE=10米，BE=28米．請你求出博智樓AB的高度．

15.（2023八年級·湖北孝感·期中）如圖所示，為了固定電線桿AD，將兩根長均為10m的鋼絲一端同系在電線桿上的點A處，另一端固定在地面上的兩個針上，那么兩個錨B,C離電線桿底部D

16.（2023八年級·山東臨沂·期末）張華與爸爸媽媽在公園里蕩秋千，如圖，張華坐在秋千的起始位置A處，OA與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在距地面1.1m高的B處接住他后用力一推，爸爸在C處接住他．若媽媽與爸爸到OA的水平距離BD、CE分別為1.6m和2m(1)△OBD與△OCE全等嗎？請說明理由；(2)爸爸是在距離地面多高的地方接住張華的？（提示：夾在兩條平行線間的垂直線段都相等．）考點5：巧構全等三角形解決問題(1)．作公共邊可構造全等三角形：17.如圖：在四邊形ABCD中，AD∥CB，AB∥CD.求證：∠B＝∠D.18.在ΔABC中，AB＝AC.求證：∠B＝∠C(2)．倍長中線法：19.己知：在ΔABC中，AD為中線.求證：AD＜20、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求證：AB=AC．(3).作以角平分線為對稱軸的翻折變換構造全等三角形：21、在ΔABC中，AB＞AC.求證：∠B＜∠C(4)．利用截長(或補短)法構造全等三角形：22.如圖所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，M是AD上任意一點，求證：MB－MC＜AB－AC．(5)．巧用“延長法”構造全等三角形：23.如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC于D，CE⊥BD的延長線于點E，求證：CE=考點6：利用全等三角形解決設計測量方案問題24.池塘兩端A，B的距離無法直接測量，請同學們設計方案測量A，B的距離．八年級一班甲，乙兩位同學分別設計出了如下兩種方案：甲：如圖①，先在平地上取一個可以直接到達點A，B的點O，連接并延長到點，連接并延長到點，使，，連接，測出的長即可．乙：如圖②，先確定直線，過點作直線，在直線上找可以直接到達點的一點，連接，作，交直線于點，最后測量的長即可．請分析兩種方案可行的理由．

25.如圖，有一條河流（假設河流兩岸平行，即），由于河水湍急，無法下水，為了測量河的寬度，林師傅給出了以下方法：

在河岸上確定點A（如圖），利用紅外線光束，在河岸上確定點，使得與河岸垂直；從A點沿河岸向東直走，記為點（如圖），繼續(xù)向東直走，到達點；從點沿垂直河岸的方向行走，行走過程中，用紅外線光束一直對準，當點剛好出現(xiàn)在紅外線光束上時，停下，記為點；測得的長為．(1)根據(jù)上述方法，河流的寬度為______m；(2)請你根據(jù)林師傅的方法，利用三角板和刻度尺，在圖中畫出，，的位置，并結合題意說明林師傅作法的科學性．26．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）為了解學生對所學知識的應用能力，某校老師在七年級數(shù)學興趣小組活動中，設置了這樣的問題：因為池塘兩端A，B的距離無法直接測量，請同學們設計方案測量A，B的距離．甲、乙兩位同學分別設計出了如下兩種方案：甲：如圖①，先在平地上取一個可以直接到達點A，B的點O，連接并延長到點C，連接并延長到點D，使，，連接，測出的長即可．乙：如圖②，先確定直線，過點B作直線，在直線上找可以直接到達點A的一點D，連接，作，交直線于點C，最后測量的長即可．(1)甲、乙兩同學的方案哪個可行？(2)請說明方案可行的理由．考點7：全等三角形的探究題27.已知：如圖，，是的中點，平分．(1)若連接，則是否平分？請你證明你的結論；(2)線段與有怎樣的位置關系？請說明理由．28.如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點B作BE⊥AD，交AD延長線于點E，F(xiàn)為AB的中點，連接CF，交AD于點G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關系？并說明理由；（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．考點8：動點問題29.如圖，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點分別在AC上和過A點且垂直于AC的射線AQ上運動，問P點運動到AC上什么位置時△ABC才能和△APQ全等？30.（2023八年級·山東淄博·期末）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．點O在BC上，且CO=1，點M是AC上一動點，連接OM，將線段OM繞點O逆時針旋轉90°，得到線段OD，要使點D恰好落在AB上，CM的長度為．31.（2023八年級·湖北武漢·期中）如圖所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，直線l經過點C．點M以每秒2cm的速度從B點出發(fā)，沿B→C→A路徑向終點A運動；同時點N以每秒1cm的速度從A點出發(fā)，沿A→C→B路徑向終點B運動；兩點到達相應的終點就分別停止運動．分別過M、N作MD⊥l于點D，NE⊥l于點E．設運動時間為t秒，要使以點M，D，C為頂點的三角形與以點N，E，C為頂點的三角形全等，則t的值為32．（2023八年級·全國·專題練習）如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，點D在線段BC上運動（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段(1)當∠BDA=115°時，∠EDC=°，∠DEC=(2)當DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由．33.如圖，已知中，，，，點為的中點．

(1)如果點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動．①若點的運動速度與點的運動速度相等，經過秒后，與是否全等，請說明理由．②若點的運動速度與點的運動速度不相等，當點的運動速度為___時，在某一時刻也能夠使與全等．(2)若點以②中的運動速度從點出發(fā)，點以原來的運動速度從點同時出發(fā)，都按逆時針方向沿的三邊運動．求經過多少秒后，點與點第一次相遇，并寫出第一次相遇點在的哪條邊上？34.已知：中，，，D為直線上一動點，連接，在直線右側作，且．(1)如圖，當點D在線段上時，過點E作于H，連接DE，求證：；

(2)如圖，當點D在線段的延長線上時，連接交的延長線于點M．求證：．

35．（2023春·內蒙古呼倫貝爾·八年級校考期中）如圖①，，，，．點P在線段AB上以的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段上由點B向點D運動，它們運動的時間為．

(1)______；（用t的式子表示）(2)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當時，與是否全等，請說明理由，并判斷此時線段和線段的位置關系；(3)如圖②，將圖①中的“，”改為“”，其他條件不變，設點Q的運動速度為，是否存在實數(shù)x，使得與全等？若存在，求出相應的x、t的值；若不存在，請說明理由．一、單選題1．（23-24八年級上·天津寧河·期中）已知為的角平分線，作于D，則下列結論：；；；．其中一定成立的有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（22-23八年級上·湖北武漢·階段練習）在中，，中線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（22-23八年級上·福建福州·開學考試）如圖，已知，，增加下列條件：①；②；③；④．其中能使的條件有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（23-24八年級上·福建廈門·期中）如圖，在四邊形中，，平分，，，，，則的面積是（

）

A． B．6 C．9 D．125．（23-24八年級上·云南保山·期末）用三角尺可按下面方法畫角平分線：如圖擺放使得三角板刻度相同，即，畫射線，則平分．作圖過程用了，那么所用的判定定理是（

），A． B． C． D．6．（23-24八年級下·甘肅蘭州·期中）如圖，于，于，，要根據(jù)“”證明，則還要添加一個條件是（）A． B． C． D．7．（23-24八年級上·重慶渝北·階段練習）如圖所示，在中，，為的中點，過點分別向、作垂線段，則能夠說明的理由是（

）A． B． C． D．8．（23-24八年級上·河北保定·期末）如圖，交于點，交于點，，，，給出下列結論：；②；③；，其中正確的有（）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④9．（22-23八年級上·重慶綦江·期末）如圖所示，在中，，平分，為線段上一動點，為

邊上一動點，當?shù)闹底钚r，的度數(shù)是（

）A．118° B．125° C．136° D．124°10．（22-23八年級上·湖北武漢·期末）如圖，在五邊形中，，，，且，，則五邊形的面積為（

）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空題11．如圖，中，，分別過點B、C作過點A的直線的垂線，垂足分別為D、E，若，則．12．（22-23八年級上·湖南益陽·期末）如圖，在四邊形中，，過的中點O，分別交和于點E、F，若，則．13．（22-23八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，D為中斜邊上的一點，且，過D作BC的垂線，交于E．若，則的長為cm14．（2024·四川成都·二模）要測量河岸相對兩點A、B的距離，已知垂直于河岸，先在上取兩點C、D，使，再過點D作的垂線段，使點A、C、E在一條直線上，如圖．若測出米，則的長為米．15．（23-24八年級下·湖南邵陽·期中）如圖，ABC中，，是上一點，連接，過點作，垂足為，，若，則的值為．16．（23-24八年級上·山東淄博·階段練習）如圖，，且，，且，，，，計算圖中實線所圍成的圖形的面積是．三、解答題17．如圖，已知，、在線段上，與交于點，且，．求證：．18．（21-22八年級上·四川宜賓·期中）如圖，小明坐在秋千的起始位置A處，與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在距地面高的B處接住他后用力一推，爸爸在C處接住他，若媽媽與爸爸到的水平距離分別為和，．(1)與全等嗎？請說明理由；(2)爸爸是在距離地面多高的地方接住小明的？19．（23-24八年級上·新疆喀什·期末）如圖，已知點E為上一點，且求證：．20．（23-24八年級上·安徽六安·階段練習）已知：如圖，，，．

(1)當，時，求的度數(shù)；(2)求證：．21．（22-23八年級上·廣東潮州·階段練習）在中，，，直線經過點，且于，于．(1)當直線繞點旋轉到圖的位置時，求證：①；②；(2)當直線繞點旋轉到圖的位置時，，，求線段的長．22．（23-24八年級上·湖北武漢·期中）如圖，A、B兩個建筑分別位于河的兩岸，要測得它們之間距離，可以從B出發(fā)沿河岸畫一條射線，在上截取，過D作，使E、A、C在同一條直線上，則長就是A、B之間的距離，請你說明道理．23．（22-23八年級上·遼寧營口·期中）如圖所示，在中，，，，為的中點，點在線段上由點出發(fā)向點運動，同時點在線段上由點出發(fā)向點運動，設運動時間為．

(1)若點與點的速度都是，則經過多長時間與全等？請說明理由．(2)若點的速度比點的速度慢，則經過多長時間與全等？請求出此時兩點的速度．(3)若點、點分別以（2）中的速度同時從點，出發(fā)，都按逆時針方向沿三邊運動，則經過多長時間點與點第一次相遇？相遇點在的哪條邊上？請求出相遇點到點B的距離．24．（22-23八年級上·貴州黔東南·期末）【初步探索】（1）如圖1，在四邊形中，，，，、分別是、上的點，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關系．小芮同學探究此問題的方法是：延長到點，使，連接，先證明：，再證明，可得出結論，他的結論應是；【靈活運用】（2）如圖2，若在四邊形中，，，，、分別是、上的點，且，（1）中的結論是否仍然成立，說明理由．【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形中，，，若點在的延長線上，點在的延長線上，滿足，請判斷與的數(shù)量關系．并證明你的結論．

第07講“AAS”與“HL”判定三角形全等（2個知識點+8個考點）模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“AAS”，“HL”．(重點)2．能運用“AAS”“HL”判定方法解決有關問題．(重點)3．“AAS”和“HL”判定方法的探究以及適合“角邊角”判定方法的條件的尋找．(難點)知識點1.三角形全等的推論：角角邊（重點）1.全等三角形判定——“角角邊”兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）要點歸納：由三角形的內角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2.三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.【例1】如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于E.AD與BE交于F，若BF＝AC，求證：△ADC≌△BDF.解析：先證明∠ADC＝∠BDF，∠DAC＝∠DBF，再由BF＝AC，根據(jù)AAS即可得出兩三角形全等．證明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°.∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∠BDF＋∠BFD＋∠DBF＝180°，∴∠DAC＝∠DBF.在△ADC和△BDF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAC＝∠DBF，,∠ADC＝∠BDF，,AC＝BF，))∴△ADC≌△BDF(AAS)．方法總結：在“AAS”中，“邊”是“其中一個角的對邊”．【變式1-1】如圖，在四邊形ABCD中，E是對角線AC上一點，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求證：△ADE≌△CAB．【解答】證明：∵∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠B，在△ADE與△CAB中，∠DAE=∠ACB∠AED=∠B∴△ADE≌△CAB（AAS）．【變式1-2】（2023八年級·浙江湖州·期末）如圖，已知OA=OC，∠B=∠D，∠AOC=∠BOD．求證：△AOB≌△COD．

【答案】見解析【分析】利用AAS，證明△AOB≌△COD即可．【詳解】∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC?∠AOD=∠BOD?∠AOD，即∠COD=∠AOB，又∵OA=OC，∠B=∠D，∴△AOB≌△COD．【點睛】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理，是解題的關鍵．【變式1-3】（2023八年級·湖北孝感·期中）如圖,在△ABC中，AD是BC邊上的中線,CE⊥AD于點E，BF⊥AD交AD的延長線于點F．(1)求證：CE=BF；(2)若AE+AF＝16,求AD的長．【答案】(1)見解析(2)8【分析】本題考查了根據(jù)三角形的中線求線段長度、全等三角形(AAS（1）中線可得BD=CD，通過兩個垂直可以判斷兩個角都為90°，還有對頂角,通過(AAS（2）通過觀察可發(fā)現(xiàn)AE+AF根據(jù)（1）中的全等可拆分為2AD，從而得出答案．【詳解】（1）證明：∵AD是BC的邊上的中線，∴BD=CD，∵CE⊥AD，∴∠BFD=∠CED=90°．

在△BFD和△CED中,∠BFD=∠CED∠BDF=∠CDE∴△BFD≌△CED(AAS∴BF=CE．（2）由（1）知△BFD≌△CED，∴DF=DE，∵AE+AF=16，∴AE+AE+DE+DF=2AE+2DE=16，∴2AD=16，∴AD=8．故AD=8．知識點2.直角三角形全等的判定方法：HL（重點）【例2】如圖，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在線段BC上，DE與AF交于點O，且AB＝CD，BE＝CF.求證：Rt△ABF≌Rt△DCE.解析：由題意可得△ABF與△DCE都為直角三角形，由BE＝CF可得BF＝CE，然后運用“HL”即可判定Rt△ABF與Rt△DCE全等．證明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF與△DCE都為直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BF＝CE，,AB＝CD，))∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．方法總結：利用“HL”判定三角形全等，首先要判定這兩個三角形是直角三角形，然后找出對應的斜邊和直角邊相等即可．【變式2-1】（2023八年級·陜西渭南·期末）如圖，在Rt△ABC和Rt△DAB中，AC=DB，判斷Rt△ABC解：在Rt△ABC和RtAC=DB∴Rt△ABC≌上面的解答過程正確嗎？若不正確，請你說明錯誤的原因．【答案】不正確，錯誤原因見解析．【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定定理判定．【詳解】解：不正確，錯誤原因如下：∵AB在Rt△ABC中是斜邊，在Rt∴不滿足斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等的條件，∴解答過程不正確．【點睛】本題考查了直角三角形的全等判定，熟練掌握判定定理是解題的關鍵【變式2-2】（2023八年級·山東濟南·期末）如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′【答案】見解析【分析】此題考查了全等三角形的判定，根據(jù)三角形中線的定義得到CB=2CD，C′B′=2C′D′，由【詳解】證明：∵AD與A′D′分別為BC∴CB=2CD，C′∵CD=C∴CB=C在Rt△ABC和RtAB=A∴Rt△ABC≌【變式2-3】（2023八年級·廣西南寧·期中）已知，如圖，點A、E、F、B在同一條直線上，CA⊥AB，DB⊥AB，AE=FB，CF=DE

(1)求證：△CAF≌(2)若∠AFC=25°，求∠D的度數(shù)【答案】(1)見解析(2)65°【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理：（1）先證AF=BE，再證△CAF≌（2）根據(jù)△CAF≌△DBE可得【詳解】（1）證明：∵CA⊥AB，DB⊥AB，∴△CAF和△DBE是直角三角形，∵AE=FB，∴AE+EF=FB+EF，即AF=BE，在Rt△CAF和RtAF=BECF=DE∴△CAF≌（2）解：∵△CAF≌∴∠BED=∠AFC=25°，∵DB⊥AB，∴∠B=90°，∴∠D=180°?∠B?∠BED=180°?90°?25°=65°．考點1：證明線段相等1.（2023八年級·江蘇蘇州·期末）如圖，已知在△ABC中，GF∥AC，∠BDE=∠BFG，∠AGH=∠C，BE=AH．求證：【答案】見解析【分析】本題考查了平行線性質，三角形內角和，全等三角形的判定與性質，根據(jù)兩直線平行同位角相等，得到∠BFG=∠C，結合題意以及三角形內角和可得∠B=∠AHG，利用AAS證明△BDE≌△HGA，即可得出結論．【詳解】證明：∵GF∥∴∠BFG=∠C，∵∠BDE=∠BFG，∴∠BDE=∠C，∵∠AGH=∠C，∴∠BDE=∠AGH，∵∠B+∠A+∠C=∠AGH+∠A+∠AHG=180°，∴∠B=∠AHG，在△BDE和△HGA中，∠BDE=∠HGA∠B=∠AHG∴△BDE≌△HGAAAS∴BD=GH．2.如圖，已知AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求證：BC＝BE.解析：根據(jù)“HL”證Rt△ADC≌Rt△AFE，得CD＝EF，再根據(jù)“HL”證Rt△ABD≌Rt△ABF，得BD＝BF，最后證明BC＝BE.證明：∵AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.方法總結：證明線段相等可通過證明三角形全等解決，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應該抓住“直角”這個隱含的已知條件．3.（2023八年級·湖北十堰·期末）已知：如圖，AC=AE，∠BAD=∠EAC=∠EDC．

(1)若△ABC中，∠B<90°，D為BC上的一點，DE與AC相交于點F，求證：AD=AB．(2)若△ABC中，∠B>90°，D在CB的延長線上，AE交CB的延長線相交于點E，則（1）的結論是否仍然成立？若成立，請完成下圖，并加以證明；若不成立，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)結論成立，見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質，熟練掌握三角形全等的判定方法并準確識圖，找出角度之間的關系是解題的關鍵．（1）求出∠BAC=∠DAE，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠B=∠ADE，然后利用“角角邊”證明△ABC和△ADE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可；（2）作出圖形，與（1）的證明思路相同進行證明即可．【詳解】（1）解：證明：∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，∵∠BAD+∠B=∠ADE+∠EDC，∴∠B=∠ADE，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE∠B=∠ADE∴△ABC≌△ADEAAS∴AD=AB；（2）明：結論AD=AB成立．證明如下：如圖，

∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAD?∠BAE=∠EAC?∠BAE，即∠BAC=∠DAE，∵∠BAD+∠ADB=∠ABC，∠ADB+∠EDC=∠ADE，∵∠BAD=∠EDC∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE∠ABC=∠ADE∴△ABC≌△ADEAAS∴AD=AB．考點2：證明角相等4.如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求證：∠1＝∠2.解析：要證角相等，可先證明全等．即證Rt△ABC≌Rt△ADC，進而得出角相等．證明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°，∴△ABC與△ACD為直角三角形．在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,AC＝AC，))∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，∴∠1＝∠2.方法總結：證明角相等可通過證明三角形全等解決．5.（2023八年級·浙江溫州·期中）已知，如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，且BE=CF．求證：∠B=∠C．完成下面的證明過程．證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=__________=90°．∵D是BC的中點，∴BD=__________，又∵BE=CF，∴Rt∴∠B=∠C．【答案】∠CFD，CD，HL【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質知識；證明Rt△BDE≌Rt△CDF【詳解】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°∵D是BC的中點，∴BD=CD又∵BE=CF，∴∴∠B=∠C．6．（2023八年級·山東濟南·期中）如圖，在△ABF與△DCE中，點E，F(xiàn)在線段BC上，BE=CF，AF=DE，∠B=∠C=90°，求證：∠A=∠D．

【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質．由“HL”可證Rt△ABF≌【詳解】證明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，在Rt△ABF和RtAF=DEBF=CE∴Rt∴∠A=∠D．7．（2023·云南·模擬預測）如圖，D是△ABC內部的一點，BD=CD，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE=CF．求證：∠DBE=∠DCF．【答案】見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．根據(jù)HL可證明Rt△DBE≌【詳解】證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．在Rt△BDE和RtBE=CFBD=CD∴Rt∴∠DBE=∠DCF．考點3：證明線段之間的關系8.已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E.求證：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.解析：(1)由垂直的關系可以得到一對直角相等，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由AB＝AC，利用AAS即可得證；(2)由△BDA≌△AEC，可得BD＝AE，AD＝EC，根據(jù)DE＝DA＋AE等量代換即可得證．證明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE.在△BDA和△AEC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADB＝∠CEA＝90°，,∠ABD＝∠CAE，,AB＝AC，))∴△BDA≌△AEC(AAS)；(2)∵△BDA≌△AEC，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.方法總結：利用全等三角形可以解決線段之間的關系，比如線段的相等關系、和差關系等，解決問題的關鍵是運用全等三角形的判定與性質進行線段之間的轉化．9.（2023八年級·江蘇蘇州·期末）如圖，在四邊形OACB中，CE⊥OA于E，∠1=∠2，CA=CB．求證：∠3+∠4=180°；OA+OB=2OE．

【答案】詳見解析【分析】過點C向OB作垂線，構建全等三角形，繼而根據(jù)平角定義以及線段的和差即可證得結論．【詳解】如圖，過點C作CF⊥OB與點F，則∠F=∵∠1=∠2，OC=OC，∴△FOC?△EOC，∴CE=CF，OE=OF，∵CA=CB，∠CEA=∠CFB=90°，∴Rt∴∠4=∠CBF，AE=BF，∵∠3+∠CBF=180°，∴∠3+∠4=180°，∴OA+OB=OE+AE

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，正確添加輔助線構建全等三角形是解題的關鍵．10.如圖，四邊形中，，連接對角線，且，點在邊上，連接，過點作，垂足為，若．

(1)求證：；(2)求證：．【詳解】（1）證明：，，，，在和中，．（2）連接，由證明可得，，在和中，．，，．

考點4:解決實際問題11.（2023八年級·安徽·專題練習）如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠ABC和∠DFE的大小間的關系是（）A．∠ABC=∠DFE B．∠ABC＞∠DFEC．∠ABC＜∠DFE D．∠ABC+∠DFE=90°【答案】D【分析】由題意易證Rt△ABC≌Rt△DEF，從而可得∠BCA=∠DFE，再利用直角三角形兩銳角互余即可得正確結論．【詳解】∵∠CAB=∠FDE=90°在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EFAC=DF∴△ABC≌△DEF∴∠BCA=∠DFE又∵在Rt△ABC中,∴∠ABC+∠DFE=90°故選：D【點睛】本題主要考查了直角三角形全等的判定和性質在實際問題中的應用，問題簡單．12.（2023八年級·江蘇揚州·期中）如圖，小明與小敏玩蹺蹺板游戲，如果蹺蹺板的支點O（即蹺蹺板的中點）至地面的距離是42cm，當小敏從水平位置CD下降16cm時，小明離地面的高度是【答案】58【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，將實際生活與全等三角形的知識結合是解題關鍵．【詳解】解：由題意得：OC=OD，∠FCO=∠GDO=90°，DG=16∵∠FOC=∠GOD，∴△FOC≌△GOD∴CF=DG=16∵支點O（即蹺蹺板的中點）至地面的距離是42cm∴小明離地面的高度是：42+16=58故答案為：5813.（2023八年級·河北邢臺·期中）在一次數(shù)學活動中，為了測一堵墻上點A的高度AM，嘉淇設計了如下方案：第一步：找一根長度大于AM的直桿，使直桿靠在墻上，且頂端與點A重合，記錄直桿與地面的夾角∠ABM=55°；第二步：使直桿頂端沿墻面豎直緩慢下滑，使得∠MDC=°，標記此時直桿的底端點D；第三步：測量地面上線段的長度，即為點A的高度．若測得BM=5m，DM=7m，直桿下滑的高度AC=【答案】35°DM2【分析】測一堵墻上點A的高度AM，可構造Rt△AMB≌Rt△DMC，則DM=AM，即DM的長度就是點A【詳解】解：根據(jù)題意得，∠ABM=55°，AM⊥DM，通過構造直角三角形DMC與直角三角形AMB全等，∴∠MDC=90°?55°=35°，∵利用“角角邊”構造Rt△AMB≌∴AM=DM，∴測量DM的長即為墻上點A的高度AM，∵Rt△AMB≌∴BM=MC=5m，DM=AM=7m，AC=AM?MC，∴AC=7?5=2m．【點睛】本題主要考查全等三角形性質的應用，構造三角形全等是解題的關鍵．14.（2023八年級·陜西西安·期末）數(shù)學活動課上，小宇帶著組員想要測量學校博智樓AB的高度．他們的測量方案如下：在大樹DE與博智樓AB之間找到一點C，使得此時樹的頂端點D處的視線CD與博智樓的頂端A處的視線交于點C，此時，測量得知∠ACB與∠DCE互余，且BC=DE=10米，BE=28米．請你求出博智樓AB的高度．

【答案】博智樓AB的高度是18米【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，根據(jù)∠B=∠E=90°，得出∠A+∠ACB=90°，∠ACB+∠DCE=90°，結合角的等量代換得出∠A=∠DCE，即可證明△ABC≌△CEDAAS【詳解】解：由題意，得∠B=∠E=90°．∵∠A+∠ACB=90°，∠ACB+∠DCE=90°，∴∠A=∠DCE．在△ABC與△CED中，∠A=∠DCE,∴△ABC≌△CEDAAS∴AB=CE．∵BE=28，BC=10，∴CE=28?10=18，即AB=18．答：博智樓AB的高度是18米．15.（2023八年級·湖北孝感·期中）如圖所示，為了固定電線桿AD，將兩根長均為10m的鋼絲一端同系在電線桿上的點A處，另一端固定在地面上的兩個針上，那么兩個錨B,C離電線桿底部D

【答案】相等，見解析【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法即可得．【詳解】相等．理由如下：解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADB和Rt△ADC中，∴Rt∴BD=CD，即兩個針B,C離電線桿底部D的距離相等．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，解題的關鍵是理解題意，掌握全等三角形的判定．16.（2023八年級·山東臨沂·期末）張華與爸爸媽媽在公園里蕩秋千，如圖，張華坐在秋千的起始位置A處，OA與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在距地面1.1m高的B處接住他后用力一推，爸爸在C處接住他．若媽媽與爸爸到OA的水平距離BD、CE分別為1.6m和2m(1)△OBD與△OCE全等嗎？請說明理由；(2)爸爸是在距離地面多高的地方接住張華的？（提示：夾在兩條平行線間的垂直線段都相等．）【答案】(1)全等，見解析(2)1.5【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．（1）根據(jù)AAS證明△COE與△OBD全等即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質得出CE=OD，OE=BD，求出DE=OD?OE=CE?BD=2?1.6=0.4，根據(jù)AE=AD+DE求出結果即可．【詳解】（1）解：△COE≌△OBD．理由如下：由題意可知∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC，∵∠BOC=90°，∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°．∴∠COE=∠OBD．在△COE和△OBD中，∠COE=∠OBD∠CEO=∠ODB∴△COE≌△OBDAAS（2）解：∵△COE≌△OBD，∴CE=OD，OE=BD．∵BD=1.6，CE=2，∴DE=OD?OE=CE?BD=2?1.6=0.4．∵AD=1.1，∴AE=AD+DE=1.5m答：爸爸是在距離地面1.5m的地方接住張華的．考點5：巧構全等三角形解決問題(1)．作公共邊可構造全等三角形：17.如圖：在四邊形ABCD中，AD∥CB，AB∥CD.求證：∠B＝∠D.【思路點撥】∠B與∠D不包含在任何兩個三角形中，只有添加輔助線AC，根據(jù)平行線的性質，可構造出全等三角形.【答案與解析】證明：連接AC，∵AD∥CB，AB∥CD.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4在△ABC與△CDA中∴△ABC≌△CDA（ASA）∴∠B＝∠D【總結升華】添加公共邊作為輔助線的時候不能割裂所給的條件，如果證∠A＝∠C，則連接對角線BD.18.在ΔABC中，AB＝AC.求證：∠B＝∠C【答案】證明：過點A作AD⊥BC在Rt△ABD與Rt△ACD中∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴∠B＝∠C.(2)．倍長中線法：19.己知：在ΔABC中，AD為中線.求證：AD＜【答案與解析】證明：延長AD至E，使DE＝AD，∵AD為中線，∴BD＝CD在△ADC與△EDB中∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC＝BE在△ABE中，AB＋BE＞AE，即AB＋AC＞2AD∴AD＜.【總結升華】用倍長中線法可將線段AC，2AD，AB轉化到同一個三角形中，把分散的條件集中起來.倍長中線法實際上是繞著中點D旋轉180°.20、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求證：AB=AC．方法1：如圖，延長AD到E，使DE=AD，連接BE在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（SAS）∴AC=BE，∠E=∠2∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC方法2：如圖，過點B作BE∥AC，交AD的延長線于點E∵BE∥AC∴∠E=∠2在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（AAS）∴BE=AC∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC(3).作以角平分線為對稱軸的翻折變換構造全等三角形：21、在ΔABC中，AB＞AC.求證：∠B＜∠C【答案與解析】證明：作∠A的平分線，交BC于D，把△ADC沿著AD折疊，使C點與E點重合.在△ADC與△ADE中∴△ADC≌△ADE（SAS）∴∠AED＝∠C∵∠AED是△BED的外角，∴∠AED＞∠B，即∠B＜∠C.【總結升華】作以角平分線為對稱軸的翻折變換構造全等三角形.(4)．利用截長(或補短)法構造全等三角形：22.如圖所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，M是AD上任意一點，求證：MB－MC＜AB－AC．【思路點撥】因為AB＞AC，所以可在AB上截取線段AE＝AC，這時BE＝AB－AC，如果連接EM，在△BME中，顯然有MB－ME＜BE．這表明只要證明ME＝MC，則結論成立．【答案與解析】證明：∵AB＞AC，則在AB上截取AE＝AC，連接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形兩邊之差小于第三邊）．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的對應邊相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．【總結升華】充分利用角平分線的對稱性，截長補短是關鍵.(5)．巧用“延長法”構造全等三角形：23.如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC于D，CE⊥BD的延長線于點E，求證：CE=【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，先證明△ABD≌△ACF(ASA)，得出BD=CF，證明△BCE【詳解】證明：如圖所示，延長CE、BA相交于點F．∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°∴∠EBF=∠ACF．又∵AB=AC，∠BAC=∠CAF∴△ABD∴BD=CF，在△BCE和△BFE中∠EBF=∠CBE∴△BCE∴CE=EF，∴CE=12CF=12考點6：利用全等三角形解決設計測量方案問題24.池塘兩端A，B的距離無法直接測量，請同學們設計方案測量A，B的距離．八年級一班甲，乙兩位同學分別設計出了如下兩種方案：甲：如圖①，先在平地上取一個可以直接到達點A，B的點O，連接并延長到點，連接并延長到點，使，，連接，測出的長即可．乙：如圖②，先確定直線，過點作直線，在直線上找可以直接到達點的一點，連接，作，交直線于點，最后測量的長即可．請分析兩種方案可行的理由．

【詳解】解：甲同學方案：在和中，，，，，；乙同學方案：在和中，，，，，．25.如圖，有一條河流（假設河流兩岸平行，即），由于河水湍急，無法下水，為了測量河的寬度，林師傅給出了以下方法：

在河岸上確定點A（如圖），利用紅外線光束，在河岸上確定點，使得與河岸垂直；從A點沿河岸向東直走，記為點（如圖），繼續(xù)向東直走，到達點；從點沿垂直河岸的方向行走，行走過程中，用紅外線光束一直對準，當點剛好出現(xiàn)在紅外線光束上時，停下，記為點；測得的長為．(1)根據(jù)上述方法，河流的寬度為______m；(2)請你根據(jù)林師傅的方法，利用三角板和刻度尺，在圖中畫出，，的位置，并結合題意說明林師傅作法的科學性．【答案】(1)8(2)見解析【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得，河流的寬度為，故答案為：；（2）解：畫出圖形如下：

根據(jù)題意可得：，，，，∴．26．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）為了解學生對所學知識的應用能力，某校老師在七年級數(shù)學興趣小組活動中，設置了這樣的問題：因為池塘兩端A，B的距離無法直接測量，請同學們設計方案測量A，B的距離．甲、乙兩位同學分別設計出了如下兩種方案：甲：如圖①，先在平地上取一個可以直接到達點A，B的點O，連接并延長到點C，連接并延長到點D，使，，連接，測出的長即可．乙：如圖②，先確定直線，過點B作直線，在直線上找可以直接到達點A的一點D，連接，作，交直線于點C，最后測量的長即可．(1)甲、乙兩同學的方案哪個可行？(2)請說明方案可行的理由．【答案】(1)甲同學的方案可行(2)見解析【詳解】（1）解：甲同學的方案可行；乙同學方案不可行；（2）甲同學方案：在和中，，∴，∴；乙同學方案：在和中，只能知道，，不能判定與全等，故方案不可行．考點7：全等三角形的探究題27.已知：如圖，，是的中點，平分．(1)若連接，則是否平分？請你證明你的結論；(2)線段與有怎樣的位置關系？請說明理由．【詳解】（1）平分，理由為：證明：過點作，垂足為，∵平分，∴，∵，∴（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），又∵，∴，∵，，∴平分（到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）．（2），理由如下：∵，∴，∴（垂直于同一條直線的兩條直線平行），∴（兩直線平行，同旁內角互補）又∵（角平分線定義）∴，∴，∴．即．28.如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點B作BE⊥AD，交AD延長線于點E，F(xiàn)為AB的中點，連接CF，交AD于點G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關系？并說明理由；（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．【詳解】證：（1）BE＝AD，理由如下：如圖，延長BE、AC交于點H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，，∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝BH，∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，，∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝AD．（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．考點8：動點問題29.如圖，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點分別在AC上和過A點且垂直于AC的射線AQ上運動，問P點運動到AC上什么位置時△ABC才能和△APQ全等？解析：本題要分情況討論：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此時AP＝BC＝5cm，可據(jù)此求出P點的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此時AP＝AC，P、C重合．解：根據(jù)三角形全等的判定方法HL可知：(1)當P運動到AP＝BC時，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AP＝BC，,PQ＝AB，))∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；(2)當P運動到與C點重合時，AP＝AC.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AP＝AC，,PQ＝AB，))∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴當AP＝5cm或10cm時，△ABC才能和△APQ全等．方法總結：判定三角形全等的關鍵是找對應邊和對應角，由于本題沒有說明全等三角形的對應邊和對應角，因此要分類討論，以免漏解．30.（2023八年級·山東淄博·期末）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．點O在BC上，且CO=1，點M是AC上一動點，連接OM，將線段OM繞點O逆時針旋轉90°，得到線段OD，要使點D恰好落在AB上，CM的長度為．【答案】5【分析】如圖，作輔助線；首先證明ΔDOE?ΔOMC，得到OC=DE，CM=OE；其次證明BE=DE，求出OE，即可解決問題．【詳解】解：如圖，過點D作DE⊥OB于點E；∵∠DEO=∠DOM=∠C，∴∠DOE+∠COM=∠COM+∠CMO，∴∠DOE=∠OMC；由題意得：OD=OM；在ΔDOE與ΔOMC中，∠DOE=∠OMC∠DEO=∠OCM∴ΔDOE?ΔOMC(AAS)，∴DE=OC=1，CM=OE；∵ΔABC為等腰直角三角形，∴∠B=45°，∠BDE=45°，∴BE=DE=1，OE=7?1?1=5，∴CM=OE=5，故答案為5．【點睛】本題主要考查了旋轉變換的性質、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定等幾何知識點及其應用問題；解題的方法是作輔助線，構造全等三角形；解題的關鍵是靈活運用旋轉變換的性質等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答.31.（2023八年級·湖北武漢·期中）如圖所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，直線l經過點C．點M以每秒2cm的速度從B點出發(fā)，沿B→C→A路徑向終點A運動；同時點N以每秒1cm的速度從A點出發(fā)，沿A→C→B路徑向終點B運動；兩點到達相應的終點就分別停止運動．分別過M、N作MD⊥l于點D，NE⊥l于點E．設運動時間為t秒，要使以點M，D，C為頂點的三角形與以點N，E，C為頂點的三角形全等，則t的值為【答案】173【分析】分0≤t≤5，5<t≤6，6<t≤8.5以及8.5<t≤17四種情況進行討論，利用全等三角形的判定，進行求解即可．【詳解】解：∵AC=5cm，BC=12M從B運動到C需要：12÷2=6s，從C運動到A需要：5÷2=2.5∴M運動的總時間為：8.5sN從A運動到C需要：5÷1=5s，從C運動到B需要：12÷1=12∴N運動的總時間為：17s∴當0≤t≤5時：MC=12?2t，CN=5?t，∵MD⊥l，NE⊥l，∴∠MDC=∠NEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠MCD+∠NCE=∠MCD+∠CMD，∴∠NCE=∠CMD，∴當MC=NC時：△MDC≌△CENAAS即：12?2t=5?t，∴t=7（不合題意，舍去）；當：5<t≤6時，MC=12?2t，CN=t?5，當M,N重合時，，即：CM=CN，△MDC≌△CEN，∴12?2t=t?5，解得：t=17當：6<t≤8.5時，MC=2t?12，CN=t?5，∵∠MDC=∠NEC=90°，∠NCE=∠CMD=90°?∠MCD，∴當MC=NC時：△MDC≌△CENAAS即：2t?12=t?5，解得：t=7；當：8.5<t≤17時，MC=5，CN=t?5，∵∠MDC=∠NEC=90°，∠NCE=∠CMD=90°?∠MCD，∴當MC=NC時：△MDC≌△CENAAS即：5=t?5，解得：t=10；綜上：當t的值為173故答案為：173【點睛】本題考查全等三角形中的動點問題．熟練掌握全等三角形的判定，根據(jù)動點的位置，進行分類討論，是解題的關鍵．32．（2023八年級·全國·專題練習）如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，點D在線段BC上運動（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段(1)當∠BDA=115°時，∠EDC=°，∠DEC=(2)當DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由．【答案】(1)25，115(2)2【分析】此題主要考查三角形綜合題，全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質等知識點的理解和掌握，此題涉及到的知識點較多，綜合性較強．（1）利用鄰補角的性質和三角形內角和定理解題；（2）當DC=2時，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌【詳解】（1）解：∵∠ADE=40°，∠∴∠EDC=180°?∴∠AED=∴∠DEC=180°?（2）解：當DC=2時，△ABD≌∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，在△ABD和△DCE中，∠ADB=∠DEC∠B=∠C∴△ABD≌△DCEAAS33.如圖，已知中，，，，點為的中點．

(1)如果點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動．①若點的運動速度與點的運動速度相等，經過秒后，與是否全等，請說明理由．②若點的運動速度與點的運動速度不相等，當點的運動速度為___時，在某一時刻也能夠使與全等．(2)若點以②中的運動速度從點出發(fā)，點以原來的運動速度從點同時出發(fā)，都按逆時針方向沿的三邊運動．求經過多少秒后，點與點第一次相遇，并寫出第一次相遇點在的哪條邊上？【答案】(1)①全等，理由見詳解；②(2)經過后，點與點第一次在邊上相遇【詳解】（1）解：①全等，理由如下，∵，∴，∵，點為的中點，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，在中，，∴；②假設，且，∴，∵，，∴，，∴點，點運動的時間，∴點的速度為：，∴當點的運動速度為時，與全等，故答案為：．（2）解：設經過后點相遇，∴，解得，，∴點共運動了，∵，∴點，點在邊上相遇，∴經過后，點與點第一次在邊上相遇．34.已知：中，，，D為直線上一動點，連接，在直線右側作，且．(1)如圖，當點D在線段上時，過點E作于H，連接DE，求證：；

(2)如圖，當點D在線段的延長線上時，連接交的延長線于點M．求證：．

【詳解】（1）∵，，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．（2）如圖，作交的延長線于點F，

∵，，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∵．35．（2023春·內蒙古呼倫貝爾·八年級?？计谥校┤鐖D①，，，，．點P在線段AB上以的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段上由點B向點D運動，它們運動的時間為．

(1)______；（用t的式子表示）(2)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當時，與是否全等，請說明理由，并判斷此時線段和線段的位置關系；(3)如圖②，將圖①中的“，”改為“”，其他條件不變，設點Q的運動速度為，是否存在實數(shù)x，使得與全等？若存在，求出相應的x、t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)；；理由見解析(3)存在，或，使得與全等【詳解】（1）解：∵點P在線段AB上以的速度由點A向點B運動，∴，∵，∴，故答案為：．（2）解：，，理由如下：當時，，，又，在和中，∵，，，，，∴．（3）解：由題意可得：，，，，①若，則，，則，，解得：，；②若，則，，則，解得：，；綜上所述，存在，或，使得與全等．一、單選題1．（23-24八年級上·天津寧河·期中）已知為的角平分線，作于D，則下列結論：；；；．其中一定成立的有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質等知識；先證得，，，則①②③成立，再由直角三角形的性質得，，當時，，則④不一定成立，即可得出結論．【詳解】∵為的角平分線，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，，故①②③成立，∵，∴，，當時，，故④不一定成立，一定成立的有3個，故選：C．2．（22-23八年級上·湖北武漢·階段練習）在中，，中線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、三角形三邊關系等知識，作輔助線（延長至，使，連接）構建全等三角形，然后由全等三角形的對應邊相等知；而三角形的兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊，據(jù)此可以求得的取值范圍．【詳解】解：延長至，使，連接，則，∵是邊上的中線，是中點，∴，又∵，∴，∴，由三角形三邊關系，得，即，∴．故選：B．3．（22-23八年級上·福建福州·開學考試）如圖，已知，，增加下列條件：①；②；③；④．其中能使的條件有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】此題考查了全等三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．先根據(jù)得到，根據(jù)“”對①進行判斷；根據(jù)“”對③進行判斷；根據(jù)“”對④進行判斷；根據(jù)全等三角形的判定方法對②進行判斷．【詳解】解：∵，∴，即，當時，在和中，，∴；當時，不能判斷．當時，在和中，，∴；當時，在和中，，∴；綜上分析可知，能使的條件有3個．故選：C．4．（23-24八年級上·福建廈門·期中）如圖，在四邊形中，，平分，，，，，則的面積是（

）

A． B．6 C．9 D．12【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的定義和三角形的面積，利用全等三角形的性質求出是解此題的關鍵．可以過D作，交的延長線于F，證明得出，，再證明，得出，求出，求出的面積即可．【詳解】解：過D作，交的延長線于F，

∵平分，∴，在和中，，∴∴，，在和中，∴，∴，∴∴的面積為，故選：A．5．（23-24八年級上·云南保山·期末）用三角尺可按下面方法畫角平分線：如圖擺放使得三角板刻度相同，即，畫射線，則平分．作圖過程用了，那么所用的判定定理是（

），A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判斷和性質是解題的關鍵．根據(jù)已知條件得出得出答案．【詳解】解：∵，∴，在和中，，∴．故選：C．6．（23-24八年級下·甘肅蘭州·期中）如圖，于，于，，要根據(jù)“”證明，則還要添加一個條件是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查的是直角三角形的全等的判定，斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“”）．直接根據(jù)直角三角形的全等的判定方法可得答案．【詳解】解：在和中，，，故選：B．7．（23-24八年級上·重慶渝北·階段練習）如圖所示，在中，，為的中點，過點分別向、作垂線段，則能夠說明的理由是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據(jù)證明即可，解題的關鍵是要熟練掌握全等三角形的判定方法，，，，．【詳解】∵為中點，∴，∵由點分別向、作垂線段、，∴，在與中，，∴，故選：．8．（23-24八年級上·河北保定·期末）如圖，交于點，交于點，，，，給出下列結論：；②；③；，其中正確的有（）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質，證明得出，即可判斷①②；證明即可判斷③；證明得出，即可判斷④，從而得出答案．【詳解】解：，，，，，，故②正確，符合題意；，即，故①正確，符合題意；，，，，，故③正確，符合題意；，，，，，，，，，和不一定相等，故④錯誤，不符合題意；綜上所述，正確的有①②③，故選：A．9．（22-23八年級上·重慶綦江·期末）如圖所示，在中，，平分，為線段上一動點，為

邊上一動點，當?shù)闹底钚r，的度數(shù)是（

）A．118° B．125° C．136° D．124°【答案】D【分析】先在上截取，連接，證明，得出，說明，找出當A、P、E在同一直線上，且時，最小，即最小，過點A作于點E，交于點P，根據(jù)三角形外角的性質可得答案．【詳解】解：在上截取，連接，如圖：∵平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∴當A、P、E在同一直線上，且時，最小，即最小，過點A作于點E，交于點P，如圖：∵，，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形全等的判定和性質，垂線段最短，三角形內角和定理與三角形的外角的性質，解題的關鍵是找出使最小時點P的位置．10．（22-23八年級上·湖北武漢·期末）如圖，在五邊形中，，，，且，，則五邊形的面積為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、三點共線，解題的關鍵是利用全等的性質將面積進行轉化．將繞點A逆時針旋轉至，首先證明點D，E，F(xiàn)三點共線，證明，得到，，再將所求面積轉化為進行計算即可．【詳解】如圖，將繞點A逆時針旋轉至，，，則，，，即點D，E，F(xiàn)三點共線，，，即，在和中，，，，五邊形的面積為：，，．故選：D．二、填空題11．如圖，中，，分別過點B、C作過點A的直線的垂線，垂足分別為D、E，若，則．【答案】5【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，關鍵是掌握全等三角形的判定定理與性質定理．首先證明，然后再根據(jù)定理證明，根據(jù)全等三角形的性質可得，，進而得到答案．【詳解】解：，，，，，，，，在和中，，，，．故答案為：5．12．（22-23八年級上·湖南益陽·期末）如圖，在四邊形中，，過的中點O，分別交和于點E、F，若，則．【答案】2【分析】本題主要考查三角形全等的判定和性質，掌握三角形全等的判定方法，性質是解題的關鍵．根據(jù)，可得，根據(jù)點是的中點，可得，可證，根據(jù)全等三角形的性質即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵點是的中點，∴，在中，，，∴，∴，故答案為：．13．（22-23八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，D為中斜邊上的一點，且，過D作BC的垂線，交于E．若，則的長為cm【答案】6【分析】本題主要考查了全等三角形的性質和判定，先連接，再根據(jù)“”證明，然后根據(jù)全等三角形的性質得出答案．【詳解】連接．在和中，，∴，∴．故答案為：6．14．（2024·四川成都·二模）要測量河岸相對兩點A、B的距離，已知垂直于河岸，先在上取兩點C、D，使，再過點D作的垂線段，使點A、C、E在一條直線上，如圖．若測出米，則的長為米．【答案】20【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，熟練掌握全等三角形的判定定理是關鍵．由、均垂直于，即可得出，結合、即可證出，由此即可得出，此題得解．【詳解】解：，，，在和中，，，．故答案為：20．15．（23-24八年級下·湖南邵陽·期中）如圖，ABC中，，是上一點，連接，過點作，垂足為，，若，則的值為．【答案】/14厘米【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，由“”可證，可得，即可求解．【詳解】解：在和中