2025數(shù)學步步高大一輪復習講義人教A版第九章　必刷大題18　統(tǒng)計與統(tǒng)計分析含答案

2025數(shù)學步步高大一輪復習講義人教A版第九章必刷大題18統(tǒng)計與統(tǒng)計分析必刷大題18統(tǒng)計與統(tǒng)計分析1．某中學為了解學生數(shù)學課程的學習情況，在3000名學生中隨機抽取200名，并統(tǒng)計這200名學生的某次數(shù)學考試成績(滿分100分)，得到了樣本的頻率分布直方圖(如圖)．一般學校認為成績大于等于80分的學生為優(yōu)秀．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計3000名學生在該次數(shù)學考試中成績優(yōu)秀的學生數(shù)；(2)依據(jù)樣本的頻率分布直方圖，估計總體成績的眾數(shù)和平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)以所在區(qū)間的中點值為代表)．解(1)由樣本的頻率分布直方圖可知，在該次數(shù)學考試中成績優(yōu)秀的頻率是(0.020＋0.008)×10＝0.28，則估計3000名學生在該次數(shù)學考試中成績優(yōu)秀的學生有3000×0.28＝840(名)．(2)由樣本的頻率分布直方圖可知，估計總體成績的眾數(shù)為eq\f(70＋80,2)＝75，平均數(shù)為0.002×10×35＋0.006×10×45＋0.012×10×55＋0.024×10×65＋0.028×10×75＋0.020×10×85＋0.008×10×95＝71.2.所以估計總體成績的眾數(shù)為75，平均數(shù)為71.2.2．(2024·海南模擬)實驗發(fā)現(xiàn)，猴痘病毒與天花病毒有共同抗原，兩者之間有很強的血清交叉反應和交叉免疫，故猴痘流行的時候可接種牛痘疫苗預防．某醫(yī)學研究機構(gòu)對120個接種與未接種牛痘疫苗的密切接觸者進行醫(yī)學觀察后，統(tǒng)計了感染病毒情況，得到下面的2×2列聯(lián)表：感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接種牛痘疫苗2030已接種牛痘疫苗1060(1)根據(jù)上表，分別估計在未接種牛痘疫苗和已接種牛痘疫苗的情況下，感染猴痘病毒的概率；(2)是否能依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，認為密切接觸者未感染猴痘病毒與接種牛痘疫苗有關(guān)？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.01xα2.7063.8416.635解(1)由題意可知，估計未接種牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率為P1＝eq\f(20,20＋30)＝eq\f(2,5)，已接種牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率為P2＝eq\f(10,10＋60)＝eq\f(1,7).(2)列聯(lián)表如表所示：感染猴痘病毒未感染猴痘病毒合計未接種牛痘疫苗203050已接種牛痘疫苗106070合計3090120零假設為H0：密切接觸者未感染猴痘病毒與接種牛痘疫苗無關(guān)．則χ2＝eq\f(120×20×60－10×302,30×90×50×70)≈10.286>6.635＝x0.01，所以根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為密切接觸者未感染猴痘病毒與接種牛痘疫苗有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.01.3．(2024·滄州模擬)“綠水青山就是金山銀山”的口號已經(jīng)深入民心，人們對環(huán)境的保護意識日益增強，質(zhì)檢部門也會不時地對一些企業(yè)的生產(chǎn)污染情況進行排查，并作出相應的處理，本次排查了30個企業(yè)，共查出510個污染點，其中造成污染點前10名的企業(yè)分別造成的污染點數(shù)為58,36,36,35,33,32,28,26,24,22.(1)求這30個企業(yè)造成污染點的第80百分位數(shù)；(2)已知造成污染點前10名的企業(yè)的方差為92.4，其他20個企業(yè)造成污染點的方差為44.7，求這30個企業(yè)造成污染點的總體方差．解(1)根據(jù)定義可得，此30個數(shù)據(jù)從小到大排列，且30×80%＝24，所以這30個企業(yè)造成污染的第80百分位數(shù)是第24個數(shù)據(jù)與第25個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即前10名中第六名與第七名數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即eq\f(28＋32,2)＝30.(2)按照企業(yè)造成的污染點數(shù)從小到大排列，記為x1，x2，…，x20，其平均數(shù)記為eq\x\to(x)，方差記為seq\o\al(2,x)；把剩下10個數(shù)據(jù)記為y1，y2，…，y10，其平均數(shù)記為eq\x\to(y)，方差記為seq\o\al(2,y)；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為eq\x\to(z)，方差記為s2.由題意可知，eq\x\to(z)＝eq\f(510,30)＝17，eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)×(58＋36＋36＋35＋33＋32＋28＋26＋24＋22)＝eq\f(1,10)×330＝33，則eq\x\to(x)＝eq\f(1,20)×(510－330)＝9，由題知seq\o\al(2,x)＝44.7，seq\o\al(2,y)＝92.4，s2＝eq\f(1,30)×{20[seq\o\al(2,x)＋(eq\x\to(x)－eq\x\to(z))2]＋10[seq\o\al(2,y)＋(eq\x\to(y)－eq\x\to(z))2]}代入數(shù)據(jù)可得s2＝eq\f(1,30)×{20×[44.7＋(9－17)2]＋10×[92.4＋(33－17)2]}＝188.6，所以這30個企業(yè)造成污染點的總體方差為188.6.4．(2023·淄博模擬)某電商平臺統(tǒng)計了近七年小家電的年度廣告費支出xi(萬元)與年度銷售量yi(萬臺)的數(shù)據(jù)，如表所示：年份2016201720182019202020212022廣告費支出x1246111319銷售量y1.93.24.04.45.25.35.4其中eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝279.4，eq\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(2,i)＝708.(1)若用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；(2)若用y＝c＋deq\r(x)模型擬合得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.63＋0.99eq\r(x)，經(jīng)計算(1)中的回歸模型及該模型的R2分別為0.75和0.88，請根據(jù)R2的數(shù)值選擇更好的回歸模型擬合y與x的關(guān)系，進而計算出年度廣告費x為何值時，利潤eq\o(z,\s\up6(^))＝200y－x的預報值最大？參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解(1)由題意可得eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋4＋6＋11＋13＋19,7)＝8，eq\x\to(y)＝eq\f(1.9＋3.2＋4.0＋4.4＋5.2＋5.3＋5.4,7)＝4.2，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\x\to(x)2)＝eq\f(279.4－7×8×4.2,708－7×82)＝0.17，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝4.2－0.17×8＝2.84，y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.17x＋2.84.(2)因為0.75<0.88，R2越大擬合效果越好，所以選用回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝1.63＋0.99eq\r(x)更好，eq\o(z,\s\up6(^))＝200(1.63＋0.99eq\r(x))－x＝－x＋198eq\r(x)＋326＝－(eq\r(x)－99)2＋10127，即當eq\r(x)＝99，即x＝9801時，利潤的預報值最大．5．(2023·福州模擬)國內(nèi)某大學想了解本校學生的運動狀況，采用簡單隨機抽樣的方法從全校學生中抽取2000人，調(diào)查他們平均每天運動的時間(單位：小時)，統(tǒng)計表明該校學生平均每天運動的時間范圍是[0,3]，記平均每天運動的時間不少于2小時的學生為“運動達人”，少于2小時的學生為“非運動達人”．整理分析數(shù)據(jù)得到的列聯(lián)表如表所示(單位：人)：性別運動時間合計“運動達人”“非運動達人”男生11003001400女生400200600合假設為H0：運動時間與性別之間無關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，算得χ2≈31.746，根據(jù)小概率值α＝0.001的χ2獨立性檢驗，則認為運動時間與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.(1)如果將表中所有數(shù)據(jù)都縮小為原來的eq\f(1,10)，在相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷運動時間與性別之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請用統(tǒng)計語言解釋其中的原因；(2)采用按樣本性別比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取20名同學，并統(tǒng)計每位同學的運動時間，統(tǒng)計數(shù)據(jù)為男生運動時間的平均數(shù)為2.5，方差為1；女生運動時間的平均數(shù)為1.5，方差為0.5，求這20名同學運動時間的均值與方差．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解(1)方法一改變數(shù)據(jù)之后的列聯(lián)表為性別運動時間合計“運動達人”“非運動達人”男生11030140女生402060合計15050200則調(diào)整后的χ2＝eq\f(200×110×20－30×402,150×50×140×60)＝eq\f(200,63)≈3.175<10.828＝x0.001.則根據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷運動時間與性別有關(guān)．與之前結(jié)論不一樣，原因是每個數(shù)據(jù)都縮小為原來的eq\f(1,10)，相當于樣本容量縮小為原來的eq\f(1,10)，導致推斷結(jié)論發(fā)生了變化，當樣本容量越大，用樣本估計總體的準確性會越高．方法二調(diào)整后的χ2＝eq\f(\f(n,10)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,10)·\f(d,10)－\f(b,10)·\f(c,10)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,10)＋\f(b,10)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,10)＋\f(d,10)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,10)＋\f(c,10)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,10)＋\f(d,10))))＝eq\f(1,10)eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(χ2,10)≈3.175<10.828＝x0.001，根據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷運動時間與性別有關(guān)．與之前結(jié)論不一樣，原因是每個數(shù)據(jù)都縮小為原來的eq\f(1,10)，相當于樣本容量縮小為原來的eq\f(1,10)，導致推斷結(jié)論發(fā)生了變化，當樣本容量越大，用樣本估計總體的準確性會越高．(2)男生抽取eq\f(1400,2000)×20＝14(人)，女生抽取eq\f(600,2000)×20＝6(人)，由已知男生運動時間的平均數(shù)為eq\x\to(x)＝2.5，樣本方差為seq\o\al(2,1)＝1；女生運動時間的平均數(shù)為eq\x\to(y)＝1.5，樣本方差為seq\o\al(2,2)＝0.5.記樣本均值為eq\x\to(w)，則eq\x\to(w)＝eq\f(14×2.5＋6×1.5,20)＝2.2，記樣本方差為s2，則s2＝eq\f(14×[1＋2.5－2.22]＋6×[0.5＋1.5－2.22],20)＝1.06，所以這20名同學運動時間的均值為2.2，方差為1.06.6．(2023·泰安模擬)近年來，我國新能源汽車發(fā)展進入新階段．某品牌2018年到2022年新能源汽車年銷量w(萬輛)如表所示，其中2018年～2022年對應的年份代碼t為1～5.年份代碼t12345銷量w(萬輛)49141825(1)判斷兩個變量是否線性相關(guān)，并計算樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.001)；(2)①假設變量x與變量Y的n對觀測數(shù)據(jù)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，兩個變量滿足一元線性回歸模型eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋e，,Ee＝0，De＝σ2))(隨機誤差ei＝y(tǒng)i－bxi)，請寫出參數(shù)b的最小二乘估計；②令變量x＝t－eq\x\to(t)，y＝w－eq\x\to(w)，則變量x與變量Y滿足一元線性回歸模型eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋e，,Ee＝0，De＝σ2，))利用①中結(jié)論求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并預測2025年該品牌新能源汽車的銷售量．附：樣本相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)wi－\x\to(w),\r(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)\r(\i\su(i＝1,n,)wi－\x\to(w)2))，eq\i\su(i＝1,5,)(ti－eq\x\to(t))(wi－eq\x\to(w))＝51，eq\i\su(i＝1,5,)(wi－eq\x\to(w))2＝262，eq\i\su(i＝1,5,)(ti－eq\x\to(t))2＝10，eq\r(655)≈25.6.解(1)通過作散點圖如圖所示，發(fā)現(xiàn)樣本點大致分布在一條直線附近，因此是線性相關(guān)．r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)ti－\x\to(t)wi－\x\to(w),\r(\i\su(i＝1,5,)ti－\x\to(t)2)\r(\i\su(i＝1,5,)wi－\x\to(w)2))＝eq\f(51,\r(262)×\r(10))≈eq\f(51,51.2)≈0.996，∴兩變量有較強的正相關(guān)．(2)①Q(mào)＝eq\i\su(i＝1,n,e)eq\o\al(2,i)＝eq\i\su(i＝1,n,)(yi－bxi)2＝eq\i\su(i＝1,n,)(yeq\o\al(2,i)－2bxiyi＋b2xeq\o\al(2,i))＝b2eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－2beq\i\su(i＝1,n,x)iyi＋eq\i\su(i＝1,n,y)eq\o\al(2,i)，要使殘差平方和最小，當且僅當eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi,\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)).②∵x＝t－eq\x\to(t)，y＝w－eq\x\to(w)，由①知eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi,\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)ti－\x\to(t)wi－\x\to(w),\i\su(i＝1,5,)ti－\x\to(t)2)＝eq\f(51,10)＝5.1，∴y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y＝5.1x，∴w－eq\x\to(w)＝5.1(t－eq\x\to(t))，∵eq\x\to(t)＝3，eq\x\to(w)＝14，∴w＝5.1(t－eq\x\to(t))＋eq\x\to(w)＝5.1t－1.3，當t＝8時，w＝5.1×8－1.3＝39.5(萬輛)，因此，預計2025年該品牌新能源汽車的銷售量將達到39.5萬輛．§7.1基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積課標要求1.認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺的表面積和體積的計算公式，并能解決簡單的實際問題.3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖．知識梳理1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點但不一定相等延長線交于一點側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)2.直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l4.柱、錐、臺、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體S表＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體S表＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺體S表＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S表＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3常用結(jié)論1．與體積有關(guān)的幾個結(jié)論(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等(祖暅原理)．2．直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形，S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)菱形的直觀圖仍是菱形．(×)(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(×)(3)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱．(×)(4)錐體的體積等于底面積與高之積．(×)2.如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，則盛水部分的幾何體是()A．四棱臺 B．四棱錐C．四棱柱 D．三棱柱答案C解析由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，盛水部分的幾何體是四棱柱．3．(必修第二冊P111T1改編)下列說法正確的是()A．相等的角在直觀圖中仍然相等B．相等的線段在直觀圖中仍然相等C．正方形的直觀圖是正方形D．若兩條線段平行，則在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行答案D解析由直觀圖的畫法規(guī)則知，角度、長度都有可能改變，而線段的平行關(guān)系不變，正方形的直觀圖是平行四邊形．4．若一個圓錐的底面半徑和高都是1，則它的母線長等于_____，它的體積等于_____．答案eq\r(2)eq\f(π,3)解析由軸截面可得圓錐的母線長為eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，體積為eq\f(1,3)×π×12×1＝eq\f(π,3).題型一基本立體圖形命題點1結(jié)構(gòu)特征例1(多選)下列說法正確的是()A．底面是菱形，且有一個頂點處的三條棱兩兩垂直的棱柱是正四棱柱B．有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C．如果一個棱錐的各個側(cè)面都是等邊三角形，那么這個棱錐可能為六棱錐D．如果一個棱柱的所有面都是長方形，那么這個棱柱是長方體答案AD解析若底面是菱形，且有一個頂點處的三條棱兩兩垂直，則該四棱柱底面為正方形，且側(cè)棱垂直于底面，所以該四棱柱為正四棱柱，故A正確；棱臺是由棱錐被平行于棱錐底面的平面所截而得的，而有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體有可能不是棱臺，因為它的側(cè)棱延長后不一定交于一點，故B錯誤；當棱錐的各個側(cè)面的共頂點的角之和是360°時，各側(cè)面構(gòu)成平面圖形，故這個棱錐不可能為六棱錐，故C錯誤；若每個側(cè)面都是長方形，則說明側(cè)棱與底面垂直，又底面也是長方形，符合長方體的定義，故D正確．命題點2直觀圖例2如圖，△A′O′B′是水平放置的△AOB的直觀圖，但部分圖象被茶漬覆蓋，已知O′為坐標原點，頂點A′，B′均在坐標軸上，且△AOB的面積為12，則O′B′的長度為()A．1B．2C．3D．4答案B解析方法一如圖，畫出△AOB的原圖，為直角三角形，且OA＝O′A′＝6，因為eq\f(1,2)OB·OA＝12，所以OB＝4，所以O′B′＝eq\f(1,2)OB＝2.方法二S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形＝3eq\r(2)，又S直觀圖＝eq\f(1,2)O′A′·O′B′·sin∠A′O′B′，所以O′B′＝2.命題點3展開圖例3如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為1cm，高為5cm，一質(zhì)點自A點出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達A1點的最短路線的長為()A．12cm B．13cmC.eq\r(61)cm D．15cm答案C解析如圖，把側(cè)面展開2周可得對角線最短，則AA1＝eq\r(62＋52)＝eq\r(61)(cm)．思維升華(1)辨別空間幾何體的兩種方法①定義法：緊扣定義進行判定；②反例法：要說明一個結(jié)論是錯誤的，只需舉出一個反例即可．(2)在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點及關(guān)鍵線段：平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半．(3)在解決空間折線(段)最短問題時一般考慮其展開圖，采用化曲為直的策略，將空間問題平面化．跟蹤訓練1(1)如圖，一個水平放置的平面圖形由斜二測畫法得到的直觀圖A′B′C′D′是邊長為2的菱形，且O′D′＝2，則原平面圖形的周長為()A．4eq\r(2)＋4 B．4eq\r(6)＋4C．8eq\r(2) D．8答案B解析根據(jù)題意，把直觀圖還原成原平面圖形，如圖所示，其中OA＝2eq\r(2)，OD＝4，AB＝CD＝2，則AD＝eq\r(8＋16)＝2eq\r(6)，故原平面圖形的周長為2＋2＋2eq\r(6)＋2eq\r(6)＝4eq\r(6)＋4.(2)(多選)下面關(guān)于空間幾何體的敘述正確的是()A．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形C．長方體是直平行六面體D．存在每個面都是直角三角形的四面體答案CD解析當頂點在底面的投影是正多邊形的中心時才是正棱錐，故A不正確；當平面與圓柱的母線平行或垂直時，截得的截面才為圓或矩形，否則為橢圓或橢圓的一部分，故B不正確；長方體是直平行六面體，故C正確；如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個面都是直角三角形，故D正確．(3)有一根高為3π，底面半徑為1的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為________．答案5π解析如圖，把圓柱的側(cè)面展開圖再延展一倍，所以鐵絲的最短長度即為AB的長，此時AB＝eq\r(3π2＋4π2)＝5π.題型二表面積與體積命題點1表面積例4(1)(2023·深圳模擬)以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于()A．8πB．4πC．8D．4答案A解析以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體為圓柱，其底面半徑r＝2，高h＝2，∴所得圓柱的側(cè)面積S＝2πrh＝2π×2×2＝8π.(2)如圖所示，已知三棱臺ABC－A1B1C1的上、下底面都是等腰直角三角形，CC1⊥平面ABC，AC＝2，A1C1＝1，CC1＝1，則這個三棱臺的側(cè)面積為()A.eq\f(6＋3\r(3),2) B.eq\f(10＋3\r(3),2)C.eq\f(11＋3\r(3),2) D．3＋2eq\r(3)答案A解析因為CC1⊥平面ABC，AC，CB?平面ABC，所以CC1⊥AC，CC1⊥CB，又AC＝2，A1C1＝1，CC1＝1，所以＝＝eq\f(1,2)×(1＋2)×1＝eq\f(3,2)，在梯形A1ABB1中，易知，A1B1＝eq\r(2)，AB＝2eq\r(2)，AA1＝BB1＝eq\r(2)，所以＝eq\f(1,2)×(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\r(2－\f(1,2))＝eq\f(3\r(3),2)，所以這個三棱臺的側(cè)面積S側(cè)＝＋＋＝eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＋eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(6＋3\r(3),2).命題點2體積例5(1)如圖為一個木楔子的直觀圖，其中四邊形ABCD是邊長為2的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥CD，EF＝4，則該木楔子的體積為()A.eq\f(8\r(2),3)B．4eq\r(2)C.eq\f(4\r(2),3)D．2eq\r(2)答案A解析如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，易得EG＝HF＝1，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\r(3).取AD的中點O，連接GO，易得GO＝eq\r(2)，∴S△ADG＝S△BCH＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2＝eq\r(2).∴多面體的體積V＝V三棱錐E－ADG＋V三棱錐F－BCH＋V三棱柱AGD－BHC＝2V三棱錐E－ADG＋V三棱柱AGD－BHC＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×1×2＋eq\r(2)×2＝eq\f(8\r(2),3).(2)(2023·新高考全國Ⅰ)在正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq\r(2)，則該棱臺的體積為________．答案eq\f(7\r(6),6)解析如圖，過A1作A1M⊥AC，垂足為M，易知A1M為四棱臺ABCD－A1B1C1D1的高，因為AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq\r(2)，則A1O1＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)×eq\r(2)A1B1＝eq\f(\r(2),2)，AO＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)AB＝eq\r(2)，故AM＝AO－A1O1＝eq\f(\r(2),2)，則A1M＝eq\r(AA\o\al(2,1)－AM2)＝eq\r(2－\f(1,2))＝eq\f(\r(6),2)，所以所求棱臺體積為V＝eq\f(1,3)×(4＋1＋eq\r(4×1))×eq\f(\r(6),2)＝eq\f(7\r(6),6).思維升華求空間幾何體的體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式割補法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積跟蹤訓練2(1)定義：通過24小時內(nèi)降水在平地上的積水厚度(mm)來判斷降雨程度；其中小雨(0mm－10mm)，中雨(10mm－25mm)，大雨(25mm－50mm)，暴雨(50mm－100mm)；小明用一個圓錐形容器(如圖)接了24小時的雨水，則這天降雨屬于哪個等級()A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨答案B解析由題意，一個半徑為eq\f(200,2)＝100(mm)的圓面內(nèi)的降雨充滿一個底面半徑為eq\f(200,2)×eq\f(150,300)＝50(mm)，高為150(mm)的圓錐，所以積水的厚度為eq\f(\f(1,3)π×502×150,π×1002)＝12.5(mm)，由題意可知，這天降雨屬于中雨．(2)(多選)已知在正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，AA1＝2，則關(guān)于該正四棱臺，下列說法正確的是()A．∠A1AB＝eq\f(π,6) B．高為eq\r(2)C．體積為eq\f(28\r(2),3) D．表面積為12eq\r(3)答案BC解析過點A1分別作底面ABCD，AB的垂線，垂足分別為M，N，如圖所示，則AM＝eq\f(1,4)AC＝eq\r(2)，AN＝eq\f(1,4)AB＝1，可得A1M＝eq\r(A1A2－AM2)＝eq\r(2)，A1N＝eq\r(A1A2－AN2)＝eq\r(3).對于A，在Rt△AA1N中，可得sin∠A1AN＝eq\f(A1N,AA1)＝eq\f(\r(3),2)，且∠A1AN為銳角，則∠A1AB＝eq\f(π,3)，故A錯誤；對于B，正四棱臺的高即為A1M＝eq\r(2)，故B正確；對于C，正四棱臺的體積V＝eq\f(1,3)×(4×4＋2×2＋eq\r(4×4×2×2))×eq\r(2)＝eq\f(28\r(2),3)，故C正確；對于D，四棱臺的表面積S＝4×4＋2×2＋4×eq\f(\r(3)×2＋4,2)＝20＋12eq\r(3)，故D錯誤．課時精練一、單項選擇題1．(2024·武漢模擬)下列說法正確的是()A．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體B．球的直徑是連接球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段C．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐D．用一個平面截圓錐，得到一個圓錐和圓臺答案B解析雖然各側(cè)面都是正方形，但底面可能是菱形，所以該四棱柱不一定是正方體，故A錯誤；球的直徑的定義即為“連接球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段”，故B正確；以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，以直角三角形的斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是兩個共底面的圓錐組成的幾何體，故C錯誤；用一個平行于底面的平面截圓錐，得到一個圓錐和圓臺，故D錯誤．2.如圖，圓臺的側(cè)面展開圖為半圓環(huán)，圖中線段AB＝8，C，O，D為線段AB的四等分點，則該圓臺的表面積為()A．11π B.eq\f(17π,2)C．6π D．5π答案A解析設圓臺上底面半徑為r，下底面半徑為R，則2πr＝eq\f(1,2)×2π×2,2πR＝eq\f(1,2)×2π×4，解得r＝1，R＝2，∴圓臺上、下底面面積分別為S1＝πr2＝π，S2＝πR2＝4π，又圓臺的側(cè)面積S3＝eq\f(42π－22π,2)＝6π，∴圓臺的表面積S＝S1＋S2＋S3＝11π.3.如圖，在水平地面上的圓錐形物體的母線長為12，底面圓的半徑等于4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行一周后回到點P處，則小蟲爬行的最短路程為()A．12eq\r(3)B．16C．24D．24eq\r(3)答案A解析如圖，設圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為θ，則由題意可得2π×4＝12θ，則θ＝eq\f(2π,3)，在△POP′中，OP＝OP′＝12，則小蟲爬行的最短路程為PP′＝eq\r(122＋122－2×12×12×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝12eq\r(3).4.如圖所示的幾何體是從棱長為2的正方體中截去到正方體的某個頂點的距離均為2的幾何體后的剩余部分，則該幾何體的表面積為()A．24－3π B．24－πC．24＋π D．24＋5π答案B解析由題意知，該幾何體是從棱長為2的正方體中截去以正方體某個頂點為球心，2為半徑的eq\f(1,8)球后的剩余部分，則其表面積＝6×22－3×eq\f(1,4)×π×22＋eq\f(1,8)×4×π×22＝24－π.5.如圖，四邊形ABCD的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝4，C′D′＝2，則下列說法正確的是()A．AB＝2B．A′D′＝2eq\r(2)C．四邊形ABCD的周長為4＋2eq\r(2)＋2eq\r(3)D．四邊形ABCD的面積為6eq\r(2)答案D解析如圖，過點D′作DE⊥O′B′于點E，由等腰梯形A′B′C′D′可得，△A′D′E是等腰直角三角形，即A′D′＝eq\r(2)A′E＝eq\f(1,2)×(4－2)×eq\r(2)＝eq\r(2)，B錯誤；還原平面圖如圖，即AB＝4＝2CD，AD＝2eq\r(2)，A錯誤；過點C作CF⊥AB于點F，由勾股定理得CB＝2eq\r(3)，故四邊形ABCD的周長為4＋2＋2eq\r(2)＋2eq\r(3)＝6＋2eq\r(2)＋2eq\r(3)，C錯誤；四邊形ABCD的面積為eq\f(1,2)×(4＋2)×2eq\r(2)＝6eq\r(2)，D正確．6．(2023·寧德質(zhì)檢)中國古代數(shù)學家很早就對空間幾何體進行了系統(tǒng)的研究，中國傳世數(shù)學著作《九章算術(shù)》卷五“商功”主要講述了以立體問題為主的各種形體體積的計算公式．例如在推導正四棱臺(古人稱方臺)體積公式時，將正四棱臺切割成九部分進行求解．如圖(1)為俯視圖，圖(2)為立體切面圖．E對應的是正四棱臺中間位置的長方體；B，D，H，F(xiàn)對應四個三棱柱，A，C，I，G對應四個四棱錐．若這四個三棱柱的體積之和為12，四個四棱錐的體積之和為4，則該正四棱臺的體積為()A．24B．28C．32D．36答案B解析如圖，令四棱錐的底面邊長為a，高為h，三棱柱的高為b，依題意，得四棱錐的體積為eq\f(1,3)a2h＝1，即a2h＝3，三棱柱的體積為eq\f(1,2)ahb＝3，即abh＝6，因此b＝2a，于是長方體的體積V＝b2h＝4a2h＝12，所以該正四棱臺的體積為12＋4＋12＝28.二、多項選擇題7．(2023·邯鄲模擬)攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑、園林建筑．下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐．已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為θ，這個角接近30°，若取θ＝30°，側(cè)棱長為eq\r(21)米，則()A．正四棱錐的底面邊長為6米B．正四棱錐的底面邊長為3米C．正四棱錐的側(cè)面積為24eq\r(3)平方米D．正四棱錐的側(cè)面積為12eq\r(3)平方米答案AC解析如圖，在正四棱錐S－ABCD中，O為正方形ABCD的中心，H為AB的中點，則SH⊥AB，設底面邊長為2a米．因為∠SHO＝30°，所以OH＝AH＝a米，OS＝eq\f(\r(3),3)a米，SH＝eq\f(2\r(3),3)a米．在Rt△SAH中，a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)a))2＝21，解得a＝3，所以正四棱錐的底面邊長為6米，側(cè)面積為eq\f(1,2)×6×2eq\r(3)×4＝24eq\r(3)(平方米)．8．(2023·新高考全國Ⅱ)已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點C在底面圓周上，且二面角P－AC－O為45°，則()A．該圓錐的體積為πB．該圓錐的側(cè)面積為4eq\r(3)πC．AC＝2eq\r(2)D．△PAC的面積為eq\r(3)答案AC解析依題意，∠APB＝120°，PA＝2，所以OP＝1，OA＝OB＝eq\r(3).A項，圓錐的體積為eq\f(1,3)×π×(eq\r(3))2×1＝π，故A正確；B項，圓錐的側(cè)面積為π×eq\r(3)×2＝2eq\r(3)π，故B錯誤；C項，取AC的中點D，連接OD，PD，如圖所示，則AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P－AC－O的平面角，則∠PDO＝45°，所以OP＝OD＝1，故AD＝CD＝eq\r(3－1)＝eq\r(2)，則AC＝2eq\r(2)，故C正確；D項，PD＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，所以S△PAC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)＝2，故D錯誤．三、填空題9.中學開展勞動實習，學習加工制作食品包裝盒．現(xiàn)有一張邊長為6的正六邊形硬紙片，如圖所示，裁掉陰影部分，然后按虛線處折成高為eq\r(3)的正六棱柱無蓋包裝盒，則此包裝盒的體積是________．答案72解析如圖，正六邊形的每個內(nèi)角為120°，按虛線處折成高為eq\r(3)的正六棱柱，即BF＝eq\r(3)，所以BE＝eq\f(BF,tan60°)＝1，可得正六棱柱底邊邊長AB＝6－2×1＝4，則正六棱柱的底面積為S＝6×eq\f(1,2)×4×4×eq\f(\r(3),2)＝24eq\r(3)，所以正六棱柱的體積V＝24eq\r(3)×eq\r(3)＝72.10．(2023·呂梁模擬)公園、旅游景點的護欄頂部常常用“半正多面體”裝飾(圖1)．“半正多面體”是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，“半正多面體”體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．如圖2是一個棱數(shù)為24的“半正多面體”，其棱長為eq\r(2)，則該“半正多面體”的表面積為________，體積為________.答案12＋4eq\r(3)eq\f(20,3)解析如圖，該棱長為eq\r(2)的“半正多面體”的所有頂點恰為正方體各棱的中點，容易得到正方體的棱長為2.設該“半正多面體”的表面積為S，體積為V，則該“半正多面體”的表面由6個正方形和8個等邊三角形組成，所以其表面積S＝6×(eq\r(2))2＋8×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝12＋4eq\r(3)，則該“半正多面體”可以看作是棱長為2的正方體，在8個頂點處截去側(cè)棱長為1的8個正三棱錐得到的，所以其體積V＝23－8×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(20,3).11.某校高一年級學生進行創(chuàng)客活動，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD－A1B1C1D1挖去正四棱臺ABCD－EFGH后所得的幾何體，其中AB＝BC＝2EF＝2BF＝6cm，AA1＝4cm，為增強其觀賞性和耐用性，現(xiàn)對該模型表面鍍上一層金屬膜，每平方厘米需要金屬2mg，不考慮損耗，所需金屬膜的質(zhì)量為________mg.答案282＋54eq\r(3)解析由題意，該幾何體側(cè)面4個面的面積和為4×4×6＝96(cm2)，底面積為6×6＝36(cm2)，正方形EFGH的面積為3×3＝9(cm2)．考慮梯形ABFE，高為eq\r(BF2－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB－EF))2)＝eq\f(3\r(3),2)(cm)，故正四棱臺的側(cè)面積為4×eq\f(1,2)×(3＋6)×eq\f(3\r(3),2)＝27eq\r(3)(cm2)，故該模型的表面積為96＋36＋9＋27eq\r(3)＝(141＋27eq\r(3))cm2，故所需金屬膜的質(zhì)量為2×(141＋27eq\r(3))＝(282＋54eq\r(3))mg.12．(2024·溫州模擬)魔方，又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達佩斯建筑學院厄爾諾·魯比克教授于1974年發(fā)明的機械益智玩具．自1974年魔方問世起，世界上陸續(xù)出現(xiàn)了各種各樣的魔方．魔方愛好者小明擁有一款“Zcube三面體曲面三階魔方”，它的直觀圖如圖所示，它由27個小塊構(gòu)成(其中，包含18個棱長為2cm的正方體小塊，9個底面半徑為2cm，高為2cm的eq\f(1,4)個圓柱小塊)，則該魔方的表面積為________cm2；體積為________cm3(魔方中的空隙忽略不計)．答案120＋24π144＋18π解析魔方表面共有30個邊長為2cm的正方形，故面積為30×22＝120(cm2)，魔方表面共有6個半徑為2cm的扇形，故面積為6×π·22×eq\f(1,4)＝6π(cm2)，魔方表面共有eq\f(1,4)個圓柱的側(cè)面9個，故面積為9×2π·2×2×eq\f(1,4)＝18π(cm2)，故該魔方的表面積為120＋6π＋18π＝(120＋24π)cm2；18個棱長為2cm的正方體小塊的體積為18×23＝144(cm3)，9個底面半徑為2cm，高為2cm的eq\f(1,4)個圓柱小塊的體積為π·22×eq\f(1,4)×2×9＝18π(cm3)，故魔方體積為(144＋18π)cm3.四、解答題13.如圖，矩形O′A′B′C′是用斜二測畫法畫出的水平放置的一個平面四邊形OABC的直觀圖，其中O′A′＝3，O′C′＝1.(1)求平面四邊形OABC的面積；(2)若該四邊形OABC以OA為軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積和表面積．解(1)因為S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖，所以S四邊形OABC＝2eq\r(2)S直觀圖＝6eq\r(2).(2)平面四邊形OABC如圖所示，在Rt△ODC中，有OC2＝OD2＋CD2＝(2eq\r(2))2＋12＝9，所以OC＝3，所以AB＝3.如圖，分別過點B，C作OA及其延長線的垂線，垂足為E，F(xiàn).矩形FEBC繞OA及其延長線旋轉(zhuǎn)一周得到一個底面半徑r＝OD＝2eq\r(2)，母線l1＝BC＝3的圓柱；Rt△BEA繞OA旋轉(zhuǎn)一周得到一個底面半徑r＝OD＝2eq\r(2)，母線l2＝AB＝3，高h1＝AE＝1的圓錐；Rt△CFO繞OA及其延長線旋轉(zhuǎn)一周得到一個底面半徑r＝OD＝2eq\r(2)，母線l3＝OC＝3，高h2＝OF＝CD＝1的圓錐．所以旋轉(zhuǎn)形成的幾何體為圓柱挖去一個同底的圓錐，再加上一個同底的圓錐構(gòu)成的組合體．則旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積即等于圓柱的體積，減去挖去的圓錐體積，加上組合的圓錐的體積，所以旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積V＝πr2l1－eq\f(1,3)πr2l2＋eq\f(1,3)πr2l3＝π×(2eq\r(2))2×3－eq\f(1,3)π×(2eq\r(2))2×1＋eq\f(1,3)π×(2eq\r(2))2×1＝24π.旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的表面積即圓柱的側(cè)面積，加上兩個圓錐的側(cè)面積之和，所以S＝2πrl1＋πrl2＋πrl3＝2π×2eq\r(2)×3＋π×2eq\r(2)×3＋π×2eq\r(2)×3＝24eq\r(2)π.14.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝AB＝eq\f(1,2)CD，平面ADP⊥平面PCD，PD⊥PC.(1)求證：△ADP為直角三角形；(2)若PC＝AD＝1，求四棱錐P－ABCD的體積．(1)證明作AE⊥DC，E為垂足，在等腰梯形ABCD中，設AD＝AB＝BC＝eq\f(1,2)CD＝a(a>0)，∴DE＝eq\f(1,2)(CD－AB)＝eq\f(1,2)a，∠ADE＝60°，∴AC＝eq\r(a2＋4a2－2×2a2cos60°)＝eq\r(3)a，∴AC2＋AD2＝DC2，∴AC⊥AD.又PC⊥PD，平面ADP⊥平面PCD，平面ADP∩平面PCD＝PD，PC?平面PCD，∴PC⊥平面ADP，又AD?平面ADP，∴PC⊥AD，∵AC∩PC＝C，AC，PC?平面ACP，∴AD⊥平面ACP，∵AP?平面ACP，∴AD⊥AP，∴∠DAP＝90°，即△ADP為直角三角形．(2)解由(1)知在等腰梯形ABCD中，AE＝eq\f(\r(3),2).S△ADC＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2)，S梯形ABCD＝eq\f(1＋2,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),4).∴eq\f(S梯形ABCD,S△ADC)＝eq\f(3,2).∴eq\f