八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《實(shí)數(shù)》知識(shí)點(diǎn)講義【解析版】

2020-2021學(xué)年蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假學(xué)習(xí)精編講義

溫故知新篇04實(shí)數(shù)

思維導(dǎo)圖

經(jīng)

襄徽漪喊靖

平離根

姿徽夠大小比貌

琳項(xiàng)皴物麟腐*舞承雪翕皴

■繇弊漏震微大通

賣籟潮懣舞

1f近似數(shù)和有如s字?立方根

知識(shí)匯總

知識(shí)點(diǎn)1:平方根和立方根

^類型

平方根立方根

項(xiàng)目

被開(kāi)方數(shù)非負(fù)數(shù)任意實(shí)數(shù)

符號(hào)表示±4a\[a

一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根,一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；

且互為相反數(shù);一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；

性質(zhì)

零的平方根為空零的立方根是空

負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根;

(五)2=a(a>0)(Va)3=a

重要結(jié)論行=|4=["叱0)=a

11[-“("())

N-a=-y[a

知識(shí)點(diǎn)2:實(shí)數(shù)

有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為運(yùn).

1.實(shí)數(shù)的分類

①按定義分：

…皿(有理數(shù)：有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)

無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

②按與0的大小關(guān)系分：

正有理數(shù)

止數(shù)［4正無(wú)理數(shù)

實(shí)數(shù)Jo

'負(fù)有理數(shù)

負(fù)數(shù)

負(fù)無(wú)理數(shù)

細(xì)節(jié)剖析

(1)所有的實(shí)數(shù)分成三類:直限小數(shù),無(wú)限循環(huán)小數(shù),無(wú)限不循環(huán)小數(shù).其中有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有

理數(shù),無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).

(2)無(wú)理數(shù)分成三類:①開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如石，次等:②有特殊意義的數(shù)，如n;③有特定結(jié)構(gòu)

的數(shù),如0.1010010001—

(3)凡能寫成無(wú)限丕鮑小數(shù)的數(shù)都是無(wú)理數(shù),并且無(wú)理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式.

(4)實(shí)數(shù)和數(shù)軸上點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.

2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).

數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù),反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).

3.三類具有非負(fù)性的實(shí)數(shù)

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù).我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的非負(fù)數(shù)有如下三種形式：

(1)任何一個(gè)實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù),即Ia20；

(2)任何一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方是非負(fù)數(shù),即/》0;

(3)任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù),即G20(?>0).

非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)：

(1)非負(fù)數(shù)有最小值一一變；

(2)有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和仍是韭負(fù)數(shù)；

(3)幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0,則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0.

數(shù)a的相反數(shù)是一a:一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身;一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);0的絕對(duì)值是

0.

有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序:先乘方、地、再乘除,

最后算加減.同級(jí)運(yùn)算按從左到右順序進(jìn)行,有括號(hào)先算括號(hào)里.

5.實(shí)數(shù)的大小的比較

有理數(shù)大小的比較法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.

(1)實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；

(2)正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù),正數(shù)大于一切負(fù)數(shù),兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而上1

(3)兩個(gè)數(shù)比較大小常見(jiàn)的方法有:求差法,求冏法，倒數(shù)法，估算法,平方法.

知識(shí)點(diǎn)3:近似數(shù)及精確度

B近似洲

接近準(zhǔn)確值而不等于準(zhǔn)確值的數(shù),叫做這個(gè)精確數(shù)的近似數(shù)或近似值.

一般采用國(guó)企五△法取近似數(shù)，只要看要保留位數(shù)的下一位是舍還是入.

近似數(shù)中，四舍五入到哪一位,就稱這個(gè)數(shù)精確到哪一位.精確到的這一位也叫做這個(gè)近似數(shù)的精確度.

細(xì)節(jié)剖析

(1)精確度是指近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度.

(2)精確度一般用“精確到哪一位”的形式的來(lái)表示,一般來(lái)說(shuō)精確到哪一位表示誤差絕對(duì)值的大小,例如

精確到0.1米,說(shuō)明結(jié)果與實(shí)際數(shù)相差不超過(guò)0.05米.

能力檢測(cè)

選擇題

1.（2020秋?道里區(qū)期末）下列各數(shù)中最大的是（）

771

A.0.78B.-C.87%D.-

84

【解答】解：2=0.875,87%=0.87,0.785,

84

???0.875>0.87>0.785>0.78,

7冗

->87%>->0.78,

84

，所給的數(shù)中最大的是工.

8

故選:B.

2.（2020秋?南關(guān)區(qū)期末）在石，-1.6,0,2這四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.石B.-1,6C.0D.2

【解答】解：

在石，-1.6,0,2這四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是石.

故選：A.

3.（2020秋?南崗區(qū)期末）一個(gè)正方體的體積擴(kuò)大為原來(lái)的27倍，則它的棱長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的（）倍.

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：一個(gè)正方體的體積擴(kuò)大為原來(lái)的27倍,它的棱長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的楠27倍,即3倍.

故選:B.

4.（2020春?孟村縣期末）若直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為“，上且滿足Jo?-6〃+9+g-4|=（）,則該直角三角

形的第三邊長(zhǎng)為（）

A.5B.77C.4D.5或4

【解答】解:；〃2-6a+9+|6-4|=0,

a2-6?+9=0,6-4=0,

.\a=3,b=4,

.??直角三角形的第三邊長(zhǎng)=J4?+3?=5,或直角三角形的第三邊長(zhǎng)=在一*=不,

??.直角三角形的第三邊長(zhǎng)為5或舊，

故選：D.

5.（2020秋?新都區(qū)月考）下列語(yǔ)句中正確的是（）

A.16的算術(shù)平方根是±4

B.任何數(shù)都有兩個(gè)平方根

C.?.?3的平方是9,.?.9的平方根是3

D.-1是1的平方根

【解答】解：A、16的算術(shù)平方根是4,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;

B、。的平方根是0,只有一個(gè),故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、9的平方根是±3,故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、-1是1的平方根,故選項(xiàng)正確.

故選:D.

6.（2019秋?武進(jìn)區(qū)期中）實(shí)數(shù)〃7、〃在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)|及-機(jī)|-機(jī)的結(jié)果為（）

??:----------1??>

-1M01m

A.n—2mB.-n—2tnC.nD.—n

【解答】解：由實(shí)數(shù)相、〃在數(shù)軸上.的位置可知，n-m<0,

所以I〃一m|-m=tn-n-m=-n,

故選：D.

7.（2020秋?鎮(zhèn)平縣期中）比較大小錯(cuò)誤的是（）

A.#1V幣B.后+2〈姬-1C.-7一厲>—6D.26>3應(yīng)

2

【解答】解：?.?5<7,

.?.石<近，因此選項(xiàng)A不符合題意；

,.15<y/35<6,

7<V35+2<8,

?.-9<>/82<10）

.-.8<^/82-1<9,

莊+2<短-1,因此選項(xiàng)B不符合題意；

?.?4<V23<5,

.-.11<>/23+7<12,

<<7+后,

/.5.5<----------<6,

2

..「6〈-上叵<-5.5,因此選項(xiàng)C不符合題意；

2

?;36.=泵，=,而歷,,

3夜>，因此選項(xiàng)D符合題意;

故選：D.

8.（2020春?老城區(qū)校級(jí)月考）在下列結(jié)論中，正確的是（）

A.J（^|7=±|B./的算術(shù)平方根是x

C.-V一定沒(méi)有平方根口.次的平方根是±0

【解答】解：A』-》:：,故錯(cuò)誤;

B./的算術(shù)平方根是|x|,故錯(cuò)誤；

C.-%2,當(dāng)x=OH寸,平方根為0,故錯(cuò)誤；

D.卷的平方根為±6，正確.

故選：D.

填空題

9.（2020秋?二道區(qū)期末）用四舍五入法將6.789精確到百分位為6.79.

【解答】解:用四舍五入法將6.789精確到百分位為6.79,

故答案為：6.79.

10.（2020秋?道外區(qū)期末）比較大小:1.73_<_石.（填上〈”或“=”）

【解答】解：6,1.732,

/.1.73<\/3,

故答案為：<.

11.（2020秋?內(nèi)江期末）若VT^+|2y+1|=0,貝［|產(chǎn)產(chǎn)。的值是」.

-2—

【解答】解:根據(jù)題意得，x-2=0,2y+l=0,

解得x=2,y=~—,

2

所以公。19y2020=2刈9*（一；）202°

20l920,9

=2x（-l）x（-l）

=（-D20,9X（-1）

=-lx

~2.

故答案為：I.

2

12.(2020秋?武威期末)實(shí)數(shù)。、。在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)|〃-回+々的結(jié)果為—力一

?3?>

a0h

【解答】解:由數(shù)軸可得：avOvb,

則a-b<0,

\a-b\+a=b-a+a=b.

故答案為：

13.(2020春?房縣期末)對(duì)于能使式子有意義的有理數(shù)”，由定義新運(yùn)算：〃△匕=犯史.如果

a-3b

.____2

Ix+11+y]y-3+1xz+21=0,貝ijx△(y△z)=_——_.

【解答】解：v|x+l|..O,VJ-3..0,|AZ+2|..O,

又?」x+l|+Jy-3+|xz+2|=0,

.-Jx+l|=O,Jy-3=(),|xz+2|=0.

.\x4-l=0,y-3=0,xz+2=0.

x=-1,y=3,z=2.

11

=-----.

3

xA(yAz)=-lA(-y)

20

-3

10

2

3*

故答案為：-2.

3

14.（2020春?牡丹江期末）若35.36=2.938,4253.6=6.329,則^25360000=293.8.

［解答］解：425360000

=^25.36x1000000

=▼25.36x100

=2.938x100

=293.8.

故答案為：293.8.

15.（2015?資中縣模擬）定義:不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作［x］.例如

［3.6］=3,按止匕規(guī)定，［1-2石］=_T_.

【解答】解：屈<2石=而<后，

4<2也<5,

—4>->-5,

-3>1-275>-4,

故,［1-2⑹=-4.

故答案為：-4.

16.己知屈的小數(shù)部分記為a,則“可以表示為_(kāi)8_.

【解答】解：?.?64<78<81,

故答案為：V78-8-

三.解答題

17.（2020秋?南京期末）求下列各式中的x.

⑴3（1）2-75=0;

⑵（x+2）3=-125.

【解答】解：（1）3（x-l）2-75=0,

（x-1）2=25,

x—1=5,P戈x—1=-5,

解得：x=6或x=4

（2）?j（x+2）3=-125,

x+2=—51

解得：x=-7.

18.（2020秋?南關(guān)區(qū)期末）有理數(shù)〃在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示.

（1）?_>_1,a2,a—一3（用“〈”或“〉”或“="填空）；

⑵化簡(jiǎn)：|a-l|-|“-2|+|“+3|.

二?----------1------1-2—>

-3-2-1012

【解答】解：⑴々>1,a<2,4>—3.

故答案為：>、<、>.

（2）-：a>\,a<2,a>-3,

ci—1>0,a—2V0,。+3>0,

Jo-1|一修一2|+|〃+3|

二（。-1）一［一（。-2）］+（々+3）

=a—1+。-2+。+3

=（a+a+a）+（3—1-2）

=3a+0

=3a.

19.（2020秋?肇源縣期末）一個(gè)半圓形教具,它的半徑為5分米,它的周長(zhǎng)是多少分米?面積是多少平方分

米？（萬(wàn)取3.14,結(jié)果保留兩位小數(shù)）

【解答】解:它的周長(zhǎng)是、2%x5+2x5=5萬(wàn)+10=25.71（分米），

2

面積是萬(wàn)x52?39.27（平方分米），

2

答:它的周長(zhǎng)是25.71米,面積是39.27平方分米.

20.（2020秋?重慶期末）計(jì)算：

⑴(-2-鴻T

(2)|-3|+(-1)3X(^-3.14)°-

【解答】解：⑴（/）—（」）—？+?；

7575

,43、/9、

=(---7)+(-+-)

=1；

(2)|-3|+(-l)3xU-3.14)°-(-1r3

=3-lxl+8

=3-1+8

=10.

21.（2020秋?蘭州期末）已知2々-1的平方根是±3,3々+6-1的算術(shù)平方根是4,求a+2b的值.

【解答】解：???2。-1的平方根是±3,

...2々-1=9,

:.a=5y

3a+b-1的算術(shù)平方根是4,

/.3a+Z?—1=16,

3x5+Z?-1=16)

.*.Z?=2,

...a+2Z?=5+2x2=9.

22.（2020秋?成都期中）在數(shù)軸上點(diǎn)A表示〃，點(diǎn)3表示匕.且明6滿足夜-10+2-揚(yáng)=0.

（l）x表示〃+8的整數(shù)部分，y表示〃的小數(shù)部分,則工=11,y=;

（2）若點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離表示AC,點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示BC,請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上找一點(diǎn)C,使得

AC=2BC,求點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù).

【解答】解：（1）;“一1。+|萬(wàn)-6|=0,

二.”=10,6=百,

.1a+人=10+,

1<>/3<2,

.-.1+10<V3+10<2+10,

BP,11<10+>/3<12,

r.a+6的整數(shù)部分為11,即，x=ll,

a+b的小數(shù)部分為10+6-11=后-1,即，尸百-1,

故答案為：11,6-1;

(2)設(shè)點(diǎn)C在數(shù)軸所表示的額數(shù)為c,

①當(dāng)點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，8c=G-c,AC=lO-c,

-.AC=2BC,

.-.10-c=2(V3-c),

c-2x/3—10,

②當(dāng)點(diǎn)。在AB之間時(shí)，BC=C-6AC=10-C,

-.AC=2BC,

.?.10-c=2(c->/3),

10+2A/3

/.c=--------------,

3

③當(dāng)點(diǎn)C在84的延長(zhǎng)線上時(shí)，BC=c-C,AC=c-lO,

此時(shí)，AC不可能等T2BC,因此這種情況不存在，

綜上所述，點(diǎn)C所表示的數(shù)為26-10或竺土亞.

3

23.(2020秋?北侖區(qū)期中)操作探究：已知在紙面上有一數(shù)軸(如圖所示)

(1)折疊紙面，使表示的點(diǎn)1與-1重合,則-2表示的點(diǎn)與2表示的點(diǎn)重合;

(2)折疊紙面，使-1表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合,回答以下問(wèn)題：

①5表示的點(diǎn)與數(shù)—表示的點(diǎn)重合；

②G表示的點(diǎn)與數(shù)表示的點(diǎn)重合；

③若數(shù)軸上A、8兩點(diǎn)之間距離為9(A在5的左側(cè))，且A、8兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合,此時(shí)點(diǎn)A表示的數(shù)是

點(diǎn)8表示的數(shù)是

(3)己知在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是a,點(diǎn)A移動(dòng)4個(gè)單位,此時(shí)點(diǎn)A表示的數(shù)和a是互為相反數(shù),求”的值.

ill，」，！111111A

-2-1012

【解答】解：(1)折疊紙面，使表示的點(diǎn)1與-1重合，折疊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為匚里=0,設(shè)-2表示的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)表

2

示的數(shù)為X,于是有3M=0,解得x=2,

2

故答案為2;

(2)折疊紙面,使表示的點(diǎn)-1與3重合,折疊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為二二口=1,

2

①設(shè)5表示的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示的數(shù)為y,于是有等=1,解得y=-3,

②設(shè)G表示的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示的數(shù)為z,于是有紀(jì)二巨=1,解得z=2-百，

2

③設(shè)點(diǎn)A所表示的數(shù)為〃，點(diǎn)8表示的數(shù)為乩由題意得：

“+'=1\\.b—a=9,解得:a=—3.5,b=5.5,

2

故答案為：-3,2-6,-3.5,5.5;

⑶①A往左移4個(gè)單位：(a-4)+a=0.解得：a=2.

②A往右移4個(gè)單位：(a+4)+“=0,解得：a=-2.

答：a的值為2或-2.

24.(2019秋?路北區(qū)期末)如圖1,已知在數(shù)軸上有A、3兩點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是-6,點(diǎn)3表示的數(shù)是9.點(diǎn)

尸在數(shù)軸上從點(diǎn)A出發(fā)