北師大版初中八年級數(shù)學上冊第一章勾股定理素養(yǎng)綜合檢測課件

第一章素養(yǎng)綜合檢測(滿分100分,限時60分鐘)一、選擇題(每小題3分,共30分)1.(2024廣東佛山梁開中學期中)下列各組數(shù)中,是勾股數(shù)的

是

(

)A.6,8,12

B.0.6,0.8,1C.8,15,16

D.9,12,15

D解析選項A,∵62+82≠122,∴6,8,12不是一組勾股數(shù),本選項

不符合題意;選項B,∵0.6,0.8不是正整數(shù),∴0.6,0.8,1不是一組勾股數(shù),本選項不符合題意;選項C,∵82+152≠162,∴8,15,16不是一組勾股數(shù),本選項不符合題意;選項D,∵92+122=152,∴9,12,15是一組勾股數(shù),本選項符合題意.故選D.2.如圖,在Rt△ABC中,斜邊BC=10,則AB2+AC2=(

)

A.10

B.20

C.50

D.100

D解析在Rt△ABC中,AB2+AC2=BC2=102=100,故選D.3.(2022貴州貴陽中考改編)如圖,“趙爽弦圖”是由四個全

等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形,若

圖中的直角三角形的斜邊和一條直角邊的長分別為5和3,則

中間小正方形的周長是(

)

A.4

B.8

C.12

D.16A解析∵52-32=16=42,∴題圖中的直角三角形的另一條直角

邊的長為4,則中間小正方形的周長是4×(4-3)=4.4.直角三角形的兩直角邊長分別為5cm和12cm,則其斜邊上

的高為

(

)A.6cmB.8cmC.

cmD.

cmD解析∵直角三角形的兩直角邊長分別為5cm,12cm,∴斜邊長的平方為52+122=169=132,∴斜邊長為13cm.設斜邊上的高為hcm,則

×5×12=

×13h,解得h=

.故選D.5.(2024福建漳州長泰一中期中)如圖,有一個圓柱體,它的高

BD等于12cm,底面圓的周長等于18cm,一只螞蟻從點D出發(fā)

沿著圓柱的側面爬行到點C的最短路程是

(

)

A.18cmB.15cmC.12cmD.9cm

B解析將圓柱的側面展開,如圖所示:由于底面圓的周長等于18cm,則AD=18×

=9cm.又∵BD=AC=12cm,∴DC2=AD2+AC2=92+122=225,∴DC=15cm.故螞蟻從點D出發(fā)沿著圓柱的側面爬行到點C的最短路程為

15cm.故答案為B.6.(新獨家原創(chuàng))如圖,一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向,

距離燈塔45海里的A處,該輪船航行60海里后,到達B處,此時

它距離燈塔75海里,它行駛的方向是

(

)

A.北偏東60°

B.北偏西60°C.北偏東30°

D.北偏西30°C解析如圖,由題意得PA=45海里,AB=60海里,PB=75海里.∵PA2+AB2=452+602=752=PB2,∴△PAB是直角三角形,∠PAB=90°,∵PC∥AD,∴∠CPA=∠PAD=60°,∴∠DAB=∠PAB-∠PAD=30°,∴輪船行駛的方向是北偏東30°.故選C.

7.(2023山東臨沂期中)如圖,正方形ABCD是由9個邊長為1的

小正方形組成的,點E,F均在格點(每個小正方形的頂點都是

格點)上,連接AE,AF,則∠EAF的度數(shù)是

(

)A.35°

B.40°

C.45°

D.50°

C解析如圖,連接EF,∵AE2=22+12=5,EF2=22+12=5,AF2=32+12=10,∴AE2+EF2=AF2,AE=EF,∴△AEF是等腰直角三角形,∴∠EAF=45°.故選C.

8.(2024吉林長春實驗學校期中)如圖,有一個無蓋的長方體

盒子,長方體的底面是邊長為6的正方形,側面都是長為13的

長方形.點D是BC的中點,在長方體下底面的A點處有一只螞

蟻,它想吃到上底面點D處的蜂蜜,則沿著表面需要爬行的最

短路程是n,則n2的值為

(

)

A.292

B.250

C.370

D.205

B解析將棱柱側面展開,如圖所示.

∵棱柱的底面是邊長為6的正方形,側面都是長為13的長方

形,點D是BC的中點,∴BD=3,∴n2=AD2=(3+6)2+132=250,故選B.9.(2023浙江寧波期末)勾股定理是我國的偉大數(shù)學發(fā)明之一.如圖,以Rt△ABC的各邊為邊向外作正方形,再把較小的兩

個正方形放入最大的正方形中,三個陰影部分的面積分別為

S1=1,S2=2,S3=3,則兩個較小正方形重疊部分(四邊形DEFG)的

面積為

(

)

A.4

B.5

C.5.5

D.6D解析設直角三角形的斜邊長為c,較長直角邊長為a,較短直

角邊長為b,由勾股定理得c2=a2+b2,∴c2-a2-b2=0,∴S陰影=c2-a2-(b2-S四邊形DEFG)=c2-a2-b2+S四邊形DEFG=S四邊形DEFG,∴S四邊形DEFG=S1+S2+S3,∵S1=1,S2=2,S3=3,∴S四邊形DEFG=1+2+3=6.故選D.10.(2023河南南陽期末)如圖,長方形ABCD中,AD=BC=6,AB=

CD=10,點E為線段DC上的一個動點,將△ADE沿AE折疊得

到△AD'E,連接D'B,當△AD'B為直角三角形時,DE的長為(

)

A.1

B.2C.1或

D.2或9B解析∵△ADE沿AE折疊得到△AD'E,∴∠AD'E=∠ADE=90°,D'E=DE,AD'=AD=6.∵△AD'B是直角三角形,點E在線段DC上,∴∠AD'B=90°,∴E、D'、B三點共線,∴S△ABE=

AB·AD=

BE·AD',又AB=10,∴

×10×6=

BE×6,∴BE=10.在Rt△AD'B中,BD'2=AB2-AD'2=102-62=64,∴BD'=8,∴DE=D'E=BE-BD'=10-8=2,故選B.二、填空題(每小題4分,共24分)11.判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形:a=10,b

=12,c=15.解:因為102+122=100+144=244,152=225,所以102+122≠152.根據(jù)勾股定理的逆定理,知這個三角形

直角三角形.(填“是”或“不是”)不是12.如圖,從電線桿上離地面12m的點C處向地面拉一條長為

13m的鋼纜,則地面鋼纜固定點A到電線桿底部B的距離為

m.

5解析在Rt△ABC中,BC=12m,AC=13m,∴AB2=AC2-BC2=132-122=25,∴AB=5m.13.(風吹樹折模型)(2022河南靈寶月考)由于臺風的影響,一

棵樹在折斷前不包括樹根的長度是16m,折斷后樹頂落在離

樹干底部8m處,則這棵樹在離地面

m處折斷.6解析設這棵樹在離地面xm處折斷,如圖,∵BC=8m,AB=xm,∴AC=(16-x)m,在直角三角形ABC中,根據(jù)勾股定理得x2+82=(16-x)2,解得x=6.

故答案為6.

14.如圖,在△ABC中,AB=7cm,AC=25cm,BC=24cm,動點P從

點A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度運動至點B,動點Q從點B

出發(fā)沿BC方向以6cm/s的速度運動至點C,P、Q兩點同時出

發(fā),連接PQ.當動點P、Q運動2s時,PQ=

cm.

13解析∵AB=7cm,AC=25cm,BC=24cm,∴AB2+BC2=625=AC2,∴△ABC是直角三角形,且∠B=90°.當動點P、Q運動2s時,AP=1×2=2(cm),BQ=2×6=12(cm),∴BP=AB-AP=7-2=5(cm).在Rt△BPQ中,由勾股定理得PQ2=BP2+BQ2=52+122=169,∴PQ=13cm.15.(勾股樹模型)(2022四川成都向陽橋中學月考)若圖中所有

的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最

大的正方形的面積為9cm2,則圖中所有的正方形的面積之和

為

cm2.

27解析根據(jù)勾股定理可知所有的正方形的面積之和為3×9=

27cm2.16.(2023山東青島月考)如圖,將一根20cm長的細木棒放入

長、寬、高分別為4cm、3cm和12cm的長方體無蓋盒子

中,則細木棒露在盒外面的最短長度是

cm.

7解析如圖,由題意知盒子底面對角線長的平方=32+42=25,盒子的體對角線長的平方=25+122=169,∴盒子的體對角線長為13cm.∵細木棒的長為20cm,∴細木棒露在盒子外面的最短長度是20-13=7cm,故答案為7.

三、解答題(共46分)17.(2024陜西咸陽彩虹學校期中)(8分)如圖,正方形網(wǎng)格的每

個小方格的邊長為1,△ABC的頂點在格點上.請判斷△ABC

的形狀,并說明理由.

解析△ABC是直角三角形,理由如下:由題意可得AB2=42+22=20,AC2=32+42=25,BC2=12+22=5,∴AB2+BC2=20+5=25=AC2,∴△ABC是直角三角形.18.(情境題·現(xiàn)實生活)(2022山東棗莊四中月考)(8分)老師準

備測量一段河水的深度,他把一根竹竿插到離岸邊1.5m遠的

水底,竹竿露出水面的部分剛好為0.5m,把竹竿的頂端拉向

岸邊,竿頂和岸邊的水面剛好相齊,請你幫老師計算河水的深

度是多少米.

解析設河水的深度為h米.由勾股定理得h2+1.52=(h+0.5)2,h2+2.25=h2+h+0.25,解得h=2.答:河水的深度為2米.19.(10分)如圖所示的是用硬紙板做成的四個全等的直角三

角形(兩直角邊長分別是a、b,斜邊長為c)和一個正方形(邊

長為c).請你將它們拼成一個能驗證勾股定理的圖形.(1)畫出拼成的圖形的示意圖.(2)用(1)中畫出的圖形驗證勾股定理.解析

(1)如圖.(答案不唯一)

(2)∵大正方形的面積可以表示為(a+b)2,也可以表示為c2+4×

ab,∴(a+b)2=c2+4×

ab,即a2+b2+2ab=c2+2ab,∴a2+b2=c2,即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.20.(2023四川成都錦西中學月考)(10分)如圖,等腰三角形

ABC的底邊BC的長為8cm,腰AB、AC的長為5cm,一動點P

在底邊上從點B向點C以0.25cm/s的速度移動,當點P運動到

PA與腰垂直的位置時,求點P運動的時間.

解析如圖,作AD⊥BC,交BC于點D,∵BC=8cm,∴BD=CD=

BC=4cm,∴AD2=AB2-BD2=9,∴AD=3cm.分兩種情況:①點P運動t秒后有PA⊥AC(如圖1),BP=0.25tcm.∵AP2=PD2+AD2=PC2-AC2,∴PD2+32=(PD+4)2-52,∴PD=2.25cm,∴BP=4-2.25=1.75cm.∴1.75=0.25t,∴t=7.②點P運動t秒后有PA⊥AB(如圖2),同理可證得PD=2.25cm,∴BP=4+2.25=6.25cm.∴6.25=0.25t,∴t=25.

∴點P運動的時間為7秒或25秒.21.(新考向·代數(shù)推理)(10分)已知n組正整數(shù):第一組:3,4,5;第二組:8,6,10;第三組:15,8,17;第四組:24,10,26;

第五組:35,12,37;第六組:48,14,50