2023-2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市瀏陽(yáng)市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市瀏陽(yáng)市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x∈Z|?3<x<2}，B={x∈Z|x≥0}，則A∩B=(

)A.{0,1,2} B.{?2,0,1} C.{0} D.{0,1}2.已知向量a=(?1,2)，b=(1,m)，且a//b，則A.0 B.?5 C.4 D.33.函數(shù)f(x)=(1x?x)cosx的部分圖象大致是A. B.

C. D.4.函數(shù)f(x)=cosωx(x∈R)在[0,π]內(nèi)恰有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，|f(π)|=1，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π3個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖象.若f(α)+g(α)=35，則cosA.725 B.1625 C.?95.2023年第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行，亞運(yùn)會(huì)的吉祥物琮琮、蓮蓮、宸宸深受大家喜愛(ài)，某商家統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月銷(xiāo)量，如下表所示：時(shí)間x12345銷(xiāo)售量y/萬(wàn)只54.543.52.5若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為y=?0.6x+aA.由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x負(fù)相關(guān)

B.當(dāng)x=5時(shí)，殘差為0.2

C.可以預(yù)測(cè)當(dāng)x=6時(shí)銷(xiāo)量約為2.1萬(wàn)只

D.線性回歸方程y=?0.6x+6.某體育器材廠生產(chǎn)一批籃球，單個(gè)籃球的質(zhì)量Y(單位：克)服從正態(tài)分布N(600,4)，從這一批籃球中隨機(jī)抽檢300個(gè)，則被抽檢的籃球的質(zhì)量不小于596克的個(gè)數(shù)約為(

)A.246 B.252 C.286 D.2937.若a∈N，且502024+a能被17整除，則a的最小值為(

)A.0 B.1 C.15 D.168.現(xiàn)有4名男生和3名女生計(jì)劃利用假期到某地景區(qū)旅游，由于是旅游的旺季，他們?cè)诰皡^(qū)附近訂購(gòu)了一家酒店的5間風(fēng)格不同的房間，并約定每個(gè)房間都要住人，每個(gè)房間最多住2人，且男女不能混住.則不同的安排方法有(????)種．A.1960 B.2160 C.2520 D.2880二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列命題中正確的是(

)A.若z=1?2i，則|z|=5

B.若z=i+1，則z?z?=?2

C.已知m，n∈R，i是關(guān)于x的方程x2+mx+n=0的一個(gè)根，則m+n=1

D.若復(fù)數(shù)10.下列說(shuō)法中，正確的是(

)A.數(shù)據(jù)40，27，32，30，38，54，31，50的第50百分位數(shù)為32

B.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,δ2)，P(ξ<4)=0.84，則P(2<ξ<4)=0.34

C.已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為y=a+bx，若b=2，x?=1，y?=3，則a=1

D.若樣本數(shù)據(jù)11.對(duì)于任意的x∈R，[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù).十八世紀(jì)，y=[x]被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱(chēng)為“取整函數(shù)”.下列說(shuō)法正確的是(

)A.函數(shù)y=[x]，x∈R的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

B.函數(shù)y=x?[x]，x∈R的值域?yàn)閇0,1)

C.對(duì)于任意的x，y∈R，不等式[x]+[y]≤[x+y]恒成立

D.不等式2[x]2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.函數(shù)y=loga(3x+2)+5(a>0且a≠1)13.已知(2x?3)8=a0+14.已知在直三棱柱ABC?A1B1C四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知(2x+1x)n(n∈N?)．

(Ⅰ)若展開(kāi)式的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求n的值，并求常數(shù)項(xiàng)；16.(本小題15分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC的面積為12a(csinC+bsinB?asinA)．

(1)求A；

(2)若a=2，且△ABC的周長(zhǎng)為5，設(shè)D為邊BC中點(diǎn)，求AD17.(本小題15分)

有3臺(tái)車(chē)床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來(lái)的零件混放在一起．已知第1，2，3臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%．

(1)任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率；

(2)如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第i(i=1,2,3)臺(tái)車(chē)床加工的概率．18.(本小題17分)

刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫(huà)空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制.例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為π3，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為2π?3×π3=π.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，點(diǎn)A的曲率為2π3，N，M分別為AB，CC1的中點(diǎn)，且AB=AC．

(1)證明：CN⊥平面ABB1A119.(本小題17分)

數(shù)列{an}中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差組成的數(shù)列{an+1?an}稱(chēng)為{an}的一階差數(shù)列，記為{an(1)}，依此類(lèi)推，{an(1)}的一階差數(shù)列稱(chēng)為{an}的二階差數(shù)列，記為{an(2)}，…如果一個(gè)數(shù)列{an}的p階差數(shù)列{an(p)}是等比數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列{an}為p階等比數(shù)列(p∈N?).答案解析1.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了描述法和列舉法的定義，交集及其運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【解答】

解：∵A={x∈Z|?3<x<2}，B={x∈Z|x≥0}，

∴A∩B={x∈Z|0≤x<2}={0,1}．

故選：D．2.【答案】B

【解析】解：∵a/?/b，

∴?m?2=0，

∴m=?2，

∴b=(1,?2)，

∴a?b=?1?4=?5．

故選：B．

3.【答案】D

【解析】解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，

因?yàn)閒(?x)=(?1x+x)cos(?x)=?(1x?x)cosx=?f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，排除A；

易知f(1)=f(π2)=0，排除B；

當(dāng)x>0且無(wú)限趨近于0時(shí)，1x?x>0,cosx>0，即f(x)>0，排除C．

故選：D．

4.【答案】A

【解析】解：令ωx=3π2可得，x=3π2ω，令ωx=5π2可得x=5π2ω，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=cosωx(x∈R)在[0,π]內(nèi)恰有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，

所以3π2ω≤π5π2ω<πω>0，

解得，32≤ω<52，

因?yàn)閨f(π)|=|cosωπ|=1，

所以ωπ=kπ，k∈Z，

故ω=k，k∈Z，

所以ω=2，f(x)=cos2x，

將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π3個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)=cos(2x?2π3)，5.【答案】B

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A，從數(shù)據(jù)看y隨x的增大而減小，所以變量y與x負(fù)相關(guān)，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，由表中數(shù)據(jù)知x?=1+2+3+4+55=3，5+4.5+4+3.5+2.55=3.9，

所以樣本中心點(diǎn)為(3,3.9)，將樣本中心點(diǎn)(3,3.9)代入y=?0.6x+a中得3.9+1.8=5.7，

所以線性回歸方程為y=?0.6x+5.7，

所以y5=?0.6×5+5.7=2.7,e=2.5?2.7=?0.2，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)x=6時(shí)銷(xiāo)量約為y=?0.6×6+5.7=2.1(萬(wàn)只)，故C正確．

對(duì)于選項(xiàng)D6.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閱蝹€(gè)籃球的質(zhì)量Y(單位：克)服從正態(tài)分布N(600,4)，

所以P(596<Y<604)=0.9544，

所以P(Y<596)=12(1?0.9544)=0.0228，

所以P(Y≥596)=1?P(Y<596)=1?0.0228=0.9772，

被抽檢的籃球的質(zhì)量不小于596克的個(gè)數(shù)約為300×0.9772≈293．

故選：D．

7.【答案】D

【解析】解：502024+a=(51?1)2024+a

=C20240?512024×(?1)0+C20241?512023×(?1)1+?+C2024r?512024?r×(?1)r+?+C20242024?(?1)2024+a，

因?yàn)?.【答案】C

【解析】解：若3名女生住2個(gè)房間，則4名男生其中有兩人住一個(gè)房間，則不同的方法種數(shù)為C32C42A55，

若3名女生住3個(gè)房間，則4名男生每?jī)扇俗∫粋€(gè)房間，則不同的方法種數(shù)為12C42A55，

則不同的安排方法有C9.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于A：若z=1?2i，則|z|=1+4=5，A正確；

對(duì)于B：若z=i+1，則z?z?=(i+1)(?i+1)=2，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：由已知i2+mi+n=n?1+mi=0，所以n?1=0，m=0，

所以m=0，n=1，即m+n=1，C正確；

對(duì)于D：設(shè)z=x+yi，則|z?1|=|x?1+yi|=2，所以(x?1)2+y2=4，

所以x2+y2=3+2x，且4=(x?1)2+y2≥(x?1+y)22，即x+y≤22+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=10.【答案】BC

【解析】解：數(shù)據(jù)40，27，32，30，38，54，31，50按從小到大排列為：27，30，31，32，38，40，50，54，

改組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)即為中位數(shù)，等于32+382=35，故A錯(cuò)誤；

已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,δ2)，P(ξ<4)=0.84，

則P(2<ξ<4)=1?2×0.162=0.34，故B正確；

已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為y=a+bx，若b=2，x?=1，y?=3，

則a=3?2×1=1，故C正確；

若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為2，則數(shù)據(jù)2x1?1，11.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于A，當(dāng)0≤x<1時(shí)，y=[x]=0，當(dāng)?1<x<0時(shí)，y=[x]=?1，

所以y=[x]，x∈R不是奇函數(shù)，即函數(shù)y=[x]的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B，由取整函數(shù)的定義知，[x]≤x<[x]+1，所以x?1<[x]≤x，

可得0≤x?[x]<1，函數(shù)y=x?[x](x∈R)的值域?yàn)閇0,1)，故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C，由取整函數(shù)的定義，對(duì)任意的x、y∈R，[x]≤x，[y]≤y，

所以[x]+[y]=[[x]+[y]]≤[x+y]，故C項(xiàng)正確；

對(duì)于D，由2[x]2+[x]?1<0，得(2[x]?1)([x]+1)<0，解得?1<[x]<12，

結(jié)合取整函數(shù)的定義可得[x]=0，即x∈[0,1)，故D項(xiàng)正確．

故選：BCD．

結(jié)合取整函數(shù)的定義，利用奇偶性的定義判斷A選項(xiàng)的正誤；根據(jù)取整函數(shù)的定義得到[x]≤x<[x]+1，從而判斷出B、C12.【答案】(?1【解析】解：令3x+2=1，解得x=?13，又y=loga[3×(?13)+2]+5=5，

所以函數(shù)y=loga(3x+2)+5(a>0且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(?13.【答案】?448

【解析】解：(2x?3)8=(3?2x)8=[2(2?x)?1]8=a0+a1(2?x)+14.【答案】429【解析】解：設(shè)BC=3a，因?yàn)锳B⊥BC,tan∠BAC=34，

所以AB=4a，AC=5a，

設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，

則由三角形的面積相等得：12(AB+BC+AC)r=12AB?BC，

即12(4a+3a+5a)r=12×(4a)×(3a)，解得r=a，

因?yàn)槿庵鵄BC?A1B1C1有內(nèi)切球，所以AA1=2a，

因?yàn)锳B⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，

所以直三棱柱ABC?A1B1C1的外接球就是以BA，BC，BB1為棱的長(zhǎng)方體的外接球，

即直三棱柱ABC?A1B1C1的外接球的直徑就是以15.【答案】解：(Ⅰ)二項(xiàng)式(2x+1x)n的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，

故Cn2=Cn4，解得n=6；

根據(jù)(2x+1x)6的展開(kāi)式Tr+1=C6r?26?r?x6?【解析】(Ⅰ)首先利用第3項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求出n的值，進(jìn)一步求常數(shù)項(xiàng)；

(Ⅱ)利用賦值法求出n的值，進(jìn)一步利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式求出二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)．

本題考查的知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開(kāi)式，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．16.【答案】解：(1)依題意，12a(csinC+bsinB?asinA)=12absinC，

所以csinC+bsinB?asinA=bsinC，

由正弦定理可得，c2+b2?a2=bc，

由余弦定理，c2+b2?a2=2bccosA，解得cosA=12，

因?yàn)锳∈(0,π)，所以A=π3【解析】(1)根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合正弦定理化角為邊，再利用余弦定理即可得解；

(2)根據(jù)三角形的周長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理求出bc，再向量化即可得解．

本題考查正弦定理，及余弦定理的應(yīng)用，向量的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．17.【答案】解：(1)記事件A為任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品，

P(A)=0.06×0.25+0.05×0.3+0.05×0.45=0.0525；

(2)如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第(i=123)臺(tái)車(chē)床加工的概率，就是計(jì)算在A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，

P(AB1)=0.06×0.25=0.015，

P(B1|A)=P(AB【解析】(1)根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即可；

(2)分別計(jì)算第i臺(tái)車(chē)床的次品率，再根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可．

本題考查相互獨(dú)立事件的概率公式以及條件概率，是基礎(chǔ)題．18.【答案】(1)證明：在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC，AB?平面ABC，

則AA1⊥AC，AA1⊥AB，所以點(diǎn)A的曲率為2π?2×π2?∠BAC=2π3，

所以∠BAC=π3，因?yàn)锳B=AC，所以△ABC為正三角形，

因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)，所以CN⊥AB，

又AA1⊥平面ABC，CN?平面ABC，所以AA1⊥CN，

因?yàn)锳A1∩AB=A，AA1、AB?平面ABB1A1，

所以CN⊥平面ABB1A1．

(2)證明：取AB1的中點(diǎn)D，連接DM，DN，

因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)，所以DN//BB1且DN=12BB1，

又CM//BB1且CM=12BB1，所以DN//CM且DN=CM，

所以四邊形CNDM為平行四邊形，則DM/?/CN，

由(1)知CN⊥平面AB