2018中考總復習專題：二次函數(shù)和相似的結合

...wd......wd......wd...二次函數(shù)與相似的結合題型一：動點在線段上如圖，平面直角坐標系中，，一次函數(shù)的圖像與軸、軸分別交于點、兩點，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點、點；〔1〕求這個二次函數(shù)的解析式；〔2〕點是該二次函數(shù)圖像的頂點，求△的面積；〔3〕如果點在線段上，且△與△相似，求點的坐標；如圖，拋物線與軸交于、兩點〔在的左側〕，與軸交于點，拋物線的頂點為；〔1〕求、的值；〔2〕求的值；〔3〕假設點是線段上一個動點，聯(lián)結；問是否存在點，使得以點、、為頂點的三角形與△相似假設存在，求出點坐標；假設不存在，請說明理由；如圖，拋物線的對稱軸為直線x=1，與x軸的一個交點為A〔-1，0〕，頂點為B.點C〔5，m〕在拋物線上，直線BC交x軸于點E.求拋物線的表達式及點E的坐標；聯(lián)結AB，求∠B的正切值；xyABECO〔第24題圖〕點G為線段AC上一點，過點G作CBxyABECO〔第24題圖〕當△CGM與△ABE相似時，求點M的坐標.【參考答案】24．〔此題總分值12分，第〔1〕小題4分，第〔2〕小題3分，第〔3〕小題5分〕解：〔1〕∵拋物線的對稱軸為直線x=1，∴.∵拋物線與x軸的一個交點為A〔-1，0〕，∴.∴拋物線的表達式為.………………〔2分〕∴頂點B〔1，-2〕.…………………〔1分〕∵點C〔5，m〕在拋物線上，∴.∴C點坐標為〔5，6〕.設直線BC的表達式為y=kx+b〔k≠0〕，那么，∴即BC的表達式為y=2x-4.∴E〔2,0〕.……………〔1分〕〔2〕作CH⊥x軸，垂足為H，作BP⊥x軸，垂足為P，∵C〔5，6〕，A〔-1，0〕，∴CH=6=AH.∴∠CAH=45°.∵B〔1，-2〕，A〔-1，0〕，∴BP=2=AP.∴∠BAP=45°.∴∠CAB=90°.…………〔1分〕∵CH=6=AH，CH⊥x軸，∴∵BP=2=AP，BP⊥x軸，∴∴…………………〔2分〕〔3〕∵∠CAB=90°，∴∠B+∠ACB=90°.∵GM⊥BC，∴∠CGM+∠ACB=90°.∴∠CGM=∠B.………………〔1分〕∵△CGM與△ABE相似，∴∠BAE=∠CMG或∠BAE=∠MCG.情況1：當∠BAE=∠CMG時，∵∠BAE=45°，∴∠CMG=45°.∵GM⊥BC，∴∠MCE=45°.∴∠MCE=∠EAB.∵∠AEB=∠CEM，∴△ABE∽△CME.……………〔1分〕∴.即.∴EM=5.∴M〔7，0〕.……………〔1分〕情況2：當∠BAE=∠MCG時，∵∠BAE=∠CAM，∴∠MCG=∠CAM.∴MC=MA.………………〔1分〕設M〔x，0〕，∵C〔5，6〕，A〔-1，0〕，∴∴x=5.∴M〔5，0〕.…………〔1分〕題型二：動點在線段的延長線上如圖7，拋物線與軸交于點和點〔點在點的左側〕，與軸交于點，且,點是拋物線的頂點，直線和交于點。求點的坐標；聯(lián)結，求的余切值；設點在線段延長線上，如果和相似，求點的坐標。【答案】〔1〕〔2〕3〔3〕【解析】〔1〕∵拋物線與軸的交于點和點〔點在點的左側〕，與軸交于點，,且,∴∴〔2〕(3)由，可得,在AOC和BCD中，,，又;;當相似時，可知;又點在線段的延長線上，,可得;;由題意，得直線的表達式為;設.,解得〔舍去〕點M的坐標是題型三：動點在對稱軸上如圖，拋物線經(jīng)過點,，為拋物線的頂點?！?〕求拋物線的解析式及頂點坐標；〔2〕點關于拋物線的對稱點為點，聯(lián)結，，求的正切值；〔3〕點是拋物線對稱軸上一點，且△和△相似，求點的坐標。【答案】〔1〕；〔2〕〔3〕或【解析】〔1〕∵拋物線經(jīng)過點,∴可解得∴頂點坐標〔2〕過點作垂直于交于點∵點與點關于對稱軸對稱∴,,平行于軸∵∴,在等腰直角三角形中,∴在直角三角形中,, ∴∴的正切值為設拋物線對稱軸交軸與點∵在直角三角形中，,∴,∴點在點的下方∴當與相似時，有以下兩種情況：當時，即可解得∴當時，即可解得∴綜上所述：或2〕動點在平移后的對稱軸上在平面直角坐標系中，點是拋物線上的一點，將此拋物線向下平移個單位以后經(jīng)過點，平移后的新拋物線的頂點記為，新拋物線的對稱軸和線段的交點記為。求平移后得到的新拋物線的表達式，并求出點C的坐標；求的正切值；如果點是新拋物線對稱軸上的一點，且和相似，試求點的坐標。【答案】〔1〕；〔2〕〔3〕或【解析】〔1〕∵點是拋物線上的一點，代入得：①又∵拋物線向下平移個單位以后經(jīng)過點，平移后的拋物線解析式為：。代入得：②，由①②得：平移后得到的新拋物線的表達式：，頂點∵、、，易得由勾股定理逆定理得是直角三角形，設拋物線對稱軸與軸相交于點，，易得，∴點只能在對稱軸點的下方，和相似，有以下兩種情況：①，，，②，，，綜上，或題型四：動點在某直線上yAOCBx〔第24題圖〕如圖，拋物線經(jīng)過的三個頂點，其中點，點，軸yAOCBx〔第24題圖〕〔1〕求這條拋物線的解析式；〔2〕求的值；〔3〕假設點D為拋物線的頂點，點E是直線AC上一點，當與相似時，求點E的坐標．【參考答案】24．解：〔1〕∵拋物線經(jīng)過點和點∴……………………1分解得………………2分∴這條拋物線的解析式為………………1分〔2〕過點作，垂足為，，又是等腰直角三角形………1分，，點也在該拋物線上過點作，垂足為點……………1分又∵在Rt△中，∴…………………1分∴在Rt△中，……………1分〔3〕過點D作，垂足為∵點是拋物線的頂點∴………………1分∴∴又∵∴是等腰直角三角形∴又∵∴………1分∴當△CDE與△ABC相似時，存在以下兩種情況：……………1分…………1分題型五：動點在軸上如圖9，在平面直角坐標系中，頂點為的拋物線經(jīng)過點和軸正半軸上的點，=2，．〔1〕求這條拋物線的表達式；〔2〕聯(lián)結，求的大??；〔3〕如果點在軸上，且△與△相似，求點的坐標．圖9圖92017年青浦一模24】，如圖8，在平面直角坐標系中，拋物線與軸正半軸交于點和點，與軸交于點，且，點是第一象限內(nèi)的點，聯(lián)結，△是以為斜邊的等腰直角三角形.求這個拋物線的表達式；求點的坐標；點在軸上，假設以為頂點的三角形與以點為頂點的三角形相似，求點的坐標.【答案】〔1〕〔2〕〔3〕點坐標為或【解析】〔1〕由題意可得

代入得過點作為等腰直角三角形

可證四邊形為正方形,解得在第一象限內(nèi)，可得為等腰直角三角形，那么點在軸左側

i.，ii.

假設點在軸右側，不存在

綜上所述：點坐標為或在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交點和點,與軸相交于點,拋物線的頂點為點，聯(lián)結,,。求這條拋物線的表達式及頂點的坐標；求證：如果點在軸上，且在點的右側，,求點的坐標?！敬鸢浮俊?〕；〔2〕略〔3〕【解析】(1)∵拋物線過點A()和點,∴將兩點坐標代入解析式可得:可解得∴根據(jù)頂點公式可得代入到求得，，所以有可以求得：,,,在和中，有,在OC上取一點F使得OF=OA，由〔2〕得B(3,0)，C(0,3)，OB=OC，∠OBC=45°，∠CBE=135°OA=OF，∠AFO=45°，∠AFC=135°，∠AFC=∠CBE，又∠BCE=∠ACO，△AFC∽△BCE,,題型六：動點在拋物線上如圖1，拋物線的方程C1：(m＞0)與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側．〔1〕假設拋物線C1過點M(2,2)，求實數(shù)m的值；〔4〕在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與△BCE相似假設存在，求m的值；假設不存在，請說明理由．圖1【解析】〔1〕將M(2,2)代入，得．解得m＝4．〔4〕①如圖3，過點B作EC的平行線交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以當，即時，△BCE∽△FBC．設點F的坐標為，由，得．解得x＝m＋2．所以F′(m＋2,0)．由，得．所以．由，得．整理，得0＝16．此方程無解．圖2圖3圖4②如圖4，作∠CBF＝45°交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以，即時，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．由，得．解得．綜合①、②，符合題意的m為．2〕動點在直線下方的拋物線24.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點，點的坐標為，與軸交于點，點是直線下方拋物線上的任意一點；〔1〕求這個二次函數(shù)的解析式；〔2〕聯(lián)結、，并將△沿軸對折，得到四邊形，如果四邊形為菱形，求點的坐標；〔3〕如果點在運動過程中，能使得以、、為頂點的三角形與△相似，請求出此時點的坐標；【正確答案】動點在直線上方的拋物線如圖11所示，拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C．〔1〕求A、B、C三點的坐標．〔2〕過點A作AP∥CB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積．〔3〕在軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MG軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似．圖11CPB圖11CPByA【解析:】〔1〕令，得解得令，得∴ABC 〔2分〕〔2〕∵OA=OB=OC=∴BAC=ACO=BCO=∵AP∥CB，∴PAB=過點P作PE軸于E，那么APE為等腰直角三角形令OE=，那么PE=∴P∵點P在拋物線上∴解得，〔不合題意，舍去〕∴PE= 4分〕∴四邊形ACBP的面積=AB?OC+AB?PE= 6分〕(3)．假設存在∵PAB=BAC=∴PAAC∵MG軸于點G，∴MGA=PAC=在Rt△AOC中，OA=OC=∴AC=GM第28題圖2CByPA在Rt△PAE中，AE=PE