2022高三數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考試卷01文【含答案】

2022高三數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.若集合/=0卜B={X|X2-X-2<0},則4Pp=

A.[-2,2)B.(-1,1]C.(-1,1)D.(-1,2)

C

集合/={x|**；o|={x|-2..x<1}.

5={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2},

/ip|S={x|-l<x<l}=(-l,l).

故選C.

2.若虛數(shù)Z滿足z(l+i)=|z/，則2=

A.1—zB.1+/C?—1-iD.-1+z

A

設(shè)z=a+6i,a,bwR,

2

則由z(l+z)=|z|2,得{a+4)(1+i)=|Q+biX=a~+b,

即a-b-^-(a+b)i=a2+b2,

所以卜-b=/+J解得1=1,

[Q+8=0[b=-1

所以z=1-i.

故選A.

3.已知命題x2-x+1<0;命題夕:天￡/?,/>2".則下列命題中為真命題的是

A.B.(-./?)AqC.pA(—i^)D.(->/?)A(-i(y)

B

命題p:VxwH,x2-x+1<0,

因為V—冗+1=(不一_1)2+3>0恒成立，

24

故命題P為假命題,

當(dāng)x=3時，x2>2S

故命題q為真命題,

所以p人g為假命題，(->0)人4為真命題，pA(->q)為假命題，Jp)A(->q)為假命題.

故選B.

4.在正方體/8C。一481GA中，異面直線Z4與BD的夾角為

A.-B.-C.-D.-

2346

B

在正方體ABCD-44GA中，DDt/IBB,,且。。=BBt,

所以四邊形88QQ為平行四邊形，所以8O//BQ,

所以異面直線AB｝與BD夾角等于乙4BR或其補角，

連接力口，因為△N3Q］為正三角形，

所以乙明A=三,

所以異面直線AB1與8。夾角為工.

故選B.

5.在五場籃球比賽中，甲、乙兩名運動員得分的莖葉圖如圖所示.下列說法正確的是

甲乙

2~\0

011

2234

8930

A.甲得分的中位數(shù)和極差都比乙大

B.甲得分的中位數(shù)比乙小，但極差比乙大

C.甲得分的中位數(shù)和極差都比乙小

D.甲得分的中位數(shù)比乙大，但極差比乙小

B

由莖葉圖，得甲的中位數(shù)是10,極差為39-1=38,

乙的中位數(shù)是23,極差為30-11=19,.?.B正確，

故選B.

6.已知4=26，h=43,c=log23,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.b>a>cB.a>c>bC.a>b>cD.b>c>a

C

根據(jù)指數(shù)運算與對數(shù)運算的性質(zhì)，

a=N>3,1<6=6<2,1<c=log,3<2,

設(shè)b=V3=log,2^,c-log,3,

由于函數(shù)加=log2r為增函數(shù)，

由于y=2^的值接近于4,

所以a>6>c.

故選：C.

7.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是

A.J\x)=x}+3x2B.〃x)=2'+2T

3+x

C./(x)=xsinxD./(x)=/n^-i

3-x

D

對于Z,???/(T)=2,f(1)=4,/(-I)*-/(1),

.一.函數(shù)不是奇函數(shù)；

對于3,函數(shù)定義域為R,/(-x)=Tx+=2X+2-x=f(x),

.?.函數(shù)為偶函數(shù)；

對于C,函數(shù)定義域為R,/(-x)=-xsin(-x)=xsinx=/(x),

.?.函數(shù)為偶函數(shù);

對于。，由工三>0,得-3<x<3,函數(shù)定義域為(-3,3),

3-x

而/(-X)=/?1—=歷(/土尸=-/〃拄)=-f(x),

3+x3-x3-x

.?.函數(shù)為奇函數(shù).

故選D.

TT

8.將函數(shù)/(x)=sin(3x+工)的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的6倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得到的圖

6

象向右平移加(〃?>0)個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象.若g(x)為奇函數(shù)，則用的最小值為

A.—B.-C.-D.-

18963

D

將函數(shù)f(x)=sin(3x+X)的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的6倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)=sin(L+馬，

626

再將所得到的圖象向右平移〃?(加>0)個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象由，

日口.「1/、乃I./I冗m.、

即g(x)=Sin[-(x-m)+-]=sm(-x+,

26262

因為g(x)是奇函數(shù)，所以今一^="，keZ.

解得加=2一2T.

3

因為m>0,所以當(dāng)人=0時.，m的最小值為工.

3

故選D.

9.在圓V+J?=4內(nèi)任取一點，則該點到直線x+y-20=0的距離小于1的概率為

A.1B.i--LC.1-^D—+直

3344344347r

C

由點到直線的距離公式得原點。到直線X+y-2亞=0的距離為艮0=2,

故至IJ直線x+y—2/=0距離為1的點在直線x+y+c=0上，

則=c=-6或c=-3直(舍去)；

72

滿足圓d+丁=4內(nèi)到直線x+y-亞=0的距離小于1的點位于兩直線之間的弓形內(nèi),

由于圓的半徑為2,ZAOB=—,AB=243;

3

S弓形=；x停x22-；x2/xl=與一曲.

犯_Ar

故概率2=里=^——=L一處.

S.fJi4TT34萬

故選C.

10.在ZU8C中，角4,8,C的對邊分別為a,b,c,A=2B,角。的平分線交對邊AB于O,且

CD將三角形的面積分成3:4兩部分，則cos8=

C

因為CO為N4C8的平分線，由角平分線的性質(zhì)定理可得"=生,

BDBC

S^CDBD4

可嗤3

4

ACBC

在A48C中，由正弦定理可得

sin8sinJ

又人28,可得北二鬻2sinBcos8

=2cos8，

sin6

A2

所以2cos8=—，可得cos8=—，

33

故選C.

B

11.已知O為橢圓C的中心，F(xiàn)為C的一個焦點，點用在C外，MO=3OF,經(jīng)過"的直線/與C的

一個交點為N,AWR是有一個內(nèi)角為120°的等腰三角形，則。的離心率為

A.史B.正C.^3-1D.在里

434

B

不妨設(shè)尸(。,0),MO=3OF,則M(—3c,0),

易知bMNF中只能4MNF=120°,

△MN尸是有一個內(nèi)角為120。的等腰三角形，則N(-C,±3

2

2-c,2

將N代入橢圓方程得到4+/=1,即3+,=1,

a2b23(1-/)

解得e2=1或e?=3(舍去),

3

故0=土,

3

故選B.

12.已知函數(shù)/(%)=%。說一；(〃7+1)--%有兩個極值點，則實數(shù)加的取值范圍為

A.(—，0)B.(―1,—1)C.(—00,—1)D.(—l,+oo)

B

由f(x)-xlnx--(w4-l)x2-x,

得/'(x)=Inx-(加+l)x,x>0.

要使f(x)=xlnx-(w+l)x2-工有兩個極值點，

只需f'M=lnx-(w?+l)x=0有兩個變號根，即陽+1=—有兩個變號根.

x

令g(x)=—,(X>0),則g'(x)=1"l'tX，

XX

由8口)=0得%=?,易知當(dāng)xe(0,e)時，g'(x)>0,此時g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)％w(e,+oo)時,gf(x)<0,此時g(x)單調(diào)遞減.

所以g(x)s=g(e)=-,

e

]_

而g(-)=-e<0,lim=lim—=0,

cXT+OOXXT+cO]

故選B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量5=(2,3),b=(-l,m),且G與。+B垂直，則m=.

-T

???向量Q=(2,3),b=(-l,/w),

5+坂=(1,3+加),

丁)與萬+加垂直，/.2+3(3+〃?)=0,解得加=—，.

砧11

3

14.在A45C中，內(nèi)角力，B,C的對邊分別為a,b,c,已知8=工，a=2,b=C,則A45C的面

3

積為—?

V3

2

14+?-3

由余弦定理可得,

2~~4Z-，

解可得，c=l,

所以\ABC的面積S=—?csin=—x2xlx-^-=.

2222

故且

2

2x+y-X0

15.將滿足卜.0的封閉圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的主觀圖面積為

y..-1

8

2x+y-3?0

將滿足X..0的封閉圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體

y...-1

是圓錐,

圓錐的底面半徑為：2,高為4,

幾何體的主視圖圖是等腰三角形,

面積為：-x4x4=8.

2

故8.

22

16.已知雙曲線C:，-與=1（。＞0力＞0）的左、右焦點分別為片，工，過行的直線/交C的右支于/,B

ab

兩點，且存?麗=0,12|9|=5|麗I，則C的離心率為.

叵

5

可設(shè)片|=127,t>0,

由12|福=5|否可得|力用二5小

由雙曲線的定義可得|X工|=|AF]\-2a=⑵一2a,

\BF1'^AB\-\AF11=5t-(l2t-2a)=2a-7t，

由雙曲線的定義可得|84|=|3行|+2〃=4°-7，

2

在直角\ABFt中，可得|跖|=yl\AB^+\AF]|=13f=4“-7f,

HP?=-a，

5

在直角△4月耳中，可得|/耳『+|/6|2=1月居|2,

即為,a>+&)2=4c2,即。=等”，

可得e一二叵.

a5

故里

5

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個試題考

生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分.

17.已知數(shù)列｛%｝的前“項和為S"，a,=1,色+&+…也+&=〃(〃..2),nwN*.

12n-\n

(i)求數(shù)列mj的通項公式；

(2)若4,4,S2成等比數(shù)列，kwN*,求'+-!-+……+」-的值.

dS2Sk2

(1)。=〃；(2)—.

37

解：(1)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”,ax=\,5+幺+…也+%=〃("...2),①,

12n-1n

當(dāng)〃..2時，江+蟲+…也=(〃一1),②，

12n-\

①-②得：%=1,

n

所以為=〃(首項符合通項)，

故％=〃?

(2)由于％=〃，所以，=約六，

故…+2｝+3),

由于4,ak,S*+2成等比數(shù)列，

所以公=(%+2)/+3)

2

解得％=6或-1(負(fù)值舍去),

+-1_.2X(1_1+1-1+...+±-±)=2X(I-±)^

SA2S、S2Si622336373737

18.2020年8月，他對制止餐飲浪費行為作出重要指示，要求進一步加強宣傳教育，切實培養(yǎng)節(jié)約習(xí)慣，

在全社會營造浪費可恥、節(jié)約光榮的氛圍.為貫徹他指示，某學(xué)校食堂從學(xué)生中招募志愿者，協(xié)助食堂

宣傳節(jié)約糧食的相關(guān)活動.現(xiàn)有高一63人、高二42人，高三21人報名參加志愿活動.根據(jù)活動安排,

擬按年級采用分層抽樣的方法，從已報名的志愿者中抽取12名志愿者，參加為期20天的第一期志愿活

動.

(1)第一期志愿活動需從高一、高二、三報名的學(xué)生中各抽取多少人？

(2)現(xiàn)在要從第一期志愿者中的高二、三學(xué)生中抽取2人粘貼宣傳標(biāo)語，求抽取的兩人都是高二學(xué)生的

概率.

(1)高一6人，高二4人，高三2人.(2)

5

10?

解：(1)根據(jù)題意報名的學(xué)生共有63+42+21=126人，所以抽樣比為」二=巳，

12621

則抽取高一人數(shù)為63x2=6：抽取高二人數(shù)42x2=4；抽取高三的人數(shù)為21x2=2,

212121

(2)記高二抽取的4位學(xué)生為：。、b、c、d,抽取高三的2位學(xué)生為￡、F,

則從中抽取2人的基本事件為：(a,b),(a,c),(a,d),(a,￡),(a,F),(b,c),(b,d),(b,E),

(b,F),(c,d),(c,E),(c,F),(d,E)(d,F),(E,F),共15個基本事件，其中抽取的兩人都是高

二學(xué)生的有：

(a,b),(a,c),(a,d)>(b,c)(b,d)(c,d),共6個基本事件，

所以抽取的兩人都是高二學(xué)生的概率為9=2.

155

19.如圖1,在矩形Z8C。中，AB=2,BC=\,E是。C的中點；如圖2,將△￡>/￡■沿/E折起，使折后

平面平面ABCE.

(1)若平面工8。與平面CEO的交線為/,求證：CE//1-,

(2)求證：8E_L平面ADE；

(3)求點C到平面8DE的距離.

(1)證明見解析；(2)證明見解析：(3)

2

(1)證明：?.?四邊形48。為矩形，

J.EC//AB,

'：EC//AB,42u平面。48,DAB,

；.￡C〃平面

?.?平面OECTI平面DAB=I,

ECu面DEC,

：.EC//l.

(2)證明：；48=2,BC=1,E是CZ>中點，

BE=AE=yp2,

:.BE2+AE2=-AB2,

：.BE1.AE,

;平面EJ_平面ABCE,平面ECI平面ABCE=AE,8Eu面ABCE,

.?.8E_L平面4DE；

(3)解：由(2)可得3E_L平面ZOE,

YOEu平面ZOE,

：.BE±DE,過。作。OUE,

?.?平面D/EJ"平面4BCE,平面。/EC平面/8CE=NE,DOcffiADE,

應(yīng)

平面/BCE,DO^—,

2

根據(jù)VC-DEB—VD-CEB^

則-3-h'S"ADDFCB>D=-3--DO-SBoCCFc'

即_L.=L00，.80.EC,

3232

解得力=!，所以C到平面雙汨的距離是

22

20.設(shè)。為坐標(biāo)原點，拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為尸，點A/(a,4)在C上，|W|=4.

(1)求C的方程；

(2)過點尸的直線/與C交于N,B兩點,若/與圓H:(X-1)2+/=；相切，求&408的面積.

(1)/=8%；(2)16.

⑴拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為嗚，0),準(zhǔn)線方程為x=-d

點M(a,4)在C上，|S=4,可得a+5=4,2pa=\6,

解得p=4,則C的方程為/=8x；

(2)由(1)可得尸(2,0),設(shè)直線/的方程為y=Mx-2),

圓，：(x-iy+y2=；的圓心"(1,0),半徑為:，

/與圓，:(X7)2+/=_L相切，可得等4=1_,

4VT7F2

mk=±—,

3

則直線/的方程為y=土爭x-2),

聯(lián)立拋物線方程V=8x；可得/_28X+4=0,

設(shè)/(演，乂)，B(X29為)，則為+w=28,

可得|48|=演+工2+4=28+4=32,

苧

又。到直線AB的距離為d=-^==1,

國

則AJ8O的面積為，xlx32=16.

2

21.已知函數(shù)/(x)=a/以+±1-x,其中a..0.

(1)討論函數(shù)/(X)的極值:

(2)設(shè)陽eZ,當(dāng)a=l時，若不等式/,(%)<加-(工一2)，對任意x€(0,1］恒成立，求加最小值.

(1)當(dāng)4,1時，/(x)的極小值為/(1)=a-2,無極大值，當(dāng)1<。<2時，/(x)的極小值為

f(a-l)=aln(a-i)+2-a,極大值為/(1)=a-2;(2)-3.

(1)/(x)的定義域為(0,+oo),

、Cl.U—\%2—CIX4-tZ—1(X—l)［x—(Cl—1)1

JW=--l----=--------7-----=---------5-------，

Xx~XX

①當(dāng)"L,0,即a.l時，當(dāng)X￡(l,+oo)時,/3>0,則函數(shù)/(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)工￡(0,1)時，r(x)<0,則函數(shù)/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，/(x)有極小值為/(1)=。一2,無極大值;

②當(dāng)即1<〃<2時，當(dāng)xw(0,"l),(l,+oo)Bt,f\x)<0,則函數(shù)/(x)在(0,。一1),(l,+oo)

上單調(diào)遞減，

當(dāng)1,1)時，/Xx)>0,則函數(shù)/(x)在(a-1,1)上單調(diào)遞增，

則/(不)的極小值為/(4-1)=。/〃伍一1)+2-。，極大值為/(1)=a-2.

綜上所述：當(dāng)以1時，/(x)的極小值為/(1)=a-2,無極大值，

當(dāng)1<。<2時，/(x)/(x)的極小值為/(a—l)=H〃(a—l)+2—a,極大值為/(1)=。一2；

(2)當(dāng)a=1時，f(x)=lnx-x9

由f(x)<nt-(x-2)ex,可得加>/研一x+(x-2)e',

設(shè)h(x)=Inx-x+(x-2)ex,xe(0,l),則hf(x)=(x-l)(ex--),

x

當(dāng)0<X,1時，x-L0,

設(shè)u(x)=e*—,，則/(x)=e、+1,

XX

.?.〃(%)在(0,1］上單調(diào)遞增,

又〃(1)=e-1>0,"g)=&-2<0,

存在XQG(—,1］,使得W(.￥Q)=0>e"=—,

2%

lnxQ=-x0，

當(dāng)xe(O,%o)時,u(x)<0,h\x)>0,

當(dāng)1］時，u(x)>0,hf(x\0,

???函數(shù)人。)在(o/o)上單調(diào)遞增,在(%,(上單調(diào)遞減,

\2

得h(x)max=(x0-2)-e"+lnxQ-xQ=(x0-2)----2x0=1-(—+2x0)，

X。/

?.?函數(shù)y=1_￡7+2x)在區(qū)間(1,1)上單調(diào)遞增,

A(x0)e(-4,-3),

又機〉/z(x)對任意的xe(0,1］恒成立，??€Z,

故機的最小值為是-3.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.[選

修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程|(10分)

22.以直角坐標(biāo)坐標(biāo)原點。為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長

度單位，已知曲線G的極坐標(biāo)方程為p=4cos。，曲線G的參數(shù)方程為x='"+'c°sa(f為參數(shù)以