滬科版初中九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)22-3相似三角形的性質(zhì)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練課件

第22章相似形22.3相似三角形的性質(zhì)1.若△ABC∽△DEF,相似比為3∶1,則△ABC與△DEF對(duì)應(yīng)

的角平分線之比為

(

)A.1∶3B.3∶1C.9∶1D.1∶9基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角

平分線的比都等于相似比B解析∵△ABC∽△DEF,相似比為3∶1,∴△ABC與△DEF

對(duì)應(yīng)的角平分線之比為3∶1.故選B.2.(2024安徽滁州明光期中)若兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比

為

,則它們對(duì)應(yīng)邊上的高之比為(M9122006)(

)A.

B.

C.

D.

B解析因?yàn)閮蓚€(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比與對(duì)應(yīng)中線的比相

等,都等于相似比,所以它們對(duì)應(yīng)邊上的高之比為

.故選B.3.(教材變式·P91T10)(跨學(xué)科·物理)(2024河南鄭州期末)如

圖,小明自制了一個(gè)小孔成像裝置,其中直筒的長(zhǎng)度為15cm.

他準(zhǔn)備了一支長(zhǎng)為20cm的蠟燭,想要得到高度為5cm的像,

蠟燭應(yīng)放在距離直筒多遠(yuǎn)的地方(M9122006)(

)A.60cmB.50cmC.40cm

D.30cm

A解析如圖,過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB,垂足為E,延長(zhǎng)EO交CD于點(diǎn)F,

由題意得EF⊥CD,OF=15cm,AB∥CD,∴∠OAB=∠ODC,∠

OBA=∠OCD,∴△OAB∽△ODC,∴

=

,∴

=

,解得OE=60cm,∴蠟燭應(yīng)放在距離直筒60cm遠(yuǎn)的地方,故選A.

4.(新獨(dú)家原創(chuàng))如圖,點(diǎn)D,E分別在△ABC的邊AB和AC上,∠

AED=∠ABC,AF平分∠BAC,交DE于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)F.若AD

=2,AC=4,則AG∶AF=

.(M9122006)1∶2解析∵∠AED=∠ABC,∠EAD=∠BAC,∴△ADE∽△

ACB.又AF平分∠BAC,∴AG∶AF=AD∶AC=2∶4=1∶2.5.如圖,AD、A'D'分別是△ABC和△A'B'C'的中線,且

=

=

,∠B=∠B'.求

的值.(M9122006)

解析∵

=

,∠B=∠B',∴△ABC∽△A'B'C'.∵AD、A'D'分別是△ABC和△A'B'C'的中線,∴

=

=

.知識(shí)點(diǎn)2相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比6.(2023重慶中考)若兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比為1∶4,則這

兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比是

(

)A.1∶2B.1∶4C.1∶8

D.1∶16B解析∵兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比為1∶4,∴這兩個(gè)三角形

對(duì)應(yīng)邊的比為1∶4.故選B.7.(一題多解)(2022江蘇連云港中考)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為

2,3,4,另有一個(gè)與它相似的△DEF,其最長(zhǎng)邊為12,則△DEF的

周長(zhǎng)是(M9122006)(

)A.54B.36C.27D.21C解析解法一:設(shè)△ABC中長(zhǎng)為2的邊對(duì)應(yīng)△DEF中的邊是x,

長(zhǎng)為3的邊對(duì)應(yīng)的邊是y,∵△ABC∽△DEF,∴

=

=

,∴x=6,y=9,∴△DEF的周長(zhǎng)是27.解法二:∵△ABC∽△DEF,相似比為

=

,∴

=

,∴

=

,∴

=27.故選C.8.(2024安徽省清華附中合肥學(xué)校月考)已知△ABC∽△A'B'

C',AB=2,A'B'=6,則△ABC與△A'B'C'的周長(zhǎng)之比為

.1∶3解析∵△ABC∽△A'B'C',AB=2,A'B'=6,∴△ABC與△A'B'C'的周長(zhǎng)之比為2∶6=1∶3.9.(新考法)如圖,已知矩形ABCD的邊AD=8,將矩形ABCD折

疊,使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處,折痕與邊BC交于點(diǎn)O.

(M9122006)(1)求證:△OCP∽△PDA;(2)若OB=5,求△OCP與△PDA的周長(zhǎng)之比.

解析本題利用折疊考查相似三角形的判定和性質(zhì),比較新

穎.(1)證明:∵四邊形ABCD為矩形,∴∠B=∠C=∠D=90°,由折疊可知∠APO=∠B=90°,∴∠

APD+∠CPO=90°.∵∠APD+∠DAP=90°,∴∠DAP=∠CPO,

又∵∠C=∠D=90°,∴△OCP∽△PDA.(2)在矩形ABCD中,BC=AD=8,∠C=90°,由折疊可知PO=BO,∵OB=5,∴OC=BC-OB=3,OP=OB=5,∴CP=

=4,∵△OCP∽△PDA,∴△OCP與△PDA的周長(zhǎng)之比為CP∶

AD=4∶8=1∶2.知識(shí)點(diǎn)3相似三角形面積的比等于相似比的平方10.(2024安徽淮南謝家集期末)如果△ABC∽△DEF,其面積

比為9∶16,那么它們的周長(zhǎng)比為(M9122006)(

)A.4∶3B.1∶3C.9∶16D.3∶4D解析∵△ABC∽△DEF,其面積比為9∶16,∴相似比為3∶

4,∴它們的周長(zhǎng)比為3∶4,故選D.11.(2024安徽合肥濱湖壽春中學(xué)月考)兩個(gè)相似三角形的相

似比為1∶2,較小的三角形的面積為4,則較大三角形的面積

為(M9122006)(

)A.2B.8C.16D.1C解析∵兩個(gè)相似三角形的相似比為1∶2,∴兩個(gè)相似三角

形的面積比為1∶4,∵較小三角形的面積為4,∴較大三角形

的面積為16.故選C.12.(2023江蘇南通中考)如圖,△ABC中,D,E分別是AB,AC的

中點(diǎn),連接DE,則

=

.(M9122006)

解析∵D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),∴

=

=

,又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC,∴

=

=

.13.(教材變式·P91T8)(2024安徽淮北期中)如圖,在?ABCD

中,

=

,BD與MC相交于點(diǎn)O,則

∶

=

.(M9122006)4∶9解析∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,∴△MOD

∽△COB,∵

=

,∴S△MOD∶S△COB=

=

.14.(2024安徽合肥四十二中期中)如圖,AM平分∠BAD,作BF

∥AD交AM于點(diǎn)F,點(diǎn)C在BF的延長(zhǎng)線上,CF=BF,DC的延長(zhǎng)

線交AM于點(diǎn)E.(M9122006)(1)求證:AB=BF;(2)若AB=1,AD=4,求

∶

的值.

解析

(1)證明:∵AM平分∠BAD,∴∠BAM=∠DAM,∵BF∥AD,∴∠BFA=∠DAM,∴∠

BAM=∠BFA,∴AB=BF.(2)∵AB=1,∴AB=BF=CF=1,∵BC∥AD,∴△CEF∽△DEA,

∴

=

=

.能力提升全練15.(2024安徽合肥月考,4,?)如圖所示,△ABC中,DE∥BC,若AD∶DB=1∶2,則下列結(jié)論中正確的是

(

)A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

D解析∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵AD∶DB=1∶2,∴

AD∶AB=1∶3,∴兩相似三角形的相似比為1∶3,∵兩個(gè)相

似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比,面積的比等于相似比的平

方,∴D正確.故選D.16.(2024安徽淮北期中,10,?)如圖,BE是△ABC的中線,點(diǎn)D在BC上且滿足CD=2BD,連接AD,與BE交于點(diǎn)F,則

的值為(M9122006)(

)A.

B.

C.4D.

C解析如圖,過(guò)點(diǎn)E作EG∥BC交AD于G,∴△AGE∽△ADC,

∵BE是△ABC的中線,∴AE=EC,∴

=

=

=

,∴CD=2GE,AD=2AG,∵CD=2BD,∴BD=GE,∵GE∥BC,∴∠EGF=∠BDF,∵∠BFD=∠E-

FG,∴△BDF≌△EGF(AAS),∴DF=GF,∴AG=2GF,設(shè)S△GEF=

m,則S△AGE=2m,∴S△AEF=3m,∵

=

=

,∴S△ACD=8m,∵CD=2BD,∴S△ABD=4m,∴S△ABC=12m,∴

=

=4.故選C.17.(2024安徽淮南謝家集期末,12,?)如圖,在正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在

網(wǎng)格線的交點(diǎn)上.設(shè)△ABC的周長(zhǎng)為C1,△DEF的周長(zhǎng)為C2,則

的值等于

.(M9122006)

解析∵

=

=

,

=

=

,

=

=

,∴

=

=

=

,∴△ABC∽△DEF,∴

=

=

.18.(2023遼寧中考,17,?)如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC,交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E,連接OE,交AB于點(diǎn)F,則四邊形BCOF的面積與△AEF的面

積的比值為

.(M9122006)

解析∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,OA=OC,

∵AE∥BC,BE∥AC,∴四邊形AEBC是平行四邊形,∴AC=

BE,∴BE=2OA,∵OA∥BE,∴△OAF∽△EBF,且相似比為

,∴

=

=

,∴

=4

,∵

=

=2,∴

=2

,同理

=2

,

=

,設(shè)

=x,則

=4x,

=2x,

=2x,

=

=

+

=x+2x=3x,S四邊形BCOF=S△BOC+S△BOF=3x+2x=5x,∴

=

=

.19.(2023山東日照中考,16,?)如圖,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,點(diǎn)P在對(duì)角線BD上,過(guò)點(diǎn)P作MN⊥BD,交邊AD,BC于

點(diǎn)M,N,過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AD交BD于點(diǎn)E,連接EN,BM,DN.下列

結(jié)論:①EM=EN;②四邊形MBND的面積不變;③當(dāng)AM∶MD

=1∶2時(shí),S△MPE=

;④BM+MN+ND的最小值是20.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

.

②③④解析①當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí),可知EM≠EN,故①錯(cuò)誤;②如圖,延長(zhǎng)ME交BC于點(diǎn)H,∵M(jìn)N⊥BD,∴∠MPD=90°,∴

∠PMD+∠PDM=90°,∵M(jìn)E⊥AD,∴∠EMD=90°,∴∠EMP+∠PMD=90°,∴∠

EMP=∠PDM,∵∠MHN=∠A=90°,∴△MHN∽△DAB,∴

=

,易得BD=10,MH=6,∴

=

,解得MN=

,∴S四邊形MBND=

×10×

=

,故四邊形MBND的面積不變,故②正確;③當(dāng)AM∶MD=1∶2時(shí),易證△DME∽△DAB,∴

=

,即

=

,解得ME=4,易證△MPE∽△DAB,∴

=

,即

=

,解得S△MPE=

,故③正確;④如圖,過(guò)點(diǎn)D作MN的平行線,過(guò)點(diǎn)M作ND的平行線,兩線交

于點(diǎn)F,連接BF,則四邊形MNDF為平行四邊形,∴MF=ND,則BM+MN+ND=BM+

+MF,又BM+MF≥BF,故當(dāng)B、M、F三點(diǎn)共線時(shí),BM+MF最小,最小值為BF的長(zhǎng),易知BD⊥DF,DF=MN=

,∴BF=

=

,∴BM+MN+ND的最小值為

+

=20,故④正確.故正確結(jié)論的序號(hào)是②③④.20.(方程思想)(2024安徽亳州蒙城期中,22,?)如圖1,CE、BF是△ABC的兩條高,CE、BF相交于D.(M9122006)(1)請(qǐng)直接寫出圖1中與△ABF相似的三角形;(2)如圖2,連接EF,若∠A=60°,EF=5,求BC的長(zhǎng);(3)若∠ABC=45°,CF=6,AF=4,求△AEF的面積.

圖1

圖2解析

(1)△ACE,△DBE,△DCF都與△ABF相似.(2)∵BF⊥AC,∴∠BFA=90°.在Rt△ABF中,∠A=60°,∴∠ABF=30°,∴

=

.同理

=

,∴

=

.又∵∠A=∠A,∴△AEF∽△ACB,∴

=

=

,∵EF=5,∴CB=10.(3)∵△ACE∽△ABF,∴

=

.∵CF=6,AF=4,∴AC=10,∴

=

,∴AB·AE=40.設(shè)AB=x,則AE=

(AB>AE),在Rt△ABF中,BF2=AB2-AF2=x2-16,在Rt△BCF中,BC2=BF2+CF2=x2-16+36=x2+20,∵∠ABC=45°,∴△

EBC為等腰直角三角形,∴BE=CE,在Rt△EBC中,BC2=BE2+

CE2,CE2=

(x2+20),在Rt△AEC中,AE2+EC2=AC2,即

+

(x2+20)=102,∵x>0,∴x1=2

,x2=4

,∵AB>AE,∴x=4

,∴AB=4

,AE=

,BF=12,∴S△ABC=

BF·AC=60,∵