2023-2024學年廣東省東莞市高一下學期期末教學質(zhì)量檢查數(shù)學試題（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年廣東省東莞市高一下學期期末教學質(zhì)量檢查數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知向量a=(2,?1)，b=(1,λ)(λ∈R)，若a/?/b，則A.2 B.12 C.?2 D.2.為了解學生每日參加體育鍛煉的情況，學校用比例分配的分層隨機抽樣方法從高一、高二、高三年級所有學生中抽取部分學生做抽樣調(diào)查，已知該學校高一、高二、高三年級學生人數(shù)的比例如圖所示，若抽取的樣本中高三年級的學生有36人，則抽取的樣本容量為(

)

A.90 B.100 C.120 D.1603.棱長為a的正方體的頂點都在球面上，則球的表面積為(

)A.34πa2 B.3πa24.若(2+i)?z=1?i，則z?z=(

)A.25 B.2 C.825 5.已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列命題正確的是(

)A.若m//α，n?α，則m//nB.若m?α，n?β，且m⊥n，則α⊥β

C.若α//β，n?α，則n//βD.若α⊥β，m?α，則m⊥β6.已知向量OA=a，OB=b，且|a|=|b|=a?b=3，任意點M關于點A的對稱點為A.43 B.6 C.27.已知三棱錐P?ABC，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=2BC，則異面直線PB與AC所成角的余弦值為(

)A.15 B.C.24 8.一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個面分別刻有1，2，3，4，5，6六個數(shù)字，投擲這枚骰子兩次，設事件M=“第一次朝上面的數(shù)字是奇數(shù)”，則下列事件中與M相互獨立的是(

)A.第一次朝上面的數(shù)字是偶數(shù) B.第一次朝上面的數(shù)字是1

C.兩次朝上面的數(shù)字之和是8 D.兩次朝上面的數(shù)字之和是7二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知某地一周每天的最高溫度(單位：℃)分別為：31、27、26、28、27、30、27，則下列關于這組數(shù)據(jù)的結論中正確的是(

)A.眾數(shù)是27 B.極差是4 C.中位數(shù)是28 D.平均數(shù)是2810.已知⊙O的半徑為2，△ABC為其內(nèi)接三角形，則下列結論中正確的是(

)A.若A=π3，則OB?OC=?2

B.若A=π3，則△ABC周長的最大值為63

C.若AO?11.如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別為AB，A1D1的中點，平面α經(jīng)過點C，E，A.A1C1//平面α B.平面α⊥平面BB1F

C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.假設P(A)=12，P(B)=13，且A與B相互獨立，則P(A13.已知圓臺的上底半徑為2，下底半徑為4，則經(jīng)過母線中點且與底面平行的平面將圓臺分成上下兩部分的體積之比為

．14.已知圓O的半徑為1，點A是圓O上的動點，B1B2?B2024為圓O內(nèi)接正2024邊形，則|OA四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且acosC=

(1)求角C;(2)若b=2，c=1，求△ABC的面積．16.(本小題15分)

某快捷超市計劃通過停車收費推動快速購物進而提升顧客流量，在制定停車收費方案時，需要考慮顧客停車時間的長短.現(xiàn)隨機采集了100個停車時間的數(shù)據(jù)(單位：min)，按(0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]分成5組，其頻率分布直方圖如下．

(1)如果該超市計劃獎勵35%的快速購物顧客不收取其停車費，那么應該允許免費停車多長時間?(2)記t0=t+s，其中t為樣本平均數(shù)，s為樣本標準差.如果該超市計劃對停車時長超過t0的客戶征收更高的停車費，求t17.(本小題15分)某商場舉辦購物抽獎活動，規(guī)則如下：每次抽獎時，從裝有2個白球和3個紅球(球除顏色外，完全相同)的抽獎箱中，不放回地依次隨機摸出2個球，若摸出的2個球顏色相同則為中獎，否則不中獎;商場根據(jù)購物金額給予顧客一次或多次抽獎機會，每次抽獎之間相互獨立．(1)若某顧客有一次抽獎機會，求其中獎的概率;(2)若某顧客有兩次抽獎機會，求其至少有一次中獎的概率．18.(本小題17分)

如圖1，△ABC是邊長為3的等邊三角形，點D，E分別在線段AC，AB上，且AE=1，AD=2，沿DE將△ADE翻折到△PDE的位置，使得PB=5，如圖2．

(1)求證：平面PDE⊥平面BCDE;(2)在線段PB上是否存在點M，使得EM//平面PCD，若存在，求出PMMB的值;若不存在，請說明理由．19.(本小題17分)通過平面直角坐標系，我們可以用有序實數(shù)對表示向量.類似的，我們可以把有序復數(shù)對(z1,z2)(z1,z2∈C)看作一個向量，記a=(z1,z2)，稱a(1)設a=(1,2?i)，b=(1+i,2i)，求a(2)類比平面向量數(shù)量積滿足的運算律，得出復向量的一個相關結論a?(b(3)設α=(2+2i,2)，集合Ω={p|p=(z1,z2)，z2=z1+2，z1答案解析1.【答案】D

【解析】解：

由題意得2λ?1×(?1)=0，故

λ=

?12，

故選2.【答案】C

【解析】解：

由圖可知高三年級學生人數(shù)占總人數(shù)的30%，

抽取的樣本中高三年級的學生有36人，

則樣本容量為．3.【答案】B

【解析】解：根據(jù)“長方體的體對角線為其外接球的直徑”這一結論，

本題是棱長為a的正方體，設其外接球半徑為R，

∴a2+a2+a2=2R4.【答案】A

【解析】解：由題意，得z=1?i2+i=1?i2?i2+i2?i=15.【答案】C

【解析】解：對于A、若m/?/α，n?α，則m/?/n或m與n異面，故A錯誤；

對于B、若m?α，n?β，且m⊥n，則α//β或α與β相交，故B錯誤；

對于C、若α/?/β，n?α，由面面平行的性質(zhì)可知n/?/β，故C正確；

對于D、若α⊥β，m?α，則m與β位置不確定，故D錯誤6.【答案】A

【解析】解：由題意可得，AB是△SMN的中位線，則MN=2AB，

又cos∠AOB=cos<a,b>=a·ba7.【答案】B

【解析】解：作BD⊥平面ABC，

以B為原點，分別以BA、BC、BD為x、y、z軸

建立如圖所示的空間直角坐標系，

設BC=a，則B(0,0,0)，P(2a,0,2a)，

A(2a,0,0)，C(0,a,0)，

PB=(?2a,0,?2a)，AC=(?2a,a,0)，

設異面直線PB與AC所成角為θ，

則cosθ=|PB·AC|PB8.【答案】D

【解析】解：投擲這枚骰子兩次，第一次的結果記為x，第二次的結果記為y，

用有序實數(shù)對x,y表示投擲的結果，則樣本點共有6×6=36個，

設事件A=“第一次朝上面的數(shù)字是偶數(shù)”，B=“第一次朝上面的數(shù)字是1”，C=“兩次朝上面的數(shù)字之和是8”，D=“兩次朝上面的數(shù)字之和是7”，

則PM=3×66×6=12，PA=3×66×6=12，PAM=0，

故PAM≠PAPM，故A錯誤；

PB=1×66×6=16，PBM=1×66×6=16，

所以PBM≠PBPM，故B錯誤；

事件C包含：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，

故PC=536．9.【答案】AD

【解析】解：將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：26，27，27，27，28，30，31，

對于A、眾數(shù)是27，故A正確；

對于B、極差是31?26=5，故B錯誤；

對于C、中位數(shù)是27，故C錯誤；

對于D、平均數(shù)是26+27+27+27+28+30+317=28，故10.【答案】ABC

【解析】解：設△ABC內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．

對于A，由題意，∠BOC=2A=2π3，

OB?OC=OB?OC=2×2cos2π3=?2，故A正確；

對于B，在ΔOBC中，a2=4+4+2×2×2×12=12，則a=23，

在ΔABC中，

，

解得b+c?43，當且僅當b=c時等號成立，

所以，a+b+c?63，即△ABC周長的最大值為63，故B正確；

對于C，AO?AB=AO?ABcosAO,AB=1，即ABcosAO,AB=12，

在△ABO中，4=4+|AB|2?4AB11.【答案】BCD

【解析】解：對于A.因為ABCD?A1B1C1D1是棱長為1的正方體，

所以以B1為坐標原點，B1A1、B1C1、B1B分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系如下圖：

則A11,0,0，C10,1,0，C0,1,1，而點E，F(xiàn)分別為AB，A1D1的中點，因此E12,0,1，F(xiàn)1,12,0．

設平面CEF的法向量為m=x,y,z，則由平面α經(jīng)過點C，E，F(xiàn)得平面α的法向量為m=x,y,z．

因為CE=12,?1,0，CF=1,?12,?1，所以由CE·m=0CF·m=0得12x?y=0x?12y?z=0,

取y=1得x=2，z=32，因此m=4,2,3是平面α的一個法向量．

因為A1C1=?1,1,0，所以A1C1·m=?4+2=?2≠0，因此A1C1⊥m不成立，

所以A1C1//平面α不成立，故A錯誤；

對于B.在選項A的坐標系中，因為B10,0,0，B0,0,1，所以B1B=0,0,1，B1F=1,12,0，

因此若平面BB1F的法向量為n1=x1,y1,z1，則由B1B·n1=0B1F·n1=0得z1=0x1+12y1=0,

而取x1=1得y1=?2，z1=0，所以n1=1,?2,0是平面12.【答案】13【解析】解：由題意得，P(A

B)=P(A)P(

B)=P(A)(1?P(B))=

12×(1?13.【答案】19:37

【解析】解：由題意，經(jīng)過母線中點且與底面平行的平面截圓臺，

所得截面圓的半徑為2+42=3，

設上下兩個圓臺的高為?，

14.【答案】1；4048

【解析】解：因為B1B2?B2024為圓O內(nèi)接正2024邊形，

所以OB1+OB2+?+O15.【答案】解：(1)在三角形ABC中由正弦定理有：asinA=bsinB=csinC=t，

則a=tsinA，b=tsinB，c=tsinC，

代入acosC=3csinA，可得sinAcosC=3sinCsinA，

又因為A∈(0,π)，所以sinA>0，

所以cosC=3sinC，

所以tanC=33，

又因為C∈(0,π)，所以C=π6；

(2)解法1：因為C=π6，由余弦定理有c2【解析】

(1)利用三角函數(shù)弦化切，結合三角形內(nèi)角的范圍即可得解；(2)解法1：利用余弦定理求得a

的值，從而利用三角形面積公式即可得解；

解法2：利用正弦定理求得B，進而求得三角形的面積．

16.【答案】解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖中小長方形的面積和等于1，

得(0.005+a+0.0175+0.0075×2)×20=1，解得：a=0.0125，

設第35百分位數(shù)為x，

則0.005×20+(x?20)×0.0125=35%，解得x=40，

所以可以允許車輛免費停車40分鐘不收費．

(2)車輛平均停車時間為：

t=0.005×20×10+0.0125×20×30+0.0175×20×50+0.0075×20×70+0.0075×20×90=50，

s2=(10?50)2×0.1+(30?50)【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖中小長方形的面積和等于1，求得a，再利用百分位數(shù)定義，即可求解；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖求得t，s217.【答案】解：(1)設2個白球為w1，w2，3個紅球為r1，r2，r3，

則不放回地依次摸出兩個球的樣本空間為：

{(w1,w2)，(w1,r1)，(w1,r2)，(w1,r3)，(w2,w1)，(w2,r1)，(w2,r2)，(w2,r3)，

(r1,w1)，(r1,w2)，(r1,r2)，(r1,r3)，(r2,w1)，(r2,w2)，(r2,r1)，(r2,r3)，

(r【解析】

(1)由古典概型直接求解即可；

(2)設在第i次抽獎時中獎為事件Ai，i=1，2，設兩次抽獎至少有一次中獎為事件B，則B=18.【答案】解：(1)在ΔPDE中，PE=1，PD=2，∠EPD=60°，

由余弦定理得DE2=PE2+PD2?2PE?PDcos60°=3，

所以PE2+DE2=PD2，所以PE⊥DE，

在△PBE中，PE=1，BE=2，PB=5，所以PE2+BE2=PB2，所以PE⊥BE，

又因為BE∩DE=E，BE、DE?平面BCDE，所以PE⊥平面BCDE，

又PE?平面PDE，所以平面PDE⊥平面BCDE．

(2)在平面BCDE中，過點E作EF/?/CD，交BC于F，

在平面PBC中，過點F作FM//PC，交PB于M，連接ME，

如圖所示：

因為EF//C