滬科版初中九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)21-3二次函數(shù)與一元二次方程課件

第21章二次函數(shù)與反比例函數(shù)21.3二次函數(shù)與一元二次方程基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1.(2024安徽合肥夢(mèng)園中學(xué)期中)二次函數(shù)y=x2-2x+1的圖象與

x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是(M9121003)(

)A.0B.1C.2D.不確定B解析∵Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×1=0,∴二次函數(shù)y=x2-2x+1的圖

象與x軸有一個(gè)交點(diǎn).故選B.2.(2023安徽阜陽(yáng)太和期末)若二次函數(shù)y=a(x+1)2+k的圖象與

x軸交于A(yíng)(-3,0),B兩點(diǎn),則點(diǎn)B的坐標(biāo)是(M9121003)(

)A.(1,0)

B.(2,0)C.(-1,0)D.(3,0)A解析由拋物線(xiàn)的表達(dá)式可知對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-1,∵A(-3,0),

點(diǎn)A,B關(guān)于直線(xiàn)x=-1對(duì)稱(chēng),∴B(1,0),故選A.3.(易錯(cuò)題)(2024安徽宣城寧國(guó)月考)已知二次函數(shù)y=kx2-7x-7

的圖象和x軸有交點(diǎn),則k的取值范圍是(M9121003)(

)A.k>-

B.k≥-

C.k≥-

且k≠0D.k>-

且k≠0C解析∵二次函數(shù)y=kx2-7x-7的圖象和x軸有交點(diǎn),∴Δ=(-7)2

+28k≥0,且k≠0,∴k≥-

且k≠0.故選C.易錯(cuò)警示二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零題中的函數(shù)是二次函數(shù),所以隱含二次項(xiàng)系數(shù)不為0的條件.

此題容易漏掉k≠0導(dǎo)致錯(cuò)解.4.(新獨(dú)家原創(chuàng))拋物線(xiàn)y=ax2-2x+3a與x軸交于兩點(diǎn),兩點(diǎn)坐標(biāo)

分別為(m,0),(n,0),則mn的值為

.(M9121003)3解析由題意得,m,n是一元二次方程ax2-2x+3a=0的兩個(gè)根,

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得mn=3.5.(2024安徽合肥四十五中月考)已知二次函數(shù)y=x2-(m+2)x+

2m-1.(1)求證:不論m取何值,該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn);(2)若該函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)(0,3),求該函數(shù)的圖象與x軸

的交點(diǎn)坐標(biāo).(M9121003)解析

(1)證明:令y=0,即x2-(m+2)x+2m-1=0,∵Δ=[-(m+2)]2-

4(2m-1)=m2+4m+4-8m+4=m2-4m+8=(m-2)2+4≥4,∴Δ>0,∴方

程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,即函數(shù)y=x2-(m+2)x+2m-1的圖

象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn).(2)∵該函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)(0,3),∴2m-1=3,∴m=2,∴該

函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-4x+3.y=x2-4x+3=(x-2)2-1,當(dāng)y=0時(shí),0=(x-

2)2-1,解得x1=3,x2=1,∴該函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別

為(3,0),(1,0).知識(shí)點(diǎn)2用圖象法求一元二次方程的近似解6.(2024安徽蚌埠懷遠(yuǎn)期中)下表列出了函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠

0)中自變量x與函數(shù)y的部分對(duì)應(yīng)值.根據(jù)表中數(shù)據(jù),判斷一元

二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個(gè)解在哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之

間(M9121003)(

)x-2-1012y121-2-7DA.1與2之間B.-2與-1之間C.-1與0之間D.0與1之間解析∵當(dāng)x=0時(shí),y=1,當(dāng)x=1時(shí),y=-2,∴當(dāng)x分別取0和1時(shí),對(duì)

應(yīng)的y值由正到負(fù),∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個(gè)

解在0與1之間,故選D.7.(一題多解)(數(shù)形結(jié)合思想)用圖象法求一元二次方程x2-2x-

2=0的近似解(精確到0.1).(M9121003)解析解法一:畫(huà)函數(shù)y=x2-2x-2的圖象,如圖:

可知,圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)近似為-0.7和2.7,所以一

元二次方程x2-2x-2=0的近似根為x1=-0.7,x2=2.7.解法二:在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫(huà)出函數(shù)y=x2與y=2x

+2的圖象,如圖:

可知,二次函數(shù)y=x2與一次函數(shù)y=2x+2的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)

近似是-0.7和2.7,所以一元二次方程x2-2x-2=0的近似根為x1=

-0.7,x2=2.7.知識(shí)點(diǎn)3二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系8.(教材變式·P35T9)(2024安徽蕪湖月考)如圖,二次函數(shù)y=ax2

+bx+c的圖象與x軸交于(-2,0)和(4,0)兩點(diǎn),當(dāng)函數(shù)值y>0時(shí),自

變量x的取值范圍是

(

)A.x<-2B.x>4

C.-2<x<4D.x>0

C解析∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于(-2,0)和(4,0)

兩點(diǎn),圖象開(kāi)口向下,∴函數(shù)值y>0時(shí),自變量x的取值范圍是-

2<x<4,故選C.9.(2024安徽六安皋城中學(xué)月考)如圖,已知二次函數(shù)y1=ax2+

bx+c與一次函數(shù)y2=kx+m的圖象相交于A(yíng)(-1,2)、B(4,1)兩點(diǎn),

則關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是

.x<-1或x>4解析兩函數(shù)圖象相交于A(yíng)(-1,2)、B(4,1)兩點(diǎn),由題圖得不

等式ax2+bx+c>kx+m的解集是x<-1或x>4.10.(2023湖南衡陽(yáng)中考,12,?)已知m>n>0,若關(guān)于x的方程x2+2x-3-m=0的解為x1,x2(x1<x2),關(guān)于x的方程x2+2x-3-n=0的解

為x3,x4(x3<x4),則下列結(jié)論正確的是

(

)A.x3<x1<x2<x4B.x1<x3<x4<x2C.x1<x2<x3<x4D.x3<x4<x1<x2能力提升全練B解析關(guān)于x的方程x2+2x-3-m=0的解為拋物線(xiàn)y=x2+2x-3與

直線(xiàn)y=m的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),關(guān)于x的方程x2+2x-3-n=0的解為

拋物線(xiàn)y=x2+2x-3與直線(xiàn)y=n的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),如圖所示.由圖

可知,x1<x3<x4<x2,故選B.

11.(2023四川自貢中考,11,?)經(jīng)過(guò)A(2-3b,m),B(4b+c-1,m)兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)y=-

x2+bx-b2+2c(x為自變量)與x軸有交點(diǎn),則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為(M9121003)(

)A.10B.12C.13D.15B解析∵經(jīng)過(guò)A(2-3b,m),B(4b+c-1,m)兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)y=-

x2+bx-b2+2c(x為自變量)與x軸有交點(diǎn),∴

=-

,Δ=b2-4×

×(-b2+2c)≥0,∴b=c+1,b2≤4c,∴(c+1)2≤4c,∴(c-1)2≤0,∴c-1=0,解得c=1,∴b=c+1=2,∴AB=|(4b+c-

1)-(2-3b)|=|4b+c-1-2+3b|=|7b+c-3|=|7×2+1-3|=|14+1-3|=12.故

選B.12.(新考向·新定義試題)(2023四川巴中中考,18,?)規(guī)定:如果兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),那么稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)互為

“Y函數(shù)”.例如:函數(shù)y=x+3與y=-x+3互為“Y函數(shù)”.若函

數(shù)y=

x2+(k-1)x+k-3的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),則它的“Y函數(shù)”的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

.(3,0)或(4,0)解析當(dāng)k=0時(shí),該函數(shù)表達(dá)式為y=-x-3,它的“Y函數(shù)”表達(dá)

式為y=x-3,它們的圖象與x軸都只有一個(gè)交點(diǎn),∴它的“Y函

數(shù)”的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0);當(dāng)k≠0時(shí),該函數(shù)為二

次函數(shù),若二次函數(shù)y=

x2+(k-1)x+k-3的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),則(k-1)2-4×

×(k-3)=0,解得k=-1,∴二次函數(shù)的解析式為y=-

x2-2x-4=-

(x+4)2,∴它的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,0),∴它的“Y函數(shù)”的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0).綜上,

該函數(shù)的“Y函數(shù)”的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)或(4,0).13.(2024安徽六安皋城中學(xué)期中,14,?)已知直線(xiàn)y1=kx-4k經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y2=ax2-4ax(a≠0)的頂點(diǎn),且當(dāng)x<2時(shí),y1>y2.(1)直線(xiàn)y1與拋物線(xiàn)y2都經(jīng)過(guò)同一個(gè)定點(diǎn),這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是

;(2)當(dāng)y1>y2時(shí),自變量x的取值范圍是

.(4,0)x<2或x>4解析

(1)∵y1=kx-4k=k(x-4),∴直線(xiàn)y1=kx-4k恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,0).

∵y2=ax2-4ax=ax(x-4),∴拋物線(xiàn)y2=ax2-4ax(a≠0)恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,

0),即y2與y1都經(jīng)過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)(4,0).(2)∵y2=ax2-4ax=a(x-2)2-4a,∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-4a).∵直線(xiàn)y1=kx-4k經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y2=ax2-4ax(a≠0)的頂點(diǎn),∴直線(xiàn)y1與拋物線(xiàn)y2的交點(diǎn)為(2,-4a),(4,0).∵當(dāng)x<2時(shí),y1>y2,∴a<0,k<0.畫(huà)出大致圖象如下.∴當(dāng)y1>y2時(shí),自變量x的取值范圍是x<2或x>4.14.(2024安徽蚌埠月考,17,?)已知一次函數(shù)y1=2x-2,二次函數(shù)y2=-x2+mx+n(m,n為常數(shù)).(1)如圖,若兩函數(shù)圖象交于點(diǎn)(3,a),(b,-6),求二次函數(shù)的表達(dá)式,并寫(xiě)出當(dāng)y1<y2時(shí),x的取值范圍;(2)請(qǐng)寫(xiě)出一組m,n的值,使兩函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn),并說(shuō)

明理由.解析

(1)將(3,a)代入y1=2x-2得a=6-2=4,將(b,-6)代入y1=2x-2,

得-6=2b-2,解得b=-2.∴拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),(-2,-6).將(3,4),(-2,-

6)代入y2=-x2+mx+n,得

解得

∴y=-x2+3x+4.由圖象可得,當(dāng)-2<x<3時(shí),拋物線(xiàn)在直線(xiàn)上方,∴y1<y2時(shí),x

的取值范圍是-2<x<3.(2)令-x2+mx+n=2x-2,整理得x2+(2-m)x-(2+n)=0,當(dāng)Δ=(2-m)2+4

(2+n)=0時(shí),兩函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn),∴可取m=2,n=-2.答

案不唯一.15.(抽象能力)(新考向·閱讀理解試題)請(qǐng)閱讀下列解題過(guò)程.解一元二次不等式:x2-5x>0.解:設(shè)x2-5x=0,解得x1=0,x2=5,則拋物線(xiàn)y=x2-5x與x軸的交點(diǎn)坐

標(biāo)為(0,0)和(5,0),畫(huà)出二次函數(shù)y=x2-5x的大致圖象(如圖所

示),由圖象可知,當(dāng)x<0或x>5時(shí),函數(shù)圖象位于x軸上方,此

時(shí)y>0,即x2-5x>0,所以,一元二次不等式x2-5x>0的解集為x<0

或x>5.通過(guò)對(duì)上述解題過(guò)程的學(xué)習(xí),請(qǐng)你按其解題的思路和方法解答下列問(wèn)題:素養(yǎng)探究全練(1)上述解題過(guò)程中,滲透的數(shù)學(xué)思想有

;(2)直接寫(xiě)出一元二次不等式x2-5x≤0的解集:

;(3)用類(lèi)似的方法解一元二次不等式-x2-3x+4>0.

解析

(1)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.(2)由題圖可知,當(dāng)