華東師大版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(七)添加輔助線構(gòu)造全等三角形的六大技巧課件

專項(xiàng)素養(yǎng)綜合全練(七)添加輔助線構(gòu)造全等三角形的六大技巧專項(xiàng)解讀在證明幾何題目的過(guò)程中,常常需要通過(guò)全等三角形研

究?jī)蓷l線段(或兩個(gè)角)的相等關(guān)系,有時(shí)這樣的全等三角形

在問(wèn)題中并不十分明顯,因此,我們通過(guò)添加輔助線,構(gòu)造全

等三角形,進(jìn)而證明所需的結(jié)論.方法一添加公共邊1.已知:如圖,AB=CD,AD=BC.求證:∠A=∠C.證明連結(jié)BD,在△ABD和△CDB中,

∴△ABD≌△CDB(S.S.S.),∴∠A=∠C.2.已知:如圖,AB=AD,CB=CD,E、F分別是AB、AD的中點(diǎn).求

證:CE=CF.

證明連結(jié)AC,在△ABC和△ADC中,

∴△ABC≌△ADC(S.S.S.),∴∠B=∠D,又∵E、F分別為AB、AD的中點(diǎn),∴BE=

AB,FD=

AD,∵AB=AD,∴BE=FD,在△BEC和△DFC中,

∴△BEC≌△DFC(S.A.S.),∴CE=CF.方法二倍長(zhǎng)中線法3.(新考向·閱讀理解試題)課外興趣小組活動(dòng)時(shí),老師提出了

如下問(wèn)題:如圖1,在△ABC中,若AB=10,BC=8,求AC邊上的中

線BD的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流,得到了如下的

解決方法:延長(zhǎng)BD至E,使DE=BD,連結(jié)CE.利用全等將邊AB

轉(zhuǎn)化成CE,在△BCE中利用三角形的三邊關(guān)系即可求出中線

BD的取值范圍,請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考:(1)由已知和作圖能得到△CED≌△ABD的理由是

.A.S.S.S.

B.S.A.S.C.A.A.S.

D.H.L.(2)求得BD的取值范圍是

.【方法感悟】解題時(shí),條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣,可以考慮延長(zhǎng)

中線構(gòu)造全等三角形,把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集

合到同一個(gè)三角形中.【問(wèn)題解決】(3)如圖2,在△ABC中,BD是AC邊上的中線,分別以AB,BC為

直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角

形BCN,其中AB=BM,BC=BN,∠ABM=∠NBC=90°,連結(jié)MN.請(qǐng)寫出BD與MN的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

圖1

圖2解析

(1)∵BD是AC邊上的中線,∴CD=AD,在△CED和△ABD中,

∴△CED≌△ABD(S.A.S.).故答案為B.(2)由(1)知,△CED≌△ABD,∴CE=AB=10,在△BCE中,BC=8,∴10-8<BE<10+8,∴2<BE<18,∵BD=DE,∴BE=2BD,∴2<2BD<18,∴1<BD<9.(3)MN=2BD.理由:如圖,延長(zhǎng)BD至E,使DE=BD,連結(jié)AE,則BE=2BD,同(1)的方法得,△ADE≌△CDB(S.A.S.),∴∠DAE=∠DCB,AE=CB,∵BC=BN,∴AE=BN,∵∠ABM=∠NBC=90°,∴∠MBN+∠ABC=180°,在△ABC中,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠MBN=∠BAC+∠ACB=∠BAC+∠DAE=∠BAE,∵AB=BM,∴△ABE≌△BMN(S.A.S.),∴BE=MN,∴MN=2BD.方法三補(bǔ)形法4.(2023河南南陽(yáng)宛城期末)如圖,已知∠BAC=90°,AB=AC,BD

是∠ABC的平分線,且CE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.若CE=2,

則線段BD的長(zhǎng)為

.4解析如圖,延長(zhǎng)CE與BA交于點(diǎn)F,∵∠BAC=90°,CE⊥BE,∴∠EBF+∠F=90°,∠ACF+∠F=90°,∴∠EBF=∠ACF,在△ABD和△ACF中,

∴△ABD≌△ACF(A.S.A.),∴BD=CF,∵BD是∠ABC的平分線,∴∠EBC=∠EBF.在△BCE和△BFE中,

∴△BCE≌△BFE(A.S.A.),∴CE=EF,∴CF=2CE,∴BD=CF=2CE=4.方法四平行線法5.如圖1和圖2,直線MN和線段AB相交于點(diǎn)O,∠1=∠2=45°.(1)如圖1,試說(shuō)明AB⊥BD.(2)如圖2,如果AO=BO,試說(shuō)明AC=BD.

圖1圖2證明

(1)∵∠1=∠2=45°,∴∠BOD=∠1=45°,∴∠B=180°-45°-45°=90°,∴AB⊥BD.(2)過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交MN于E.∴∠A=∠EBO.又∵AO=BO,∠AOC=∠BOE,∴△AOC≌△BOE(A.S.A.),∴AC=BE,∠ACO=∠BEO,又∵∠1+∠ACO=180°,∠BED+∠BEO=180°,∴∠BED=∠1,∵∠1=∠2,∴∠BED=∠2.∴BD=BE,∴AC=BD.方法五截長(zhǎng)補(bǔ)短法6.如圖所示,AB∥CD,BE,CE分別是∠ABC,∠BCD的平分線,

點(diǎn)E在AD上.求證:BC=AB+CD.證明

如圖,在BC上取點(diǎn)F,使BF=AB,連結(jié)EF.∵BE,CE分別是∠ABC,∠BCD的平分線,∴∠ABE=∠FBE,∠BCE=∠DCE.∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°.在△ABE和△FBE中,

∴△ABE≌△FBE(S.A.S.),∴∠A=∠BFE,∴∠BFE+∠D=180°.∵∠BFE+∠EFC=180°,∴∠EFC=∠D.在△EFC和△EDC中,

∴△EFC≌△EDC(A.A.S.),∴CF=CD.∵BC=BF+CF,∴BC=AB+CD.7.如圖所示,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB.求證:AC=AE+CD.證明如圖,在AC上取點(diǎn)F,使AF=AE,連結(jié)OF,

∵AD平分∠BAC,∴∠EAO=∠FAO,在△AEO與△AFO中,

∴△AEO≌△AFO(S.A.S.),∴∠AOE=∠AOF.∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB,∴∠ECA+∠DAC=

∠ACB+

∠BAC=

(∠ACB+∠BAC)=

(180°-∠B)=60°,∴∠AOC=180°-(∠ECA+∠DAC)=120°,∴∠DOE=∠AOC=120°,∠AOE=∠COD=∠AOF=60°,∴∠COF=60°,∴∠COD=∠COF,在△FOC與△DOC中,

∴△FOC≌△DOC(A.S.A.),∴DC=FC,∵AC=AF+FC,∴AC=AE+CD.方法六作中線法8.如圖所示,△ABC中,AB=BC,D為BC邊上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作

DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥BC,交AC于點(diǎn)F.(1)若∠AFD=155°,求∠EDF的度數(shù).(2)若點(diǎn)F是AC的中點(diǎn),求證:∠CFD=

∠B.解析

(1)∵∠AFD=155°,∴∠DFC=180°-155°=25°,∵DF⊥BC,DE⊥AB,∴∠FDC=∠AED=90°,∴∠C=90°-25°=65°,∵AB=BC,∴∠A=∠C=65