2023學(xué)年眉山市仁壽縣高一數(shù)學(xué)（下）期末聯(lián)考試卷附答案詳析

2023學(xué)年眉山市仁壽縣高一數(shù)學(xué)（下）期末聯(lián)考試卷（全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）一、單選題1．復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．2．已知向量，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．3．甲；乙兩位同學(xué)去參加某高?？蒲许?xiàng)目面試．已知他們通過(guò)面試的概率都是；且兩人的面試結(jié)果相互之間沒(méi)有影響；則甲、乙兩人中僅有一人通過(guò)面試的概率為（

）A． B． C． D．4．已知，，，四點(diǎn)在平面內(nèi)，且任意三點(diǎn)都不共線，點(diǎn)在外，且滿足，則（

）A．0 B．1 C．2 D．35．在中，點(diǎn)為的重心，則（

）A．B．C． D．6．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．若，，，，，則；B．若，，則；C．若，，則；D．若，，，，則.7．如圖，平行六面體的底面是矩形，，，，且，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B．C． D．8．一個(gè)袋中共有10個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球，已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是，則紅球的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．下列命題為真命題的是（

）A．若為共扼復(fù)數(shù)，則為實(shí)數(shù)B．若i為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，則C．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限D(zhuǎn)．若復(fù)數(shù)滿足，則10．先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，表示事件“兩次擲的點(diǎn)數(shù)之和是4”，表示事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相同”，表示事件“至少出現(xiàn)一個(gè)奇數(shù)點(diǎn)”，則（

）A．與互斥 B．C． D．與相互獨(dú)立11．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）

A．B．C．在上單調(diào)遞增D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)12．已知在等邊△中，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交占，則（

）A． B．C． D．三、填空題13．用分層抽樣的方法從某校高中學(xué)生中抽取一個(gè)容量為45的樣本，其中高二年級(jí)有學(xué)生600人，抽取了15人.則該校高中學(xué)生總數(shù)是人.14．已知平面向量，不共線，且，，，若，，三點(diǎn)共線，則.15．四種電子元件組成的電路如圖所示，電子元件正常工作的概率分別為，則該電路正常工作的概率為.

16．在如圖所示的平行六面體中，已知，，，N為上一點(diǎn)，且.若，則的值為.

四、解答題17．目前用外賣(mài)網(wǎng)點(diǎn)餐的人越來(lái)越多，現(xiàn)在對(duì)大眾等餐所需時(shí)間情況進(jìn)行隨機(jī)調(diào)查，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖.其中等餐所需時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，.

(1)求頻率分布直方圖中的值.(2)利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù).(每組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)18．一枚質(zhì)地均勻的正四面體的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，將該正四面體連續(xù)拋擲2次，記錄每一次底面的數(shù)字．(1)求兩次數(shù)字之和為7的事件的概率；(2)兩次數(shù)字之和為多少的事件概率最大？并求此事件的概率．19．如圖所示，四面體中，G，H分別是的重心，設(shè)，點(diǎn)D，M，N分別為BC，AB，OB的中點(diǎn)．(1)試用向量表示向量；(2)試用空間向量的方法證明MNGH四點(diǎn)共面．20．甲、乙兩人組成“九章隊(duì)”參加青島二中數(shù)學(xué)學(xué)科周“最強(qiáng)大腦”比賽，每輪比賽由甲、乙各猜一個(gè)數(shù)學(xué)名詞，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為．在每輪比賽中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．(1)求甲兩輪至少猜對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)名詞的概率；(2)求“九章隊(duì)”在兩輪比賽中猜對(duì)三個(gè)數(shù)學(xué)名詞的概率．21．如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，側(cè)面PAB是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，底面ABCD是正方形，是側(cè)棱PB上的點(diǎn)，是底面對(duì)角線AC上的點(diǎn)，且，．

(1)求證：；(2)求證：平面PAD；(3)求點(diǎn)到平面PAD的距離．22．已知向量，，函數(shù)．(1)求的最小正周期；(2)當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)和單調(diào)遞增區(qū)間．?dāng)?shù)學(xué)參考答案：1．D【解析】由題得,即得復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由題得.所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和虛部的概念，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.2．C【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，解?故選：C.3．D【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：甲、乙兩人中僅有一人通過(guò)面試的概率.故選：D.4．B【分析】根據(jù)空間向量的共面定理可求的值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在外，由空間向量的共面定理可知且；由題意，所以；所以，解得.故選：B.5．B【分析】的重心為三角形三條中線的交點(diǎn)，為中線的三等分點(diǎn)，根據(jù)向量線性運(yùn)算的幾何表示結(jié)合條件即得.【詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)，

由于的重心為三角形三條中線的交點(diǎn)，為中線的三等分點(diǎn)，所以.故選：B.6．C【分析】根據(jù)線面平行判定定理判斷A；利用線面平行的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)可判斷B；根據(jù)空間中線線，線面的位置關(guān)系判斷C；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理判斷D.【詳解】若，，，，，根據(jù)線面平行判定定理可知，故A正確；過(guò)作一平面，，若，則，又，，則，所以，故B正確；

若，，則可能平行，也可能異面，故C錯(cuò)誤；若，，，，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，故D正確.故選：C.7．B【分析】根據(jù)題意，由，轉(zhuǎn)化為向量的模長(zhǎng)，然后結(jié)合空間向量數(shù)量積運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由，可得，因?yàn)榈酌鏋榫匦?，，，，所以，，又，所以，則.故選：B8．A【分析】根據(jù)題意可得袋中黑球的個(gè)數(shù)為，紅球個(gè)數(shù)為，根據(jù)對(duì)立事件結(jié)合古典概型列式求解即可.【詳解】由題意可知：袋中黑球的個(gè)數(shù)為，設(shè)紅球個(gè)數(shù)為，從袋中任意摸出2個(gè)球，沒(méi)有白球的概率為，因?yàn)橹辽俚玫?個(gè)白球的概率是，則，解得，所以紅球的個(gè)數(shù)為1.故選：A.9．AC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)定義，即可結(jié)合選項(xiàng)求解.【詳解】對(duì)于A,若為共扼復(fù)數(shù)，則，故，故A正確，對(duì)于B,，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第三象限，故C正確，對(duì)于D,不能得到，比如，但是，故D錯(cuò)誤，故選：AC10．BCD【分析】列出兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)組，由互斥事件與對(duì)立事件的定義可判斷A選項(xiàng)；由對(duì)立事件和獨(dú)立事件的概率公式可判斷BCD選項(xiàng).【詳解】先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)組如下表所示：第二次第一次123456123456共有種，表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相同”,表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)不同”，其中包括，即與不互斥，故A錯(cuò)誤；“至少出現(xiàn)一個(gè)奇數(shù)點(diǎn)”的對(duì)立事件是“兩次擲的點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)”，故B正確；表示事件“第一次為奇數(shù)，第二次為偶數(shù)”共9種：，故C正確；事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”共18種；，事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相同”共6種：，表示事件“兩次為相同的偶數(shù)”共3種：，即，與相互獨(dú)立，故D正確.故選：BCD11．ABD【分析】由圖可知，求得，可判斷A；由結(jié)合求得，可判斷B；利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解可判斷C；求出的解析式，進(jìn)而求出對(duì)稱(chēng)軸，可判斷D.【詳解】由圖可知，則，故A正確.因?yàn)?，所以，?因?yàn)椋?，則B正確.令，解得，此時(shí)單調(diào)遞增；令，解得，此時(shí)單調(diào)遞減.由，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則C錯(cuò)誤.因?yàn)椋?令，，得，.當(dāng)時(shí)，，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故D正確.故選：ABD.12．AB【分析】在△ABD中，根據(jù)AE是中線可得，再根據(jù)D是AC中點(diǎn)即可表示出，從而判斷A；設(shè)，得到，根據(jù)，，三點(diǎn)在一條直線上及三點(diǎn)共線定理的推論可得k的值，從而可判斷B；用表示出，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算方法即可計(jì)算，從而判斷C；根據(jù)E是BD中點(diǎn)及D是AC中點(diǎn)可得，，從而可判斷D．【詳解】如圖，

，故A正確；設(shè)，則，又，，三點(diǎn)在一條直線上，故，故，即，，故，故B正確；，故，故C錯(cuò)誤；，，故，故D錯(cuò)誤.故選：AB.13．1800【分析】利用比例求出學(xué)生總數(shù).【詳解】，故該校高中學(xué)生總數(shù)是1800人.故答案為：180014．1【分析】先根據(jù)向量的減法法則表示出，然后根據(jù)向量的共線定理進(jìn)行計(jì)算.【詳解】依題意得，，由三點(diǎn)共線可知，存在，使得，即，由于，是兩個(gè)不共線的向量，則，解得.故答案為：1.15．0.8784【分析】該電路正常工作即正常工作，至少一個(gè)正常工作，再由獨(dú)立事件的乘法公式，即可得出答案.【詳解】該電路正常工作即正常工作，至少一個(gè)正常工作，所以該電路正常工作的概率為.故答案為：0.878416．/【分析】設(shè)，，，以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，根據(jù)，可得，將分別用表示，再根據(jù)數(shù)量積得運(yùn)算律即可得解.【詳解】設(shè)，，，則構(gòu)成空間的一個(gè)基底，設(shè)，因?yàn)椋?，因?yàn)?，，所以，即，即，解?故答案為：.17．(1)(2)【分析】（1）由各頻率和為1列方程可求出的值；（2）直接利用平均數(shù)的定義和頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求解即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，解得（2）樣本的平均數(shù)約為18．(1)；(2)兩次數(shù)字之和為的事件概率最大，概率為.【分析】（1）列舉法求兩次數(shù)字之和為7的事件的概率；（2）列舉出數(shù)字之和為的對(duì)應(yīng)事件并確定概率，即可得答案.【詳解】（1）由題意，2次所得數(shù)字，且分別表示第一次、第二次的對(duì)應(yīng)數(shù)字，基本事件有，，，共16種；其中兩次數(shù)字之和為7的事件有，共2種；所以?xún)纱螖?shù)字之和為7的事件的概率為.（2）由（1），數(shù)字之和為，有，概率為；有，概率為；有，概率為；有，概率為；有，概率為；有，概率為；有，概率為；所以?xún)纱螖?shù)字之和為的事件概率最大，概率為.19．(1)，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算即可求出結(jié)果；（2）證得，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)椋?，又D為的中點(diǎn)，所以，所以．（2）因?yàn)?，，所以，，所以．所以四點(diǎn)共面．20．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法概率公式計(jì)算即可；（2）兩人分別猜兩次，總共四次中有一次沒(méi)猜對(duì)，分四種情況計(jì)算可得答案.【詳解】（1）設(shè)甲兩輪至少猜對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)名詞為事件，.（2）設(shè)事A＝“甲第一輪猜對(duì)”，B＝“乙第一輪猜對(duì)”，C＝“甲第二輪猜對(duì)”，D＝“乙第二輪猜對(duì)”，E＝““九章隊(duì)”猜對(duì)三個(gè)數(shù)學(xué)名詞”，所以，則，由事件的獨(dú)立性與互斥性，得，故“九章隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)三個(gè)數(shù)學(xué)名詞的概率為．21．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)．【分析】（1）由線面垂直的判定定理可得面PAB，即可得出結(jié)論；（2）法一：過(guò)作交PA于點(diǎn)，過(guò)作交AD于點(diǎn)，證明MNTS是平行四邊形，推出，由線面平行的判定定理，即可得出結(jié)論；法二：過(guò)作交AB于點(diǎn)，可得平面PAD，平面PAD，從而平面平面PAD，由面面平行的性質(zhì)可得結(jié)論；法三：連接BN并延長(zhǎng)交直線AD于點(diǎn)，可得，由線面平行的判定定理，即可得出結(jié)論；（3）法一：平面PAD，點(diǎn)到平面PAD的距離是點(diǎn)到平面PAD的距離，在平面PAB內(nèi)過(guò)作于，可證得平面PAD，則MH是點(diǎn)到平面PAD的距離，求解即可；法二：設(shè)點(diǎn)到平面PAD的距離為，取AB的中點(diǎn)，則底面ABCD，利用等體積法，由求出結(jié)果．【詳解】（1）側(cè)面底面ABCD，且平面PAB與平面ABCD的交線為AB，，平面ABCD，平面PAB，平面PAB，．（2）法一：過(guò)作交PA于點(diǎn)，過(guò)作交AD于點(diǎn)，連接ST，

，，同理可得，，，是平行四邊形，，又平面PAD，平面PAD，平面PAD．法二：過(guò)作交AB于點(diǎn)，連接EN，

，又，，??，又平面PAD，平面PAD，平面PAD，，平面PAD，平面PAD，平面PAD，又，平面MEN，平面平面PAD，又平面MEN，平面PAD．法三：連接BN并延長(zhǎng)交直線AD于點(diǎn)，，，，，又平面PAD，平面PAD，平面PAD．

（3）法一：平面PAD，點(diǎn)到平面PAD的距離是點(diǎn)到平面PAD的距離，在平面PAB內(nèi)過(guò)作于，平面PAB，平面PAB，，，平面PAD，平面PAD，是點(diǎn)到平面PAD的距離，在中，?，?