中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)+題型講練測(cè)第21講 相似三角形及其應(yīng)用（練習(xí)）（原卷版）

第21講相似三角形及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\n\p""\h\z\u題型01添加條件使兩個(gè)三角形相似題型02證明兩個(gè)三角形相似題型03確定相似三角形的對(duì)數(shù)題型04在網(wǎng)格中判斷相似三角形題型05利用相似的性質(zhì)求解題型06利用相似的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)題型07在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形題型08證明三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例題型09利用相似三角形的性質(zhì)求解決折疊問題題型10利用相似三角形的性質(zhì)判斷函數(shù)圖象題型11尺規(guī)作圖與相似三角形綜合應(yīng)用題型12三角板與相似三角形綜合應(yīng)用題型13平移與相似三角形綜合應(yīng)用題型14利用相似三角形的性質(zhì)與判定求線段比值題型15利用相似三角形的性質(zhì)與判定求最值題型16利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決動(dòng)點(diǎn)問題題型17利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決存在性問題題型18A字模型題型198字模型題型20一線三垂直模型題型21三角形內(nèi)接矩形模型題型22旋轉(zhuǎn)相似模型題型23相似三角形的應(yīng)用題型01添加條件使兩個(gè)三角形相似1．（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，已知△ABC與△ADE中，∠C=∠AED=90°，點(diǎn)E在AB上，那么添加下列一個(gè)條件后，仍然不能判定△ABC與△ADE相似的是（

）A．∠CAB=∠D B．ACBC=DEAE2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知：如圖，點(diǎn)D在邊AB上，若∠1=∠時(shí)，則△ADC～△ACB．3．（2023·江西撫州·金溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，要使圖中的兩個(gè)三角形相似，需要添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是．（寫一個(gè)即可）題型02證明兩個(gè)三角形相似4．（2023·廣東廣州·廣州市第二中學(xué)校考二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），連接DE并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：△CDE∽△AFD．

5．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)E在AC上，且∠EAD=∠ADE．

(1)求證：△DCE∽(2)若AB=6，AC=8，求BDCD6．（2023·浙江寧波·校考三模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=4，CD=2，BC=m，P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，且和B、C不重合，連接PA，過P作PE⊥PA交CD所在直線于

(1)請(qǐng)找出一對(duì)相似三角形，并說明理由；(2)若點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E總在線段CD上，求m的取值范圍．題型03確定相似三角形的對(duì)數(shù)7．（2023·山西晉中·統(tǒng)考一模）在三邊都不相等的△ABC的邊AB上有一點(diǎn)D，過點(diǎn)D畫一條直線，與三角形的另一邊相交所截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線最多可以畫（

）A．5條 B．4條 C．3條 D．2條8．（2023·廣東江門·?？家荒＃┤鐖D，BD和CE是△ABC的高，則圖中相似三角形共有（）A．3對(duì) B．4對(duì) C．5對(duì) D．6對(duì)9．（2020·陜西西安·高新一中校考一模）如圖，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD中BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接AE交CD于F，交BD于M，則圖中共有相似三角形(不含全等的三角形)(

)對(duì)．A．4 B．5 C．6 D．7題型04在網(wǎng)格中判斷相似三角形10．（2022·廣東湛江·嶺師附中校聯(lián)考三模）如圖，在小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，與△ABC相似的是（）

A．

B．

C．

D．

11．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，在正方形網(wǎng)格中：①△CEB；②△CDB；③△DEB；這3個(gè)斜三角形中，能與△ABC相似的是．（點(diǎn)A、B、C、D、E均在格點(diǎn)上）

12．（2017·天津和平·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形網(wǎng)格上有6個(gè)三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF．在②~⑥中，與①相似的三角形的個(gè)數(shù)是．題型05利用相似的性質(zhì)求解13．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC∽△DEF，若AB=2，DE=3，則A．1∶2 B．1∶3 C．14．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）如圖，△DEF的頂點(diǎn)D,E在△ABC的邊BC上，EF∥AC,DF∥AB，若∠F=55°，則A．45° B．55° C．60° D．65°15．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）若△ABC∽△DEF，且ABDE=13，若△ABC的周長(zhǎng)為2，則A．29 B．23 C．616．（2023·甘肅張掖·校聯(lián)考一模）已知△ABC∽△DEF，相似比為2，且△ABC的面積為12，則△DEF的面積為．題型06利用相似的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)17．（2022·廣東汕頭·林百欣中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，矩形ABCD的頂點(diǎn)B，C分別在x軸，y軸上，OB＝4，OC＝3，AB＝10，將矩形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A．（10，8） B．（8，－10） C．（－10，8） D．（－8，10）18．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，一束光線從點(diǎn)P4,4射向x軸上的點(diǎn)M，經(jīng)x軸反射后反射光線經(jīng)過點(diǎn)Q0,2，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為．19．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABOC的邊OB，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為8，6，點(diǎn)P在矩形ABOC的內(nèi)部，點(diǎn)E在BO邊上，且滿足△PBE∽△CBO，當(dāng)△APC是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)20．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB是等邊三角形，點(diǎn)B在x軸上，C，D分別是邊AO，AB上的點(diǎn)，且CD∥OB，OC＝2AC，若CD＝2，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是．21．（2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A1,0，B0,2，點(diǎn)C為圖示中正方形網(wǎng)格交點(diǎn)之一（點(diǎn)O除外），如果以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)是題型07在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形22．（2021·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC是格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在方格頂點(diǎn)處）．(1)在圖1中畫出一個(gè)格點(diǎn)△A1B1C(2)在圖2中畫出一個(gè)格點(diǎn)△A2B2C23．（2022·湖北武漢·校聯(lián)考二模）如圖是由小正方形組成的8×7網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，邊AC上的D也是一個(gè)格點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．(1)在圖（1）中，先將線段CB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出對(duì)應(yīng)線段CE，再在CE上畫點(diǎn)F，使△BCF∽△BDA；(2)在圖（2）中，先在邊AB上畫點(diǎn)G，使DG∥BC，再在邊BC上畫點(diǎn)H，使AH＋DH值最?。?4．（2020·新疆·三模）如圖1，在6×6的方格紙中，有格點(diǎn)△ABC（三個(gè)頂點(diǎn)都在方格頂點(diǎn)上的三角形）（1）請(qǐng)?jiān)趫D2中作一個(gè)格點(diǎn)三角形，使它與△ABC相似（不全等），且相似比為有理數(shù)；（2）請(qǐng)?jiān)趫D3中作一個(gè)格點(diǎn)三角形，使它與△ABC相似，且相似比為無理數(shù)．題型08證明三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例25．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考二模）如圖，把矩形ABCD沿AC折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，AE交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG∥CD交AC于點(diǎn)G，交CF于點(diǎn)H，連接DG．

(1)試判斷四邊形ECDG的形狀，并加以證明；(2)連接ED交AC于點(diǎn)O，求證：DC(3)在（2）的條件下，若DG=6，AG=145，求26．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ凶锨G中學(xué)?？既＃┎僮髋c研究：如圖，△ABC被平行于CD的光線照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．

(1)指出圖中線段AC的投影是______，線段BC的投影是______．(2)問題情景：如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我們可以利用△ABC與△ACD相似證明A(3)拓展運(yùn)用如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為15，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，過點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF：①試?yán)蒙溆岸ɡ碜C明△BOF∽②若DE=CE，求OF的長(zhǎng)．27．（2022·海南海口·?？谑械诰胖袑W(xué)校考二模）如圖①，在菱形ABCD中，∠A=60°，BD是對(duì)角線，點(diǎn)E、F分別是AB、AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且AF=BE，BF與DE交于點(diǎn)G．(1)求證：△AED≌(2)如圖②，連接CG，若CG⊥BD于點(diǎn)H，求證：EF(3)若AF=nFD，試探究BF與GF的數(shù)量關(guān)系，并證明．題型09利用相似三角形的性質(zhì)求解決折疊問題28．（2023·江蘇泰州·?？既＃┤鐖D，已知Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6,AB=9，E是AB上的一點(diǎn)，BE=5，點(diǎn)D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿AD折疊△ACD，點(diǎn)C與C'重合，連接

(1)求證：△AEC(2)若點(diǎn)F是BC上一點(diǎn)，且BF=5，求F29．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC>AC

猜想證明：（1）如圖1，點(diǎn)D在BC邊上∠DAC=45°．將△ABC沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．試猜想四邊形ACDE的形狀并加以證明．實(shí)踐探究：（2）如圖2，拓展小組受此問題啟發(fā)，將△ABC沿過點(diǎn)C的直線CF折疊．點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G．且CG⊥AB于點(diǎn)H．若AC=25，BC=45，求問題解決：（3）如圖3．探究小組突發(fā)奇想，將△ABC沿過點(diǎn)A的直線AM折疊，若∠BAM=45°，AC=4，CM=3，直接寫出BM的長(zhǎng)．30．（2023·河南駐馬店·駐馬店市第二初級(jí)中學(xué)?？级＃┤鐖D，在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，點(diǎn)D在AC上，且CD=2，點(diǎn)E在AB上（不與點(diǎn)A、B重合），連接DE，把△ADE沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在等邊△ABC的邊上時(shí)，AE的長(zhǎng)為．31．（2023·江西吉安·?？既＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，D為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，將AD沿過點(diǎn)D的射線DF折疊得到DE，若AB下方的DE與△ABC的邊垂直，則AF的長(zhǎng)度可能是

題型10利用相似三角形的性質(zhì)判斷函數(shù)圖象32．（2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考三模）如圖，AB⊥BC于點(diǎn)B，DC⊥BC于點(diǎn)C，點(diǎn)E是線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE⊥EF于點(diǎn)E，射線EF交射線CD于點(diǎn)F，BC=2AB=8，設(shè)BE=x，CF=y，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，y與x的函數(shù)圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

33．（2023·廣東揭陽·模擬預(yù)測(cè)）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)E是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AB邊于點(diǎn)F，點(diǎn)D為BC上任一點(diǎn)，連接DE、DF，設(shè)EC的長(zhǎng)為x，則△DEF的面積y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（

A．B．C．D．34．（2021·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，動(dòng)點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C的路徑勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P向?qū)蔷€AC作垂線，垂足為Q，設(shè)AQ＝x，△APQ的面積為y，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A．B．C． D．題型11尺規(guī)作圖與相似三角形綜合應(yīng)用35．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）在△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°．由尺規(guī)作圖得射線BM交AC于點(diǎn)F．則AF的長(zhǎng)是36．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0)，B是y軸上一點(diǎn)．

(1)B上求作點(diǎn)M，使得△AMO∽△AOB(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)；(2)在（1）的條件下，AB=4AM，OC是△AOB的中線，過點(diǎn)M的直線交OC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)F，當(dāng)MO=MF時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．37．（2023·福建寧德·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB>BC．

(1)尺規(guī)作圖：在AC和AB上分別確定點(diǎn)D，E的位置，使得△BDE是以BD為底邊的等腰直角三角形；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，若AB=6,BC=4，求BE的長(zhǎng)．題型12三角板與相似三角形綜合應(yīng)用38．（2023·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，DF經(jīng)過點(diǎn)B，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α．其中0°<α<90°．設(shè)射線DE與射線AB相交于點(diǎn)①△APD∽△CDQ；②AP?CQ的值不變，為8；③當(dāng)45°≤α<90°時(shí)，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊部分的面積為y=4?x?8?4x其中正確的是（

）A．只有①與② B．只有①與③ C．只有②與③ D．①②③39．（2022·廣東深圳·校聯(lián)考二模）一副三角板按如圖1放置，圖2為簡(jiǎn)圖，D為AB中點(diǎn)，E、F分別是一個(gè)三角板與另一個(gè)三角板直角邊AC、BC的交點(diǎn)，已知AE=2，CE=5，連接DE，M為BC上一點(diǎn)，且滿足∠CME=2∠ADE，EM=．40．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D（1），直線L上擺放著兩塊大小相同的直角三角板，它們中較小直角邊長(zhǎng)為6cm，較小銳角度數(shù)為30(1)將△ECD沿直線AC翻折到圖（2）的位置，ED'與AB相交于點(diǎn)F(2)將△ECD沿直線L向左平移到圖（3）的位置，使E點(diǎn)落在AB上，你可以求出平移距離，試試看；(3)將△ECD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖（4）的位置，使E點(diǎn)落在AB上，請(qǐng)求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．41．（2022·河南平頂山·平頂山市第十六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）問題發(fā)現(xiàn)．【發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知等邊△ABC，將直角三角板的60°角頂點(diǎn)D任意放在BC邊上(點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合)，使兩邊分別交線段AB、AC于點(diǎn)E、F．(1)若AB=6，AE=4，BD=2，則CF=______；(2)求證：△EBD∽△DCF．(3)【思考】若將圖①中的三角板的頂點(diǎn)D在BC邊上移動(dòng)，保持三角板與邊AB、AC的兩個(gè)交點(diǎn)E、F都存在，連接EF，如圖②所示，問：點(diǎn)D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出BDBC(4)【探索】如圖③，在等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)O為BC邊的中點(diǎn)，將三角形透明紙板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處(其中∠MON=∠B)，使兩條邊分別交邊AB、AC于點(diǎn)E、F(點(diǎn)E、F均不與△ABC的頂點(diǎn)重合)，連接EF.設(shè)∠B=α，則△AEF與△ABC的周長(zhǎng)之比為______(用含α的表達(dá)式表示)．題型13平移與相似三角形綜合應(yīng)用42．（2023·安徽六安·校聯(lián)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上，B?1,0，C、D兩點(diǎn)在拋物線y=

(1)求此拋物線的表達(dá)式；(2)正方形ABCD沿射線BC以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度平移，1秒后停止，此時(shí)B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B1點(diǎn)，試判斷B(3)正方形ABCD沿射線BC平移，得到正方形A2B2C2D243．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？既＃┱叫蜛BCD與正方形EFGH的AD邊和EF邊在直線MN上，起始狀態(tài)如圖①所示，點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，點(diǎn)G在CD邊上．已知EF=2cm，AB=4cm．正方形EFGH沿MN方向以(1)在正方形EFGH平移過程中，若S=2cm2，求(2)在1≤t≤3這段時(shí)間內(nèi)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．(3)當(dāng)直線BG平分線段AH時(shí)，如圖②，t=______s．44．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，將y=?x函數(shù)圖象向上平移b個(gè)單位后，恰好與y=4x(x>0)有唯一公共點(diǎn)B，并交y=kxx<0于點(diǎn)

(1)求b的值．(2)若AB=35AC題型14利用相似三角形的性質(zhì)與判定求線段比值45．（2022·河南安陽·統(tǒng)考一模）興趣小組探索等腰三角形中線段比值問題，部分探索活動(dòng)如下：(1)如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，D，E分別是BC，AC邊上的點(diǎn)，∠AFE=∠ABC，則BEAD(2)如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，D，E分別是BC，AC邊上的點(diǎn)，∠AFE=∠ABC，請(qǐng)你猜想BEAD(3)如圖3，在△ABC中，AB=AC，cos∠ABC=512，D，E分別是BC，CA邊延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∠DFB=∠ABC，請(qǐng)直接寫出BE46．（2020·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）定義：如果一個(gè)三角形一條邊上的高與這條邊的比值是4:5，那么稱這個(gè)三角形為“準(zhǔn)黃金”三角形，這條邊就叫做這個(gè)三角形的“金底”．（1）如圖，在△ABC中，AC=8，BC=5，∠ACB=30°，試判斷△ABC是否是“準(zhǔn)黃金”三角形，請(qǐng)說明理由．

（2）如圖，△ABC是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”，把△ABC沿BC翻折得到△DBC，AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若點(diǎn)C恰好是△ABD的重心，求ABBC

（3）如圖，l1//l2，且直線l1與l2之間的距離為4，“準(zhǔn)黃金”△ABC的“金底”BC在直線l2上，點(diǎn)A在直線l1上，ABBC=255，若∠ABC是鈍角，將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，線段A'C

47．（2020·山東東營(yíng)·統(tǒng)考一模）【問題情境】在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），點(diǎn)P為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AP，將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段PQ旋轉(zhuǎn)角為α，連接CQ．【特例分析】（1）當(dāng)α＝90°，點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，過P作PF∥AC交直線AB于點(diǎn)F，如圖①，易得圖中與△APF全等的一個(gè)三角形是，∠ACQ＝°．【拓展探究】（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上，AB：AC＝m：n時(shí)，如圖②，試求線段BP與CQ的比值；【問題解決】（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CQ的長(zhǎng)．48．（2022·湖北武漢·?？家荒＃?）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D在BC上，DE⊥BC交AB于點(diǎn)E，證明：BE?BA=BD?BC；（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，D是BC上一點(diǎn)，AD⊥DE，且DE=3AD，連接BE，AC=5，CD=6，求BE的長(zhǎng)；（3）拓展探究：在△BCD中，∠BAC=∠AEC=90°，CA平分∠BCD，若tan∠ABC=12，則AG：GE題型15利用相似三角形的性質(zhì)與判定求最值49．（2023上·江蘇無錫·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M、N分別邊AB、AC上．

(1)如圖1，若將等邊三角形ABC沿MN翻折，點(diǎn)A恰好落在邊BC上的點(diǎn)D處，①求證：△MBD∽△DCN；②若BC=6，CN=2，若設(shè)BM=y，DC=x，求y與(2)尺規(guī)作圖：在BC邊上求作一點(diǎn)P使∠MPN=60°，（不寫作法，保留作圖痕跡，請(qǐng)?jiān)趫D2中找出所有符合條件的點(diǎn)P）(3)若AB=9，BM=5，設(shè)CN=a，若要使得（2）中只能作出唯一的點(diǎn)P，則50．（2021上·河北保定·九年級(jí)?？计谥校┪覀円呀?jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實(shí)配方法還有其他重要應(yīng)用．例：已知x可取任何實(shí)數(shù)，試求二次三項(xiàng)式x2解：x=∵無論x取何實(shí)數(shù)，總有(x+3)2∴(x+3)2?10≥?10，即無論x取何實(shí)數(shù)，x2(1)問題：已知y=?x2?4x+7(2)【知識(shí)遷移】在△ABC中，AD是BC邊上的高，矩形PQMN的頂點(diǎn)P、N分別在邊AB、AC上，頂點(diǎn)Q、M在邊BC上，探究一：AD=12,BC=6，求出矩形PQMN的最大面積的值；（提示：由矩形PQMN我們很容易證明△APN∽△ABC，可以設(shè)PN=x，經(jīng)過推導(dǎo)，用含有x的代數(shù)式表示出該矩形的面積，從而求得答案．）(3)探究二：AD=?,BC=a，則矩形PQMN面積S的最大值___________．（用含a，h的代數(shù)式表示）題型16利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決動(dòng)點(diǎn)問題51．（2023·廣東茂名·三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E為BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△BDE沿DE翻折得到△FDE，EF與AC相交于點(diǎn)G，若AB=3AD，AC=3，BC=6，CG=0.8，則CE的值為52．（2023·廣東深圳·深圳市東湖中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在反比例函數(shù)y=43x的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)A，連接AO并延長(zhǎng)交圖象的另一支于點(diǎn)B，在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)C，滿足AC=BC，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)y=kx的圖象上運(yùn)動(dòng)，若tan∠CAB=353．（2022·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）問題背景在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，點(diǎn)D為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，沿直線DE

問題解決(1)如圖1，當(dāng)A'與B重合時(shí)，求線段BE(2)如圖2，當(dāng)A'E與邊AB相交于點(diǎn)F，且A'①求五邊形A'②連接CA'，則題型17利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決存在性問題54．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線y=ax2+bx+2交x軸于A?1,0，B4,0

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)如圖1，D為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，交BC于E，求DEAE(3)如圖2，連接AC，BC過點(diǎn)O作直線l∥BC，點(diǎn)P、Q分別為直線l和拋物線上的點(diǎn)．試探究：在第四象限是否存在這樣的點(diǎn)P、Q，使△BPQ~△ACB．若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．55．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A(?3,0)

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，P為拋物線上在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，若△PAC面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，D為拋物線的頂點(diǎn)，試說明∠DAB=∠ACB；在線段AD上存在點(diǎn)M，使得以M，A，O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；56．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)O和點(diǎn)B，頂點(diǎn)為A1，1，直線y=x?2經(jīng)過點(diǎn)B(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)若N為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作MN⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)M，是否存在以O(shè)，M，N為頂點(diǎn)的△ONM，使得△ONM∽△ABC，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．題型18A字模型57．（2023·廣東云浮·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，以點(diǎn)B為圓心任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB，BC于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)O，連接A．5?1 B．3?5 C．558．（2021·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，已知∠A=∠CBD，AC=4，CD=2，則

A．2 B．22 C．2題型198字模型59．（2021·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為平行四邊形ABCD的邊BC，AD上的點(diǎn)，且CE=2BE，AF=2DF，AE與BF交于點(diǎn)H，若△BEH的面積為2，則五邊形

A．19 B．20 C．21 D．2260．（2022·河北邢臺(tái)·?？既＃┤鐖D，嘉嘉在作業(yè)本上畫了個(gè)“×”（作業(yè)本中的橫格線都平行，且相鄰兩條橫格線間的距離都相等），A，B，C，D，O都在橫格線上，且線段AD，BC交于點(diǎn)O．若AB=4cm，則CD的長(zhǎng)為（

A．5cm B．6cm C．861．（2023·河南周口·校考三模）如圖，在邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD中，點(diǎn)E在AD邊上，AE=2,CE交BD于點(diǎn)F，則DF的長(zhǎng)為（

）

A．22 B．32 C．15題型20一線三垂直模型62．（2022·河北唐山·?？家荒＃┤鐖D，E為正方形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作∠GEF=90°，分別與邊AD，BC交于點(diǎn)G，F(xiàn)．若AG=2，BF=4，則GF的長(zhǎng)為（）

A．4 B．6 C．8 D．1063．（2023·河南信陽·?？既＃┤鐖D①，已知矩形ABCD，E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BC=4，AE⊥EF，EF交DC于F，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程為x，CF運(yùn)動(dòng)的路程為y，y與x之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示，則矩形ABCD面積為（

）

A．8 B．6 C．12 D．1題型21三角形內(nèi)接矩形模型64．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，正方形MNPQ內(nèi)接于△ABC，點(diǎn)M、N在BC上，點(diǎn)P、Q分別在AC和AB邊上，且BC邊上的高AD=6，BC=12，則正方形MNPQ的邊長(zhǎng)為（

）A．6 B．5 C．4 D．365．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，CH⊥AB，CH=?，AB=c，若內(nèi)接正方形DEFG的邊長(zhǎng)是x，則h、c、x的數(shù)量關(guān)系為（

）A．x2+?2=c題型22旋轉(zhuǎn)相似模型66．（2023·安徽黃山·?？家荒＃┮阎鰽BC和△ADE均為等腰直角三角形，△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周．

(1)如圖1，連接BD，CE，則BD與CE的數(shù)量關(guān)系為_______；直線BD與CE所夾角的度數(shù)為_______．(2)當(dāng)△ADE旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時(shí)，取BC，DE的中點(diǎn)M，N，連接MN，BD．試問：MNBD的值是否隨△ADE(3)M，N分別為BC，DE的中點(diǎn)，連接MN．若AB=310，AD=6，當(dāng)△ADE旋轉(zhuǎn)至B，D，E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出MN67．（2023·安徽滁州·統(tǒng)考一模）已知△ABC和△ADE有公共的頂點(diǎn)A，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE．AC與DE相交于點(diǎn)G，連接BE，CD．(1)若點(diǎn)B，E，D在一條直線上，如圖1，求證：∠BAC=∠BDC；(2)將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，DE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，如圖2①證明：AE?CG=DG?CF；②若∠AEB=∠BAC=90°，求CFAB68．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考二模）如圖1，在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE，∠ABD=∠ACE．(1)①求證：△ABC∽△ADE；②若AB=AC，試判斷△ADE的形狀，并說明理由；(2)如圖2，旋轉(zhuǎn)△ADE，使點(diǎn)D落在邊BC上，若∠BAC=∠DAE=90°，∠B=∠ADE．求證：CE⊥BC．題型23相似三角形的應(yīng)用69．（2023·山西晉中·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，滹沱河是山西地區(qū)一條途經(jīng)了舟山和太行山的知名河流，這條河流的流域面積達(dá)到了2.73萬平方公里，其發(fā)源地處于山西省繁峙縣泰戲山橋兒溝村，這條河流早在《山海經(jīng)》中就有出現(xiàn)過，被叫做為虔池．為了估算河流的寬度，我們?cè)诤拥膶?duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)P，在近岸取點(diǎn)A和C，使點(diǎn)P、A、C共線且與河垂直，接著在過點(diǎn)C且與直線PC垂直的直線上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)D，確定PD與過點(diǎn)A且與PC垂直的直線交點(diǎn)B．測(cè)得AC=50m，CD=120m，AB=80m

70．（2023·陜西西安·交大附中分校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在相對(duì)的兩棟樓CD、EF中間有一堵院墻AB，甲、乙兩個(gè)人分別在這兩棟樓內(nèi)觀察這堵墻，根據(jù)實(shí)際情況畫出平面圖形(CD⊥DF．AB⊥DF．EF⊥DF)．甲從點(diǎn)C可以看到點(diǎn)G處，乙從點(diǎn)E可以看到點(diǎn)D處．點(diǎn)B是DF的中點(diǎn)．墻AB高5.5米，DF=120米，BG=10.5米，求甲、乙兩人的觀察點(diǎn)到地面的距離的差．（結(jié)果精確到0.1米）．

71．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，某天傍晚，數(shù)學(xué)興趣小組的小敏和小芳在公園散步時(shí)作了如下探索：當(dāng)小芳豎直站立在A處時(shí)，她在路燈D下的影子為線段AC，并測(cè)得AC=2米，已知DE、AB均與地面EC垂直，且E、A、C在同一直線上，小芳的身高AB為1.5米，小芳與燈桿底部E的距離為AE為8米．

(1)求路燈的高度DE；(2)如果要縮短小芳的影子AC的長(zhǎng)度，同時(shí)不能改變路燈的高度和位置，請(qǐng)你寫出一種方法．72．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）西安古城墻凝聚了中國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧，它作為古城西安的地標(biāo)性建筑，吸引了不少人慕名而來．節(jié)假日，樂樂去城墻游玩，看見宏偉的城墻后，他想要測(cè)量城墻的高度DE．如圖，他拿著一根筆直的小棍BC，站在距城墻約30米的點(diǎn)N處（即EN=30米），把手臂向前伸直且讓小棍BC豎直，BC∥DE，樂樂看到點(diǎn)B和城墻頂端D在一條直線上，點(diǎn)C和底端E在一條直線上．已知樂樂的臂長(zhǎng)CM約為60厘米，小棍BC的長(zhǎng)為24厘米，AN⊥EN，CM⊥AN，DE⊥EN，求城墻的高度DE．73．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）黨的二十大報(bào)告提出要“全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興”，這是對(duì)黨的十九大報(bào)告所提出的“實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略”的進(jìn)一步發(fā)展，彰顯出新時(shí)代新征程在工農(nóng)城鄉(xiāng)關(guān)系布局上的深遠(yuǎn)謀劃，為不斷推進(jìn)鄉(xiāng)村振興、加快農(nóng)村現(xiàn)代化進(jìn)程指明了方向某市為了加快城鄉(xiāng)發(fā)展，保障市民出行方便，在流經(jīng)該市的河流上架起一座橋，連通南北，鋪就城市繁榮之路．小明和小穎想通過自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)計(jì)算該橋AF的長(zhǎng)．如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們?cè)诤拥膶?duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河岸的這一邊選出點(diǎn)B和點(diǎn)C，分別在AB、AC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D、E，使得DE∥BC．經(jīng)測(cè)量，BC=120米，DE=210米，且點(diǎn)E到河岸BC的距離為60米．已知AF⊥BC于點(diǎn)F，請(qǐng)你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計(jì)算橋

74．（2023·浙江衢州·校考一模）（1）如圖1，若D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的中點(diǎn)，我們把這樣的線段DE稱為是三角形的中位線．你知道中位線DE與BC之間有什么關(guān)系嗎？請(qǐng)同學(xué)們大膽地猜想一下，并證明你的結(jié)論．（2）如示意圖2，小華家（點(diǎn)A處）和公路（l）之間豎立著一塊35m長(zhǎng)且平行于公路的巨型廣告牌（DE）．廣告牌擋住了小華的視線，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出視點(diǎn)A的盲區(qū)，并將盲區(qū)內(nèi)的那段公路計(jì)為BC．一輛以60kmh勻速行駛的汽車經(jīng)過公路段的時(shí)間是3s，已知廣告牌和公路的距離是

75．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）西安鐘樓位于西安市中心，明城墻內(nèi)東西南北四條大街的交匯處，為中國(guó)現(xiàn)存鐘樓中形制最大、保存最完整的一座．如圖，小琪想要測(cè)出鐘樓AB的高度，于是在地面上的C處放置了一面鏡子，當(dāng)他站在離鏡子C處1.2m的E處時(shí)，恰好從鏡子里看到鐘樓頂端A在鏡子中的像（即∠DCE=∠ACB）．已知B，C，E在同一直線上，小琪的眼睛離地面的高度DE=1.5m，BC=28.8m76．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，工地上有兩根電線桿，分別在高為4m、6m的A、C處用鐵絲將兩桿固定，求鐵絲AD與鐵絲BC的交點(diǎn)77．（2023·陜西銅川·統(tǒng)考一模）已知有一塊三角形材料∠ABC，其中BC=120cm，高AD=80cm，現(xiàn)需要在三角形ABC上裁下一個(gè)正方形材料做零件，使得正方形EFGH的頂點(diǎn)E、F分別在邊AB，AC上，H、G在BC上，裁下的正方形一、單選題1．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知△ABC∽△EDC，AC:EC=2:3，若AB的長(zhǎng)度為6，則DE的長(zhǎng)度為（

）

A．4 B．9 C．12 D．13.52．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，DE是△ABC的中位線，點(diǎn)F在DB上，DF=2BF．連接EF并延長(zhǎng)，與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M．若BC=6，則線段CM的長(zhǎng)為（

）

A．132 B．7 C．153．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE=60°，若BD=4DC，DE=2.4，則AD的長(zhǎng)為（

）

A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.24．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m

A．6.4m B．8m C．9.65．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC和△ADE是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，把△ADE以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)M為射線BD、CE的交點(diǎn)．若AB=3，AD=1①BD=CE；②BD⊥CE；③當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，MC=3?④在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)線段MB最短時(shí)，△MBC的面積為12其中正確結(jié)論有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，OA=OB=35，點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BC=32，連接AC，點(diǎn)M是線段AC上的一點(diǎn)，且滿足CM:MA=1:2．當(dāng)線段OM

A．35,65 B．37．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，分別以點(diǎn)F和點(diǎn)G為圓心，大于12FG的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)H，作射線BH交AC于點(diǎn)D；分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于12BD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN交AB于點(diǎn)E，連接DE．下列四個(gè)結(jié)論：①∠AED=∠ABC；②BC=AE；③ED=1

A．1 B．2 C．3 D．48．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=3x+b的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)y=kx在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)C．若點(diǎn)A坐標(biāo)為2,0,

A．3 B．23 C．339．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，以點(diǎn)A為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑作弧交AC于點(diǎn)D，連接BD，再分別以點(diǎn)B，D為圓心，大于12BD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交BC于點(diǎn)

A．BE=DE B．AE=CE C．CE=2BE D．S10．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)P是△ABC的重心，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，PE∥AC交BC于點(diǎn)E，DF∥BC交EP于點(diǎn)F，若四邊形CDFE的面積為6，則△ABC的面積為（）

A．12 B．14 C．18 D．24二、填空題11．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）邊長(zhǎng)分別為10，6，4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為．

12．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，DE平分等邊△ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE,AC分別與DF,EF相交于G,H兩點(diǎn)．若DG=m,EH=n，用含m,n的式子表示GH的長(zhǎng)是．

13．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，MN垂直于x軸，以MN為對(duì)稱軸作△ODE的軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸MN與線段DE相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B恰好落在反比例函數(shù)y=kx(x<0)的圖象上，點(diǎn)O、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)C、A．若點(diǎn)A為OE的中點(diǎn)，且S△EAF=

14．（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E在邊AB，AC上，2AD=BD,DE∥BC，聯(lián)結(jié)DE，設(shè)向量AB=a，AC=b，那么用a，b

15．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AC=BC=16，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)B關(guān)于直線DE的軸對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B'，連接DB'，EB'，分別與AC相交于F點(diǎn)，G點(diǎn)，若AF=8

16．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=12，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE與BF相交于點(diǎn)G，若BE=CF=5，則BG的長(zhǎng)為．三、解答題17．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，D是AB邊上一點(diǎn)，且ADBD=1n（n為正整數(shù)），E是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE

【初步感知】(1)如圖1，當(dāng)n=1時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：AE+BF=2【深入探究】(2)①如圖2，當(dāng)n=2，且點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，試探究線段AE，②請(qǐng)通過類比、歸納、猜想，探究出線段AE，【拓展運(yùn)用】(3)如圖3，連接EF，設(shè)EF的中點(diǎn)為M．若AB=22，求點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)（用含n18．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）在Rt△ABC中，M是斜邊AB的中點(diǎn)，將線段MA繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)至MD位置，點(diǎn)D在直線AB外，連接AD,BD

(1)如圖1，求∠ADB的大小；(2)已知點(diǎn)D和邊AC上的點(diǎn)E滿足ME⊥AD,DE∥AB．（?。┤鐖D2，連接CD，求證：BD=CD；（ⅱ）如圖3，連接BE，若AC=8,BC=6，求tan∠ABE19．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）問題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對(duì)角線剪開，得到兩個(gè)全等的三角形紙片，表示為△ABC和△DFE，其中∠ACB=∠DEF=90°,∠A=∠D．將△ABC和△DFE按圖2所示方式擺放，其中點(diǎn)B與點(diǎn)F重合（標(biāo)記為點(diǎn)B）．當(dāng)∠ABE=∠A時(shí)，延長(zhǎng)DE交AC于點(diǎn)G．試判斷四邊形BCGE的形狀，并說明理由．

(1)數(shù)學(xué)思考：談你解答老師提出的問題；(2)深入探究：老師將圖2中的△DBE繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在△ABC內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出新的問題．

①“善思小組”提出問題：如圖3，當(dāng)∠ABE=∠BAC時(shí)，過點(diǎn)A作AM⊥BE交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,BM與AC交于點(diǎn)N．試猜想線段AM和BE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．請(qǐng)你解答此問題；

②“智慧小組”提出問題：如圖4，當(dāng)∠CBE=∠BAC時(shí)，過點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)H，若BC=9,AC=12，求AH的長(zhǎng)．請(qǐng)你思考此問題，直接寫出結(jié)果．

20．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）【建立模型】(1)如圖1，點(diǎn)B是線段CD上的一點(diǎn)，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分別為C，B，D，AB=BE．求證：△ACB≌△BDE；【類比遷移】(2)如圖2，一次函數(shù)y=3x+3的圖象與y軸交于點(diǎn)A、與x軸交于點(diǎn)B，將線段AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BC、直線AC交x軸于點(diǎn)D．①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；②求直線AC的解析式；【拓展延伸】(3)如圖3，拋物線y=x2?3x?4與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于C點(diǎn)，已知點(diǎn)Q(0，?1)，連接BQ．拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得tan∠MBQ=

21．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD

(1)證明：△ABD∽△CBA；(2)若AB=6，BC=10，求22．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列材料，回答問題任務(wù)：測(cè)量一個(gè)扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度AB遠(yuǎn)大于南北走向的最大寬度，如圖1．工具：一把皮尺（測(cè)量長(zhǎng)度略小于AB）和一臺(tái)測(cè)角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測(cè)量任意