2024年高考數(shù)學(xué)微專題專練6含解析文

PAGEPAGE7專練6函數(shù)的奇偶性與周期性命題范圍：函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性．[基礎(chǔ)強(qiáng)化]一、選擇題1．[2024·全國(guó)乙卷]設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()A．f(x－1)－1B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1D．f(x＋1)＋12．[2024·全國(guó)卷Ⅱ]設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－eq\f(1,x3)，則f(x)()A．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)單調(diào)遞增D．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)單調(diào)遞減3．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝log2x，則f(－8)＝()A．3 B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－34．[2024·安徽省蚌埠市高三下學(xué)期質(zhì)檢]已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)滿意f(1＋x)＝f(1－x)，f(eq\f(1,2))＝1，則f(－eq\f(3,2))＝()A．－eq\f(3,2) B．－1C．1 D．eq\f(3,2)5．定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿意f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝3x，則()A．f(－1)＝f(2) B．f(－1)＝f(4)C．f(－eq\f(3,2))>f(eq\f(5,3)) D．f(－eq\f(3,2))＝f(4)6．[2024·全國(guó)甲卷]設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f(1＋x)＝f(－x).若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq\f(1,3)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))＝()A．－eq\f(5,3) B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(5,3)7．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是增函數(shù)，設(shè)a＝f(log47)，b＝f(log23)，c＝f(0.20.6)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．c<b<aB．b<c<aC．b<a<cD．a(chǎn)<b<c8．[2024·東北三省高三聯(lián)考]定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)滿意f(x)＝f(－x＋2)，則f(2024)＝()A．0B．－1C．1D．不確定9．已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)<1，f(5)＝eq\f(2a－3,a＋1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(－1，4)B．(－2，0)C．(－1，0)D．(－1，2)二、填空題10．[2024·四川省成都“二診模擬”]函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，f(x)＝3x，則f(log32)＝________．11．[2024·陜西省西安中學(xué)高三模擬]已知函數(shù)f(x)＝(ex－eq\f(1,ex))ln(eq\r(x2＋a)－x)為R上的偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________．12．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，令F(x)＝(x－b)f(x－b)＋2017，若b是a，c的等差中項(xiàng)，則F(a)＋F(c)＝________．[實(shí)力提升]13．[2024·江西省臨川高三模擬]已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿意f(－x)＝－f(x)，函數(shù)y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝log2(x＋a)，則f(2024)＋f(2024)＝()A.－1 B．1C．504 D．無(wú)法確定14．[2024·貴州省高三適應(yīng)性測(cè)試]函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0，0)與點(diǎn)(1，0)對(duì)稱．當(dāng)x∈(－1，0]時(shí)，f(x)＝－x2，則f(eq\f(3,2))＝()A．－eq\f(1,4)B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(9,4)15．[2024·陜西省西安高三三模]已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝sinπx，且滿意當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＝2f(x－2)，若對(duì)隨意x∈[－m，m]，f(x)≤2eq\r(3)成立，則m的最大值為()A．eq\f(23,6)B．eq\f(10,3)C．eq\f(25,6)D．eq\f(13,3)16．[2024·全國(guó)乙卷(文)，16]若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b是奇函數(shù)，則a＝________，b＝________．專練6函數(shù)的奇偶性與周期性1．B通解選項(xiàng)A：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)－1＝eq\f(1－（x－1）,1＋（x－1）)－1＝eq\f(2－x,x)－1＝eq\f(2,x)－2，當(dāng)x＝1，－1時(shí)，函數(shù)f(x－1)－1的值分別為0，－4.據(jù)此，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義可知該函數(shù)不具有奇偶性．選項(xiàng)B：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)＋1＝eq\f(1－（x－1）,1＋（x－1）)＋1＝eq\f(2－x,x)＋1＝eq\f(2,x).據(jù)此，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義可知該函數(shù)為奇函數(shù)．選項(xiàng)C：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，所以f(x＋1)－1＝eq\f(1－（x＋1）,1＋（x＋1）)－1＝－eq\f(x,x＋2)－1＝－eq\f(2x＋2,x＋2)，當(dāng)x＝1，－1時(shí)，函數(shù)f(x＋1)－1的值分別為－eq\f(4,3)，0.據(jù)此，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義可知該函數(shù)不具有奇偶性．選項(xiàng)D：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，所以f(x＋1)＋1＝eq\f(1－（x＋1）,1＋（x＋1）)＋1＝－eq\f(x,x＋2)＋1＝eq\f(2,x＋2)，當(dāng)x＝1，－1時(shí)，函數(shù)f(x＋1)＋1的值分別為eq\f(2,3)，2.據(jù)此，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義可知該函數(shù)不具有奇偶性．綜上，所給函數(shù)中為奇函數(shù)的是選項(xiàng)B中的函數(shù)．優(yōu)解因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)＝eq\f(2－x－1,1＋x)＝－1＋eq\f(2,1＋x)，所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(－1，－1)對(duì)稱．選項(xiàng)A：因?yàn)閷⒑瘮?shù)f(x)的圖像先向右平移1個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，可得到函數(shù)f(x－1)－1的圖像，所以可知函數(shù)f(x－1)－1的圖像關(guān)于點(diǎn)(0，－2)對(duì)稱，從而該函數(shù)不是奇函數(shù)．選項(xiàng)B：因?yàn)閷⒑瘮?shù)f(x)的圖像先向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，可得到函數(shù)f(x－1)＋1的圖像，所以可知函數(shù)f(x－1)＋1的圖像關(guān)于點(diǎn)(0，0)對(duì)稱，從而該函數(shù)是奇函數(shù)．選項(xiàng)C：因?yàn)閷⒑瘮?shù)f(x)的圖像先向左平移1個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，可得到函數(shù)f(x＋1)－1的圖像，所以可知函數(shù)f(x＋1)－1的圖像關(guān)于點(diǎn)(－2，－2)對(duì)稱，從而該函數(shù)不是奇函數(shù)．選項(xiàng)D：因?yàn)閷⒑瘮?shù)f(x)的圖像先向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，可得到函數(shù)f(x＋1)＋1的圖像，所以可知函數(shù)f(x＋1)＋1的圖像關(guān)于點(diǎn)(－2，0)對(duì)稱，從而該函數(shù)不是奇函數(shù)．綜上，所給函數(shù)中為奇函數(shù)的是選項(xiàng)B中的函數(shù)．2．A解法一由函數(shù)y＝x3和y＝－eq\f(1,x3)都是奇函數(shù)，知函數(shù)f(x)＝x3－eq\f(1,x3)是奇函數(shù)．由函數(shù)y＝x3和y＝－eq\f(1,x3)都在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，知函數(shù)f(x)＝x3－eq\f(1,x3)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)＝x3－eq\f(1,x3)是奇函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增．解法二函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(－x)＝(－x)3－eq\f(1,（－x）3)＝－x3＋eq\f(1,x3)＝－f(x)，故f(x)＝x3－eq\f(1,x3)是奇函數(shù)．∵f′(x)＝3x2＋eq\f(3,x4)>0，∴f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增．3．D∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－8)＝－f(8)＝－log28＝－3.4．C因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，所以f(x)＝f(－x)，又因?yàn)閒(1＋x)＝f(1－x)，所以f(2－x)＝f(x)，則f(2－x)＝f(－x)，即f(2＋x)＝f(x)，所以周期為T(mén)＝2，因?yàn)閒(eq\f(1,2))＝1，f(－eq\f(3,2))＝f(2－eq\f(3,2))＝f(eq\f(1,2))＝1.5．C∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期為2，又f(x)為偶函數(shù)，∴f(－1)＝f(1)＝31＝3，∴f(2)＝f(0)＝1，∴f(4)＝f(0)＝1，f(－eq\f(3,2))＝f(eq\f(1,2))＝eq\r(3)，f(eq\f(5,3))＝f(－eq\f(1,3))＝f(eq\f(1,3))＝eq\r(3,3)，∴f(－eq\f(3,2))>f(eq\f(5,3)).6．C因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x).又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，f(eq\f(5,3))＝f(eq\f(5,3)－2)＝f(－eq\f(1,3))＝eq\f(1,3).7．Cf(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是增函數(shù)，得函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，圖像越靠近y軸，圖像越靠上，即自變量的肯定值越小，函數(shù)值越大，由于0<0.20.6<1<log47<log49＝log23，可得b<a<c.8．A因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以由f(x)＝f(－x＋2)?f(－x)＝f(x＋2)＝－f(x)?f(x＋4)＝－f(x＋2)?f(x)＝f(x＋4)，所以該函數(shù)的周期為4，所以f(2024)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝f(－2＋2)＝f(0)＝0.9．A∵f(x)是周期為3的偶函數(shù)，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)＝eq\f(2a－3,a＋1)，又f(1)<1，∴eq\f(2a－3,a＋1)<1，得－1<a<4.10．答案：－eq\f(1,2)解析：因?yàn)閘og32∈(0，1)，所以－log32∈(－1，0)，由f(x)為奇函數(shù)得：f(log32)＝－f(－log32)＝－f(log3eq\f(1,2))＝－3log3eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2).11．答案：1解析：由偶函數(shù)得f(－x)＝f(x)，即(eq\f(1,ex)－ex)ln(eq\r(x2＋a)＋x)＝(ex－eq\f(1,ex))ln(eq\r(x2＋a)－x)對(duì)x∈R恒成立，整理得(eq\f(1,ex)－ex)lna＝0，故lna＝0，a＝1.12．答案：4034解析：F(a)＋F(c)＝(a－b)f(a－b)＋2017＋(c－b)f(c－b)＋2017.∵b是a，c的等差中項(xiàng)，∴a－b＝－(c－b)，令g(x)＝xf(x)，則g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，∴g(x)＝xf(x)是奇函數(shù)．∴(a－b)f(a－b)＋(c－b)f(c－b)＝0，∴F(a)＋F(c)＝2017＋2017＝4034.13．A因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，且f(－x)＝－f(x)，所以函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝log2a＝0，解得a＝1，即f(x)＝log2(x＋1)，f(1)＝log22＝1；因?yàn)閥＝f(x＋1)為偶函數(shù)，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，即y＝f(x)的圖像關(guān)于x＝1對(duì)稱，又y＝f(x)滿意f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，則f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù)，周期為4，則f(2024)＋f(2024)＝f(2)＋f(3)＝－f(0)－f(1)＝－1.14．A因?yàn)閥＝f(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(0，0)與點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，所以f(－x)＋f(x)＝0，且f(2－x)＋f(x)＝0，所以f(2－x)＝f(－x)，即f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，當(dāng)x∈(－1，0]時(shí)，f(x)＝－x2，所以f(eq\f(3,2))＝f(－eq\f(1,2)＋2)＝f(－eq\f(1,2))＝－(－eq\f(1,2))2＝－eq\f(1,4).15．B由題意，函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝sinπx，當(dāng)x∈[－1，0)時(shí)，f(x)＝－f(－x)＝－sin(－πx)＝sinπx，即f(x)＝sinπx，x∈[－1，1]，又由當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＝2f(x－2)，可畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖所示．由圖知，當(dāng)3≤x≤5時(shí)，f(x)＝4f(x－4)＝4sin(πx－4π)＝4sinπx；則當(dāng)－5≤x≤－3時(shí)，f(x)＝－f(－x)＝4sinπx；當(dāng)－5≤x≤－3時(shí)，令4sinπx＝2eq\r(3)，解得x1＝－eq\f(10,3)，x2＝－eq\f(11,3)(舍去)，若對(duì)隨意x∈[－m，m]，f(x)≤2eq\r(3)成立，所以m的最大值為eq\f(10,3).16．答案：－eq\f(1,2)ln2解析：本題先采納特別值法求出f(x)，再檢驗(yàn)正確性．因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（0）＝0，,f（2）＋f（－2）