2024年中考數(shù)學真題分類匯編（全國）（第一期）專題16 二次函數(shù)解答題壓軸題（35題）（原卷版）

專題16二次函數(shù)解答題壓軸題（35題）一、解答題1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，是某公園的一種水上娛樂項目．數(shù)學興趣小組對該項目中的數(shù)學問題進行了深入研究．下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1，人從點A處沿水滑道下滑至點B處騰空飛出后落入水池．以地面所在的水平線為x軸，過騰空點B與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系．他們把水滑道和人騰空飛出后經(jīng)過的路徑都近似看作是拋物線的一部分．根據(jù)測量和調(diào)查得到的數(shù)據(jù)和信息，設計了以下三個問題，請你解決．(1)如圖1，點B與地面的距離為2米，水滑道最低點C與地面的距離為米，點C到點B的水平距離為3米，則水滑道所在拋物線的解析式為______；(2)如圖1，騰空點B與對面水池邊緣的水平距離米，人騰空后的落點D與水池邊緣的安全距離不少于3米．若某人騰空后的路徑形成的拋物線恰好與拋物線關于點B成中心對稱．①請直接寫出此人騰空后的最大高度和拋物線的解析式；②此人騰空飛出后的落點D是否在安全范圍內(nèi)？請說明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計）；(3)為消除安全隱患，公園計劃對水滑道進行加固．如圖2，水滑道已經(jīng)有兩條加固鋼架，一條是水滑道距地面4米的點M處豎直支撐的鋼架，另一條是點M與點B之間連接支撐的鋼架．現(xiàn)在需要在水滑道下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與平行，且與水滑道有唯一公共點，一端固定在鋼架上，另一端固定在地面上．請你計算出這條鋼架的長度（結(jié)果保留根號）．2．（2024·廣東深圳·中考真題）為了測量拋物線的開口大小，某數(shù)學興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為x，y軸建立如圖所示平面直角坐標系，該數(shù)學小組選擇不同位置測量數(shù)據(jù)如下表所示，設的讀數(shù)為x，讀數(shù)為y，拋物線的頂點為C．(1)（Ⅰ）列表：①②③④⑤⑥x023456y012.2546.259（Ⅱ）描點：請將表格中的描在圖2中；（Ⅲ）連線：請用平滑的曲線在圖2將上述點連接，并求出y與x的關系式；(2)如圖3所示，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為C，該數(shù)學興趣小組用水平和豎直直尺測量其水平跨度為，豎直跨度為，且，，為了求出該拋物線的開口大小，該數(shù)學興趣小組有如下兩種方案，請選擇其中一種方案，并完善過程：方案一：將二次函數(shù)平移，使得頂點C與原點O重合，此時拋物線解析式為．①此時點的坐標為________；②將點坐標代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）方案二：設C點坐標為①此時點B的坐標為________；②將點B坐標代入中解得________；（用含m，n的式子表示）(3)【應用】如圖4，已知平面直角坐標系中有A，B兩點，，且軸，二次函數(shù)和都經(jīng)過A，B兩點，且和的頂點P，Q距線段的距離之和為10，求a的值．3．（2024·四川廣元·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線F：經(jīng)過點，與y軸交于點．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)在直線上方拋物線上有一動點C，連接交于點D，求的最大值及此時點C的坐標；(3)作拋物線F關于直線上一點的對稱圖象，拋物線F與只有一個公共點E（點E在y軸右側(cè)），G為直線上一點，H為拋物線對稱軸上一點，若以B，E，G，H為頂點的四邊形是平行四邊形，求G點坐標．4．（2024·天津·中考真題）已知拋物線的頂點為，且，對稱軸與軸相交于點，點在拋物線上，為坐標原點．(1)當時，求該拋物線頂點的坐標；(2)當時，求的值；(3)若是拋物線上的點，且點在第四象限，，點在線段上，點在線段上，，當取得最小值為時，求的值．5．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交于，兩點（點在點左側(cè)），頂點為，連接．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)如圖1，若是軸正半軸上一點，連接．當點的坐標為時，求證：；(3)如圖2，連接，將沿軸折疊，折疊后點落在第四象限的點處，過點的直線與線段相交于點，與軸負半軸相交于點．當時，與是否相等？請說明理由．6．（2024·吉林·中考真題）小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識，設計了一個計算程序，其程序框圖如圖（1）所示，輸入x的值為時，輸出y的值為1；輸入x的值為2時，輸出y的值為3；輸入x的值為3時，輸出y的值為6．(1)直接寫出k，a，b的值．(2)小明在平面直角坐標系中畫出了關于x的函數(shù)圖像，如圖（2）．Ⅰ．當y隨x的增大而增大時，求x的取值范圍．Ⅱ．若關于x的方程（t為實數(shù)），在時無解，求t的取值范圍．Ⅲ．若在函數(shù)圖像上有點P，Q（P與Q不重合）．P的橫坐標為m，Q的橫坐標為．小明對P，Q之間（含P，Q兩點）的圖像進行研究，當圖像對應函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，直接寫出m的取值范圍．7．（2024·四川達州·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．點是拋物線的頂點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，連接，，直線交拋物線的對稱軸于點，若點是直線上方拋物線上一點，且，求點的坐標；(3)若點是拋物線對稱軸上位于點上方的一動點，是否存在以點，，為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．8．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點B，且關于直線對稱．(1)求該拋物線的解析式；(2)當時，y的取值范圍是，求t的值；(3)點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線于點D，在y軸上是否存在點E，使得以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由．9．（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線與軸交于點，．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，拋物線與軸交于點，點為線段上一點（不與端點重合），直線，分別交拋物線于點，，設面積為，面積為，求的值；(3)如圖，點是拋物線對稱軸與軸的交點，過點的直線（不與對稱軸重合）與拋物線交于點，，過拋物線頂點作直線軸，點是直線上一動點．求的最小值．10．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線：與軸交于A，B兩點（點在點的左側(cè)），其頂點為，是拋物線第四象限上一點．(1)求線段的長；(2)當時，若的面積與的面積相等，求的值；(3)延長交軸于點，當時，將沿方向平移得到．將拋物線平移得到拋物線，使得點，都落在拋物線上．試判斷拋物線與是否交于某個定點．若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由．11．（2024·四川德陽·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)當時，求的函數(shù)值的取值范圍；(3)將拋物線的頂點向下平移個單位長度得到點，點為拋物線的對稱軸上一動點，求的最小值．12．（2024·山東·中考真題）在平面直角坐標系中，點在二次函數(shù)的圖像上，記該二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線．(1)求的值；(2)若點在的圖像上，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個單位長度，得到新的二次函數(shù)的圖像．當時，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；(3)設的圖像與軸交點為，．若，求的取值范圍．13．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經(jīng)過和．(1)求平移后新拋物線的表達式；(2)直線（）與新拋物線交于點P，與原拋物線交于點Q．①如果小于3，求m的取值范圍；②記點P在原拋物線上的對應點為，如果四邊形有一組對邊平行，求點P的坐標．14．（2024·四川遂寧·中考真題）二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點，與軸交于點，為拋物線上的兩點．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)當兩點關于拋物線對稱軸對稱，是以點為直角頂點的直角三角形時，求點的坐標；(3)設的橫坐標為，的橫坐標為，試探究：的面積是否存在最小值，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．15．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，拋物線與直線相交于兩點，與軸相交于另一點．(1)求拋物線的解析式；(2)點是直線上方拋物線上的一個動點（不與重合），過點作直線軸于點，交直線于點，當時，求點坐標；(3)拋物線上是否存在點使的面積等于面積的一半？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．16．（2024·江蘇連云港·中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線（a、b為常數(shù)，）．

(1)若拋物線與軸交于、兩點，求拋物線對應的函數(shù)表達式；(2)如圖，當時，過點、分別作軸的平行線，交拋物線于點M、N，連接．求證：平分；(3)當，時，過直線上一點作軸的平行線，交拋物線于點．若的最大值為4，求的值．17．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖①，二次函數(shù)的圖象與開口向下的二次函數(shù)圖象均過點，．(1)求圖象對應的函數(shù)表達式；(2)若圖象過點，點P位于第一象限，且在圖象上，直線l過點P且與x軸平行，與圖象的另一個交點為Q（Q在P左側(cè)），直線l與圖象的交點為M，N（N在M左側(cè)）．當時，求點P的坐標；(3)如圖②，D，E分別為二次函數(shù)圖象，的頂點，連接，過點A作．交圖象于點F，連接EF，當時，求圖象對應的函數(shù)表達式．18．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點和點．經(jīng)過點的直線與該二次函數(shù)圖象交于點，與軸交于點．(1)求二次函數(shù)的解析式及點的坐標；(2)點是二次函數(shù)圖象上的一個動點，當點在直線上方時，過點作軸于點，與直線交于點，設點的橫坐標為．①為何值時線段的長度最大，并求出最大值；②是否存在點，使得與相似．若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由．19．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）已知拋物線與x軸交點的坐標分別為，，且．(1)若拋物線與x軸交點的坐標分別為，，且．試判斷下列每組數(shù)據(jù)的大?。ㄌ顚?、或）：①________；②________；③________．(2)若，，求b的取值范圍；(3)當時，最大值與最小值的差為，求b的值．20．（2024·河北·中考真題）如圖，拋物線過點，頂點為Q．拋物線（其中t為常數(shù)，且），頂點為P．(1)直接寫出a的值和點Q的坐標．(2)嘉嘉說：無論t為何值，將的頂點Q向左平移2個單位長度后一定落在上．淇淇說：無論t為何值，總經(jīng)過一個定點．請選擇其中一人的說法進行說理．(3)當時，①求直線PQ的解析式；②作直線，當l與的交點到x軸的距離恰為6時，求l與x軸交點的橫坐標．(4)設與的交點A，B的橫坐標分別為，且．點M在上，橫坐標為．點N在上，橫坐標為．若點M是到直線PQ的距離最大的點，最大距離為d，點N到直線PQ的距離恰好也為d，直接用含t和m的式子表示n．21．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點，其頂點為D．(1)求拋物線的表達式及頂點D的坐標；(2)在y軸上是否存在一點M，使得的周長最小．若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；(3)若點E在以點為圓心，1為半徑的上，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．求的取值范圍．22．（2024·湖南·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，點，是此二次函數(shù)的圖像上的兩個動點．(1)求此二次函數(shù)的表達式；(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點B，點P在直線的上方，過點P作軸于點C，交AB于點D，連接．若，求證的值為定值；(3)如圖2，點P在第二象限，，若點M在直線上，且橫坐標為，過點M作軸于點N，求線段長度的最大值．23．（2024·四川樂山·中考真題）在平面直角坐標系中，我們稱橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點為“完美點”．拋物線（a為常數(shù)且）與y軸交于點A．(1)若，求拋物線的頂點坐標；(2)若線段（含端點）上的“完美點”個數(shù)大于3個且小于6個，求a的取值范圍；(3)若拋物線與直線交于M、N兩點，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個“完美點”，求a的取值范圍．24．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求該拋物線的解析式；(2)當點在第二象限內(nèi)，且的面積為3時，求點的坐標；(3)在直線上是否存在點，使是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．25．（2024·黑龍江綏化·中考真題）綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與直線相交于，兩點，其中點，．(1)求該拋物線的函數(shù)解析式．(2)過點作軸交拋物線于點，連接，在拋物線上是否存在點使．若存在，請求出滿足條件的所有點的坐標；若不存在，請說明理由．（提示：依題意補全圖形，并解答）(3)將該拋物線向左平移個單位長度得到，平移后的拋物線與原拋物線相交于點，點為原拋物線對稱軸上的一點，是平面直角坐標系內(nèi)的一點，當以點、、、為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點F的坐標．26．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標系中，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，過A，C兩點的拋物線與x軸的另一個交點為點，點P是拋物線位于第四象限圖象上的動點，過點P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線于點E，點F．(1)求拋物線的解析式；(2)點D是x軸上的任意一點，若是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點D的坐標；(3)當時，求點P的坐標；(4)在（3）的條件下，若點N是y軸上的一個動點，過點N作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M，連接，則的最小值為______．27．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，交軸于點，拋物線的對稱軸是直線．(1)求拋物線的表達式；(2)點是直線下方對稱軸右側(cè)拋物線上一動點，過點作軸交拋物線于點，作于點，求的最大值及此時點的坐標；(3)將拋物線沿射線方向平移個單位，在取得最大值的條件下，點為點平移后的對應點，連接交軸于點，點為平移后的拋物線上一點，若，請直接寫出所有符合條件的點的坐標．28．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點，與軸交于點，與軸交于兩點（在的左側(cè)），連接．(1)求拋物線的表達式；(2)點是射線上方拋物線上的一動點，過點作軸，垂足為，交于點．點是線段上一動點，軸，垂足為，點為線段的中點，連接．當線段長度取得最大值時，求的最小值；(3)將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線經(jīng)過（2）中線段長度取得最大值時的點，且與直線相交于另一點．點為新拋物線上的一個動點，當時，直接寫出所有符合條件的點的坐標．29．（2024·廣東廣州·中考真題）已知拋物線過點和點，直線過點，交線段于點，記的周長為，的周長為，且．(1)求拋物線的對稱軸；(2)求的值；(3)直線繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)秒后得到直線，當時，直線交拋物線于，兩點．①求的值；②設的面積為，若對于任意的，均有成立，求的最大值及此時拋物線的解析式．30．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點坐標為，點坐標為．

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)點是直線上方拋物線上一個動點，過點作軸的垂線交直線于點，過點作軸的垂線，垂足為點，請?zhí)骄渴欠裼凶畲笾?？若有最大值，求出最大值及此時點的坐標；若沒有最大值，請說明理由．(3)點為該拋物線上的點，當時，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標．31．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，，，對稱軸為直線，將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)后得到新拋物線，拋物線與軸交于點，頂點為，對稱軸為直線．(1)分別求拋物線和的表達式；(2)如圖，點的坐標為，動點在直線上，過點作軸與直線交于點，連接，．求的最小值；(3)如圖，點的坐標為，動點在拋物線上，試探究是否存在點，使？若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．