二(3)高考特殊數(shù)列求和的常用方法

特殊數(shù)列求和的常用方法數(shù)列求和是數(shù)列學(xué)習(xí)中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，在中學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)列學(xué)習(xí)中，除了要求掌握等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)求和外，還要能夠求一些特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和，現(xiàn)就特殊數(shù)列求和的常用方法歸納如下：一折項(xiàng)求和法將一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)折成n項(xiàng)，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)數(shù)列（等差、等比、常數(shù)數(shù)列等等）求和例①an=n+，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn②求數(shù)列2，22，222，2222，…的前n項(xiàng)和Sn解：①Sn=(1+2+3+…+n)+n個(gè)②an=22…2=2×11…1=2×n個(gè)則Sn=二并項(xiàng)求和法將數(shù)列相鄰兩項(xiàng)（或若干項(xiàng)）合并成一項(xiàng)（或一組）得到一個(gè)新的容易求和的數(shù)列例2、①求1002－992+982－972+…+22－12的值②求數(shù)列1，，，，，，，，，…前100項(xiàng)的和解：①1002－992+982－972+…+22－12=（100+99）（100-99）+（98-97）（98-97）+…+(2+1)(2－1)=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)==5050②根據(jù)有2項(xiàng)，有3項(xiàng)，有4項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)和1+2+3+…+14=105，則最后一項(xiàng)為，且有9項(xiàng)，S100=1+(+)+(++)+(+++)+…+(++…+)=1+1+1+1+…+1+9×=13三裂項(xiàng)求和法將數(shù)列的每一項(xiàng)裂成兩項(xiàng)之差，使得相鄰的正負(fù)項(xiàng)能相互抵消，剩下項(xiàng)易求和的形式例3、①求的值；②an=，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn解：①由得②an==則Sn=四反序求和法將數(shù)列的前后項(xiàng)反序，得一新數(shù)列，與原數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加（仿照等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)思想）例4、an=，求數(shù)列的前2006項(xiàng)和S2006解：由而(1-1003)+(2006-1003)=(2-1003)+(2005-1003)=…=1則+=…=1即a1+a2006=a2+a2005=……=a2006+a1=1，故S2006=a1+a2+a3+…+a2006S2006=a2006+a2005+a2004+…+a1，2S2006=(a1+a2006)+(a2+a2005)+…+(a2006+a1)2S2006=1+1+…+1=2006，即S2006=1003.五錯(cuò)位求和法將一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都作相同的變換，然后得到新的數(shù)列，錯(cuò)動(dòng)一個(gè)位置與原數(shù)列各項(xiàng)相減（仿照等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)思想）例5、已知a≠0且a≠1，求數(shù)列1，3a,5a2,7a3…(2n-1)an-1前n項(xiàng)和Sn解：由Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1得aSn=a+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an則(1-a)Sn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an由于a≠0且a≠1，則(1-a)Sn=1+2－(2n-1)an故Sn=s六公式求和法除等差、等比數(shù)列求和公式外，常用公式有1+2+3+…+n=，12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)13+23+33+…+n3=，1+3+5+…+(2n-1)=n2例6、求1·n+22(n-1)+32(n-2)+…+(n-1)2·2+n2·1的和Sn解：ak=k2[n-(k-1)]=k2[(n+1)-k]=(n+1)k2-k3則Sn=(n+1)·12－13+(n+1)·22－23+(n+1)·32－33+…+(n+1)n2－n3=(n+1)(12+23+…+n2)－(13+23+33+…+n3)=(n+1)[n(n+1)(2n+1)]－=七奇偶分析法當(dāng)數(shù)列中的項(xiàng)有符號(hào)限制時(shí)，應(yīng)分n為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論，一般地，先求S2n，再求S2n+1，且S2n+1=S2n+a2n+1例7、若an=(－1)n－1·(4n－3)，求Sn解：當(dāng)n=2k時(shí)，Sn=a1+a2+…+an=(1-5)+(9-13)+…+[(4n－7)―(4n―3)]=-4+