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文檔簡介
第23章解直角三角形23.2解直角三角形及其應用第一課時解直角三角形1.(2024河南平頂山期末)已知在△ABC中,∠C=90°,∠A=α,
AB=c,那么BC的長為(M9123004)(
)A.c·cosαB.c·tanαC.
D.c·sinα基礎過關全練知識點1解直角三角形D解析在△ABC中,∠C=90°,∠A=α,AB=c,∴BC=AB·sinA=c·
sinα.故選D.2.(2024安徽合肥包河期末)在Rt△ABC中,已知∠ACB=90°,
tanB=
,BC=3,那么AC的長等于(M9123004)(
)A.1B.9
C.
D.3
A解析在Rt△ABC中,tanB=
,又因為tanB=
,BC=3,所以
=
,解得AC=1.故選A.3.在Rt△ABC中,有下列條件,則可解直角三角形的是(M9123
004)(
)A.已知BC=6,∠C=90°B.已知∠C=90°,∠A=60°,BC=5C.已知∠C=90°,∠A=∠BD.已知∠C=∠B=45°B解析∵選項C、D缺少邊的條件,A缺少銳角的條件,∴不能
解直角三角形,選項B中,由∠A的正弦函數可求出AB,再根據
直角三角形的性質可求出∠B,然后由勾股定理或∠A的正切
函數可求出AC.故選B.4.在△ABC中,若AB=10,AC=15,∠BAC=150°,則△ABC的面積
為
(
)A.37.5
B.75
C.100D.150A解析如圖,過點C作CD⊥AB,交BA的延長線于點D.∵∠BAC=150°,∴∠DAC=30°.在Rt△ADC中,∵AC=15,∴CD=
AC=7.5.∴S△ABC=
AB×CD=
×10×7.5=37.5.故選A.5.(2023青海西寧中考)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=12,∠A
=42°,則BC的長約為
.(結果精確到0.1.參考數據:sin42
°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)8.0解析∵∠ACB=90°,∴sinA=
,∵AB=12,∠A=42°,sin42°≈0.67,∴BC=12×sin42°≈8.0.6.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的高,∠C=60°,AB=6
,AC=6,則BC的長為
.
12解析在△ABC中,∵AD是BC邊上的高,∴∠ADC=∠ADB=
90°.在Rt△ADC中,∵cosC=cos60°=
=
,AC=6,∴CD=3,∴AD=
=3
.在Rt△ADB中,BD=
=
=
=9,∴BC=BD+CD=9+3=12.7.(新獨家原創(chuàng))如圖,在△ABC中,∠B=30°,AB=8,AC=4
,則∠C=
,BC=
.4?+445°解析如圖,過A作AD⊥BC于D,則∠ADB=∠ADC=90°,∵AB
=8,∠B=30°,∴AD=AB·sin30°=8×
=4,BD=AB·cos30°=8×
=4
.在Rt△ACD中,sinC=
=
=
,∴∠C=45°,∴CD=AD=4.∴BC=BD+CD=4
+4.8.(教材變式·P125T2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠
C的對邊分別是a、b、c,分別根據下列條件解直角三角形.
(M9123004)(1)b=2
,c=4;(2)∠A=30°,b=8
;(3)c=8,∠A=45°.解析
(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,b=2
,c=4,∴a=
=
=2.∵cosA=
=
=
,∴∠A=30°,∴∠B=90°-30°=60°.(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴∠B=90°-∠A=60°.∵
tanA=
=
,b=8
,∴
=
,∴a=8.∵sinB=
=
,b=8
,∴
=
,∴c=16.(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=45°,∴∠B=90°-∠A=45°=∠A,∴a=b.∵sinA=
=
,c=8,∴
=
,∴a=4
,∴b=4
.9.(2024安徽安慶期末)如圖,在△ABC中,∠C=90°,點D在AC
上,∠BDC=45°,BD=10
,AB=20.求sinA的值.(M9123004)
解析在Rt△BDC中,∠BDC=45°,BD=10
,∴BC=BD·sin∠BDC=10
×
=10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=20,∴sinA=
=
=
.10.(2024安徽亳州期末,9,?)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,延長CA到點D,使AD=AB,連接BD.根據此圖形可
求得tan15°的值是(M9123004)(
)A.2-
B.2+
C.
D.
A能力提升全練解析設AB=AD=2x,在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,∠C=90°,
AB=2x,∴BC=
AB=x,AC=
BC=
x.∵AD=AB,∴∠D=∠ABD=
∠BAC=15°,∴tanD=
=
=2-
,即tan15°=2-
.故選A.11.(新考法)(2023湖北武漢中考,13,?)如圖,將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上,頂點O與尺下沿的
端點重合,OA與尺下沿重合,OB與尺上沿的交點B在尺上的
讀數為2cm,若按相同的方式將37°的∠AOC放置在該刻度
尺上,則OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數約是
cm(結
果精確到0.1cm,參考數據:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75).(M9123004)2.7解析本題借助刻度尺考查解直角三角形的知識,題目新穎.
如圖,過點B作BD⊥OA于D,過點C作CE⊥OA于E,在△BOD
中,∠BDO=90°,∠DOB=45°,∴BD=OD=CE=2cm,在△OCE
中,∠COE=37°,∠CEO=90°,∴tan37°=
≈0.75,∴OE≈2.7cm,即OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數約是2.7cm.12.(構造直角三角形法)(2024安徽六安金安期末,17,?)如圖,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2
,求AB的長.(M9123004)
解析過C作CD⊥AB于D,如圖,∴∠ADC=∠BDC=90°,∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD
=BD,∵∠A=30°,AC=2
,∴CD=AC·sin30°=
,∴BD=CD=
,由勾股定理得,AD=
=3,∴AB=AD+BD=3+
.素養(yǎng)探究全練13.(創(chuàng)新意識)(新獨家原創(chuàng))(新考向·教材拓展探究試題)【教材呈現】下圖是滬科版九年級上冊數學教材第125頁的
部分內容.在△ABC中,∠A=55°,b=20cm,c=30cm,求三角形的面積S△ABC(精確到0.1cm2).如圖,作AB上的高CD.在Rt△ACD中,∵CD=AC·sinA=bsinA,∴S△ABC=
AB·CD=
bcsinA.【得出結論】在銳角△ABC中,∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c,則
有S△ABC=
absinC=
bcsinA=
acsinB.【結論應用】(1)銳角△ABC中,∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c,若a
=30cm,b=36cm,∠C=30°,求△ABC的面積.(2)如圖,△ABC中,AB=AC=3cm,BC=4cm,點P從點B出發(fā),沿
線段BC以2cm/s的速度向終點C運動,點Q從點C出發(fā),沿著C→A→B的方向以3cm/s的速度向終點B運動,P,Q同時出發(fā),設
點P運動的時間為t(s),△CPQ的面積為S(cm2).①求sinB;②求S關于t的函數關系式,并直接寫出自變量t的取值范圍.
解析
(1)根據結論,得S△ABC=
absinC=
×30×36×
=270(cm2).(2)①過點A作AD⊥BC,垂足為D,如圖.∵AB=AC=3cm,AD⊥BC,BC=4cm,∴BD=
BC=2cm,在Rt△ABD中,AB=3cm,BD=2cm,∴AD=
=
=
cm,∴sinB=
=
.②當0<t≤1時,由題意,得CQ=3tcm,BP=2tcm,∴CP=BC-BP=(4-2t)cm,∵∠B=∠C,∴sinC=sinB=
,∴S=
CP·CQsinC=
·(4-2t)·3t×
=2
t-
t2=-
t2+2
t.當1<t<2時,由題意,得CA+A
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