人教版2020屆高三數(shù)學(xué)第十三章 選修系列4 73幾何證明講義

人數(shù)版2020屆高三數(shù)學(xué)第十三章選修系列4

73幾何證明講義

(一)相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)

導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解平行線等分線段定理和平行線分線段成比例定理；2.掌

握相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理；3.理解直角三角形射影定理.

自主梳理

1.平行線等分線段定理

如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條(與這組平行

線相交的)直線上截得的線段也相等.

2.平行線分線段成比例定理

兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對(duì)應(yīng)線段

推論1平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或),所得

的對(duì)應(yīng)線段.

推論2平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊的直線所截得的三

角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)

推論3三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段與這個(gè)角的兩邊

對(duì)應(yīng)成比例.

3.相似三角形的判定

判定定理1對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角

形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三■角形相似.簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)的兩

個(gè)三角形相似.

判定定理2對(duì)于任怠兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形

的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)

成比例且相等的兩個(gè)三角形相似.

判定定理3對(duì)于任急兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角

形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩

個(gè)三角形相似.

4.相似三角形的性質(zhì)

(1)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似

比；

(2)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；

(3)40似三角形面積的比等于相似比的平方.

5.直角三角形射影定理

直角三角形一條直角邊的平方等于該直角邊在與斜邊的

,斜邊上的高的.等于兩條直角邊在斜邊上的射影的乘積.

自我檢測(cè)

1.如果梯形的中位線的長(zhǎng)為6cm,上底長(zhǎng)為4cm,那么下底長(zhǎng)為cm.

A

2.如圖，在AABC中，ED/7BC,EF〃BD,則下列四個(gè)結(jié)論正確的是（填序

號(hào)）____________.

CD=2,BD=3,則

AC=_

4.如圖所示，在AABC中，AD是NBAC的平分線，AB=5cm,AC=4cm,

BC=7cm,貝!JBD=cm.

5.如圖，NB=ND,AE±BC,NACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,

貝!JBE=

探究點(diǎn)一確定線段的n等分點(diǎn)

例1已知線段PQ,在線段PQ上求作一點(diǎn)D,使PD：DQ=2：1.

變式遷移1已知△ABC,D在AC上，AD：DC=2：1,能否在AB上找到一點(diǎn)

E,使得線段EC的中點(diǎn)在BD上.

探究點(diǎn)二平行線分線段成比例定理的應(yīng)用

例2在AABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn)，使BD=CE,DE的延長(zhǎng)線交

DFAC

BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：—=—

EFAB

FE

變式遷移2如圖，已知AB〃CD〃EF,AB=a,CD=b(O<a<b),AE：EC=

mn(O<m<n),求EF.

探究點(diǎn)三相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用

例3如圖，已知梯形ABCD中，AB/7CD,過(guò)D與BC平行的直線交AB于點(diǎn)E,

NACE=NABC,求證：AB?CE=AC-DE.

AEB

變式遷移3如圖，已知DABCD中，G是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AG分別交BD和

BC于E、F兩點(diǎn)，證明AF?AD=AG?BF.

⑥課堂小結(jié)

1.用添加平行輔助線的方法構(gòu)造使用平行線等分線段定理與平行線分線段

成比例定理的條件.特別是在使用平行線分線段成比例定理及推論時(shí)，一定

要注意對(duì)應(yīng)線段，對(duì)應(yīng)邊.

2.利用平行線等分線段定理將某線段任怠等分，需要過(guò)線段的一個(gè)端點(diǎn)作

輔助線，在作圖時(shí)要注意保留作圖痕跡.

3.在證明兩個(gè)或兩個(gè)以上的比例式相等時(shí)，需要找第三個(gè)比例式與它們都

相等，可考慮利用平行線分線段成比例定理或推論，也可以考慮用線段替換

及等比定理，由相等的傳遞性得出結(jié)論.

4.判定兩個(gè)三角形相似，根據(jù)題設(shè)條件選擇使用三角形相似的判定定理.

（滿分：75分）

一、填空題（每小題5分，共40分）

1.如圖所示，］，i//l2//U,下列比例式正確的有（填序號(hào)）.

⑴2.⑵?受⑶理竺.⑷竺=些

U/DF-BC,、/BEAF'K?DF-BC,'，DFCE'

2.如圖所示，D是AABC的邊AB上的一點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DE〃BC交AC于E.已

AD2SAADE

知—=一貝!J------=

DB3，S四邊彩CBED------------------------------------------

EFFG

3.如圖，在四邊形ABCD中，EF〃BC,FG〃AD,貝J萬(wàn)：+/=

DCAD

4.在直角三角形中，這

兩部分的比為3:2,則斜邊上的中線的長(zhǎng)為

5.如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,BD與AC相交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)。的直線分

別交AB,CD于E,F,且EF〃BC,若AD=12,BC=20,則EF=.

6.如圖所示，在AABC中，AD1BC,CE是中線，DC=BE,DG_LCE于G,EC

的長(zhǎng)為4,則EG=.

7.如圖，在4ABC中，AD平分NBAC,DE〃AC,EF〃BC,AB=15,AF=4,

則DE=.

APQ

8.如圖所示，BD、CE是AABC的中線，P、Q分別是BD、CE的中點(diǎn)，則由;=

二、解答題（共35分）

9.（11分）如圖所示，在4ABC中，ZCAB=90°,AD_LBC于D,BE是/ABC

DFAE

的平分線，交AD于F,求證：—

AFEC

A

10.（12分）如圖，Z\ABC中，D是BC的中點(diǎn)，M是AD上一點(diǎn)，BM、CM的延

長(zhǎng)線分別交AC、AB于F、E.

求證：EF〃BC.

11.如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于0點(diǎn)，直線1平行于BD且與

AB,DC,BC,AD及AC的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)M,N,R,S和P,

求證：PM,PN=PR,PS.

73幾何證明選講

（一）相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)

自主梳理

2.成比例兩邊的延長(zhǎng)線成比例相交成比例

3.相等夾角5.斜邊上的射影乘積平方

自我檢測(cè)

1.82.③

3

解析由射影定理：CD2=AD?BD.

4-----；I~162A/T3

.\AD=-.,.AC=^/CDy+AD2=A/4+—.

35

4—

9

ABBD535

解析VXC=DC=4*ABD=T^-

5.4y/2

解析VAC=4,AD=12,NACD=90°,

/.CD2=AD2-AC2=128,

ACD=8^/2.

又?.?AE_LBC,NB=ND,

ABBE

/.△AABE^AAADC,

課堂活動(dòng)區(qū)

例1解題導(dǎo)引利用平行線等分線段定理可對(duì)線段任意等分，其作圖步驟

為：首先作出輔助射線，然后在射線上依次截取任意相同長(zhǎng)度的n條線段，最后

過(guò)輔助線上的各等分點(diǎn)作平行線，確定所求線段的n等分點(diǎn).

解在線段PQ上求作點(diǎn)D,使PD：DQ=2：1,就是要作出線段PQ上靠近Q

點(diǎn)的一-NS■等分點(diǎn)，通過(guò)線段PQ的一個(gè)端點(diǎn)作輔助射線，并取線段的三等分點(diǎn)，

利用平行線等分線段定理確定D點(diǎn)的位置.

作法：①作射線PN.

②在射線PN上截取PB=2a,BC=a.

③連接CQ.

④過(guò)點(diǎn)B作CQ的平行線，交PQ于D.

.?.點(diǎn)D即為所求的點(diǎn).

變式遷移1

解假設(shè)能找到，如圖，設(shè)EC交BD于點(diǎn)F,則F為EC的中點(diǎn),

作EG〃AC交BD于G.

?.?EG〃AC,EF=FC,

AAEGF^ACDF,且EG=DC,

EG統(tǒng)］AD,ABEG00ABAD,

BEEG1

..瀛=不=5,'E為AB的中點(diǎn).

...當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，EC的中點(diǎn)在BD上.

例2解題導(dǎo)引證明線段成比例問(wèn)題，一般有平行的條件可考慮用平行線

分線段成比例定理或推論，也可以用三角形相似或考慮用線段替換等方法.

證明作EG〃AB交BC于G,如圖所示，

VACEG^ACAB,

.EGCEACCEDB

—=—即—=—=—

ABAC*ABEGEG，

,.DB_pF.DF_AC

又?麗=市，'*EF=AB'

變式遷移2解如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH〃EC,分別交BA,DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

H,由EF〃AB〃CD及FH〃EC,知AG=CH=EF,FG=AE,FH=EC.從而FG：FH=

AE：EC=m：n.

H'-c

由BG〃DH,知BG:DH=FG：FH=m：

設(shè)EF=x,則得(x+a)：(x+b)=m：

解得x=

例3解題導(dǎo)引有關(guān)兩線段的比值的問(wèn)題，除了應(yīng)用平行線分線段成比例

定理外，也可利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解.解題中要注怠觀察圖形特點(diǎn)，

巧添輔助線，對(duì)解題可起到事半功倍的效果.

證明方法一VAB/7CD,

.EAAFEACD?

CDCPAFCF~

VDE/7BC,

.AFAEEAAB公

ACAB*AFAC。

,/ZFDC=NECF,ZDEC=NFEC,

.,.△EFC^AECD.

.CDDE

??5=麗?④

ABDE

由③④得而=函

即AB,CE=AC,DE.

方法二?.?AB〃CD,DE〃BC,

Z.BEDC是平行四邊形.

.\DE=BC.

,/ZACE=ZABC,ZEAC=ZBAC,

AABCAB

；.△AECs△ACB.；y=一

.AB_DE

,?AC=CE,即AB?CE=AC?DE.

變式遷移3證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形,

所以AB〃DC,AD〃BC.

所以△ABFSAGCF,AGCF^AGDA.

所以△ABFS/\GDA.

AFBF

從而有而=而'即AF?AD=AG?BF.

課后練習(xí)區(qū)

1.(4)

解析由平行線分線段成比例定理可知(4)正確.

2

由

解

析ADADSAADE4SAADE4

麗5-----=-二,--------=—.

ABSAABC25'Sgq形CBED21

3

.EF_AF

解析?.?EF〃BC,?,麗=正，

FGCF

又「FGaAD,

ADACT

EFFGAFCFAC

---4------_i---=--

?"BCAD-ACAC-AC

4.攣

解析設(shè)斜邊上的兩段的長(zhǎng)分別為3t,2t,由直角三角形中的射影定理知：

62=3t?2t,解得t=m(t>0,舍去負(fù)根)，所以斜邊的長(zhǎng)為5乖，故斜邊上的

5季

中線的長(zhǎng)為

2-

5.15

OBBC20_5.0B_5

解析VAD/7BC,—

UDAD夜=9—

OEOB5

V0E//AD,

8f

5515

/.0E=-AD=-X12=—

ooN

3315

同理可求得OF=mBC=mX20=k，

ooZ

，EF=OE+OF=15.

6.2

解析連接DE,因?yàn)锳D±BC,所以ZXADB是直角三角形，則DE=；AB=BE

=DC.又因?yàn)镈G_LCE于G,所以DG平分CE,故EG=2.

7.6

解析設(shè)DE=x,VDE^AC,

.BEx15x

解得BE=

,,T5x+4'x+4

.BDBEBEx

，，DC=EA=15-BE=4,

.BDBA15x

又TAD平分NBAC,"DC=AC=x+4=4,

解得x=6.

解析連接DE,延長(zhǎng)QP交AB于N,

f11

NP=-ED=TBC,

乙A

則《

1

NP+PQ=-BC.

1

得PQ=】BC.

9.證明由三角形的內(nèi)角平分線定理得，

DFBD/

在AABD中，而=而①

“AEAB.

在AABC中，—=~②（3分）

ELDC

在7?tAABC中，由射影定理知，AB2=BD?BC,

BDAB、

即疝一.③（6分）

DFAB、

由①③得：左=^7，④（9分）

ArDC

DFAE/、

由②④得：第=記（11分）

10.證明延長(zhǎng)AD至G,使DG=MD,連接BG、CG.

VBD=DC,MD=DG,

四邊形BGCM為平行四邊形.（4分）

，EC〃BG,FB〃CG,

.AE_AMAF_AM

，，AB=AG,AC=AGf

.AE_AF

…疝=正，（8分）

，EF〃BC.（12分）

11.證明VBO/7PM,

.PM_PA

（2分）

??麗=贏，

?.?DO〃PS,

?PS_PAPMPS/、

二而/?何分）

，，DO=OA,

PMBO

即---=---由BO〃PR

PSDO'

PRPC

彳導(dǎo)---=---（6分）

BOCO,

,PNPC,、

由DO〃PN得而=而.（8分）

.PRPNPRBO

-------BD-------

「BO-DO'PN-DO'

.PR_PM.

,?PN=PS'":.PM?PN=PR?PS.（12分）

74幾何證明選講

（二）直線與圓的位置關(guān)系

導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.理解圓周角定理，弦切角定理及其推論；2.理解圓的切線的

判定及性質(zhì)定理；3.理解相交弦定理，割線定理，切割線定理；4.理解圓內(nèi)接四

邊形的性質(zhì)定理及判定.

自主梳理

1.圓周角、弦切角及圓心角定理

(1)的度數(shù)等于其的對(duì)的度數(shù)的一半.

推論1:(或)所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的

圓周角相等.

推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的等于90°.反之，90°的圓周角所

對(duì)的弧是(或).

(2)弦切角的度數(shù)等于其所夾孤的度數(shù)的_.

(3)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù).

2.圓中比例線段有關(guān)定理

(1)相交弦定理：的兩條,每條弦被交點(diǎn)分成的

__________________的積相等.

(2)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的一條割線和一條切線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到

割線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)的線段長(zhǎng)的.

(3)割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條該點(diǎn)到每條割線與圓的交

點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等.

溫馨提示相交弦定理，切割線定理，割線定理揭示了與圓有關(guān)的線段間的

比例關(guān)系，在與圓有關(guān)的比例線段問(wèn)題的證明、計(jì)算以及證明線段或角相等等問(wèn)

題中應(yīng)用甚廣.

3.切線長(zhǎng)定理

從一點(diǎn)引圓的兩條切線，相等.

4.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理

(1)性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)用..

推論：圓內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)角的.

(2)判定定理：如果四邊形的則四邊形內(nèi)接于

推論：如果四邊形的一^「夕卜角等于它的,那么這個(gè)四邊形的四

個(gè)頂點(diǎn).

5.圓的切線的性質(zhì)及判定定理

(1)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的

推論1：經(jīng)過(guò).且—與垂直的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn).

推論2:經(jīng)過(guò)且切線與垂直的直線必經(jīng)過(guò)

(2)判定定理：過(guò)半徑且與這條半徑的直線是圓的切線.

自我檢測(cè)

1.如圖在放ZXABC中，NB=90°,D是AB上一點(diǎn)，且AD=2DB,以D為圓

心，DB為半徑的圓與AC相切，則sinA=.

2.(2010?南京模擬)如圖，AB是圓0的直徑，EF切圓0于C,AD_LEF于D,

AD=2,AB=6,則AC長(zhǎng)為.

F

3.如圖，A,E是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，直徑BC=4,AD1BC,垂足為

D,BE與AD相交于點(diǎn)F,則AF的長(zhǎng)為

4.如圖所示，AB是。。的直徑，BC是。。的切線，AC交。0于點(diǎn)D,若AD

=32,CD=18,貝!JAB=.

5.如圖，已知P是。0外一點(diǎn)，PD為。0的切線，D為切點(diǎn)，割線PEF經(jīng)過(guò)

圓心0,PF=12,PD=4/，則圓0的半徑長(zhǎng)為、ZEFD的度數(shù)為.

探究點(diǎn)一與圓有關(guān)的等角、等弧、等弦的判定

例1如圖，。。的兩條弦AC,BD互相垂直，0E1AB,垂足為點(diǎn)E.求證：0E

變式遷移1在4ABC中，已知CM是/ACB的平分線，AAMC的外接圓0交

BC于點(diǎn)N;若AC=[AB,求證：BN=3MN.

探究點(diǎn)二四點(diǎn)共圓的判定

例2如圖，四邊形ABCD中，AB,DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,AD,BC的延長(zhǎng)線交

于點(diǎn)F,ZAED,NAFB的角平分線交于點(diǎn)M,且EM_LFM.求證：四邊形ABCD內(nèi)接

變式遷移2如圖，已知AP是。。的切線，P為切點(diǎn)，AC是。。的割線，與

。0交于B、C兩點(diǎn)，圓心0在NPAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn).

(1)證明：A,P,0,M四點(diǎn)共圓；

(2)求NOAM+ZAPM的大小.

探究點(diǎn)三與圓有關(guān)的比例線段的證明

例3如圖，PA切。0于點(diǎn)A,割線PBC交。。于點(diǎn)B,C,NAPC的角平分線

分別與AB,AC相交于點(diǎn)D,E,求證：

(1)AD=AE；

⑵AD'DB?EC.

變式遷移3（2010?全國(guó)）

如圖，已知圓上的弧AC=80,過(guò)C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn),

證明：

(1)ZACE=ZBCD;

⑵BC'BEXCD.

⑥課堂小結(jié)

1.圓周角定理與圓心角定理在證明角相等時(shí)有較普遍的應(yīng)用，尤其是利用

定理進(jìn)行等角代換與傳遞.

2.要注怠一些常用的添加輔助線的方法，若證明直線與圓相切，則連結(jié)直

線與圓的公共點(diǎn)和圓心證垂直；遇到直徑時(shí)，一般要引直徑所對(duì)的圓周角，

利用直徑所對(duì)的圓周角是直角解決有關(guān)問(wèn)題.

3,判斷兩線段是否相等，除一般方法（通過(guò)三角形全等）夕卜，也可用等線段

代換，或用圓心角定理及其推論證明.

4,證明多點(diǎn)共圓的常用方法：

（1）證明幾個(gè)點(diǎn)與某個(gè)定點(diǎn)距離相等；

（2）如果某兩點(diǎn)在某條線段的同旁，證明這兩點(diǎn)對(duì)這條線段的張角相等；

（3）證明凸四邊形內(nèi)對(duì)角互補(bǔ)（或外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角）.

5.圓中比例線段有關(guān)定理常與圓周角、弦切角聯(lián)合應(yīng)用，要注意在題中找

相等的角，找相似三角形，從而得到線段的比.

（滿分：75分）

一、填空題（每小題.5分，共40分）

1.如圖，已知AB,CD是。。的兩條弦，且AB=CD,OE±AB,OF±CD,垂足

分別是E,F,則結(jié)論①AB=C。，②NAOB=NCOD,③OE=OF,④AO=BC中，

正確的有個(gè).

42

2.如圖所示，過(guò)＜30外一點(diǎn)P作一條直線與。0交于A、B兩點(diǎn).已知PA=

2,點(diǎn)P到。。的切線長(zhǎng)PT=4,則弦AB的長(zhǎng)為.

3.

A

如圖，已知aZSABC的兩條直角邊AC,BC的長(zhǎng)分別為3cm,4cm,以AC為

BD

直徑的圓與AB交于點(diǎn)D,則而=.

4.如圖，點(diǎn)A,B,C是圓0上的點(diǎn)，且AB=4,ZACB=45°,則圓0的面

積為.

5,已知PA是圓0的切線，切點(diǎn)為A,PA=2,AC是圓0的直徑，PC與圓0

交于點(diǎn)B,PB=1,則圓0的半徑R=.

6.如圖，圓0是aABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,CD

=2巾，AB=3.貝UBD的長(zhǎng)為.

7.如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F,E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且

DF=CFAF:FB：BE=4：2：1.若CE與圓才目切，貝iJ線段CE的長(zhǎng)為.

PB

8.如圖，四邊形ABCD是圓0的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)AB和DC相交于點(diǎn)P.若正

1PC1BC

=5，PD=3,則而的值為

二、解答題（共35分）

9.（11分）如圖，三角形ABC中，AB=AC,。0經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,與BC相切于B,

與AC相交于D,若AD=CD=1,求。0的半徑r.

10.如圖，在四邊形ABCD中，△ABCgZ\BAD.求證：AB//CD.

11.如圖，圓Ch與圓6內(nèi)切于點(diǎn)A,其半徑分別為n與4（口＞。）.圓。的

弦AB交圓口于點(diǎn)C（Ch不在AB上）.求證：AB：AC為定值.

74幾何證明選講

（二）直線與圓的位置關(guān)系

自主梳理

1.(1)圓周角弧同弧等弧所對(duì)的弧圓周角半圓弦為直徑(2)

一半

2.(1)圓相交弦兩條線段長(zhǎng)

(2)等比中項(xiàng)(3)割線3.圓夕卜切線長(zhǎng)4.(1)互補(bǔ)對(duì)角(2)對(duì)角互

補(bǔ)圓內(nèi)角的對(duì)角共圓

5.(1)半徑圓心切線切點(diǎn)圓心(2)外端垂直

自我檢測(cè)

解析設(shè)切點(diǎn)為T(mén),則DT_LAC,AD=2DB=2DT,

ZA=30°,sinA=~.

2.2m

解析連接CB,則NDCA=NCBA,

又NADC=NACB=90°,

/.△ADC^AACB.

.AD_AC

?*AC=AB'

AAC2=AB-AD=2X6=12.

AAC=2^3.

Q2A/3

解析如圖，連接CE,AO,AB.根據(jù)A,E是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，BC

為直徑，可得NCEB=90°,ZCBE=30°,ZA0B=60°,故aAOB為等邊三角

形，AD=木,OD=BD=1,；.DF=岑,.?.AF=AD-DF=羋.

OO

4.40

解析如圖，連接BD,則BDJ_AC,由射影定理知，

AB?=AD?AC=32X50=l600,故AB=40.

5.430°

解析由切割線定理得PD2=PE?PF,

PD216X3

，EF=8,0D=4.

又?.?OD_LPD,OD=-PO,NP=30°,

NP0D=60°=2NEFD,/.ZEFD=30o.

課堂活動(dòng)區(qū)

例1解題導(dǎo)引（1）借用等弦或等弧所對(duì)圓周角相等，所對(duì)的圓心角相等，

進(jìn)行角的等量代換；同時(shí)也可借在同圓或等圓中，相等的圓周角（或圓心角）所對(duì)

的弧相等，進(jìn)行弧（或弦）的等量代換.

（2）本題的證法是證明一條線段等于另一條線段的一半的篇用方法.

證明作直徑AF,連接BF,CF,則NABF=NACF=90°.

又OE_LAB,0為AF的中點(diǎn)，

1

則OE=-BF.

VAC±BD,

.,.ZDBC+ZACB=90°,

又...AF為直徑，NBAF+NBFA=90°,

ZAFB=ZACB,

二ZDBC=NBAF,即有CD=BF.

變式遷移1證明,.,CM是NACB的平分線,

*_ACBC

AMBM'

BM

即BC=AC?福,

又由割線定理得BM?BA=BN?BC,

BM

ABN?AC?—=BM-BA,

又；AC=；AB,ABN=3AM,

?.?在圓0內(nèi)NACM=NMCN,

，AM=MN,；.BN=3MN.

例2解題導(dǎo)引證明多點(diǎn)共圓，當(dāng)它們?cè)谝粭l線段同側(cè)時(shí)，可證它們對(duì)此

線段張角相等，也可以證明它們與某一定點(diǎn)距離相等；如兩點(diǎn)在一條線段異側(cè)，

則證明它們與線段兩端點(diǎn)連成的凸四邊形對(duì)角互補(bǔ).

A

證明連接EF,

因?yàn)镋M是NAEC的角平分線，

所以NFEC+NFEA=2ZFEM.

同理，ZEFC+ZEFA=2ZEFM.

而NBCD+ZBAD=NECF+ZBAD

=(180°-ZFEC-ZEFC)+(180°-ZFEA-ZEFA)

=360°-2(ZFEM+ZEFM)

=360°-2(180°-NEMF)=2NEMF=180°,

即/BCD與NBAD互補(bǔ).

所以四邊形ABCD內(nèi)接于圓.

變式遷移2(1)證明連接OP,0M,

因?yàn)锳P與。0相切于點(diǎn)P,

所以O(shè)P_LAP.

因?yàn)镸是。0的弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M_LBC.

于是N0PA+N0MA=180°,

由圓心0在NPAC的內(nèi)部，可知四邊形AP0M的對(duì)角互補(bǔ)，

所以A,P,0,M四點(diǎn)共圓.

(2)解由⑴得A,P,0,M四點(diǎn)共圓，

所以N0AM=N0PM.

由⑴得0P_LAP.

由圓心0在NPAC的內(nèi)部，

可知N0PM+NAPM=90°,

所以N0AM+NAPM=90°.

例3解題導(dǎo)引尋找適當(dāng)?shù)南嗨迫切?，把幾條要證的線段集中到這些相

似三角形中，再用圓中角、與圓有關(guān)的比例線段的定理找到需要的比例式，使問(wèn)

題得證.

證明(1)NAED=NEPC+NC,NADE=NAPD+NPAB.

因PE是/APC的角平分線，故NEPC=NAPD,PA是。0的切線，故NC=

ZPAB.

所以NAED=NADE.故AD=AE.

NPCE=NPAD'ECPC

⑵>=>APCE^APAD^—=PA；

ZCPE=ZAPDAD

ZPEA=ZPDB'AEPA

0AAPAE^AAPBD^—=

ZAPE=ZBPDPB,

PAPC

又PA是切線，PBC是割線=PA?=PB?PC=^=氤.

ID1A

ECAE